Распределение Mittag-Leffler - Mittag-Leffler distribution

В Распределения Миттаг-Леффлера две семьи распределения вероятностей на полпути ${\displaystyle [0,\infty )}$. Они параметризованы реальным ${\displaystyle \alpha \in (0,1]}$ или ${\displaystyle \alpha \in [0,1]}$. Оба определены с помощью Функция Миттаг-Леффлера, названный в честь Гёста Миттаг-Леффлер.^[1]

Функция Миттаг-Леффлера

Для любого комплекса ${\displaystyle \alpha }$ чья действительная часть положительна, серия

${\displaystyle E_{\alpha }(z):=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {z^{n}}{\Gamma (1+\alpha n)}}}$

определяет целую функцию. Для ${\displaystyle \alpha =0}$, ряд сходится только на круге радиуса один, но аналитически продолжается до ${\displaystyle \mathbb {C} -\{1\}}$.

Первое семейство распределений Миттаг-Леффлера

Первое семейство распределений Миттаг-Леффлера определяется соотношением между функцией Миттаг-Леффлера и их кумулятивные функции распределения.

Для всех ${\displaystyle \alpha \in (0,1]}$, функция ${\displaystyle E_{\alpha }}$ возрастает на прямой, сходится к ${\displaystyle 0}$ в ${\displaystyle -\infty }$, и ${\displaystyle E_{\alpha }(0)=1}$. Следовательно, функция ${\displaystyle x\mapsto 1-E_{\alpha }(-x^{\alpha })}$ - кумулятивная функция распределения вероятностной меры неотрицательных действительных чисел. Определенное таким образом распределение и любое его кратное распределение называется распределением Миттаг-Леффлера порядка ${\displaystyle \alpha }$.

Все эти распределения вероятностей абсолютно непрерывный. поскольку ${\displaystyle E_{1}}$ - экспоненциальная функция, распределение Миттаг-Леффлера порядка ${\displaystyle 1}$ является экспоненциальное распределение. Однако для ${\displaystyle \alpha \in (0,1)}$, распределения Миттаг-Леффлера равны с тяжелым хвостом. Их преобразование Лапласа определяется следующим образом:

${\displaystyle \mathbb {E} (e^{-\lambda X_{\alpha }})={\frac {1}{1+\lambda ^{\alpha }}},}$

откуда следует, что при ${\displaystyle \alpha \in (0,1)}$, ожидание бесконечно. Кроме того, эти дистрибутивы геометрические устойчивые распределения. Здесь можно найти процедуры оценки параметров.^[2][3]

Второе семейство распределений Миттаг-Леффлера

Второе семейство распределений Миттаг-Леффлера определяется соотношением между функцией Миттаг-Леффлера и их производящие моменты.

Для всех ${\displaystyle \alpha \in [0,1]}$, случайная величина ${\displaystyle X_{\alpha }}$ называется распределением Миттаг-Леффлера порядка ${\displaystyle \alpha }$ если для некоторой константы ${\displaystyle C>0}$,

${\displaystyle \mathbb {E} (e^{zX_{\alpha }})=E_{\alpha }(Cz),}$

где сходимость означает все ${\displaystyle z}$ в комплексной плоскости, если ${\displaystyle \alpha \in (0,1]}$, и все ${\displaystyle z}$ в круге радиуса ${\displaystyle 1/C}$ если ${\displaystyle \alpha =0}$.

Распределение порядка Миттаг-Леффлера ${\displaystyle 0}$ - экспоненциальное распределение. Распределение порядка Миттаг-Леффлера ${\displaystyle 1/2}$ - распределение абсолютного значения нормальное распределение случайная переменная. Распределение порядка Миттаг-Леффлера ${\displaystyle 1}$ это вырожденное распределение. В отличие от первого семейства распределения Миттаг-Леффлера, эти распределения не являются «тяжелыми».

Эти распределения обычно находятся в связи с местным временем марковских процессов.

использованная литература

1. Х. Дж. Хобольд А. М. Матхай (2009). Материалы третьего семинара ООН / ЕКА / НАСА по Международному гелиофизическому году 2007 и фундаментальной космической науке: Национальная астрономическая обсерватория Японии. Труды по астрофизике и космической науке. Springer. п. 79. ISBN  978-3-642-03325-4.
2. ДЕЛАТЬ. Чахой В.В. Уайкин В.А.Войчинский (2010). «Оценка параметров дробных пуассоновских процессов». Журнал статистического планирования и вывода. 140 (11): 3106–3120. arXiv:1806.02774. Дои:10.1016 / j.jspi.2010.04.016.
3. ДЕЛАТЬ. Кахой (2013). «Оценка параметров Миттаг-Леффлера». Коммуникации в статистике - моделирование и вычисления. 42 (2): 303–315. arXiv:1806.02792. Дои:10.1080/03610918.2011.640094.