Mandelbulb - Mandelbulb

Воспроизвести медиа

Видео 4K UHD 3D Mandelbulb

А с трассировкой лучей изображение 3D луковицы Мандельбука для итерации v ↦ v⁸ + c

В Mandelbulb это трехмерный фрактал, построенный Дэниелом Уайтом и Полом Нюландером с использованием сферические координаты в 2009.^[1]

А канонический 3-х мерный Набор Мандельброта не существует, так как не существует 3-мерного аналога 2-мерного пространства комплексных чисел. Можно построить множества Мандельброта в 4 измерениях, используя кватернионы и бикомплексные числа.

Формула Уайта и Ниландера для "пя степень "вектора ${\displaystyle \mathbf {v} =\langle x,y,z\rangle }$ в ℝ³ является

${\displaystyle \mathbf {v} ^{n}:=r^{n}\langle \sin(n\theta )\cos(n\phi ),\sin(n\theta )\sin(n\phi ),\cos(n\theta )\rangle ,}$

куда

${\displaystyle r={\sqrt {x^{2}+y^{2}+z^{2}}},}$

${\displaystyle \phi =\arctan {\frac {y}{x}}=\arg(x+yi),}$

${\displaystyle \theta =\arctan {\frac {\sqrt {x^{2}+y^{2}}}{z}}=\arccos {\frac {z}{r}}.}$

В этом случае луковица Мандельброта определяется как совокупность этих ${\displaystyle \mathbf {c} }$ в ℝ³ для чего орбита ${\displaystyle \langle 0,0,0\rangle }$ под итерацией ${\displaystyle \mathbf {v} \mapsto \mathbf {v} ^{n}+\mathbf {c} }$ ограничено.^[2] За п > 3, в результате получится трехмерная луковичная структура с фрактал детализация поверхности и количество «лепестков» в зависимости от п. Многие из их графических изображений используют п = 8. Однако уравнения можно упростить до рациональных многочленов, когда п странно. Например, в случае п = 3, третью степень можно упростить до более элегантный форма:

${\displaystyle \langle x,y,z\rangle ^{3}=\left\langle {\frac {(3z^{2}-x^{2}-y^{2})x(x^{2}-3y^{2})}{x^{2}+y^{2}}},{\frac {(3z^{2}-x^{2}-y^{2})y(3x^{2}-y^{2})}{x^{2}+y^{2}}},z(z^{2}-3x^{2}-3y^{2})\right\rangle .}$

Луковица Мандельброта, заданная приведенной выше формулой, на самом деле является одним из фракталов, заданных параметрами (п, q) предоставлено

${\displaystyle \mathbf {v} ^{n}:=r^{n}\langle \sin(p\theta )\cos(q\phi ),\sin(p\theta )\sin(q\phi ),\cos(p\theta )\rangle .}$

С п и q не обязательно равняться п для идентичности |v^п| = |v|^п держать. Более общие фракталы можно найти, установив

${\displaystyle \mathbf {v} ^{n}:=r^{n}{\big \langle }\sin {\big (}f(\theta ,\phi ){\big )}\cos {\big (}g(\theta ,\phi ){\big )},\sin {\big (}f(\theta ,\phi ){\big )}\sin {\big (}g(\theta ,\phi ){\big )},\cos {\big (}f(\theta ,\phi ){\big )}{\big \rangle }}$

для функций ж и грамм.

Квадратичная формула

Другие формулы происходят от тождеств, параметризующих сумму квадратов, чтобы дать степень суммы квадратов, например

${\displaystyle (x^{2}-y^{2}-z^{2})^{2}+(2xz)^{2}+(2xy)^{2}=(x^{2}+y^{2}+z^{2})^{2},}$

который мы можем рассматривать как способ возвести в квадрат тройку чисел, чтобы возвести в квадрат модуль. Это дает, например,

${\displaystyle x\to x^{2}-y^{2}-z^{2}+x_{0},}$

${\displaystyle y\to 2xz+y_{0},}$

${\displaystyle z\to 2xy+z_{0}}$

или различные другие перестановки. Эту "квадратную" формулу можно применять несколько раз, чтобы получить множество формул степени 2.

Кубическая формула

Кубический фрактал

Другие формулы происходят от тождеств, параметризующих сумму квадратов, чтобы дать степень суммы квадратов, например

${\displaystyle (x^{3}-3xy^{2}-3xz^{2})^{2}+(y^{3}-3yx^{2}+yz^{2})^{2}+(z^{3}-3zx^{2}+zy^{2})^{2}=(x^{2}+y^{2}+z^{2})^{3},}$

который мы можем рассматривать как способ куба тройки чисел так, чтобы модуль был в кубе. Это дает, например,

${\displaystyle x\to x^{3}-3x(y^{2}+z^{2})+x_{0}}$

${\displaystyle y\to -y^{3}+3yx^{2}-yz^{2}+y_{0}}$

${\displaystyle z\to z^{3}-3zx^{2}+zy^{2}+z_{0}}$

или другие перестановки.

Это сводится к сложному фракталу ${\displaystyle w\to w^{3}+w_{0}}$ когда z = 0 и ${\displaystyle w\to {\overline {w}}^{3}+w_{0}}$ когда у = 0.

Есть несколько способов объединить два таких «кубических» преобразования, чтобы получить преобразование в степени 9, которое имеет немного большую структуру.

Квинтик формула

Quintic Mandelbulb

Quintic Mandelbulb с C = 2

Другой способ создать луковицы Мандельбара с кубической симметрией - взять формулу сложной итерации ${\displaystyle z\to z^{4m+1}+z_{0}}$ для некоторого целого числа м и добавление терминов, чтобы сделать его симметричным в 3-х измерениях, но сохраняя поперечные сечения одинаковыми 2-мерными фракталами. (4 исходит из того факта, что ${\displaystyle i^{4}=1}$.) Например, возьмем случай ${\displaystyle z\to z^{5}+z_{0}}$. В двух измерениях, где ${\displaystyle z=x+iy}$, это

${\displaystyle x\to x^{5}-10x^{3}y^{2}+5xy^{4}+x_{0},}$

${\displaystyle y\to y^{5}-10y^{3}x^{2}+5yx^{4}+y_{0}.}$

Затем это можно расширить до трех измерений, чтобы получить

${\displaystyle x\to x^{5}-10x^{3}(y^{2}+Ayz+z^{2})+5x(y^{4}+By^{3}z+Cy^{2}z^{2}+Byz^{3}+z^{4})+Dx^{2}yz(y+z)+x_{0},}$

${\displaystyle y\to y^{5}-10y^{3}(z^{2}+Axz+x^{2})+5y(z^{4}+Bz^{3}x+Cz^{2}x^{2}+Bzx^{3}+x^{4})+Dy^{2}zx(z+x)+y_{0},}$

${\displaystyle z\to z^{5}-10z^{3}(x^{2}+Axy+y^{2})+5z(x^{4}+Bx^{3}y+Cx^{2}y^{2}+Bxy^{3}+y^{4})+Dz^{2}xy(x+y)+z_{0}}$

для произвольных постоянных А, B, C и D, которые дают разные луковицы Манделя (обычно равны 0). Дело ${\displaystyle z\to z^{9}}$ дает Mandelbulb, наиболее похожий на первый пример, где п = 9. Более приятный результат для пятой степени получается при использовании формулы ${\displaystyle z\to -z^{5}+z_{0}}$.

Фрактал на основе z → −z⁵

Формула девяти степеней

Фрактал с z⁹ Сечения Мандельброта

Этот фрактал имеет сечения фрактала Мандельброта степени 9. У него 32 маленькие луковицы, прорастающие из основной сферы. Это определяется, например,

${\displaystyle x\to x^{9}-36x^{7}(y^{2}+z^{2})+126x^{5}(y^{2}+z^{2})^{2}-84x^{3}(y^{2}+z^{2})^{3}+9x(y^{2}+z^{2})^{4}+x_{0},}$

${\displaystyle y\to y^{9}-36y^{7}(z^{2}+x^{2})+126y^{5}(z^{2}+x^{2})^{2}-84y^{3}(z^{2}+x^{2})^{3}+9y(z^{2}+x^{2})^{4}+y_{0},}$

${\displaystyle z\to z^{9}-36z^{7}(x^{2}+y^{2})+126z^{5}(x^{2}+y^{2})^{2}-84z^{3}(x^{2}+y^{2})^{3}+9z(x^{2}+y^{2})^{4}+z_{0}.}$

Эти формулы можно записать короче:

${\displaystyle x\to {\frac {1}{2}}\left(x+i{\sqrt {y^{2}+z^{2}}})^{9}+{\frac {1}{2}}(x-i{\sqrt {y^{2}+z^{2}}}\right)^{9}+x_{0}}$

и то же самое для других координат.

Фрактальная деталь степени девять

Сферическая формула

Идеальную сферическую формулу можно определить как формулу

${\displaystyle (x,y,z)\to {\big (}f(x,y,z)+x_{0},g(x,y,z)+y_{0},h(x,y,z)+z_{0}{\big )},}$

куда

${\displaystyle (x^{2}+y^{2}+z^{2})^{n}=f(x,y,z)^{2}+g(x,y,z)^{2}+h(x,y,z)^{2},}$

куда ж, грамм и час находятся прациональные трехчлены степени th и п целое число. Кубический фрактал выше является примером.

Использование в СМИ

• В компьютерном анимационном фильме 2014 года Большой герой 6, кульминация происходит в середине червоточина, который представлен стилизованным интерьером в виде луковицы Мандельбула.^[3][4]
• В 2018 году научная фантастика ужастик Аннигиляция, внеземное существо появляется в виде частичной луковицы Мандельбула.^[5]
• в веб-комикс Беззвучный Духовное царство керхта представлено стилизованной золотой мандель-луковицей.

Смотрите также

• Mandelbox
• Список фракталов по размерности Хаусдорфа

Рекомендации

1. «Гиперсложные фракталы».
2. "Мандельброта: раскрытие реального трехмерного фрактала Мандельброта". см. раздел "формулы".
3. Десовиц, Билл (30 января 2015 г.). «Погружение в кино: на портале« Большой герой 6 »». Совок анимации. Indiewire. Архивировано из оригинал 3 мая 2015 г.. Получено 3 мая, 2015.
4. Хатчинс, Дэвид; Райли, Олун; Эриксон, Джесси; Стомахин Алексей; Хабель, Ральф; Кашальк, Майкл (2015). «Большой герой 6: В портал». ACM SIGGRAPH 2015 Выступления. СИГГРАФ '15. Нью-Йорк, Нью-Йорк, США: ACM: 52: 1. Дои:10.1145/2775280.2792521. ISBN  9781450336369.
5. Годетт, Эмили (26 февраля 2018 г.). «Что такое Зона X и мерцание в« Аннигиляции »? Супервайзер VFX объясняет математическое решение фильма ужасов». Newsweek. Получено 9 марта, 2018.

внешняя ссылка

• Mandelbulb: The Unraveling of the Real 3D Mandelbrot Fractal, на веб-сайте Дэниела Уайта
• Несколько вариантов лампы Мандельбулба на сайте Пола Ниландера
• Рендерер фракталов с открытым исходным кодом, который можно использовать для создания изображений луковицы Мандельбара.
• Формула для луковицы мандельбульфа / луковицы юлиаба / луковицы юлиуса Жюля Руиса
• Mandelbulb / Juliabulb / Juliusbulb с примерами реальных 3D-объектов
• Видео: вид на мандельбульбу
• Тема обсуждения на Fractalforums.com, которая привела к Мандельбулбу
• Видео пролетают через анимированный мир Мандельбульба