Самоподобие - Self-similarity - Wikipedia

А Кривая Коха имеет бесконечно повторяющееся самоподобие при увеличении.

Стандартное (тривиальное) самоподобие.^[1]

В математика, а самоподобный объект точно или приблизительно похожий части самого себя (т.е. целое имеет ту же форму, что и одна или несколько частей). Многие объекты в реальном мире, например береговые линии, статистически самоподобны: части из них демонстрируют одинаковые статистические свойства на многих масштабах.^[2] Самоподобие - типичное свойство фракталы. Масштабная инвариантность является точной формой самоподобия, когда при любом увеличении есть меньшая часть объекта, которая похожий в целом. Например, сторона Коха снежинка оба симметричный и масштабно-инвариантный; его можно постоянно увеличивать в 3 раза без изменения формы. Нетривиальное сходство, очевидное во фракталах, отличается их тонкой структурой или деталями на сколь угодно малых масштабах. Как контрпример, тогда как любая часть прямая линия может походить на целое, дальнейшие подробности не раскрываются.

Говорят, что явление, развивающееся во времени, проявляет самоподобие, если численное значение некоторой наблюдаемой величины ${\displaystyle f(x,t)}$ измеренные в разное время различаются, но соответствующая безразмерная величина при данном значении ${\displaystyle x/t^{z}}$ остаются неизменными. Бывает, если количество ${\displaystyle f(x,t)}$ экспонаты динамическое масштабирование. Идея является просто продолжением идеи подобия двух треугольников.^[3][4][5] Обратите внимание, что два треугольника подобны, если числовые значения их сторон различаются, однако соответствующие безразмерные величины, такие как их углы, совпадают.

Peitgen и другие. объясните концепцию как таковую:

Если части фигуры являются небольшими копиями целого, фигура называется самоподобный.... Цифра строго самоподобный если фигура может быть разложена на части, которые являются точными копиями целого. Любая произвольная часть содержит точную копию всей фигуры.^[6]

Поскольку математически фрактал может показывать самоподобие при неопределенном увеличении, физически воссоздать это невозможно. Peitgen и другие. предлагаем изучить самоподобие с помощью приближений:

Чтобы придать операциональный смысл свойству самоподобия, мы обязательно ограничены рассмотрением конечных приближений к предельной фигуре. Это делается с помощью метода, который мы назовем коробчатым самоподобием, при котором измерения производятся на конечных этапах фигуры с использованием сеток различных размеров.^[7]

Этот словарь был введен Бенуа Мандельбротом в 1964 году.^[8].

Собственность

Самоаффинный фрактал с Хаусдорфово измерение =1.8272.

В математика, привязанность к себе это особенность фрактал чьи части масштабированный на разную величину в направлениях x и y. Это означает, что, чтобы оценить самоподобие этих фрактальных объектов, их необходимо масштабировать с помощью анизотропный аффинное преобразование.

Определение

А компактный топологическое пространство Икс самоподобен, если существует конечный набор S индексирование набора не-сюръективный гомеоморфизмы ${\displaystyle \{f_{s}:s\in S\}}$ для которого

${\displaystyle X=\bigcup _{s\in S}f_{s}(X)}$

Если ${\displaystyle X\subset Y}$, мы называем Икс самоподобный, если он единственный непустой подмножество из Y такое, что уравнение выше справедливо для ${\displaystyle \{f_{s}:s\in S\}}$. Мы называем

${\displaystyle {\mathfrak {L}}=(X,S,\{f_{s}:s\in S\})}$

а самоподобная структура. Гомеоморфизмы могут быть повторяется, в результате чего система повторяющихся функций. Композиция функций создает алгебраическую структуру моноид. Когда набор S состоит только из двух элементов, моноид известен как диадический моноид. Диадический моноид можно представить как бесконечный двоичное дерево; в более общем случае, если набор S имеет п элементов, то моноид можно представить в виде p-адический дерево.

В автоморфизмы диадического моноида является модульная группа; автоморфизмы можно представить как гиперболические вращения двоичного дерева.

Более общее понятие, чем самоподобие, - Собственность.

Примеры

Самоподобие в Набор Мандельброта показано увеличением точки Фейгенбаума в (−1,401155189 ..., 0)

Образ Папоротник Барнсли который экспонирует аффинный самоподобие

В Набор Мандельброта также самоподобен вокруг Очки Мисюревича.

Самоподобие имеет важные последствия для проектирования компьютерных сетей, поскольку типичный сетевой трафик имеет самоподобные свойства. Например, в инженерия телетрафика, с коммутацией пакетов шаблоны трафика данных кажутся статистически самоподобными.^[9] Это свойство означает, что простые модели, использующие распределение Пуассона являются неточными, а сети, спроектированные без учета самоподобия, могут работать неожиданным образом.

По аналогии, фондовый рынок движения описываются как отображение привязанность к себе, т.е. они кажутся самоподобными при преобразовании с помощью соответствующего аффинное преобразование для отображаемого уровня детализации.^[10] Эндрю Ло описывает самоподобие доходности журнала фондового рынка в эконометрика.^[11]

Правила конечного деления являются мощной техникой для построения самоподобных наборов, включая Кантор набор и Треугольник Серпинского.

Треугольник, многократно разделенный с помощью барицентрическое подразделение. Дополнение больших кругов становится Ковер Серпинского

В кибернетика

В Модель жизнеспособной системы из Стаффорд пиво - это организационная модель с аффинной самоподобной иерархией, в которой данная жизнеспособная система является одним из элементов первой системы жизнеспособной системы на один рекурсивный уровень выше, и для которой элементы ее Системы Один являются жизнеспособными системами на один рекурсивный уровень ниже. вниз.

В природе

Крупный план Романеско брокколи.

Дальнейшая информация: Узоры в природе

Самоподобие можно найти и в природе. Справа - математически сформированное, совершенно самоподобное изображение папоротник, который очень похож на натуральный папоротник. Другие растения, такие как Романеско брокколи, демонстрируют сильное самоподобие.

В музыке

• Строгий каноны отображать различные типы и степени самоподобия, как и разделы фуги.
• А Тон Шепарда самоподобен в области частот или длин волн.
• В Датский композитор Пер Норгард использовал самоподобный целочисленная последовательность в большей части своей музыки назвал «бесконечную серию».
• В области исследований поиск музыкальной информации Самоподобие обычно относится к тому факту, что музыка часто состоит из частей, которые повторяются во времени.^[12] Другими словами, музыка самоподобна при временном преобразовании, а не при масштабировании (или в дополнение к нему).^[13]

Смотрите также

• Эффект Дросте
• Золотое сечение
• Дальняя зависимость
• Необоснованная теория множеств
• Рекурсия
• Самостоятельная непохожесть
• Самостоятельная ссылка
• Самовоспроизведение
• Самоподобие анализа сетевых данных
• Терагон
• Мозаика
• Распределения твиди
• Закон Ципфа

Рекомендации

1. Мандельброт, Бенуа Б. (1982). Фрактальная геометрия природы, стр.44. ISBN  978-0716711865.
2. Мандельброт, Бенуа Б. (5 мая 1967 г.). «Какова длина побережья Британии? Статистическое самоподобие и дробное измерение». Наука. Новая серия. 156 (3775): 636–638. Bibcode:1967Научный ... 156..636М. Дои:10.1126 / science.156.3775.636. PMID  17837158. S2CID  15662830. PDF
3. Хасан М. К., Хасан М. З., Павел Н. И. (2011). «Динамическое масштабирование, коллапс данных и самоподобие в сетях Барабаши-Альберта». J. Phys. A: Математика. Теор. 44 (17): 175101. arXiv:1101.4730. Bibcode:2011JPhA ... 44q5101K. Дои:10.1088/1751-8113/44/17/175101. S2CID  15700641.
4. Хасан М. К., Хассан М. З. (2009). «Возникновение фрактального поведения в конденсационной агрегации». Phys. Ред. E. 79 (2): 021406. arXiv:0901.2761. Bibcode:2009PhRvE..79b1406H. Дои:10.1103 / Physreve.79.021406. PMID  19391746. S2CID  26023004.
5. Дайин Ф. Р., Хассан М. К. (2016). «Мульти-мультифрактальность, динамическое масштабирование и статистика соседства в взвешенной планарной стохастической решетке». Хаос, солитоны и фракталы. 91: 228. arXiv:1409.7928. Bibcode:2016CSF .... 91..228D. Дои:10.1016 / j.chaos.2016.06.006.
6. Пайтген, Хайнц-Отто; Юргенс, Хартмут; Саупе, Дитмар; Малецкий, Эван; Perciante, Терри; и Юнкер, Ли (1991). Фракталы для класса: стратегические мероприятия, том первый, стр.21. Спрингер-Верлаг, Нью-Йорк. ISBN  0-387-97346-X и ISBN  3-540-97346-X.
7. Пейтген и др. (1991), стр. 2-3.
8. Комментарий j'ai découvert les фракталы, Интервью Бенуа Мандельбро, La Recherche https://www.larecherche.fr/math%C3%A9matiques-histoire-des-sciences/%C2%AB-comment-jai-d%C3%A9couvert-les-fractales-%C2%BB
9. Leland, W.E .; Taqqu, M.S .; и другие. (Январь 1995 г.). «О самоподобности Ethernet-трафика (расширенная версия)» (PDF). Транзакции IEEE / ACM в сети. 2 (1): 1–15. Дои:10.1109/90.282603. S2CID  6011907.
10. Бенуа Мандельброт (Февраль 1999 г.). «Как фракталы могут объяснить, что не так с Уолл-стрит». Scientific American.
11. Кэмпбелл, Ло и Маккинли (1991) "Эконометрика финансовых рынков », Princeton University Press! ISBN  978-0691043012
12. Фут, Джонатан (30 октября 1999 г.). «Визуализация музыки и звука с использованием самоподобия». Материалы седьмой международной конференции ACM по мультимедиа (Часть 1) - MULTIMEDIA '99 (PDF). Мультимедиа '99 Материалы седьмой Международной конференции ACM по мультимедиа (Часть 1). С. 77–80. CiteSeerX  10.1.1.223.194. Дои:10.1145/319463.319472. ISBN  978-1581131512. S2CID  3329298. В архиве (PDF) из оригинала от 9 августа 2017 года.
13. Парейон, Габриэль (апрель 2011 г.). О музыкальном самоподобии: интерсемиоз как синекдоха и аналогия (PDF). Международный институт семиотики в Иматре; Семиотическое общество Финляндии. п. 240. ISBN  978-952-5431-32-2. Архивировано из оригинал (PDF) 8 февраля 2017 г.. Получено 30 июля 2018. (Также см Google Книги )

внешняя ссылка

• "Медные шевроны" - самоподобный фильм с фрактальным зумом
• «Самоподобие» - Новые статьи о самоподобии. Алгоритм вальса

Собственность

• Мандельброт, Бенуа Б. (1985). «Самоаффинность и фрактальная размерность» (PDF). Physica Scripta. 32 (4): 257–260. Bibcode:1985ФИЗЫ ... 32..257М. Дои:10.1088/0031-8949/32/4/001.
• Сапожников Виктор; Фуфула-Георгиу, Эфи (май 1996 г.). «Самообслуживание в плетеных реках» (PDF). Исследование водных ресурсов. 32 (5): 1429–1439. Дои:10.1029 / 96wr00490. В архиве (PDF) с оригинала 30 июля 2018 г.. Получено 30 июля 2018.
• Бенуа Б. Мандельброт (2002). Самоаффинность по Гауссу и фракталы: глобальность, Земля, шум 1 / F и R / S. ISBN  978-0387989938.