Формула Коши для повторного интегрирования - Cauchy formula for repeated integration

В Формула Коши для повторного интегрирования, названный в честь Огюстен Луи Коши, позволяет сжать п антидифференцировки функции в один интеграл (ср. Формула Коши ).

Скалярный случай

Позволять ж - непрерывная функция на прямой. Тогда пth повторяющийся интеграл из ж основанный на а,

${\displaystyle f^{(-n)}(x)=\int _{a}^{x}\int _{a}^{\sigma _{1}}\cdots \int _{a}^{\sigma _{n-1}}f(\sigma _{n})\,\mathrm {d} \sigma _{n}\cdots \,\mathrm {d} \sigma _{2}\,\mathrm {d} \sigma _{1}}$,

дается однократным интегрированием

${\displaystyle f^{(-n)}(x)={\frac {1}{(n-1)!}}\int _{a}^{x}\left(x-t\right)^{n-1}f(t)\,\mathrm {d} t}$.

Доказательство

Доказательство дается индукция. С ж непрерывна, базовый случай следует из основная теорема исчисления:

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}f^{(-1)}(x)={\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\int _{a}^{x}f(t)\,\mathrm {d} t=f(x)}$;

куда

${\displaystyle f^{(-1)}(a)=\int _{a}^{a}f(t)\,\mathrm {d} t=0}$.

Теперь предположим, что это верно для п, и давайте докажем это для п+1. Во-первых, используя Интегральное правило Лейбница, Обратите внимание, что

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\left[{\frac {1}{n!}}\int _{a}^{x}\left(x-t\right)^{n}f(t)\,\mathrm {d} t\right]={\frac {1}{(n-1)!}}\int _{a}^{x}\left(x-t\right)^{n-1}f(t)\,\mathrm {d} t}$.

Тогда, применяя предположение индукции,

${\displaystyle {\begin{aligned}f^{-(n+1)}(x)&=\int _{a}^{x}\int _{a}^{\sigma _{1}}\cdots \int _{a}^{\sigma _{n}}f(\sigma _{n+1})\,\mathrm {d} \sigma _{n+1}\cdots \,\mathrm {d} \sigma _{2}\,\mathrm {d} \sigma _{1}\\&=\int _{a}^{x}{\frac {1}{(n-1)!}}\int _{a}^{\sigma _{1}}\left(\sigma _{1}-t\right)^{n-1}f(t)\,\mathrm {d} t\,\mathrm {d} \sigma _{1}\\&=\int _{a}^{x}{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} \sigma _{1}}}\left[{\frac {1}{n!}}\int _{a}^{\sigma _{1}}\left(\sigma _{1}-t\right)^{n}f(t)\,\mathrm {d} t\right]\,\mathrm {d} \sigma _{1}\\&={\frac {1}{n!}}\int _{a}^{x}\left(x-t\right)^{n}f(t)\,\mathrm {d} t\end{aligned}}}$

Это завершает доказательство.

Обобщения и приложения

Формула Коши обобщается на нецелые параметры с помощью Интеграл Римана-Лиувилля, куда ${\displaystyle n\in \mathbb {Z} _{\geq 0}}$ заменяется на ${\displaystyle \alpha \in \mathbb {C} ,\ {\mathfrak {R}}(\alpha )>0}$, а факториал заменяется на гамма-функция. Две формулы согласуются, когда ${\displaystyle \alpha \in \mathbb {Z} _{\geq 0}}$.

И формула Коши, и интеграл Римана-Лиувилля обобщаются на произвольную размерность с помощью Потенциал Рисса.

В дробное исчисление эти формулы можно использовать для построения разный интегральный, позволяя дифференцировать или интегрировать дробное количество раз. Дробное число раз дифференцировать можно путем дробного интегрирования с последующим дифференцированием результата.

Рекомендации

• Джеральд Б. Фолланд, Расширенный расчет, п. 193, Прентис Холл (2002). ISBN  0-13-065265-2

внешняя ссылка

• Алан Бердон (2000). «Дробное исчисление II». Кембриджский университет.