Дифферинтегральный - Differintegral

«Дробная интеграция» перенаправляется сюда. Не следует путать с Авторегрессионное дробно-интегрированное скользящее среднее.

В дробное исчисление, площадь математический анализ, то разный интегральный является комбинированным дифференциация /интеграция оператор. Применяется к функция ƒ, q-различный интеграл ж, здесь обозначено

${\displaystyle \mathbb {D} ^{q}f}$

- дробная производная (если q > 0) или дробный интеграл (если q <0). Если q = 0, то q-м различным интегралом функции является сама функция. В контексте частичной интеграции и дифференциации существует несколько законных определений дифференциального интеграла.

Стандартные определения

Четыре наиболее распространенные формы:

• В Дифференциальный интеграл Римана – Лиувилля

Это самый простой и легкий в использовании, а следовательно, и наиболее часто используемый. Это обобщение Формула Коши для повторного интегрирования в произвольном порядке. Здесь, ${\displaystyle n=\lceil q\rceil }$.

${\displaystyle {\begin{aligned}{}_{a}^{RL}\mathbb {D} _{t}^{q}f(t)&={\frac {d^{q}f(t)}{d(t-a)^{q}}}\\&={\frac {1}{\Gamma (n-q)}}{\frac {d^{n}}{dt^{n}}}\int _{a}^{t}(t-\tau )^{n-q-1}f(\tau )d\tau \end{aligned}}}$

• В Грюнвальд – Летников дифференциальный интеграл

Дифференциальный интеграл Грюнвальда – Летникова является прямым обобщением определения производная. Его сложнее использовать, чем дифференциальный интеграл Римана – Лиувилля, но иногда его можно использовать для решения проблем, которые не могут быть выполнены с помощью метода Римана – Лиувилля.

${\displaystyle {\begin{aligned}{}_{a}^{GL}\mathbb {D} _{t}^{q}f(t)&={\frac {d^{q}f(t)}{d(t-a)^{q}}}\\&=\lim _{N\to \infty }\left[{\frac {t-a}{N}}\right]^{-q}\sum _{j=0}^{N-1}(-1)^{j}{q \choose j}f\left(t-j\left[{\frac {t-a}{N}}\right]\right)\end{aligned}}}$

• В Вейль дифферинтегральный

Это формально аналогично дифференциальному интегралу Римана – Лиувилля, но применяется к периодические функции, с целым нулем за период.

• В Капуто дифференциальный

В отличие от дифференциального интеграла Римана-Лиувилля, производная Капуто от константы ${\displaystyle f(t)}$ равно нулю. Более того, форма преобразования Лапласа позволяет просто оценивать начальные условия путем вычисления конечных производных целого порядка в точке ${\displaystyle a}$.

${\displaystyle {\begin{aligned}{}_{a}^{C}\mathbb {D} _{t}^{q}f(t)&={\frac {d^{q}f(t)}{d(t-a)^{q}}}\\&={\frac {1}{\Gamma (n-q)}}\int _{a}^{t}{\frac {f^{(n)}(\tau )}{(t-\tau )^{q-n+1}}}d\tau \end{aligned}}}$

Определения через преобразования

Напомним непрерывное преобразование Фурье, здесь обозначено ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ :

${\displaystyle F(\omega )={\mathcal {F}}\{f(t)\}={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\int _{-\infty }^{\infty }f(t)e^{-i\omega t}\,dt}$

Используя непрерывное преобразование Фурье, в пространстве Фурье дифференцирование преобразуется в умножение:

${\displaystyle {\mathcal {F}}\left[{\frac {df(t)}{dt}}\right]=i\omega {\mathcal {F}}[f(t)]}$

Так,

${\displaystyle {\frac {d^{n}f(t)}{dt^{n}}}={\mathcal {F}}^{-1}\left\{(i\omega )^{n}{\mathcal {F}}[f(t)]\right\}}$

который обобщается на

${\displaystyle \mathbb {D} ^{q}f(t)={\mathcal {F}}^{-1}\left\{(i\omega )^{q}{\mathcal {F}}[f(t)]\right\}.}$

Под двустороннее преобразование Лапласа, здесь обозначено ${\displaystyle {\mathcal {L}}}$ и определяется как ${\displaystyle {\mathcal {L}}[f(t)]=\int _{-\infty }^{\infty }e^{-st}f(t)\,dt}$дифференцирование превращается в умножение

${\displaystyle {\mathcal {L}}\left[{\frac {df(t)}{dt}}\right]=s{\mathcal {L}}[f(t)].}$

Обобщение на произвольный порядок и решение для D^qж(т), получаем

${\displaystyle \mathbb {D} ^{q}f(t)={\mathcal {L}}^{-1}\left\{s^{q}{\mathcal {L}}[f(t)]\right\}.}$

Основные формальные свойства

Правила линейности

${\displaystyle \mathbb {D} ^{q}(f+g)=\mathbb {D} ^{q}(f)+\mathbb {D} ^{q}(g)}$

${\displaystyle \mathbb {D} ^{q}(af)=a\mathbb {D} ^{q}(f)}$

Нулевое правило

${\displaystyle \mathbb {D} ^{0}f=f\,}$

Правило продукта

${\displaystyle \mathbb {D} _{t}^{q}(fg)=\sum _{j=0}^{\infty }{q \choose j}\mathbb {D} _{t}^{j}(f)\mathbb {D} _{t}^{q-j}(g)}$

В целом, состав (или полугруппа ) правило является не удовлетворены:^[1]

${\displaystyle \mathbb {D} ^{a}\mathbb {D} ^{b}f\neq \mathbb {D} ^{a+b}f}$

Подборка основных формул

${\displaystyle \mathbb {D} ^{q}(t^{n})={\frac {\Gamma (n+1)}{\Gamma (n+1-q)}}t^{n-q}}$

${\displaystyle \mathbb {D} ^{q}(\sin(t))=\sin \left(t+{\frac {q\pi }{2}}\right)}$

${\displaystyle \mathbb {D} ^{q}(e^{at})=a^{q}e^{at}}$

Смотрите также

• Интегратор дробного порядка

Рекомендации

1. Видеть Килбас, А. А .; Srivastava, H.M .; Трухильо, Дж. Дж. (2006). "2. Дробные интегралы и дробные производные §2.1 Свойство 2.4". Теория и приложения дробных дифференциальных уравнений. Эльзевир. п. 75. ISBN  9780444518323.

• Миллер, Кеннет С. (1993). Росс, Бертрам (ред.). Введение в дробное исчисление и дробно-дифференциальные уравнения. Вайли. ISBN  0-471-58884-9.
• Олдхэм, Кейт Б.; Спаниер, Джером (1974). Дробное исчисление; Теория и приложения дифференцирования и интеграции к произвольному порядку. Математика в науке и технике. V. Академическая пресса. ISBN  0-12-525550-0.
• Подлубный, Игорь (1998). Дробные дифференциальные уравнения. Введение в дробные производные, дробные дифференциальные уравнения, некоторые методы их решения и некоторые их приложения. Математика в науке и технике. 198. Академическая пресса. ISBN  0-12-558840-2.
• Carpinteri, A .; Майнарди, Ф., ред. (1998). Фракталы и дробное исчисление в механике сплошной среды. Springer-Verlag. ISBN  3-211-82913-X.
• Майнарди, Ф. (2010). Дробное исчисление и волны в линейной вязкоупругости: введение в математические модели. Imperial College Press. ISBN  978-1-84816-329-4. Архивировано из оригинал в 2012-05-19.
• Тарасов, В. (2010). Дробная динамика: приложения дробного исчисления к динамике частиц, полей и сред. Нелинейная физическая наука. Springer. ISBN  978-3-642-14003-7.
• Учайкин, В. (2012). Дробные производные для физиков и инженеров. Нелинейная физическая наука. Springer. Bibcode:2013fdpe.book ..... U. ISBN  978-3-642-33910-3.
• Уэст, Брюс Дж .; Болонья, Мауро; Григолини, Паоло (2003). Физика фрактальных операторов. Springer Verlag. ISBN  0-387-95554-2.

внешняя ссылка

• MathWorld - дробное исчисление
• MathWorld - Дробная производная
• Специализированный журнал: Дробное исчисление и прикладной анализ (1998-2014) и Дробное исчисление и прикладной анализ (с 2015 г.)
• Специализированный журнал: Дробные дифференциальные уравнения (ДДУ)
• Специализированный журнал: Связь в дробном исчислении (ISSN  2218-3892 )
• Специализированный журнал: Журнал дробного исчисления и приложений (JFCA)
• Лоренцо, Карл Ф .; Хартли, Том Т. (2002). «Инициализированное дробное исчисление». Информационные технологии. Tech Briefs Media Group.
• https://web.archive.org/web/20040502170831/http://unr.edu/homepage/mcubed/FRG.html
• Коллекция Игоря Подлубного связанных книг, статей, ссылок, программного обеспечения и т. Д.
• Подлубный, И. (2002). «Геометрическая и физическая интерпретация дробного интегрирования и дробного дифференцирования» (PDF). Дробное исчисление и прикладной анализ. 5 (4): 367–386. arXiv:math.CA/0110241. Bibcode:2001математика ..... 10241P.
• Завада, П. (1998). «Оператор дробной производной в комплексной плоскости». Коммуникации по математической физике. 192 (2): 261–285. arXiv:funct-an / 9608002. Bibcode:1998CMaPh.192..261Z. Дои:10.1007 / s002200050299.