Парадокс береговой линии - Coastline paradox

Пример парадокса береговой линии. Если береговая линия Великобритания измеряется в единицах длиной 100 км (62 мили), тогда длина береговой линии составляет приблизительно 2800 км (1700 миль). С блоками 50 км (31 миль) общая длина составляет примерно 3400 км (2100 миль), что примерно на 600 км (370 миль) больше.

В парадокс береговой линии парадоксальное наблюдение, что береговая линия из суша не имеет четко определенной длины. Это результат фрактальная кривая -подобные свойства береговой линии, то есть тот факт, что береговая линия обычно имеет фрактальная размерность (что фактически делает неприменимым понятие длины). Первое зарегистрированное наблюдение этого явления было сделано Льюис Фрай Ричардсон[1] и он был расширен Бенуа Мандельброт.[2]

Измеренная длина береговой линии зависит от метода, использованного для ее измерения, и степени картографическое обобщение. Поскольку на суше есть объекты любого масштаба, от сотен километров до мельчайших долей миллиметра и ниже, нет очевидного размера мельчайших деталей, которые следует учитывать при измерении, и, следовательно, нет единого четко определенного периметра. на сушу. Различные приближения существуют, когда делаются определенные предположения о минимальном размере элемента.

Проблема в корне отличается от измерения других, более простых краев. Например, можно точно измерить длину прямого идеализированного металлического стержня, используя измерительное устройство, чтобы определить, что длина меньше определенной величины и больше другой величины, то есть измерить ее в пределах определенного степень неопределенности. Чем точнее прибор для измерения, тем точнее будут результаты для истинной длины кромки. Однако при измерении береговой линии более близкое измерение не приводит к увеличению точности - измерение только увеличивается в длине; в отличие от металлического стержня, невозможно получить максимальное значение длины береговой линии.

В трехмерном пространстве парадокс береговой линии легко распространяется на концепцию фрактальные поверхности при этом площадь поверхности меняется в зависимости от разрешения измерения.

Математические аспекты

Основная концепция длина происходит из Евклидово расстояние. В евклидовой геометрии прямая линия представляет собой кратчайшее расстояние между двумя точками. Эта линия имеет только одну длину. На поверхности сферы это заменено на геодезический длина (также называемая большой круг длина), которая измеряется вдоль кривой поверхности, которая существует в плоскости, содержащей как конечные точки, так и центр сферы. В длина основных кривых сложнее, но тоже может быть вычислено. Измеряя линейками, можно приблизительно определить длину кривой, сложив сумму прямых линий, соединяющих точки:

Arclength.svg

Использование нескольких прямых линий для аппроксимации длины кривой даст оценку меньше истинной длины; когда используются все более короткие (и, следовательно, более многочисленные) линии, сумма приближается к истинной длине кривой. Точное значение этой длины можно найти с помощью исчисление, раздел математики, позволяющий вычислять бесконечно малые расстояния. Следующая анимация показывает, как гладкий кривой можно значимо присвоить точную длину:

Длина дуги.gif

Однако не все кривые можно измерить таким способом. А фрактал по определению является кривой, сложность которой изменяется в зависимости от шкалы измерения. Тогда как приближения гладкой кривой иметь тенденцию к одному значению при увеличении точности измерения измеренное значение для фрактала не сходится.

S1
S2
S3
S4
S5
Этот Кривая Серпинского (тип Кривая заполнения пространства ), который повторяет тот же образец во все меньшем и меньшем масштабе, продолжает увеличиваться в длине. Если понимать итерацию в бесконечно подразделенном геометрическом пространстве, его длина стремится к бесконечности. В то же время площадь заключен в кривую делает сходятся к точной фигуре - точно так же, как, аналогично, массив суши площади острова вычислить легче, чем длину его береговой линии.

Поскольку длина фрактальной кривой всегда расходится до бесконечности, если бы кто-то измерил береговую линию с бесконечным или почти бесконечным разрешением, длина бесконечно коротких изломов береговой линии в сумме составила бы бесконечность.[3] Однако этот рисунок основан на предположении, что пространство можно разделить на бесконечно малые участки. Истинность этого предположения, лежащего в основе евклидовой геометрии и служащего полезной моделью в повседневных измерениях, является предметом философских размышлений и может отражать или не отражать изменяющиеся реалии «пространства» и «расстояния» на пространстве. атомный уровень (примерно в масштабе нанометр ). Например, Планковская длина, на много порядков меньше атома, предлагается в качестве наименьшей измеримой единицы во Вселенной.

Береговые линии менее определенны по своей конструкции, чем идеализированные фракталы, такие как Набор Мандельброта потому что они сформированы различными природными явлениями, которые создают закономерности в статистически случайный Таким образом, идеализированные фракталы образуются путем повторения простых шаблонных последовательностей.[4]

Смотрите также

Рекомендации

Цитаты

  1. ^ Вайсштейн, Эрик В. «Парадокс береговой линии». MathWorld.
  2. ^ Мандельброт, Бенуа (1983). Фрактальная геометрия природы. W.H. Фриман и Ко. 25–33. ISBN  978-0-7167-1186-5.
  3. ^ Пост и Эйзен, стр. 550. (см. Ниже)
  4. ^ Хайнц-Отто Пайтген, Хартмут Юргенс, Дитмар Саупе, Хаос и фракталы: новые рубежи науки; Весна 2004 г .; п. 424.

Источники

внешняя ссылка