Фрактальная производная - Fractal derivative

Не путать с Дробная производная.

В Прикладная математика и математический анализ, то фрактальная производная или же Производная Хаусдорфа является неньютоновским обобщением производная имея дело с измерением фракталы, определенные во фрактальной геометрии. Фрактальные производные были созданы для изучения аномальной диффузии, с помощью которой традиционные подходы не учитывают фрактальную природу среды. А фрактальная мера т масштабируется в соответствии с т^α. Такая производная является локальной, в отличие от аналогично применяемой дробная производная.

Физический фон

Пористая среда, водоносные горизонты, турбулентность, и другие среды обычно проявляют фрактальные свойства. Классические физические законы, такие как Законы диффузии Фика, Закон Дарси, и Закон Фурье больше не применимы для таких носителей, потому что они основаны на Евклидова геометрия, что не относится к СМИ не-целое число фрактальные измерения. Основные физические концепции, такие как расстояние и скорость во фрактальных средах требуется переопределение; шкалы для пространства и времени следует преобразовать в соответствии с (Икс^β, т^α). Элементарные физические понятия, такие как скорость в фрактальное пространство-время (Икс^β, т^α) можно переопределить следующим образом:

${\displaystyle v'={\frac {dx'}{dt'}}={\frac {dx^{\beta }}{dt^{\alpha }}}\,,\quad \alpha ,\beta >0}$,

куда S^{α, β} представляет фрактальное пространство-время с индексами масштабирования α и β. Традиционное определение скорости не имеет смысла в недифференцируемом фрактальном пространстве-времени.

Определение

Основываясь на приведенном выше обсуждении, концепция фрактальной производной функции ты(т) относительно фрактальная мера т был введен следующим образом:

${\displaystyle {\frac {\partial f(t)}{\partial t^{\alpha }}}=\lim _{t_{1}\rightarrow t}{\frac {f(t_{1})-f(t)}{t_{1}^{\alpha }-t^{\alpha }}}\,,\quad \alpha >0}$,

Более общее определение дается

${\displaystyle {\frac {\partial ^{\beta }f(t)}{\partial t^{\alpha }}}=\lim _{t_{1}\rightarrow t}{\frac {f^{\beta }(t_{1})-f^{\beta }(t)}{t_{1}^{\alpha }-t^{\alpha }}}\,,\quad \alpha >0,\beta >0}$.

Мотивация

В производные функции f можно определить через коэффициенты a_k в Серия Тейлор расширение:

${\displaystyle f(x)=\sum _{k=1}^{\infty }a_{k}\cdot (x-x_{0})^{k}=\sum _{k=1}^{\infty }{1 \over k!}{d^{k}f \over dx^{k}}(x_{0})\cdot (x-x_{0})^{k}=f(x_{0})+f'(x_{0})\cdot (x-x_{0})+o(x-x_{0})}$

Из этого подхода можно напрямую получить:

${\displaystyle f'(x_{0})={f(x)-f(x_{0})-o(x-x_{0}) \over x-x_{0}}=\lim _{x\to x_{0}}{f(x)-f(x_{0}) \over x-x_{0}}}$

Это можно обобщить, аппроксимируя f функциями (x^α-(Икс₀)^α)^k:

${\displaystyle f(x)=\sum _{k=1}^{\infty }b_{k}\cdot (x^{\alpha }-x_{0}^{\alpha })^{k}=f(x_{0})+b_{1}\cdot (x^{\alpha }-x_{0}^{\alpha })+o(x^{\alpha }-x_{0}^{\alpha })}$

примечание: коэффициент самого низкого порядка все еще должен быть b₀= f (x₀), поскольку это все еще постоянное приближение функции f в точке x₀.

Опять же, можно напрямую получить:

${\displaystyle b_{1}=\lim _{x\to x_{0}}{f(x)-f(x_{0}) \over x^{\alpha }-x_{0}^{\alpha }}{\overset {\underset {\mathrm {def} }{}}{=}}{df \over dx^{\alpha }}(x_{0})}$

Характеристики

Коэффициенты расширения

Как и в разложении в ряд Тейлора, коэффициенты b_k может быть выражена через фрактальные производные k порядка f:

${\displaystyle b_{k}={1 \over k!}{\biggl (}{d \over dx^{\alpha }}{\biggr )}^{k}f(x=x_{0})}$

Идея доказательства: предполагая ${\textstyle ({d \over dx^{\alpha }})^{k}f(x=x_{0})}$ существует, б_k можно записать как ${\textstyle b_{k}=a_{k}\cdot ({d \over dx^{\alpha }})^{k}f(x=x_{0})}$

теперь можно использовать ${\textstyle f(x)=(x^{\alpha }-x_{0}^{\alpha })^{n}\Rightarrow ({d \over dx^{\alpha }})^{k}f(x=x_{0})=n!\delta _{n}^{k}}$ и с тех пор ${\textstyle b_{n}{\overset {\underset {\mathrm {!} }{}}{=}}1\Rightarrow a_{n}={1 \over n!}}$

Связь с производной

Если для данной функции f производная Df и фрактальная производная D_αf существует, можно найти аналог цепного правила:

${\displaystyle {df \over dx^{\alpha }}={df \over dx}{dx \over dx^{\alpha }}={1 \over \alpha }x^{1-\alpha }{df \over dx}}$

Последний шаг мотивирован Теорема о неявной функции что при соответствующих условиях дает нам dx / dx^α = (dx^α/ dx)⁻¹

Аналогично для более общего определения:

${\displaystyle {d^{\beta }f \over d^{\alpha }x}={d(f^{\beta }) \over d^{\alpha }x}={1 \over \alpha }x^{1-\alpha }\beta f^{\beta -1}(x)f'(x)}$

Фрактальная производная для функции ж(т) = т, с производным порядком есть α ∈ (0,1]

Применение при аномальной диффузии

В качестве альтернативного подхода к моделированию классического второго закона Фика фрактальная производная используется для вывода линейного аномального уравнения переноса-диффузии, лежащего в основе аномальная диффузия процесс,

${\displaystyle {\frac {du(x,t)}{dt^{\alpha }}}=D{\frac {\partial }{\partial x^{\beta }}}\left({\frac {\partial u(x,t)}{\partial x^{\beta }}}\right),-\infty <x<+\infty \,,\quad (1)}$

${\displaystyle u(x,0)=\delta (x).}$

где 0 < α < 2, 0 < β <1, и δ(Икс) это Дельта-функция Дирака.

Чтобы получить фундаментальное решение, применим преобразование переменных

${\displaystyle t'=t^{\alpha }\,,\quad x'=x^{\beta }.}$

тогда уравнение (1) становится уравнением нормальной диффузионной формы, решение (1) имеет растянутый Гауссовский форма:

${\displaystyle u(x,t)={\frac {1}{2{\sqrt {\pi t^{\alpha }}}}}e^{-{\frac {x^{2\beta }}{4t^{\alpha }}}}}$

В среднеквадратичное смещение приведенного выше уравнения диффузии фрактальной производной имеет асимптота:

${\displaystyle \left\langle x^{2}(t)\right\rangle \propto t^{(3\alpha -\alpha \beta )/2\beta }.}$

Фрактально-дробное исчисление

Дальнейшая информация: дробная производная

Фрактальная производная связана с классической производной, если существует первая производная исследуемой функции. В этом случае,

${\displaystyle {\frac {\partial f(t)}{\partial t^{\alpha }}}=\lim _{t_{1}\rightarrow t}{\frac {f(t_{1})-f(t)}{t_{1}^{\alpha }-t^{\alpha }}}\ ={\frac {df(t)}{dt}}{\frac {1}{\alpha t^{\alpha -1}}},\quad \alpha >0}$.

Однако из-за свойства дифференцируемости интеграла дробные производные дифференцируемы, поэтому было введено следующее новое понятие

Следующие дифференциальные операторы были введены и применены совсем недавно.^[1] Предположим, что y (t) непрерывна и фрактально дифференцируема на (a, b) с порядком β, несколько определений фрактально-дробной производной y (t) имеют порядок α в смысле Римана – Лиувилля:^[1]

• Имея ядро ​​степенного типа:

${\displaystyle ^{FFP}D_{0,t}^{\alpha ,\beta }{\Big (}y(t){\Big )}={\dfrac {1}{\Gamma (m-\alpha )}}{\dfrac {d}{dt^{\beta }}}\int _{0}^{t}(t-s)^{m-\alpha -1}y(s)ds}$

• Имея ядро ​​экспоненциально затухающего типа:

${\displaystyle ^{FFE}D_{0,t}^{\alpha ,\beta }{\Big (}y(t){\Big )}={\dfrac {M(\alpha )}{1-\alpha }}{\dfrac {d}{dt^{\beta }}}\int _{0}^{t}\exp {\Big (}-{\dfrac {\alpha }{1-\alpha }}(t-s){\Big )}y(s)ds}$,

• Обобщив ядро ​​типа Миттаг-Леффлера:

${\displaystyle {}_{a}^{FFM}D_{t}^{\alpha }f(t)={\frac {AB(\alpha )}{1-\alpha }}{\frac {d}{dt^{\beta }}}\int _{a}^{t}f(\tau )E_{\alpha }\left(-\alpha {\frac {\left(t-\tau \right)^{\alpha }}{1-\alpha }}\right)\,d\tau \,.}$

Каждый из вышеуказанных дифференциальных операторов имеет связанный фрактально-дробный интегральный оператор, а именно:^[1]

• Ядро степенного типа:

${\displaystyle ^{FFP}J_{0,t}^{\alpha ,\beta }{\Big (}y(t){\Big )}={\dfrac {\beta }{\Gamma (\alpha )}}\int _{0}^{t}(t-s)^{\alpha -1}s^{\beta -1}y(s)ds}$

• Ядро экспоненциально затухающего типа:

${\displaystyle ^{FFE}J_{0,t}^{\alpha ,\beta }{\Big (}y(t){\Big )}={\dfrac {\alpha \beta }{M(\alpha )}}\int _{0}^{t}s^{\alpha -1}y(s)ds+{\dfrac {\beta (1-\alpha )t^{\beta -1}y(t)}{M(\alpha )}}}$.

• Обобщенное ядро ​​типа Миттаг-Леффлера:

${\displaystyle ^{FFM}J_{0,t}^{\alpha ,\beta }{\Big (}y(t){\Big )}={\dfrac {\alpha \beta }{AB(\alpha )}}\int _{0}^{t}s^{\alpha -1}y(s)(t-s)^{\alpha -1}ds+{\dfrac {\beta (1-\alpha )t^{\beta -1}y(t)}{AB(\alpha )}}}$.FFM относится к фрактально-дробным с обобщенным ядром Миттаг-Леффлера.

Смотрите также

• Дробное исчисление
• Система дробного порядка
• Мультифрактальная система

Рекомендации

1. Атангана, Абдон; Сания, Куреши (2019). «Моделирование аттракторов хаотических динамических систем фрактально-дробными операторами». Хаос, солитоны и фракталы. 123: 320–337. Bibcode:2019CSF ... 123..320A. Дои:10.1016 / j.chaos.2019.04.020.

• Чен, В. (2006). «Пространственно-временная ткань, лежащая в основе аномальной диффузии». Хаос, солитоны и фракталы. 28 (4): 923–929. arXiv:math-ph / 0505023. Bibcode:2006CSF .... 28..923C. Дои:10.1016 / j.chaos.2005.08.199. S2CID  18369880.
• Канно Р. (1998). «Представление случайного блуждания во фрактальном пространстве-времени». Physica A. 248 (1–2): 165–175. Bibcode:1998PhyA..248..165K. Дои:10.1016 / S0378-4371 (97) 00422-6.
• Chen, W .; Sun, H.G .; Чжан, X .; Коросак, Д. (2010). «Моделирование аномальной диффузии фрактальными и дробными производными». Компьютеры и математика с приложениями. 59 (5): 1754–8. Дои:10.1016 / j.camwa.2009.08.020.
• Sun, H.G .; Meerschaert, M.M .; Zhang, Y .; Zhu, J .; Чен, В. (2013). «Фрактальное уравнение Ричардса для отражения небольцмановского масштабирования переноса воды в ненасыщенных средах». Достижения в области водных ресурсов. 52 (52): 292–5. Bibcode:2013AdWR ... 52..292S. Дои:10.1016 / j.advwatres.2012.11.005. ЧВК  3686513. PMID  23794783.
• Cushman, J.H .; O'Malley, D .; Парк, М. (2009). «Аномальная диффузия, моделируемая нестационарным расширением броуновского движения». Phys. Ред. E. 79 (3): 032101. Bibcode:2009PhRvE..79c2101C. Дои:10.1103 / PhysRevE.79.032101. PMID  19391995.
• Mainardi, F .; Мура, А .; Паньини, Г. (2010). "Функция М-Райта в процессах дробно-временной диффузии: учебное пособие". Международный журнал дифференциальных уравнений. 2010: 104505. arXiv:1004.2950. Bibcode:2010arXiv1004.2950M. Дои:10.1155/2010/104505. S2CID  37271918.

внешняя ссылка

• Степенной закон и дробная динамика
• Сайт неньютоновского исчисления