Мультифрактальная система - Multifractal system

А Странный аттрактор который демонстрирует мультифрактальное масштабирование

Пример мультифрактального собственного состояния электронов на Локализация Андерсона переход в системе с 1367631 атомом.

А мультифрактальная система является обобщением фрактал система, в которой одна экспонента ( фрактальная размерность ) недостаточно для описания его динамики; вместо этого непрерывный спектр показателей (так называемый спектр особенностей ) необходим.^[1]

Мультифрактальные системы распространены в природе. Они включают длина береговой линии, полностью развитая турбулентность, сцены из реального мира, сердцебиение динамика^[2] походка человека^[3] и активность,^[4] человеческий мозг Мероприятия,^{[5][6][7][8][9][10][11]} и временные ряды естественной светимости.^[12] Модели предлагались в различных контекстах, начиная от турбулентности в динамика жидкостей к интернет-трафику, финансам, моделированию изображений, синтезу текстур, метеорологии, геофизика и больше.^{[нужна цитата ]} Происхождение мультифрактальности в последовательных (временных рядах) данных объясняется эффектами математической конвергенции, связанными с Центральная предельная теорема в фокусе конвергенции семейство статистических распределений, известных как Модели экспоненциальной дисперсии Твиди,^[13] а также геометрические модели Tweedie.^[14] Первый эффект сходимости дает монофрактальные последовательности, а второй эффект сходимости отвечает за изменение фрактальной размерности монофрактальных последовательностей.^[15]

Мультифрактальный анализ используется для исследования наборов данных, часто в сочетании с другими методами анализа. фрактал и лакунарность анализ. Этот метод влечет за собой искажение наборов данных, извлеченных из шаблонов, для создания мультифрактальных спектров, которые иллюстрируют, как масштабирование изменяется в наборе данных. Методы мультифрактального анализа были применены в различных практических ситуациях, таких как прогнозирование землетрясений и интерпретация медицинских изображений.^[16][17][18]

Определение

В мультифрактальной системе ${displaystyle s}$, поведение вокруг любой точки описывается локальным сила закона:

${displaystyle s({vec {x}}+{vec {a}})-s({vec {x}})sim a^{h({vec {x}})}.}$

Показатель ${displaystyle h({vec {x}})}$ называется показатель сингулярности, поскольку он описывает локальную степень необычность или регулярность вокруг точки ${displaystyle {vec {x}}}$.^{[нужна цитата ]}

Ансамбль, образованный всеми точками с одним и тем же показателем сингулярности, называется многообразие особенностей экспоненты h, и является фрактальный набор из фрактальная размерность ${displaystyle D(h):}$ спектр особенностей. Кривая ${displaystyle D(h)}$ против ${displaystyle h}$ называется спектр особенностей и полностью описывает статистическое распределение переменной ${displaystyle s}$.^{[нужна цитата ]}

На практике мультифрактальное поведение физической системы ${displaystyle X}$ не характеризуется непосредственно своим спектром сингулярностей ${displaystyle D(h)}$. Скорее, анализ данных дает доступ к показатели многомасштабирования ${displaystyle zeta (q), qin {mathbb {R} }}$. Действительно, мультифрактальные сигналы обычно подчиняются масштабная инвариантность свойство, которое дает степенное поведение для величин с разным разрешением, в зависимости от их масштаба ${displaystyle a}$. В зависимости от исследуемого объекта эти кратные величины, обозначаемые ${displaystyle T_{X}(a)}$, могут быть средние местные в коробках размером ${displaystyle a}$, градиенты на расстоянии ${displaystyle a}$, вейвлет-коэффициенты в масштабе ${displaystyle a}$и т. д. Для мультифрактальных объектов обычно наблюдается глобальное степенное масштабирование вида:^{[нужна цитата ]}

${displaystyle langle T_{X}(a)^{q}angle sim a^{zeta (q)} }$

хотя бы в каком-то диапазоне масштабов и для какого-то диапазона заказов ${displaystyle q}$. Когда такое поведение наблюдается, говорят о масштабной инвариантности, самоподобии или многомасштабности.^[19]

Оценка

Используя так называемые мультифрактальный формализм, можно показать, что при некоторых удачных предположениях существует соответствие между спектром сингулярностей ${displaystyle D(h)}$ и многомасштабные показатели ${displaystyle zeta (q)}$ через Преобразование Лежандра. Хотя определение ${displaystyle D(h)}$ требует некоторого исчерпывающего локального анализа данных, который приведет к сложным и численно нестабильным расчетам, оценка ${displaystyle zeta (q)}$ основан на использовании статистических средних и линейных регрессий в логарифмических диаграммах. Однажды ${displaystyle zeta (q)}$ известны, можно вывести оценку ${displaystyle D(h),}$ благодаря простому преобразованию Лежандра.^{[нужна цитата ]}

Мультифрактальные системы часто моделируются случайными процессами, такими как мультипликативные каскады. В ${displaystyle zeta (q)}$ статистически интерпретируются, поскольку они характеризуют эволюцию распределений ${displaystyle T_{X}(a)}$ в качестве ${displaystyle a}$ идет от большего к меньшему масштабу. Эту эволюцию часто называют статистическая перемежаемость и выдает уход от Гауссовский модели.^{[нужна цитата ]}

Моделирование как мультипликативный каскад также приводит к оценке мультифрактальных свойств.Робертс и Кронин 1996 Ошибка harvnb: цель отсутствует: CITEREFRobertsCronin1996 (помощь) Этот метод работает достаточно хорошо даже для относительно небольших наборов данных. Максимально вероятное соответствие мультипликативного каскада набору данных не только оценивает полный спектр, но и дает разумные оценки ошибок.^[20]

Оценка мультифрактального масштабирования по подсчету ящиков

Мультифрактальные спектры могут быть определены из подсчет коробок на цифровых изображениях. Сначала выполняется сканирование с подсчетом ящиков, чтобы определить, как распределены пиксели; затем это «массовое распределение» становится основой для серии расчетов.^[21][22][23] Основная идея состоит в том, что для мультифракталов вероятность ${displaystyle P}$ количества пикселей ${displaystyle m}$, появляющийся в коробке ${displaystyle i}$, зависит от размера коробки ${displaystyle epsilon }$, до некоторой степени ${displaystyle alpha }$, который меняется на изображении, как в Уравнение.0.0 (NB: Для монофракталов, напротив, показатель степени не изменяется значимо по набору). ${displaystyle P}$ вычисляется из распределения пикселей с подсчетом ящиков, как в Уравнение 2.0.

${displaystyle P_{[i,epsilon ]}varpropto epsilon ^{-alpha _{i}} herefore alpha _{i}varpropto {frac {log {P_{[i,epsilon ]}}}{log {epsilon ^{-1}}}}}$

(Уравнение.0.0)

${displaystyle epsilon }$ = произвольный масштаб (размер коробки при подсчете коробок), на котором исследуется набор

${displaystyle i}$ = индекс для каждого блока, наложенного на набор для ${displaystyle epsilon }$

${displaystyle m_{[i,epsilon ]}}$ = количество пикселей или масса в любой коробке, ${displaystyle i}$, по размеру ${displaystyle epsilon }$

${displaystyle N_{epsilon }}$ = общее количество блоков, содержащих более 0 пикселей, для каждого ${displaystyle epsilon }$

${displaystyle M_{epsilon }=sum _{i=1}^{N_{epsilon }}m_{[i,epsilon ]}=}$ общая масса или сумма пикселей во всех полях для этого ${displaystyle epsilon }$

(Уравнение 1.0)

${displaystyle P_{[i,epsilon ]}={frac {m_{[i,epsilon ]}}{M_{epsilon }}}=}$ вероятность этой массы при ${displaystyle i}$ относительно общей массы для размера коробки

(Уравнение 2.0)

${displaystyle P}$ используется для наблюдения за поведением распределения пикселей при определенном искажении, как в Уравнение 3.0 и Уравнение 3.1:

${displaystyle Q}$ = произвольный диапазон значений для использования в качестве показателей для искажения набора данных

${displaystyle I_{{(Q)}_{[epsilon ]}}=sum _{i=1}^{N_{epsilon }}{P_{[i,epsilon ]}^{Q}}=}$ сумма всех вероятностей масс, искаженная при увеличении до этого Q, для этого размера коробки

(Уравнение 3.0)

• Когда ${displaystyle Q=1}$, Уравнение 3.0 равно 1, обычной сумме всех вероятностей, а когда ${displaystyle Q=0}$, каждый член равен 1, поэтому сумма равна количеству подсчитанных коробок, ${displaystyle N_{epsilon }}$.

${displaystyle mu _{{(Q)}_{[i,epsilon ]}}={frac {P_{[i,epsilon ]}^{Q}}{I_{{(Q)}_{[epsilon ]}}}}=}$ как вероятность искаженной массы в коробке сравнивается с искаженной суммой по всем коробкам при этом размере коробки

(Уравнение 3.1)

Эти искажающие уравнения далее используются для выяснения того, как набор ведет себя при масштабировании, разрешении или разделении на серию ${displaystyle epsilon }$-размерные части и искажены на Q, чтобы найти разные значения для размера набора, как показано ниже:

• Важная особенность Уравнение 3.0 в том, что он также может варьироваться в зависимости от масштаба, возведенного в степень ${displaystyle au }$ в Уравнение 4.0:

${displaystyle I_{{(Q)}_{[epsilon ]}}varpropto epsilon ^{ au _{(Q)}}}$

(Уравнение 4.0)

Таким образом, ряд значений для ${displaystyle au _{(Q)}}$ можно найти из наклонов линии регрессии для журнала Уравнение 3.0 по сравнению с журналом ${displaystyle epsilon }$ для каждого ${displaystyle Q}$, на основе Уравнение 4.1:

${displaystyle au _{(Q)}={lim _{epsilon o 0}{left[{frac {log {I_{{(Q)}_{[epsilon ]}}}}{log {epsilon }}}ight]}}}$

(Уравнение 4.1)

• Для обобщенного измерения:

${displaystyle D_{(Q)}={lim _{epsilon o 0}{left[{frac {log {I_{{(Q)}_{[epsilon ]}}}}{log {epsilon ^{-1}}}}ight]}}{(1-Q)^{-1}}}$

(Уравнение 5.0)

${displaystyle D_{(Q)}={frac { au _{(Q)}}{Q-1}}}$

(Уравнение 5.1)

${displaystyle au _{{(Q)}_{}}=D_{(Q)}left(Q-1ight)}$

(Уравнение 5.2)

${displaystyle au _{(Q)}=alpha _{(Q)}Q-f_{left(alpha _{(Q)}ight)}}$

(Уравнение 5.3)

• ${displaystyle alpha _{(Q)}}$ оценивается как наклон линии регрессии для журнал A_{${displaystyle epsilon }$, Q} против бревно ${displaystyle epsilon }$ куда:

${displaystyle A_{epsilon ,Q}=sum _{i=1}^{N_{epsilon }}{mu _{{i,epsilon }_{Q}}{P_{{i,epsilon }_{Q}}}}}$

(Уравнение 6.0)

• потом ${displaystyle f_{left(alpha _{(Q)}ight)}}$ находится из Уравнение 5.3.

• Значение ${displaystyle au _{(Q)}}$ оценивается как наклон линии логарифмической регрессии для ${displaystyle au _{{(Q)}_{[epsilon ]}}}$ против ${displaystyle epsilon }$, куда:

${displaystyle au _{(Q)_{[epsilon ]}}={frac {sum _{i=1}^{N_{epsilon }}{P_{[i,epsilon ]}^{Q-1}}}{N_{epsilon }}}}$

(Уравнение 6.1)

На практике распределение вероятностей зависит от того, как производится выборка набора данных, поэтому были разработаны алгоритмы оптимизации для обеспечения адекватной выборки.^[21]

Приложения

Мультифрактальный анализ успешно используется во многих областях, включая физические, информационные и биологические науки.^[24] Например, количественная оценка остаточных трещин на поверхности железобетонных стен с поперечным смещением.^[25]

Анализ искажения набора данных

Мультифрактальный анализ аналогичен просмотру набора данных через серию искажающих линз для выявления различий в масштабировании. Показанный образец представляет собой Карта Энона.

Мультифрактальный анализ использовался в нескольких научных областях для характеристики различных типов наборов данных.^[26][4][7] По сути, мультифрактальный анализ применяет искажающий фактор к наборам данных, извлеченным из шаблонов, чтобы сравнить, как данные ведут себя при каждом искажении. Это делается с помощью графиков, известных как мультифрактальные спектры, аналогично просмотру набора данных через "искажающую линзу", как показано на иллюстрация.^[21] На практике используются несколько типов мультифрактальных спектров.

D_Q против Q

D_Q vs Q-спектры для нефрактального круга (размерность отсчета эмпирического ящика = 1.0), монофрактальный Квадрический крест (размерность подсчета эмпирического ящика = 1,49) и мультифрактальная Карта Энона (Эмпирический размер подсчета коробки = 1,29).

Одним из практических мультифрактальных спектров является график D_Q vs Q, где D_Q это обобщенное измерение для набора данных, а Q - произвольный набор показателей. Выражение обобщенное измерение таким образом, относится к набору измерений для набора данных (подробные вычисления для определения обобщенного измерения с использованием подсчет коробок описаны ниже ).

Порядок размеров

Общий вид графика D_Q vs Q можно использовать для оценки масштабирования в шаблоне. График обычно уменьшается, сигмоидальный около Q = 0, где D_{(Q = 0)} ≥ D_{(Q = 1)} ≥ D_{(Q = 2)}. Как показано в фигура, вариации в этом графическом спектре могут помочь различать закономерности. Изображение показывает D_(Q) спектры мультифрактального анализа бинарных изображений не-, моно- и мультифрактальных множеств. Как и в случае с образцами изображений, не- и монофракталы имеют тенденцию к более плоской D_(Q) спектры, чем мультифракталы.

Обобщенное измерение также дает важную конкретную информацию. D_{(Q = 0)} равно измерение емкости, что - в анализе, показанном на рисунках, - является размер подсчета коробки. D_{(Q = 1)} равно информационное измерение, а D_{(Q = 2)} к измерение корреляции. Это относится к «мульти» в мультифрактале, где мультифракталы имеют несколько измерений в D_(Q) в сравнении с Q-спектрами, но монофракталы в этой области остаются довольно плоскими.^[21][22]

${displaystyle f(alpha )}$ против ${displaystyle alpha }$

Еще один полезный мультифрактальный спектр - это график ${displaystyle f(alpha )}$ против ${displaystyle alpha }$ (видеть расчеты ). Эти графики обычно достигают максимума, который приблизительно соответствует фрактальная размерность при Q = 0, а затем упадут. Понравилось_Q в сравнении со спектрами Q они также показывают типичные паттерны, полезные для сравнения нефрактальных, монофрактальных и мультифрактальных паттернов. В частности, для этих спектров не- и монофракталы сходятся на определенных значениях, тогда как спектры от мультифрактальных паттернов обычно образуют горбы на более широкой площади.

Обобщенные измерения распределения численности видов в космосе

Одно применение D_q по сравнению с Q в экологии характеризует распространение видов. Традиционно относительная численность видов рассчитывается для площади без учета местонахождения особей. Эквивалентным представлением относительной численности видов являются ранги видов, используемые для создания поверхности, называемой поверхностью видового ранга,^[27] которые можно проанализировать с использованием обобщенных измерений для обнаружения различных экологических механизмов, подобных тем, которые наблюдаются в нейтральная теория биоразнообразия, динамика метасообщества, или же теория ниши.^[27][28]

Смотрите также

• Дробное броуновское движение
• Анализ колебаний без тренда
• Распределения твиди
• Марковский переключающий мультифрактал
• Взвешенная планарная стохастическая решетка (WPSL) ^[29]

Рекомендации

1. Харт, Дэвид (2001). Мультифракталы. Лондон: Чепмен и Холл. ISBN  978-1-58488-154-4.
2. Иванов, Пламен Ч .; Амарал, Луис А. Нуньес; Goldberger, Ary L .; Хавлин, Шломо; Розенблюм, Майкл Дж .; Struzik, Zbigniew R .; Стэнли, Х. Юджин (1999-06-03). «Мультифрактальность в динамике сердцебиения человека». Природа. 399 (6735): 461–465. arXiv:cond-mat / 9905329. Дои:10.1038/20924. ISSN  0028-0836. PMID  10365957. S2CID  956569.
3. Саймон, Шелдон Р .; Павел, Игорь Л .; Мансур, Джозеф; Манро, Майкл; Абернети, Питер Дж .; Радин, Эрик Л. (январь 1981 г.). «Пиковая динамическая сила в походке человека». Журнал биомеханики. 14 (12): 817–822. Дои:10.1016/0021-9290(81)90009-9. PMID  7328088.
4. Франса, Лукас Габриэль Соуза; Монтойя, Педро; Миранда, Хосе Гарсиа Вивас (2019). «О мультифракталах: нелинейное исследование данных актиграфии». Physica A: Статистическая механика и ее приложения. 514: 612–619. arXiv:1702.03912. Дои:10.1016 / j.physa.2018.09.122. ISSN  0378-4371. S2CID  18259316.
5. Папо, Дэвид; Гоньи, Хоакин; Булду, Хавьер М. (2017). «От редакции: О связи динамики и структуры в сетях мозга». Хаос: междисциплинарный журнал нелинейной науки. 27 (4): 047201. Bibcode:2017Хаос..27d7201P. Дои:10.1063/1.4981391. ISSN  1054-1500. PMID  28456177.
6. Ciuciu, Philippe; Вароко, Гаэль; Абри, Патрис; Садагиани, Сепидех; Кляйншмидт, Андреас (2012). «Безмасштабные и мультифрактальные свойства сигналов фМРТ во время отдыха и выполнения задания». Границы физиологии. 3: 186. Дои:10.3389 / fphys.2012.00186. ISSN  1664-042X. ЧВК  3375626. PMID  22715328.
7. Франса, Лукас Г. Соуза; Миранда, Хосе Г. Вивас; Лейте, Марко; Шарма, Нирадж К .; Уокер, Мэтью С .; Лемье, Луи; Ван, Юйцзян (2018). «Фрактальные и мультифрактальные свойства электрографических записей активности мозга человека: на пути к их использованию в качестве сигнального признака для машинного обучения в клинических приложениях». Границы физиологии. 9: 1767. arXiv:1806.03889. Bibcode:2018arXiv180603889F. Дои:10.3389 / fphys.2018.01767. ISSN  1664-042X. ЧВК  6295567. PMID  30618789.
8. Ihlen, Espen A. F .; Верейкен, Беатрикс (2010). «Взаимодействие-доминирующая динамика в человеческом познании: за пределами 1 / α колебания». Журнал экспериментальной психологии: Общие. 139 (3): 436–463. Дои:10.1037 / a0019098. ISSN  1939-2222. PMID  20677894.
9. Чжан, Яньли; Чжоу, Вэйдун; Юань, Шаша (2015). «Мультифрактальный анализ и автоматическое обнаружение припадков на основе вектора релевантности в интракраниальной ЭЭГ». Международный журнал нейронных систем. 25 (6): 1550020. Дои:10.1142 / s0129065715500203. ISSN  0129-0657. PMID  25986754.
10. Сосунок, Джон; Wink, Alle Meije; Бернард, Фредерик А .; Барнс, Анна; Буллмор, Эдвард (2008). «Эндогенная мультифрактальная динамика мозга регулируется возрастом, холинергической блокадой и когнитивными способностями». Журнал методов неврологии. 174 (2): 292–300. Дои:10.1016 / j.jneumeth.2008.06.037. ISSN  0165-0270. ЧВК  2590659. PMID  18703089.
11. Зорик, Тодд; Манделькерн, Марк А. (03.07.2013). «Мультифрактальный флуктуационный анализ ЭЭГ человека без тренда: предварительное исследование и сравнение с методом максимума модуля вейвлет-преобразования». PLOS ONE. 8 (7): e68360. Bibcode:2013PLoSO ... 868360Z. Дои:10.1371 / journal.pone.0068360. ISSN  1932-6203. ЧВК  3700954. PMID  23844189.
12. Гастон, Кевин Дж .; Ричард Ингер; Бенни, Джонатан; Дэвис, Томас В. (24 апреля 2013 г.). «Искусственный свет изменяет естественные режимы яркости ночного неба». Научные отчеты. 3: 1722. Bibcode:2013НатСР ... 3Э1722Д. Дои:10.1038 / srep01722. ISSN  2045-2322. ЧВК  3634108.
13. Кендал, WS; Йоргенсен, BR (2011). "Твидовая конвергенция: математическая основа степенного закона Тейлора, 1 / f шум и мультифрактальность ». Phys. Ред. E. 84 (6 Пт 2): 066120. Bibcode:2011PhRvE..84f6120K. Дои:10.1103 / Physreve.84.066120. PMID  22304168.
14. Йоргенсен, B; Коконенджи, CC (2011). «Дисперсионные модели геометрических сумм». Braz J Probab Stat. 25 (3): 263–293. Дои:10.1214 / 10-bjps136.
15. Кендал, WS (2014). «Мультифрактальность, приписываемая двойным центральным предельным эффектам сходимости». Physica A. 401: 22–33. Bibcode:2014PhyA..401 ... 22K. Дои:10.1016 / j.physa.2014.01.022.
16. Lopes, R .; Бетруни, Н. (2009). «Фрактальный и мультифрактальный анализ: обзор». Анализ медицинских изображений. 13 (4): 634–649. Дои:10.1016 / j.media.2009.05.003. PMID  19535282.
17. Морено, П. А .; Велес, П. Э .; Martínez, E .; Garreta, L.E .; Díaz, N. S .; Amador, S .; Тишер, I .; Gutiérrez, J.M .; Naik, A. K .; Tobar, F. N .; Гарсия, Ф. (2011). «Геном человека: мультифрактальный анализ». BMC Genomics. 12: 506. Дои:10.1186/1471-2164-12-506. ЧВК  3277318. PMID  21999602.
18. Atupelage, C .; Nagahashi, H .; Yamaguchi, M .; Сакамото, М .; Хасигучи, А. (2012). «Дескриптор мультифрактального признака для гистопатологии». Аналитическая клеточная патология. 35 (2): 123–126. Дои:10.1155/2012/912956. ЧВК  4605731. PMID  22101185.
19. А.Дж. Робертс и А. Кронин (1996). «Беспристрастная оценка мультифрактальной размерности конечных наборов данных». Physica A. 233 (3): 867–878. arXiv:chao-dyn / 9601019. Bibcode:1996PhyA..233..867R. Дои:10.1016 / S0378-4371 (96) 00165-3.
20. Робертс, А. Дж. (7 августа 2014 г.). «Мультифрактальная оценка - максимальная вероятность». Университет Аделаиды. Получено 4 июн 2019.
21. Карпериен, А (2002), Что такое мультифракталы?, ImageJ, в архиве с оригинала от 10.02.2012, получено 2012-02-10
22. Chhabra, A .; Дженсен, Р. (1989). «Прямое определение спектра особенностей f (α)». Письма с физическими проверками. 62 (12): 1327–1330. Bibcode:1989ПхРвЛ..62.1327С. Дои:10.1103 / PhysRevLett.62.1327. PMID  10039645.
23. Посадас, А. Н. Д .; Giménez, D .; Bittelli, M .; Vaz, C.M.P .; Флури, М. (2001). «Мультифрактальная характеристика распределения почвенных частиц по размерам». Журнал Общества почвоведов Америки. 65 (5): 1361. Bibcode:2001SSASJ..65.1361P. Дои:10.2136 / sssaj2001.6551361x.
24. Lopes, R .; Бетруни, Н. (2009). «Фрактальный и мультифрактальный анализ: обзор». Анализ медицинских изображений. 13 (4): 634–649. Дои:10.1016 / j.media.2009.05.003. PMID  19535282.
25. Эбрагимханлу, Арвин; Фархидзаде, Алиреза; Саламоне, Сальваторе (01.01.2016). «Мультифрактальный анализ трещин в железобетонных стенах сдвига». Структурный мониторинг здоровья. 15 (1): 81–92. Дои:10.1177/1475921715624502. ISSN  1475-9217. S2CID  111619405.
26. Trevino, J .; Liew, S. F .; Но, H .; Cao, H .; Даль Негро, Л. (2012). «Геометрическая структура, мультифрактальные спектры и локализованные оптические моды апериодических спиралей Фогеля». Оптика Экспресс. 20 (3): 3015–33. Bibcode:2012OExpr..20.3015T. Дои:10.1364 / OE.20.003015. PMID  22330539.
27. Саравиа, Леонардо А. (2015-08-01). «Новый метод анализа численности видов в космосе с использованием обобщенных измерений». Методы в экологии и эволюции. 6 (11): 1298–1310. Дои:10.1111 / 2041-210X.12417. ISSN  2041–210X.
28. Саравиа, Леонардо А. (01.01.2014). «mfSBA: Мультифрактальный анализ пространственных закономерностей в экологических сообществах». F1000 Исследования. 3: 14. Дои:10.12688 / f1000research.3-14.v2. ЧВК  4197745. PMID  25324962.
29. Hassan, M. K .; Hassan, M. Z .; Павел, Н. И. (2010). «Безмасштабная топология сети и мультифрактальность в взвешенной планарной стохастической решетке». Новый журнал физики. 12 (9): 093045. arXiv:1008.4994. Bibcode:2010NJPh ... 12i3045H. Дои:10.1088/1367-2630/12/9/093045. S2CID  1934801.

дальнейшее чтение

• Венециано, Даниэле; Эссиам, Альберт К. (1 июня 2003 г.). «Течение пористой среды с мультифрактальной гидравлической проводимостью». Исследование водных ресурсов. 39 (6): 1166. Bibcode:2003WRR .... 39.1166V. Дои:10.1029 / 2001WR001018. ISSN  1944-7973.

внешняя ссылка

• Стэнли Х.Э., Микин П. (1988). «Мультифрактальные явления в физике и химии» (Рассмотрение). Природа. 335 (6189): 405–9. Bibcode:1988Натура.335..405С. Дои:10.1038 / 335405a0. S2CID  4318433.
• Арнеодо, Ален; Аудит, Бенджамин; Кестенер, Пьер; Ру, Стефан (2008). «Мультифрактальный анализ на основе вейвлетов». Scholarpedia. 3 (3): 4103. Bibcode:2008SchpJ ... 3.4103A. Дои:10.4249 / scholarpedia.4103. ISSN  1941-6016.
• Фильмы визуализаций мультифракталов