Положение и импульсное пространство - Position and momentum space

Для альбома Дьюи Редмана, Сесила Тейлора и Элвина Джонса см. Momentum Space (альбом).

В физика и геометрия, есть два тесно связанных векторные пространства, обычно трехмерный но в целом может быть любое конечное число измерений.

Позиционное пространство (также реальное пространство или же координировать Космос) - множество всех векторы положения р в космосе, и размеры из длина. Вектор положения определяет точку в пространстве. Если вектор положения точечная частица меняется со временем, он будет определять путь, траектория частицы. Импульсное пространство это набор всех векторы импульса п физическая система может иметь. Вектор импульса частицы соответствует ее движению в единицах [масса] [длина] [время].⁻¹.

Математически двойственность между позицией и импульсом является примером Понтрягинская двойственность. В частности, если функция дается в позиционном пространстве, ж(р), то его преобразование Фурье получает функцию в импульсном пространстве, φ(п). И наоборот, обратное преобразование функции импульсного пространства является функцией пространственного положения.

Эти величины и идеи выходят за рамки всей классической и квантовой физики, и физическая система может быть описана с использованием либо положений составляющих частиц, либо их импульсов, обе формулировки эквивалентно предоставляют одинаковую информацию о рассматриваемой системе. Еще одно количество полезно определить в контексте волны. В волновой вектор k (или просто "k-вектор ") имеет размеры обратная длина, что делает его аналогом угловая частота ω который имеет размеры взаимного время. Набор всех волновых векторов k-пространство. Обычно р интуитивно понятнее и проще, чем k, хотя может быть и обратное, например, в физика твердого тела.

Квантовая механика предоставляет два фундаментальных примера двойственности между положением и импульсом, Принцип неопределенности Гейзенберга ΔИксΔп ≥ час/ 2 утверждая, что положение и импульс не могут быть одновременно известны с произвольной точностью, а соотношение де Бройля п = часk который утверждает, что импульс и волновой вектор свободной частицы пропорциональны друг другу.^[1] В этом контексте, когда это недвусмысленно, термины "импульс "и" волновой вектор "используются как синонимы. Однако соотношение де Бройля неверно в кристалле.

Позиционные и импульсные пространства в классической механике

Лагранжева механика

Чаще всего в Лагранжева механика, лагранжиан L(q, dq/dt, т) в конфигурационное пространство, куда q = (q₁, q₂,..., q_п) является п-кортеж из обобщенные координаты. В Уравнения Эйлера – Лагранжа. движения

${\displaystyle {\frac {d}{dt}}{\frac {\partial L}{\partial {\dot {q}}_{i}}}={\frac {\partial L}{\partial q_{i}}}\,,\quad {\dot {q}}_{i}\equiv {\frac {dq_{i}}{dt}}\,.}$

(Одна точка означает одну производная по времени ). Вводя определение канонического импульса для каждой обобщенной координаты

${\displaystyle p_{i}={\frac {\partial L}{\partial {\dot {q}}_{i}}}\,,}$

уравнения Эйлера – Лагранжа принимают вид

${\displaystyle {\dot {p}}_{i}={\frac {\partial L}{\partial q_{i}}}\,.}$

Лагранжиан можно выразить в виде импульсное пространство также,^[2] L′(п, dп/dt, т), куда п = (п₁, п₂,..., п_п) является п-набор обобщенных импульсов. А Превращение Лежандра выполняется для изменения переменных в полный дифференциал лагранжиана обобщенного координатного пространства;

${\displaystyle dL=\sum _{i=1}^{n}\left({\frac {\partial L}{\partial q_{i}}}dq_{i}+{\frac {\partial L}{\partial {\dot {q}}_{i}}}d{\dot {q}}_{i}\right)+{\frac {\partial L}{\partial t}}dt=\sum _{i=1}^{n}({\dot {p}}_{i}dq_{i}+p_{i}d{\dot {q}}_{i})+{\frac {\partial L}{\partial t}}dt\,,}$

где определение обобщенного импульса и уравнения Эйлера – Лагранжа заменили частные производные от L. В правило продукта для дифференциалов^{[nb 1]} позволяет заменять дифференциалы в обобщенных координатах и ​​скоростях на дифференциалы в обобщенных импульсах и их производных по времени,

${\displaystyle {\dot {p}}_{i}dq_{i}=d(q_{i}{\dot {p}}_{i})-q_{i}d{\dot {p}}_{i}}$

${\displaystyle p_{i}d{\dot {q}}_{i}=d({\dot {q}}_{i}p_{i})-{\dot {q}}_{i}dp_{i}}$

который после замены упрощается и перестраивается на

${\displaystyle d\left[L-\sum _{i=1}^{n}(q_{i}{\dot {p}}_{i}+{\dot {q}}_{i}p_{i})\right]=-\sum _{i=1}^{n}({\dot {q}}_{i}dp_{i}+q_{i}d{\dot {p}}_{i})+{\frac {\partial L}{\partial t}}dt\,.}$

Теперь полный дифференциал лагранжиана импульсного пространства L' является

${\displaystyle dL'=\sum _{i=1}^{n}\left({\frac {\partial L'}{\partial p_{i}}}dp_{i}+{\frac {\partial L'}{\partial {\dot {p}}_{i}}}d{\dot {p}}_{i}\right)+{\frac {\partial L'}{\partial t}}dt}$

таким образом, сравнивая дифференциалы лагранжианов, импульсов и их производных по времени, лагранжиан импульсного пространства L′ И обобщенные координаты, полученные из L'Соответственно

${\displaystyle L'=L-\sum _{i=1}^{n}(q_{i}{\dot {p}}_{i}+{\dot {q}}_{i}p_{i})\,,\quad -{\dot {q}}_{i}={\frac {\partial L'}{\partial p_{i}}}\,,\quad -q_{i}={\frac {\partial L'}{\partial {\dot {p}}_{i}}}\,.}$

Объединение последних двух уравнений дает уравнения Эйлера – Лагранжа импульсного пространства

${\displaystyle {\frac {d}{dt}}{\frac {\partial L'}{\partial {\dot {p}}_{i}}}={\frac {\partial L'}{\partial p_{i}}}\,.}$

Преимущество преобразования Лежандра состоит в том, что в процессе получается связь между новыми и старыми функциями и их переменными. И координатная, и импульсная формы уравнения эквивалентны и содержат одинаковую информацию о динамике системы. Эта форма может быть более полезной, когда импульс или угловой момент входит в лагранжиан.

Гамильтонова механика

В Гамильтонова механика, в отличие от лагранжевой механики, которая использует либо все координаты или же импульсы, гамильтоновы уравнения движения ставят координаты и импульсы на равные основания. Для системы с гамильтонианом ЧАС(q, п, т) уравнения имеют вид

${\displaystyle {\dot {q}}_{i}={\frac {\partial H}{\partial p_{i}}}\,,\quad {\dot {p}}_{i}=-{\frac {\partial H}{\partial q_{i}}}\,.}$

Позиционные и импульсные пространства в квантовой механике

Дальнейшая информация: Оператор моментума

В квантовая механика, частица описывается квантовое состояние. Это квантовое состояние можно представить как суперпозиция (т.е. линейная комбинация как взвешенная сумма ) из основа состояния. В принципе, можно свободно выбирать набор базовых состояний, если они охватывать космос. Если выбрать собственные функции из оператор позиции как набор базисных функций, о состоянии говорят как о волновая функция ${\displaystyle \psi }$(р) в позиционном пространстве (наше обычное понятие Космос с точки зрения длина ). Знакомый Уравнение Шредингера с точки зрения должности р является примером квантовой механики в позиционном представлении.^[3]

Выбирая собственные функции другого оператора в качестве набора базисных функций, можно получить ряд различных представлений одного и того же состояния. Если выбрать собственные функции оператор импульса как набор базисных функций, результирующая волновая функция ${\displaystyle \phi }$(k) называется волновой функцией в импульсном пространстве.^[3]

Особенностью квантовой механики является то, что фазовые пространства могут быть разных типов: дискретно-переменные, роторные и непрерывно-переменные. В таблице ниже приведены некоторые отношения, задействованные в трех типах фазовых пространств.^[4]

Сравнение и краткое изложение отношений между сопряженными переменными в фазовых пространствах дискретной переменной (DV), ротора (ROT) и непрерывной переменной (CV) (взято из arXiv: 1709.04460). Наиболее физически релевантные фазовые пространства состоят из комбинаций этих трех. Каждое фазовое пространство состоит из позиции и импульса, возможные значения которых берутся из локально компактной абелевой группы и ее двойственной. Квантово-механическое состояние может быть полностью представлено в терминах любых переменных, и преобразование, используемое для перехода между пространством положения и пространством импульса, в каждом из трех случаев является вариантом преобразования Фурье. В таблице используются обозначения скобок, а также математическая терминология, описывающая канонические коммутационные отношения (CCR).

Связь между пространством и взаимным пространством

Импульсное представление волновой функции очень тесно связано с преобразование Фурье и концепция частотная область. Поскольку квантово-механическая частица имеет частоту, пропорциональную импульсу (уравнение де Бройля, приведенное выше), описание частицы как суммы ее компонентов импульса эквивалентно описанию ее как суммы частотных компонентов (то есть преобразование Фурье).^[5] Это становится ясно, когда мы спрашиваем себя, как мы можем перейти от одного представления к другому.

Функции и операторы в позиционном пространстве

Предположим, у нас есть трехмерный волновая функция в позиционном пространстве ${\displaystyle \psi }$(р), то мы можем записать эти функции в виде взвешенной суммы ортогональных базисных функций ${\displaystyle \psi }$_j(р):

${\displaystyle \psi (\mathbf {r} )=\sum _{j}\phi _{j}\psi _{j}(\mathbf {r} )}$

или, в непрерывном случае, как интеграл

${\displaystyle \psi (\mathbf {r} )=\int _{\mathbf {k} {\rm {-space}}}\phi (\mathbf {k} )\psi _{\mathbf {k} }(\mathbf {r} ){\rm {d}}^{3}\mathbf {k} }$

Понятно, что если указать набор функций ${\displaystyle \psi _{\mathbf {k} }(\mathbf {r} )}$, скажем, как набор собственных функций оператора импульса, функция ${\displaystyle \phi }$(k) содержит всю информацию, необходимую для восстановления ${\displaystyle \psi }$(р) и поэтому является альтернативным описанием состояния ${\displaystyle \psi }$.

В квантовой механике оператор импульса дан кем-то

${\displaystyle \mathbf {\hat {p}} =-i\hbar {\frac {\partial }{\partial \mathbf {r} }}}$

(видеть матричное исчисление для обозначения знаменателя) с соответствующими домен. В собственные функции находятся

${\displaystyle \psi _{\mathbf {k} }(\mathbf {r} )={\frac {1}{({\sqrt {2\pi }})^{3}}}e^{i\mathbf {k} \cdot \mathbf {r} }}$

и собственные значения часk. Так

${\displaystyle \psi (\mathbf {r} )={\frac {1}{({\sqrt {2\pi }})^{3}}}\int _{\mathbf {k} {\rm {-space}}}\phi (\mathbf {k} )e^{i\mathbf {k} \cdot \mathbf {r} }{\rm {d}}^{3}\mathbf {k} }$

и мы видим, что представление импульса связано с представлением положения преобразованием Фурье.^[6]

Функции и операторы в импульсном пространстве

И наоборот, трехмерная волновая функция в импульсном пространстве ${\displaystyle \phi }$(k) как взвешенную сумму ортогональных базисных функций ${\displaystyle \phi }$_j(k):

${\displaystyle \phi (\mathbf {k} )=\sum _{j}\psi _{j}\phi _{j}(\mathbf {k} )}$

или как интеграл:

${\displaystyle \phi (\mathbf {k} )=\int _{\mathbf {r} {\rm {-space}}}\psi (\mathbf {r} )\phi _{\mathbf {r} }(\mathbf {k} ){\rm {d}}^{3}\mathbf {r} }$

то оператор позиции дан кем-то

${\displaystyle \mathbf {\hat {r}} =i\hbar {\frac {\partial }{\partial \mathbf {p} }}=i{\frac {\partial }{\partial \mathbf {k} }}}$

с собственными функциями

${\displaystyle \phi _{\mathbf {r} }(\mathbf {k} )={\frac {1}{({\sqrt {2\pi }})^{3}}}e^{-i\mathbf {k} \cdot \mathbf {r} }}$

и собственные значения р. Таким образом, аналогичное разложение ${\displaystyle \phi }$(k) можно сделать в терминах собственных функций этого оператора, который оказывается обратным преобразованием Фурье:^[6]

${\displaystyle \phi (\mathbf {k} )={\frac {1}{({\sqrt {2\pi }})^{3}}}\int _{\mathbf {r} {\rm {-space}}}\psi (\mathbf {r} )e^{-i\mathbf {k} \cdot \mathbf {r} }{\rm {d}}^{3}\mathbf {r} }$

Унитарная эквивалентность оператора позиции и импульса

В р и п операторы унитарно эквивалентный, с унитарный оператор дается явно преобразованием Фурье. Таким образом, у них одинаковые спектр. На физическом языке п действие на волновые функции импульсного пространства такое же, как р действующие на волновые функции пространственного положения (при изображение преобразования Фурье).

Взаимное пространство и кристаллы

Основная статья: Обратная решетка

Для электрон (или другой частица ) в кристалле его значение k почти всегда относится к его импульс кристалла, а не его нормальный импульс. Следовательно, k и п не просто пропорциональный но играют разные роли. Видеть k · p теория возмущений для примера. Кристаллический импульс подобен огибающая волны который описывает, как волна меняется от одного ячейка к следующему, но делает нет дать любую информацию о том, как волна изменяется в каждой элементарной ячейке.

Когда k относится к импульсу кристалла, а не к истинному импульсу, концепция k-пространство по-прежнему имеет смысл и чрезвычайно полезно, но оно по-разному отличается от некристаллического k-пространство обсуждалось выше. Например, в кристалле k-пространстве существует бесконечное множество точек, называемых обратная решетка которые "эквивалентны" k = 0 (это аналог сглаживание ). Точно так же "первая зона Бриллюэна "- конечный объем k-пространство, такое, что все возможные k "эквивалентен" ровно одной точке в этом регионе.

Подробнее см. обратная решетка.

Смотрите также

• Фазовое пространство
• Взаимное пространство
• Пространство конфигурации

Сноски

1. Для двух функций ты и v, дифференциал произведения равен d(УФ) = удв + вд.

Рекомендации

1. Eisberg, R .; Резник, Р. (1985). Квантовая физика атомов, молекул, твердых тел, ядер и частиц (2-е изд.). Джон Вили и сыновья. ISBN  978-0-471-87373-0.
2. Рука, Луи Н.; Финч, Джанет Д. (1998). Аналитическая механика. ISBN  978-0-521-57572-0. стр.190
3. Peleg, Y .; Pnini, R .; Zaarur, E .; Хехт, Э. (2010). Квантовая механика (серия набросков Шаума) (2-е изд.). Макгроу Хилл. ISBN  978-0-07-162358-2.
4. Альберт, Виктор V; Паскацио, Саверио; Деворе, Мишель Х (2017). «Общие фазовые пространства: от дискретных переменных до роторного и континуального пределов». Журнал физики A: математический и теоретический. 50 (50): 504002. arXiv:1709.04460. Дои:10.1088 / 1751-8121 / aa9314. S2CID  119290497.
5. Аберс, Э. (2004). Квантовая механика. Эддисон Уэсли, Prentice Hall Inc. ISBN  978-0-13-146100-0.
6. Р. Пенроуз (2007). Дорога к реальности. Винтажные книги. ISBN  978-0-679-77631-4.