Функция Миттаг-Леффлера - Mittag-Leffler function

Функцию Миттаг-Леффлера можно использовать для непрерывной интерполяции между гауссовой и лоренцевой функциями.

В математика, то Функция Миттаг-Леффлера E_α,β это специальная функция, а сложный функция который зависит от двух комплексных параметров α и β. Его можно определить следующим образом: серии когда действительная часть α строго положительна:^[1][2]

${\displaystyle E_{\alpha ,\beta }(z)=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {z^{k}}{\Gamma (\alpha k+\beta )}}.}$

где ${\displaystyle \Gamma (x)}$ это гамма-функция. Когда ${\displaystyle \beta =1}$, сокращенно ${\displaystyle E_{\alpha }(z)=E_{\alpha ,1}(z)}$.Для ${\displaystyle \alpha =0}$, указанный выше ряд равен разложению Тейлора геометрического ряда и, следовательно, ${\displaystyle E_{0,\beta }(z)={\frac {1}{\Gamma (\beta )}}{\frac {1}{1-z}}}$.

В этом случае α и β действительны и положительны, ряд сходится для всех значений аргумента z, поэтому функция Миттаг-Леффлера является вся функция. Эта функция названа в честь Гёста Миттаг-Леффлер. Этот класс функций важен в теории дробное исчисление.

Для α > 0 функция Миттаг-Леффлера ${\displaystyle E_{\alpha ,1}(z)}$ - целая функция порядка 1 /α, и в некотором смысле является простейшей целой функцией своего порядка.

Функция Миттаг-Леффлера удовлетворяет свойству рекуррентности (теорема 5.1 из ^[1])

${\displaystyle E_{\alpha ,\beta }(z)={\frac {1}{z}}E_{\alpha ,\beta -\alpha }(z)-{\frac {1}{z\Gamma (\beta -\alpha ),}}}$

откуда Асимптотическое разложение Пуанкаре

${\displaystyle E_{\alpha ,\beta }(z)\sim -\sum _{k=1}{\frac {1}{z^{k}\Gamma (\beta -k\alpha )}}}$

следует, что верно для ${\displaystyle z\to -\infty }$.

Особые случаи

Для ${\displaystyle \alpha =0,1/2,1,2}$ мы находим: (Раздел 2 ^[1])

Функция ошибки:

${\displaystyle E_{\frac {1}{2}}(z)=\exp(z^{2})\operatorname {erfc} (-z).}$

Сумма геометрическая прогрессия:

${\displaystyle E_{0}(z)=\sum _{k=0}^{\infty }z^{k}={\frac {1}{1-z}},\,|z|<1.}$

Экспоненциальная функция:

${\displaystyle E_{1}(z)=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {z^{k}}{\Gamma (k+1)}}=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {z^{k}}{k!}}=\exp(z).}$

Гиперболический косинус:

${\displaystyle E_{2}(z)=\cosh({\sqrt {z}}),{\text{ and }}E_{2}(-z^{2})=\cos(z).}$

Для ${\displaystyle \beta =2}$, у нас есть

${\displaystyle E_{1,2}(z)={\frac {e^{z}-1}{z}},}$

${\displaystyle E_{2,2}(z)={\frac {\sinh({\sqrt {z}})}{\sqrt {z}}}.}$

Для ${\displaystyle \alpha =0,1,2}$, интеграл

${\displaystyle \int _{0}^{z}E_{\alpha }(-s^{2})\,{\mathrm {d} }s}$

дает соответственно: ${\displaystyle \arctan(z)}$, ${\displaystyle {\tfrac {\sqrt {\pi }}{2}}\operatorname {erf} (z)}$, ${\displaystyle \sin(z)}$.

Интегральное представление Миттаг-Леффлера

Интегральное представление функции Миттаг-Леффлера имеет вид (Раздел 6 ^[1])

${\displaystyle E_{\alpha ,\beta }(z)={\frac {1}{2\pi i}}\int _{C}{\frac {t^{\alpha -\beta }e^{t}}{t^{\alpha }-z}}\,dt,\Re (\alpha )>0,\Re (\beta )>0,}$

где контур C начинается и заканчивается в −∞ и обводит вокруг особенностей и точек ветвления подынтегрального выражения.

Связанный с Преобразование Лапласа и Суммирование Миттаг-Леффлера является выражением (уравнение (7.5)) ^[1], при m = 0)

${\displaystyle \int _{0}^{\infty }e^{-tz}t^{\beta -1}E_{\alpha ,\beta }(\pm r\,t^{\alpha })\,dt={\frac {z^{\alpha -\beta }}{z^{\alpha }\mp r}},\Re (z)>0,\Re (\alpha )>0,\Re (\beta )>0.}$

Смотрите также

• Суммирование Миттаг-Леффлера
• Распределение Mittag-Leffler
• Функция Фокса – Райта

Заметки

• р Пакет 'MittagLeffleR' Авторы Gurtek Gill, Peter Straka. Реализует функцию Миттаг-Леффлера, распределение, генерацию случайных переменных и оценку.

использованная литература

1. Saxena, R.K .; Mathai, A. M .; Хобольд, Х. Дж. (1 сентября 2009 г.). «Функции Миттаг-Леффлера и их приложения». arXiv:0909.0230v2.
2. Вайсштейн, Эрик В. «Функция Миттаг-Леффлера». mathworld.wolfram.com. Получено 2019-09-11.

• Mittag-Leffler, M.G .: Sur la nouvelle fonction E (x). C. R. Acad. Sci. Париж, 137, 554–558 (1903)
• Mittag-Leffler, M.G .: Sopra la funzione E˛.x /. Ренд. R. Acc. Линчеи, (сер. 5) 13, 3–5 (1904).
• Горенфло Р., Килбас А.А., Майнарди Ф., Рогозин С.В., Функции Миттаг-Леффлера, связанные темы и приложения (Springer, Нью-Йорк, 2014) 443 страницы ISBN  978-3-662-43929-6
• Игорь Подлубный (1998). "глава 1". Дробные дифференциальные уравнения. Введение в дробные производные, дробные дифференциальные уравнения, некоторые методы их решения и некоторые их приложения. Математика в науке и технике. Академическая пресса. ISBN  0-12-558840-2.
• Кай Дитхельм (2010). "Глава 4". Анализ дробных дифференциальных уравнений: прикладное изложение с использованием дифференциальных операторов типа Капуто. Конспект лекций по математике. Гейдельберг и Нью-Йорк: Springer-Verlag. ISBN  978-3-642-14573-5.

внешние ссылки

• Функция Миттаг-Леффлера справочник по математике mathHandbook.com
• Функция Миттаг-Леффлера: код MATLAB
• Миттаг-Леффлер и стабильные случайные числа: случайные блуждания в непрерывном времени и стохастическое решение пространственно-временных уравнений дробной диффузии

В этой статье использован материал из функции Миттаг-Леффлера по PlanetMath, который находится под лицензией Лицензия Creative Commons Attribution / Share-Alike.