Суммирование Миттаг-Леффлера - Mittag-Leffler summation

В математике Суммирование Миттаг-Леффлера любой из нескольких вариантов Борелевское суммирование метод суммирования возможно расходящийся формальный степенной ряд, представлен Mittag-Leffler  (1908 )

Определение

Позволять

${\displaystyle y(z)=\sum _{k=0}^{\infty }y_{k}z^{k}}$

быть формальный степенной ряд в z.

Определите преобразование ${\displaystyle \scriptstyle {\mathcal {B}}_{\alpha }y}$ из ${\displaystyle \scriptstyle y}$ от

${\displaystyle {\mathcal {B}}_{\alpha }y(t)\equiv \sum _{k=0}^{\infty }{\frac {y_{k}}{\Gamma (1+\alpha k)}}t^{k}}$

Тогда Сумма Миттаг-Леффлера из у дан кем-то

${\displaystyle \lim _{\alpha \rightarrow 0}{\mathcal {B}}_{\alpha }y(z)}$

если каждая сумма сходится и предел существует.

Близкий метод суммирования, также называемый суммированием Миттаг-Леффлера, имеет следующий вид (Сансон и Герретсен 1960 Предположим, что преобразование Бореля ${\displaystyle {\mathcal {B}}_{1}y(z)}$ сходится к аналитическая функция около 0, что может быть аналитически продолжение вдоль положительная действительная ось к функции, растущей достаточно медленно, чтобы следующий интеграл был корректно определен (как несобственный интеграл). Тогда Сумма Миттаг-Леффлера из у дан кем-то

${\displaystyle \int _{0}^{\infty }e^{-t}{\mathcal {B}}_{\alpha }y(t^{\alpha }z)\,dt}$

Когда α = 1 это то же самое, что Суммирование по Борелю.

Смотрите также

• Функция Миттаг-Леффлера
• Теорема Нахбина

использованная литература

• «Метод суммирования Миттаг-Леффлера», Энциклопедия математики, EMS Press, 2001 [1994]
• Миттаг-Леффлер, Г. (1908), "Sur la représentation arithmétique des fonctions analytiques d'une variable complexe", Atti del IV Congresso Internazionale dei Matematici (Рим, 6–11 апреля 1908 г.), я, стр. 67–86, архивировано с оригинал на 2016-09-24, получено 2012-11-02
• Сансоне, Джованни; Герретсен, Йохан (1960), Лекции по теории функций комплексного переменного. I. Голоморфные функции, П. Нордхофф, Гронинген, Г-Н  0113988