Tricorn (математика) - Tricorn (mathematics)

Треугольник, созданный на компьютере в C.

Мультикорны мощностью от 2 до 5

В математика, то треуголка, иногда называемый Набор Мандельбара, это фрактал определяется аналогично Набор Мандельброта, но используя отображение ${displaystyle zmapsto {ar {z}}^{2}+c}$ вместо ${displaystyle zmapsto z^{2}+c}$ используется для набора Мандельброта. Его представили У. Д. Кроу, Р. Хассон, П. Дж. Риппон и П. Э. Д. Стрейн-Кларк.^[1] Джон Милнор нашел треугольные наборы в качестве прототипа конфигурации в пространстве параметров вещественных кубических многочленов и в различных других семействах рациональных отображений.^[2]

Характерная треугольная форма, созданная этим фракталом, повторяется с вариациями в разных масштабах, демонстрируя тот же вид самоподобие как множество Мандельброта. В дополнение к меньшим треугольникам, меньшие версии множества Мандельброта также содержатся во фрактале треугольника.

Формальное определение

Треуголка ${displaystyle T}$ определяется семейством квадратичных антиголоморфный многочлены

${displaystyle f_{c}:mathbb {C} o mathbb {C} }$

данный

${displaystyle f_{c}:zmapsto {ar {z}}^{2}+c,}$

куда ${displaystyle c}$ - сложный параметр. Для каждого ${displaystyle c}$, смотрит на переднюю орбиту

${displaystyle (0,f_{c}(0),f_{c}(f_{c}(0)),f_{c}(f_{c}(f_{c}(0))),ldots )}$

из критическая точка ${displaystyle 0}$ антиголоморфного многочлена ${displaystyle p_{c}}$. По аналогии с Набор Мандельброта, треугольник определяется как набор всех параметров ${displaystyle c}$ для которых прямая орбита критической точки ограничена. Это равносильно утверждению, что треугольник является местом связности семейства квадратичных антиголоморфных многочленов; т.е. набор всех параметров ${displaystyle c}$ для чего Юля набор ${displaystyle J(f_{c})}$ подключен.

Аналоги треугольника высшей степени известны как мультикороги.^[3] Это локусы связности семейства антиголоморфных многочленов ${displaystyle f_{c}:zmapsto {ar {z}}^{d}+c}$.

Основные свойства

• Треугольник компактный, и связаны.^[4] Фактически, Накане модифицировал Дуади и Хаббард доказательство связности Набор Мандельброта построить динамически определяемый аналитический диффеоморфизм с внешней стороны треуголки на внешнюю сторону закрыто единичный диск в комплексная плоскость. Можно определить лучи внешних параметров треугольника как прообразы радиальные линии при этом диффеоморфизме.
• Каждая гиперболическая составляющая треугольника односвязный.^[3]
• Граница каждой гиперболической компоненты нечетного периода треугольника содержит вещественно-аналитические дуги, состоящие из квазиконформно эквивалентных, но конформно различных параболических параметров.^[5][6] Такая дуга называется параболической дугой треугольника. Это резко контрастирует с соответствующей ситуацией для множества Мандельброта, где параболические параметры данного периода, как известно, изолированы.
• Граница каждой гиперболической компоненты с нечетным периодом состоит только из параболических параметров. Точнее, граница каждой гиперболической компоненты нечетного периода треугольника представляет собой простую замкнутую кривую, состоящую ровно из трех параболических точек возврата, а также трех параболических дуг, каждая из которых соединяет два параболических каспа.^[6]
• Каждая параболическая дуга периода k имеет на обоих концах интервал положительной длины, на котором происходит бифуркация от гиперболической составляющей нечетного периода k к гиперболической составляющей периода 2k.

Выполнение

Приведенная ниже реализация псевдокода жестко кодирует сложные операции для Z. Рассмотрите возможность реализации комплексное число операций, чтобы обеспечить более динамичный и повторно используемый код.

Для каждого пикселя (x, y) на экране выполните: {x = масштабированная координата x пикселя (масштабированная, чтобы лежать в масштабе Мандельброта X (-2,5, 1)) y = масштабированная координата y пикселя (масштабированная, чтобы лежать в шкала Мандельброта Y (-1, 1)) zx = x; // zx представляет действительную часть z zy = y; // zy представляет мнимую часть z итерации = 0 max_iteration = 1000 while (zx * zx + zy * zy <4 И итерация 

Дополнительные топологические свойства

Треугольник не связан по пути.^[5] Хаббард и Шлейхер показали, что существуют гиперболические компоненты нечетного периода треугольника, которые не могут быть соединены путями с гиперболической составляющей периода один.

Хорошо известно, что каждый луч рациональных параметров множества Мандельброта попадает в один параметр.^[7][8] С другой стороны, лучи с рациональными параметрами при нечетно-периодических (кроме периода один) углах треугольника накапливаются на дугах положительной длины, состоящих из параболических параметров.^[9]

Рекомендации

1. Crowe, W. D .; Hasson, R .; Риппон, П. Дж .; Стрейн-Кларк, П. Э. Д. (1 января 1989 г.). «О структуре множества Мандельбара». Нелинейность. 2 (4): 541. Bibcode:1989Не ... 2..541C. Дои:10.1088/0951-7715/2/4/003.
2. Милнор, Джон (1 января 1992 г.). «Замечания о повторных кубических картах». Экспериментальная математика. 1 (1): 5–24. Получено 6 мая 2017 - через Project Euclid.
3. Накане, Шизуо; Шлейхер, Дирк (1 октября 2003 г.). «О мультикорнах и единорогах i: антиголоморфная динамика, гиперболические компоненты и вещественные кубические многочлены». Международный журнал бифуркаций и хаоса. 13 (10): 2825–2844. Bibcode:2003IJBC ... 13.2825N. CiteSeerX  10.1.1.32.4046. Дои:10.1142 / S0218127403008259.
4. Наканэ, Шизуо (1 июня 1993 г.). «Связность треугольника». Эргодическая теория и динамические системы. 13 (2): 349–356. Дои:10.1017 / S0143385700007409. Получено 6 мая 2017.
5. «Мультикорны не связаны» (PDF). Math.cornell.edu. Получено 2017-05-06.
6. Мукерджи, Сабьясачи; Накане, Шизуо; Шлейхер, Дирк (1 мая 2017 г.). «О мультикорнах и единорогах II: бифуркации в пространствах антиголоморфных многочленов». Эргодическая теория и динамические системы. 37 (3): 859–899. arXiv:1404.5031. Дои:10.1017 / etds.2015.65.
7. Голдберг, Лиза Р .; Милнор, Джон (1993). «Неподвижные точки полиномиальных карт. Часть II. Портреты с неподвижными точками». Научные Анналы Высшей Нормальной Школы. 26 (1): 51–98. Дои:10.24033 / asens.1667. Получено 6 мая 2017.
8. Милнор, Джон В. (1999). "Периодические орбиты, внешние лучи и множество Мандельброта: пояснительный счет". arXiv:математика / 9905169.
9. Иноу, Хироюки; Мукерджи, Сабьясачи (2015). «Непосадочные параметры лучей мультикорогов». Inventiones Mathematicae. 204 (3): 869–893. arXiv:1406.3428. Bibcode:2016InMat.204..869I. Дои:10.1007 / s00222-015-0627-3.