Дробное уравнение Шредингера - Fractional Schrödinger equation

Основная статья: Дробная квантовая механика

В дробное уравнение Шредингера является фундаментальным уравнением дробная квантовая механика. Это было обнаружено Ник Ласкин (1999) в результате расширения Интеграл по путям Фейнмана, от броуновских к квантово-механическим путям Леви. Период, термин дробное уравнение Шредингера был придуман Ником Ласкином.^[1]

Основы

Дробное уравнение Шредингера в форме, первоначально полученной Ник Ласкин является:^[2]

${displaystyle ihbar {frac {partial psi (mathbf {r} ,t)}{partial t}}=D_{alpha }(-hbar ^{2}Delta )^{alpha /2}psi (mathbf {r} ,t)+V(mathbf {r} ,t)psi (mathbf {r} ,t)}$

• р является 3-мерным вектор положения,
• час сокращенный Постоянная Планка,
• ψ(р, т) это волновая функция, которая представляет собой квантово-механическую амплитуду вероятности того, что частица займет заданное положение р в любой момент времени т,
• V(р, т) это потенциальная энергия,
• Δ = ∂²/∂р² это Оператор Лапласа.

Дальше,

• D_α - масштабная постоянная с физическое измерение [D_α] = [энергия]^{1 − α}·[длина]^α[время]^−α, в α = 2, D₂ =1/2м, куда м - масса частицы,
• оператор (-час²Δ)^α/2 - 3-мерная дробная квантовая производная Рисса, определяемая формулой (см. [2]);

${displaystyle (-hbar ^{2}Delta )^{alpha /2}psi (mathbf {r} ,t)={frac {1}{(2pi hbar )^{3}}}int d^{3}pe^{i{frac {mathbf {pr} }{hbar }}}|mathbf {p} |^{alpha }varphi (mathbf {p} ,t),}$

Здесь волновые функции в пространство позиций и импульс; ${displaystyle psi (mathbf {r} ,t)}$ и ${displaystyle varphi (mathbf {p} ,t)}$ связаны друг с другом трехмерным Преобразования Фурье:

${displaystyle psi (mathbf {r} ,t)={frac {1}{(2pi hbar )^{3}}}int d^{3}pe^{imathbf {p} cdot mathbf {r} /hbar }varphi (mathbf {p} ,t),qquad varphi (mathbf {p} ,t)=int d^{3}re^{-imathbf {p} cdot mathbf {r} /hbar }psi (mathbf {r} ,t).}$

Индекс α в дробном уравнении Шредингера - индекс Леви, 1 <α ≤ 2. Таким образом, дробное уравнение Шредингера включает пространство производная дробного порядка α вместо второго порядка (α = 2) пространственная производная в стандарте Уравнение Шредингера. Таким образом, дробное уравнение Шредингера представляет собой дробное дифференциальное уравнение в соответствии с современной терминологией.^[3] Это суть термина дробное уравнение Шредингера или более общий термин дробная квантовая механика.^[4] В α = 2 дробное уравнение Шредингера становится хорошо известным Уравнение Шредингера.

Дробное уравнение Шредингера имеет следующее оператор форма

${displaystyle ihbar {frac {partial psi (mathbf {r} ,t)}{partial t}}={hat {H}}_{alpha }psi (mathbf {r} ,t)}$

где дробный оператор Гамильтона ${displaystyle {hat {H}}_{alpha }}$ дан кем-то

${displaystyle {hat {H}}_{alpha }=D_{alpha }(-hbar ^{2}Delta )^{alpha /2}+V(mathbf {r} ,t).}$

В Оператор Гамильтона, ${displaystyle {hat {H}}_{alpha }}$ соответствует классическая механика Гамильтонова функция представлен Ник Ласкин

${displaystyle H_{alpha }(mathbf {p} ,mathbf {r} )=D_{alpha }|mathbf {p} |^{alpha }+V(mathbf {r} ,t),}$

куда п и р - векторы импульса и положения соответственно.

Не зависящее от времени дробное уравнение Шредингера

Частный случай, когда гамильтониан ${displaystyle H_{alpha }}$ не зависит от времени

${displaystyle H_{alpha }=D_{alpha }(-hbar ^{2}Delta )^{alpha /2}+V(mathbf {r} ),}$

имеет большое значение для физических приложений. Легко видеть, что в этом случае существует специальное решение дробного уравнения Шредингера

${displaystyle psi (mathbf {r} ,t)=e^{-(i/hbar )Et}phi (mathbf {r} ),}$

куда ${displaystyle phi (mathbf {r} )}$ удовлетворяет

${displaystyle H_{alpha }phi (mathbf {r} )=Ephi (mathbf {r} ),}$

или же

${displaystyle D_{alpha }(-hbar ^{2}Delta )^{alpha /2}phi (mathbf {r} )+V(mathbf {r} )phi (mathbf {r} )=Ephi (mathbf {r} ).}$

Это не зависящее от времени дробное уравнение Шредингера (см. [2]).

Таким образом, мы видим, что волновая функция ${displaystyle psi (mathbf {r} ,t)}$ колеблется с определенной частотой. В классическая физика частота соответствует энергии. Следовательно, квантово-механическое состояние имеет определенную энергию E. Вероятность найти частицу при ${displaystyle mathbf {r} }$ - абсолютный квадрат волновой функции ${displaystyle |psi (mathbf {r} ,t)|^{2}.}$Из-за не зависящего от времени дробного уравнения Шредингера это равно ${displaystyle |phi (mathbf {r} )|^{2}}$ и не зависит от времени. То есть вероятность найти частицу на ${displaystyle mathbf {r} }$ не зависит от времени. Можно сказать, что система находится в стационарном состоянии. Другими словами, вероятностей нет в зависимости от времени.

Вероятность плотности тока

Закон сохранения дробной квантово-механической вероятности впервые был открыт Д.А. Таюрским и Ю.В. Лысогорский ^[5]

${displaystyle {frac {partial ho (mathbf {r} ,t)}{partial t}}+abla cdot mathbf {j} (mathbf {r} ,t)+K(mathbf {r} ,t)=0,}$

куда ${displaystyle ho (mathbf {r} ,t)=psi ^{ast }(mathbf {r} ,t)psi (mathbf {r} ,t)}$- квантово-механическая плотность вероятности, а вектор ${displaystyle mathbf {j} (mathbf {r} ,t)}$можно назвать вектором плотности тока дробной вероятности

${displaystyle mathbf {j} (mathbf {r} ,t)={frac {D_{alpha }hbar }{i}}left(psi ^{*}(mathbf {r} ,t)(-hbar ^{2}Delta )^{alpha /2-1}mathbf {abla } psi (mathbf {r} ,t)-psi (mathbf {r} ,t)(-hbar ^{2}Delta )^{alpha /2-1}mathbf {abla } psi ^{*}(mathbf {r} ,t)ight),}$

и

${displaystyle {mathit {K}}(mathbf {r} ,t)={frac {D_{alpha }hbar }{i}}left(mathbf {abla } psi (mathbf {r} ,t)(-hbar ^{2}Delta )^{alpha /2-1}mathbf {abla } psi ^{*}(mathbf {r} ,t)-(mathbf {abla } psi ^{*}(mathbf {r} ,t)(-hbar ^{2}Delta )^{alpha /2-1}mathbf {abla } psi (mathbf {r} ,t)ight),}$

здесь мы используем обозначения (см. также матричное исчисление ): ${displaystyle mathbf {abla =partial /partial r} }$.

Это было найдено в [5] что есть квантово-физические условия, когда новый термин ${displaystyle {mathit {K}}(mathbf {r} ,t)}$ незначительно, и мы приходим к уравнение неразрывности для квантового вероятностного тока и квантовой плотности (см. [2]):

${displaystyle {frac {partial ho (mathbf {r} ,t)}{partial t}}+abla cdot mathbf {j} (mathbf {r} ,t)=0.}$

Представляем оператор импульса ${displaystyle {hat {mathbf {p} }}={frac {hbar }{i}}{frac {partial }{partial mathbf {r} }}}$ мы можем написать вектор ${displaystyle mathbf {j} }$в виде (см. [2])

${displaystyle mathbf {j=} D_{alpha }left(psi ({hat {mathbf {p} }}^{2})^{alpha /2-1}{hat {mathbf {p} }}psi ^{ast }+psi ^{ast }({hat {mathbf {p} }}^{ast 2})^{alpha /2-1}{hat {mathbf {p} }}^{ast }psi ight).}$

Это дробное обобщение известного уравнения для вектора плотности тока вероятности стандартной квантовой механики (см. [7]).

Оператор скорости

Квантово-механический оператор скорости ${displaystyle {hat {mathbf {v} }}}$ определяется следующим образом:

${displaystyle {hat {mathbf {v} }}={frac {i}{hbar }}(H_{alpha }{hat {mathbf {r} }}mathbf {-} {hat {mathbf {r} }}H_{alpha }),}$

Прямые вычисления приведены в (см. [2])

${displaystyle {hat {mathbf {v} }}=alpha D_{alpha }|{hat {mathbf {p} }}^{2}|^{alpha /2-1}{hat {mathbf {p} }},.}$

Следовательно,

${displaystyle mathbf {j=} {frac {1}{alpha }}left(psi {hat {mathbf {v} }}psi ^{ast }+psi ^{ast }{hat {mathbf {v} }}psi ight),qquad 1<alpha leq 2.}$

Чтобы получить ток вероятности с плотностью, равной 1 (ток, когда одна частица проходит через единицу площади за единицу времени), волновая функция свободной частицы должна быть нормирована как

${displaystyle psi (mathbf {r} ,t)={sqrt {frac {alpha }{2mathrm {v} }}}exp left[{frac {i}{hbar }}(mathbf {p} cdot mathbf {r} -Et)ight],qquad E=D_{alpha }|mathbf {p} |^{alpha },qquad 1<alpha leq 2,}$

куда ${displaystyle mathrm {v} }$ это частица скорость, ${displaystyle mathrm {v} =alpha D_{alpha }p^{alpha -1}}$.

Тогда у нас есть

${displaystyle mathbf {j=} {frac {mathbf {v} }{mathrm {v} }},qquad mathbf {v} =alpha D_{alpha }|mathbf {p} ^{2}|^{{frac {alpha }{2}}-1}mathbf {p,} }$

то есть вектор ${displaystyle mathbf {j} }$ действительно единичный вектор.

Физические приложения

Дробный атом Бора

Основная статья: Атом Бора

Когда ${displaystyle V(mathbf {r} )}$ потенциальная энергия водородоподобный атом,

${displaystyle V(mathbf {r} )=-{frac {Ze^{2}}{|mathbf {r} |}},}$

куда е это заряд электрона и Z это атомный номер водородоподобного атома (так Ze - заряд ядра атома), приходим к следующему дробному собственное значение проблема,

${displaystyle D_{alpha }(-hbar ^{2}Delta )^{alpha /2}phi (mathbf {r} )-{frac {Ze^{2}}{|mathbf {r|} }}phi (mathbf {r} )=Ephi (mathbf {r} ).}$

Эта проблема собственных значений была впервые введена и решена Ник Ласкин в.^[6]

Используя первый Нильс Бор постулат урожайности

${displaystyle alpha D_{alpha }left({frac {nhbar }{a_{n}}}ight)^{alpha }={frac {Ze^{2}}{a_{n}}},}$

и это дает нам уравнение для Радиус Бора дробного водородоподобного атома

${displaystyle a_{n}=a_{0}n^{alpha /(alpha -1)}.}$

Здесь а₀ - дробный радиус Бора (радиус наименьшего, п = 1, орбита Бора) определяется как,

${displaystyle a_{0}=left({frac {alpha D_{alpha }hbar ^{alpha }}{Ze^{2}}}ight)^{1/(alpha -1)}.}$

В уровни энергии дробного водородоподобного атома даются

${displaystyle E_{n}=(1-alpha )E_{0}n^{-alpha /(alpha -1)},qquad 1<alpha leq 2,}$

куда E₀ это энергия связи электрона на самой нижней боровской орбите, то есть энергия, необходимая для перевода его в состояние с E = 0, что соответствует п = ∞,

${displaystyle E_{0}=left({frac {Ze^{2}}{alpha D_{alpha }^{1/alpha }hbar }}ight)^{alpha /(alpha -1)}.}$

Энергия (α − 1)E₀ деленное на ħc, (α − 1)E₀/ħc, можно рассматривать как дробное обобщениеПостоянная Ридберга стандартного квантовая механика. За α = 2 и Z = 1 формула${displaystyle (alpha -1)E_{0}/hbar c}$ превращается в

${displaystyle mathrm {Ry} =me^{4}/2hbar ^{3}c}$,

что является хорошо известным выражением для Формула Ридберга.

По второму Нильс Бор постулат, частота излучения ${displaystyle omega _{m,n}}$ связанный с переходом, скажем, с орбиты м на орбиту п, является,

${displaystyle omega _{m,n}={frac {(1-alpha )E_{0}}{hbar }}left[{frac {1}{n^{frac {alpha }{alpha -1}}}}-{frac {1}{m^{frac {alpha }{alpha -1}}}}ight]}$.

Приведенные выше уравнения являются дробным обобщением модели Бора. В частном гауссовском случае, когда (α = 2) эти уравнения дают нам хорошо известные результаты Модель Бора.^[7]

Бесконечная потенциальная яма

Частица в одномерной яме движется в потенциальном поле ${displaystyle V({x})}$, который равен нулю при ${displaystyle -aleq xleq a}$ и что в другом месте бесконечно,

${displaystyle V(x)=infty ,qquad x<-aqquad qquad (mathrm {i} )}$

${displaystyle V(x)=0,quad -aleq xleq aquad quad quad (mathrm {ii} )}$

${displaystyle V(x)=infty ,qquad x>aqquad qquad (mathrm {iii} )}$

Это очевидно априори что энергетический спектр будет дискретным. Решение дробного уравнения Шредингера для стационарного состояния с четко определенной энергией E описывается волновой функцией ${displaystyle psi (x)}$, который можно записать как

${displaystyle psi (x,t)=left(-i{frac {Et}{hbar }}ight)phi (x)}$,

куда ${displaystyle phi (x)}$, теперь время не зависит. В областях (i) и (iii) дробное уравнение Шрединг может быть выполнено, только если мы возьмем ${displaystyle phi (x)=0}$. В средней области (ii) не зависящее от времени дробное уравнение Шредингера имеет вид (см. [6]).

${displaystyle D_{alpha }(hbar abla )^{alpha }phi (x)=Ephi (x).}$

Это уравнение определяет волновые функции и энергетический спектр в пределах области (ii), тогда как вне области (ii), x <-a и x> a, волновые функции равны нулю. Волновая функция ${displaystyle phi (x)}$ должен быть непрерывным всюду, поэтому мы накладываем граничные условия ${displaystyle phi (-a)=phi (a)=0}$ для решений не зависящее от времени дробное уравнение Шредингера (см. [6]). Тогда решение в области (ii) можно записать как

${displaystyle phi (x)=Aexp(ikx)+Bexp(-ikx).}$

Чтобы удовлетворить граничным условиям, мы должны выбрать

${displaystyle A=-Bexp(-i2ka),}$

и

${displaystyle sin(2ka)=0.}$

Из последнего уравнения следует, что

${displaystyle 2ka=npi .}$

Тогда четный (${displaystyle phi _{n}^{mathrm {even} }(-x)=phi _{n}^{mathrm {even} }(x)}$ под отражением ${displaystyle xightarrow -x}$) решение не зависящего от времени дробного уравнения Шредингера ${displaystyle phi ^{mathrm {even} }(x)}$ в бесконечной потенциальной яме

${displaystyle phi _{n}^{mathrm {even} }(x)={frac {1}{sqrt {a}}}cos left[{frac {npi x}{2a}}ight],quad n=1,3,5,....}$

Странный (${displaystyle phi _{n}^{mathrm {odd} }(-x)=-phi _{n}^{mathrm {odd} }(x)}$ под отражением ${displaystyle xightarrow -x}$) решение не зависящего от времени дробного уравнения Шредингера ${displaystyle phi ^{mathrm {even} }(x)}$ в бесконечной потенциальной яме

${displaystyle phi _{n}^{mathrm {odd} }(x)={frac {1}{sqrt {a}}}sin left[{frac {npi x}{2a}}ight],quad n=2,4,6,....}$

Решения ${displaystyle phi ^{mathrm {even} }(x)}$ и ${displaystyle phi ^{mathrm {odd} }(x)}$ иметь свойство, что

${displaystyle int limits _{-a}^{a}dxphi _{m}^{mathrm {even} }(x)phi _{n}^{mathrm {even} }(x)=int limits _{-a}^{a}dxphi _{m}^{mathrm {odd} }(x)phi _{n}^{mathrm {odd} }(x)=delta _{mn},}$

куда ${displaystyle delta _{mn}}$ это Символ Кронекера и

${displaystyle int limits _{-a}^{a}dxphi _{m}^{mathrm {even} }(x)phi _{n}^{mathrm {odd} }(x)=0.}$

Собственные значения частицы в бесконечной потенциальной яме равны (см. [6])

${displaystyle E_{n}=D_{alpha }left({frac {pi hbar }{2a}}ight)^{alpha }n^{alpha },qquad qquad n=1,2,3....,qquad 1<alpha leq 2.}$

Очевидно, что в гауссовском случае (α = 2) приведенные выше уравнения ö преобразуются в стандартные уравнения квантовой механики для частица в коробке (например, см. уравнение (20.7) в ^[8])

Состояние самой низкой энергии, основное состояние, в бесконечной потенциальной яме представлена ${displaystyle phi _{n}^{mathrm {even} }(x)}$ в п=1,

${displaystyle phi _{mathrm {ground} }(x)equiv phi _{1}^{mathrm {even} }(x)={frac {1}{sqrt {a}}}cos left({frac {pi x}{2a}}ight),}$

и его энергия

${displaystyle E_{mathrm {ground} }=D_{alpha }left({frac {pi hbar }{2a}}ight)^{alpha }.}$

Дробный квантовый осциллятор

Дробный квантовый осциллятор представлен Ник Ласкин (см. [2]) представляет собой дробную квантово-механическую модель с Гамильтонов оператор ${displaystyle H_{alpha ,eta }}$ определяется как

${displaystyle H_{alpha ,eta }=D_{alpha }(-hbar ^{2}Delta )^{alpha /2}+q^{2}|mathbf {r} |^{eta },quad 1<alpha leq 2,quad 1<eta leq 2,}$,

куда q - константа взаимодействия.

Дробное уравнение Шредингера для волновой функции ${displaystyle psi (mathbf {r} ,t)}$ дробного квантового осциллятора есть,

${displaystyle ihbar {frac {partial psi (mathbf {r} ,t)}{partial t}}=D_{alpha }(-hbar ^{2}Delta )^{alpha /2}psi (mathbf {r} ,t)+q^{2}|mathbf {r} |^{eta }psi (mathbf {r} ,t)}$

Стремясь найти решение в форме

${displaystyle psi (mathbf {r} ,t)=e^{-iEt/hbar }phi (mathbf {r} ),}$

мы приходим к не зависящему от времени дробному уравнению Шредингера,

${displaystyle D_{alpha }(-hbar ^{2}Delta )^{alpha /2}phi (mathbf {r} ,t)+q^{2}|mathbf {r} |^{eta }phi (mathbf {r} ,t)=Ephi (mathbf {r} ,t).}$

Гамильтониан ${displaystyle H_{alpha ,eta }}$ является дробным обобщением 3D квантовый гармонический осциллятор Гамильтониан стандартной квантовой механики.

Уровни энергии одномерного дробного квантового осциллятора в полуклассическом приближении

В уровни энергии 1D дробного квантового осциллятора с Гамильтонова функция ${displaystyle H_{alpha }=D_{alpha }|p|^{alpha }+q^{2}|x|^{eta }}$ были найдены в квазиклассическом приближении (см. [2]).

Положим полную энергию равной E, так что

${displaystyle E=D_{alpha }|p|^{alpha }+q^{2}|x|^{eta },}$

откуда

${displaystyle |p|=left({frac {1}{D_{alpha }}}(E-q^{2}|x|^{eta })ight)^{1/alpha }}$.

В поворотные моменты ${displaystyle p=0}$. Следовательно, классическое движение возможно в диапазоне ${displaystyle |x|leq (E/q^{2})^{1/eta }}$.

Обычное использование Квантование Бора-Зоммерфельда правило дает

${displaystyle 2pi hbar (n+{frac {1}{2}})=oint pdx=4int limits _{0}^{x_{m}}pdx=4int limits _{0}^{x_{m}}D_{alpha }^{-1/alpha }(E-q^{2}|x|^{eta })^{1/alpha }dx,}$

где обозначение ${displaystyle oint }$ означает интеграл за один полный период классического движения и ${displaystyle x_{m}=(E/q^{2})^{1/eta }}$ является поворотной точкой классического движения.

Чтобы вычислить интеграл в правой части, введем новую переменную ${displaystyle y=x(E/q^{2})^{-1/eta }}$. Тогда у нас есть

${displaystyle int limits _{0}^{x_{m}}D_{alpha }^{-1/alpha }(E-q^{2}|x|^{eta })^{1/alpha }dx={frac {1}{D_{alpha }^{1/alpha }q^{2/eta }}}E^{{frac {1}{alpha }}+{frac {1}{eta }}}int limits _{0}^{1}dy(1-y^{eta })^{1/alpha }.}$

Интеграл по dy можно выразить через Бета-функция,

${displaystyle int limits _{0}^{1}dy(1-y^{eta })^{1/alpha }={frac {1}{eta }}int limits _{0}^{1}dzz^{{frac {1}{eta }}-1}(1-z)^{frac {1}{alpha }}={frac {1}{eta }}mathrm {B} left({frac {1}{eta }},{frac {1}{alpha }}+1ight).}$

Следовательно,

${displaystyle 2pi hbar (n+{frac {1}{2}})={frac {4}{D_{alpha }^{1/alpha }q^{2/eta }}}E^{{frac {1}{alpha }}+{frac {1}{eta }}}{frac {1}{eta }}mathrm {B} left({frac {1}{eta }},{frac {1}{alpha }}+1ight).}$

Вышеприведенное уравнение дает уровни энергии стационарных состояний для одномерного дробного квантового осциллятора (см. [2]),

${displaystyle E_{n}=left({frac {pi hbar eta D_{alpha }^{1/alpha }q^{2/eta }}{2mathrm {B} ({frac {1}{eta }},{frac {1}{alpha }}+1)}}ight)^{frac {alpha eta }{alpha +eta }}left(n+{frac {1}{2}}ight)^{frac {alpha eta }{alpha +eta }}.}$

Это уравнение является обобщением известного уровни энергии уравнение стандарта квантовый гармонический осциллятор (см. [7]) и переходит в нее при α = 2 и β = 2. Из этого уравнения следует, что при ${displaystyle {frac {1}{alpha }}+{frac {1}{eta }}=1}$ уровни энергии равноудалены. Когда ${displaystyle 1<alpha leq 2}$ и ${displaystyle 1<eta leq 2}$ эквидистантные уровни энергии могут быть для α = 2 и β Только = 2. Это означает, что единственный стандартный квантовый гармонический осциллятор имеет равноудаленный энергетический спектр.

Дробная квантовая механика в твердотельных системах

Эффективная масса состояний в твердотельных системах может зависеть от волнового вектора k, т.е. формально считается m = m (k). Поляритонные моды конденсата Бозе-Эйнштейна являются примерами состояний в твердотельных системах с массой, чувствительной к изменениям, и локально в k дробной квантовой механике экспериментально возможна [1].

Самоускоряющиеся пучки

Самоускоряющиеся пучки, такие как Воздушный луч, являются известными решениями обычного свободного уравнения Шредингера (с ${displaystyle alpha =2}$ и без потенциального срока). Эквивалентные решения существуют в свободном дробном уравнении Шредингера. Зависимое от времени дробное уравнение Шредингера в импульсном пространстве (в предположении ${displaystyle hbar =1}$ и с одной пространственной координатой) составляет:

${displaystyle i{frac {partial varphi (p,t)}{partial t}}=D_{alpha }|p|^{alpha }varphi (p,t)}$.

В позиционном пространстве луч Эйри обычно выражается с помощью специальной функции Эйри, хотя он обладает более прозрачным выражением в импульсном пространстве:

${displaystyle psi (x,t=0)=mathrm {Ai} (bx)exp(ax),qquad varphi (p,t=0)={frac {1}{2b{sqrt {2pi }}}}exp left({frac {(a-ip)^{3}}{3b^{3}}}ight)}$.

Здесь экспоненциальная функция обеспечивает квадратичную интегрируемость волновой функции, то есть то, что пучок обладает конечной энергией, чтобы быть физическим решением. Параметр ${displaystyle a}$ управляет экспоненциальной отсечкой на хвосте луча, а параметр ${displaystyle b}$ контролирует ширину пиков в позиционном пространстве. Решение для пучка Эйри дробного уравнения Шредингера в импульсном пространстве получается путем простого интегрирования приведенного выше уравнения и начального условия:

${displaystyle varphi (p,t)={frac {1}{2b{sqrt {2pi }}}}exp left(-iD_{alpha }|p|^{alpha }t+{frac {(a-ip)^{3}}{3b^{3}}}ight)}$.

Это решение самоускоряется со скоростью, пропорциональной ${displaystyle t^{frac {2}{3-alpha }}}$.^[9] При приеме ${displaystyle alpha =2}$ для обычного уравнения Шредингера восстанавливается исходное решение балки Эйри с параболическим ускорением (${displaystyle propto t^{2}}$).

Смотрите также

• Уравнение Шредингера
• Формулировка интеграла по путям
• Связь между уравнением Шредингера и формулировкой интеграла по путям квантовой механики
• Дробное исчисление
• Квантовый гармонический осциллятор
• Дробное уравнение Шредингера переменного порядка

Рекомендации

1. Ласкин, Николай (2000). «Дробная квантовая механика и интегралы по путям Леви». Письма о физике A. 268 (4–6): 298–305. arXiv:hep-ph / 9910419. Дои:10.1016 / S0375-9601 (00) 00201-2.
2. Ласкин, Ник (18 ноября 2002 г.). «Дробное уравнение Шредингера». Физический обзор E. 66 (5): 056108. arXiv:Quant-ph / 0206098. Дои:10.1103 / Physreve.66.056108. ISSN  1063-651X. PMID  12513557.
3. Самко С.Г., Килбас А.А., Маричев О.И., Дробные интегралы и производные, теория и приложения ~ Гордонанд Брич, Амстердам, 1993
4. Ласкин, Ник (1 августа 2000). «Дробная квантовая механика». Физический обзор E. Американское физическое общество (APS). 62 (3): 3135–3145. arXiv:0811.1769. Дои:10.1103 / Physreve.62.3135. ISSN  1063-651X. PMID  11088808.
5. Таюрский, Д А; Лысогорский Ю.В. (29 ноября 2012 г.). «Сверхтекучая гидродинамика в пространстве фрактальной размерности». Journal of Physics: Серия конференций. IOP Publishing. 394: 012004. arXiv:1108.4666. Дои:10.1088/1742-6596/394/1/012004. ISSN  1742-6588.
6. Ласкин, Ник (2000). «Фракталы и квантовая механика». Хаос: междисциплинарный журнал нелинейной науки. Издательство AIP. 10 (4): 780–790. Дои:10.1063/1.1050284. ISSN  1054-1500. PMID  12779428.
7. Бор, Н. (1913). «XXXVII. О строении атомов и молекул». Лондонский, Эдинбургский и Дублинский философский журнал и научный журнал. Informa UK Limited. 26 (153): 476–502. Дои:10.1080/14786441308634993. ISSN  1941-5982.
8. Л.Д. Ландау, Э.М. Лифшиц, Квантовая механика (нерелятивистская теория), том 3, третье издание, курс теоретической физики, Butterworth-Heinemann, Oxford, 2003
9. Колас, Дэвид (2020). «Динамика самоускоряющегося пучка в пространственном дробном уравнении Шредингера». Physical Review Research. 2: 033274. arXiv:2006.12743. Дои:10.1103 / PhysRevResearch.2.033274.

• Р. Херрманн (2011). "9". Дробное исчисление, введение для физиков. World Scientific. ISBN  978-981-4340-24-3.
• Дж. Клафтер; S.C. Lim; Р. Метцлер (2012). Дробная динамика: последние достижения. World Scientific. п. 426. ISBN  978-981-434-059-5.
• В.Э. Тарасова (2010). "19". Дробная динамика. Нелинейная физика. 0. Springer. ISBN  978-3-642-140-037.
• Дж. Сабатье, О. П. Агравал, Дж. А. Т. Мачадо (2007). Достижения в области дробного исчисления: теоретические разработки и приложения в физике и технике. Springer. ISBN  978-1-402-060-427.
• Д. Балеану; J.A.T. Мачадо; A.C.J. Луо (2012). "17". Дробная динамика и контроль. Springer. ISBN  978-1-461-404-576.
• Пинскер, Ф .; Bao, W .; Zhang, Y .; Ohadi, H .; Dreismann, A .; Баумберг, Дж. Дж. (25 ноября 2015 г.). «Дробная квантовая механика в поляритонных конденсатах с зависящей от скорости массой». Физический обзор B. 92 (19): 195310. arXiv:1508.03621. Дои:10.1103 / Physrevb.92.195310. ISSN  1098-0121.

дальнейшее чтение

• Ласкин, Н. (2018). Дробная квантовая механика. World Scientific. CiteSeerX  10.1.1.247.5449. Дои:10.1142/10541. ISBN  978-981-322-379-0.
• Набер, Марк (2004). «Дробное уравнение Шредингера по времени». Журнал математической физики. Издательство AIP. 45 (8): 3339–3352. arXiv:math-ph / 0410028. Дои:10.1063/1.1769611. ISSN  0022-2488.
• Го, Сяои; Сюй, Минюй (2006). «Некоторые физические приложения дробного уравнения Шредингера». Журнал математической физики. Издательство AIP. 47 (8): 082104. Дои:10.1063/1.2235026. ISSN  0022-2488.
• Ван, Шаовей; Сюй, Минюй (2007). «Обобщенное дробное уравнение Шредингера с дробными производными по пространству-времени». Журнал математической физики. Издательство AIP. 48 (4): 043502. Дои:10.1063/1.2716203. ISSN  0022-2488.
• Дун, Цзяньпин; Сюй, Минюй (2007). «Некоторые решения пространственного дробного уравнения Шредингера с использованием метода импульсного представления». Журнал математической физики. Издательство AIP. 48 (7): 072105. Дои:10.1063/1.2749172. ISSN  0022-2488.
• Дун, Цзяньпин; Сюй, Минюй (2008). "Пространственно-временное дробное уравнение Шредингера с не зависящими от времени потенциалами". Журнал математического анализа и приложений. Elsevier BV. 344 (2): 1005–1017. Дои:10.1016 / j.jmaa.2008.03.061. ISSN  0022-247X.
• Тарасов, Василий Е. (2008). «Дробное уравнение Гейзенберга». Письма о физике A. 372 (17): 2984–2988. arXiv:0804.0586v1. Дои:10.1016 / j.physleta.2008.01.037. ISSN  0375-9601.
• Тарасов, Василий Е. (2008). «Вейлевское квантование дробных производных». Журнал математической физики. 49 (10): 102112. arXiv:0907.2699. Дои:10.1063/1.3009533. ISSN  0022-2488.
• Иомин, Александр (28 августа 2009 г.). «Квантовая динамика с дробным временем». Физический обзор E. 80 (2): 022103. arXiv:0909.1183. Дои:10.1103 / Physreve.80.022103. ISSN  1539-3755. PMID  19792181.
• Тарасов, Василий Е. (2010). «Дробная динамика открытых квантовых систем». Нелинейная физическая наука. Берлин, Гейдельберг: Springer Berlin Heidelberg. С. 467–490. Дои:10.1007/978-3-642-14003-7_20. ISBN  978-3-642-14002-0. ISSN  1867-8440.
• Тарасов, Василий Е. (2010). «Дробная динамика гамильтоновых квантовых систем». Нелинейная физическая наука. Берлин, Гейдельберг: Springer Berlin Heidelberg. С. 457–466. Дои:10.1007/978-3-642-14003-7_19. ISBN  978-3-642-14002-0. ISSN  1867-8440.
• де Оливейра, Эдмундо Капелас; Коста, Феликс Сильва; Ваз, Джейме (2010). «Дробное уравнение Шредингера для дельта-потенциалов». Журнал математической физики. Издательство AIP. 51 (12): 123517. Дои:10.1063/1.3525976. ISSN  0022-2488.
• де Оливейра, Э. Капелас; Ваз, Джейме (5 апреля 2011 г.). «Туннелирование в дробной квантовой механике». Журнал физики A: математический и теоретический. IOP Publishing. 44 (18): 185303. arXiv:1011.1948. Дои:10.1088/1751-8113/44/18/185303. ISSN  1751-8113.
• Байын, Сельчук Ş. (2012). «О согласованности решений пространственного дробного уравнения Шредингера». Журнал математической физики. Издательство AIP. 53 (4): 042105. arXiv:1203.4556. Дои:10.1063/1.4705268. ISSN  0022-2488.