Система дробного порядка - Fractional-order system - Wikipedia

В областях динамические системы и теория управления, а система дробного порядка представляет собой динамическую систему, которая может быть смоделирована дробное дифференциальное уравнение содержащий производные нецелого порядка.[1] Говорят, что такие системы имеют дробная динамика. Производные и интегралы дробных порядков используются для описания объектов, которые можно охарактеризовать сила закона нелокальность,[2] сила закона дальнодействующая зависимость или же фрактал характеристики. Системы дробного порядка полезны при изучении аномального поведения динамических систем в физике. электрохимия, биология, вязкоупругость и хаотические системы.[1]

Определение

Общая динамическая система дробного порядка может быть записана в виде[3]

куда и являются функциями дробная производная оператор заказов и и и являются функциями времени. Частным частным случаем этого является линейный инвариантный во времени (LTI) в одной переменной:

Заказы и в целом сложные количества, но два интересных случая: когда заказы соразмерный

и когда они тоже рациональный:

Когда , производные имеют целочисленный порядок, и система становится обыкновенное дифференциальное уравнение. Таким образом, за счет увеличения специализации системы LTI могут иметь общий порядок, соразмерный порядок, рациональный порядок или целочисленный порядок.

Функция передачи

Применяя Преобразование Лапласа к системе LTI выше, функция передачи становится

Для общих заказов и это нерациональная передаточная функция. Нерациональные передаточные функции не могут быть записаны в виде разложения конечного числа членов (например, биномиальное разложение будет иметь бесконечное количество членов), и в этом смысле можно сказать, что системы дробных порядков обладают потенциалом неограниченной памяти.[3]

Мотивация к изучению систем дробного порядка

Экспоненциальные законы - это классический подход к изучению динамики плотности населения, но есть много систем, в которых динамика подчиняется более быстрым или медленным, чем экспоненциальным законам. В таком случае аномальные изменения динамики лучше всего описываются Функции Миттаг-Леффлера.[4]

Аномальная диффузия - еще одна динамическая система, в которой системы дробного порядка играют важную роль в описании аномального потока в процессе диффузии.

Вязкоупругость это свойство материала, в котором материал проявляет свою природу между чисто эластичной и чистой жидкостью. В случае реальных материалов соотношение между напряжением и деформацией определяется выражением Закон Гука и Закон Ньютона у обоих есть очевидные недостатки. Так Г. В. Скотт Блэр представил новую взаимосвязь между напряжением и деформацией, определяемую

[нужна цитата ]

В теория хаоса, было замечено, что хаос возникает в динамические системы порядка 3 и более. С введением систем дробного порядка некоторые исследователи изучают хаос в системах общего порядка меньше 3.[5]

Анализ дробно-дифференциальных уравнений

Рассмотрим дробный порядок проблема начального значения:

Существование и уникальность

Здесь, при условии непрерывности функции f, можно преобразовать указанное выше уравнение в соответствующее интегральное уравнение.

Можно построить пространство решений и определить с помощью этого уравнения непрерывное отображение себя на пространстве решений, а затем применить теорема о неподвижной точке, чтобы получить фиксированная точка, которое является решением вышеуказанного уравнения.

Численное моделирование

Для численного моделирования решения вышеуказанных уравнений Кай Дитхельм предложил дробно-линейный многоступенчатый Метод Адамса – Башфорта или же квадратурные методы.[6]

Смотрите также

Рекомендации

  1. ^ а б Монье, Консепсьон А. (2010). Системы дробного порядка и элементы управления: основы и приложения. Springer. ISBN  9781849963350.
  2. ^ Каттани, Карло; Шривастава, Хари М .; Ян, Сяо-Цзюнь (2015). Дробная динамика. Вальтер де Грюйтер КГ. п. 31. ISBN  9783110472097.
  3. ^ а б Vinagre, Blas M .; Monje, C.A .; Кальдерон, Антонио Дж. «Системы дробного порядка и действия по управлению дробным порядком» (PDF). 41-я конференция IEEE по решениям и контролю.
  4. ^ Риверо, М. (2011). «Дробная динамика популяций». Appl. Математика. Вычислить. 218 (3): 1089–95. Дои:10.1016 / j.amc.2011.03.017.
  5. ^ Петрас, Иво; Беднарова, Дагмар (2009). «Хаотические системы дробного порядка». 2009 Конференция IEEE по новейшим технологиям и автоматизации производства. С. 1–8. Дои:10.1109 / ETFA.2009.5347112. ISBN  978-1-4244-2727-7.
  6. ^ Дитхельм, Кай. «Обзор численных методов дробного исчисления» (PDF). CNAM. Получено 6 сентября 2017.

дальнейшее чтение

внешняя ссылка