Лямбда-распределение Уилкса - Wilkss lambda distribution - Wikipedia

В статистика, Лямбда-распределение Уилкса (назван в честь Сэмюэл С. Уилкс ), это распределение вероятностей используется в многомерный проверка гипотезы, особенно в отношении критерий отношения правдоподобия и многомерный дисперсионный анализ (МАНОВА).

Определение

Лямбда-распределение Уилкса определяется из двух независимый Wishart распространял переменные как соотношение распределения от их детерминанты,^[1]

данный

${\displaystyle \mathbf {A} \sim W_{p}(\Sigma ,m)\qquad \mathbf {B} \sim W_{p}(\Sigma ,n)}$

независимый и с ${\displaystyle m\geq p}$

${\displaystyle \lambda ={\frac {\det(\mathbf {A} )}{\det(\mathbf {A+B} )}}={\frac {1}{\det(\mathbf {I} +\mathbf {A} ^{-1}\mathbf {B} )}}\sim \Lambda (p,m,n)}$

куда п количество измерений. В контексте тесты отношения правдоподобия м обычно является степенью свободы ошибки, и п - это гипотеза степеней свободы, так что ${\displaystyle n+m}$ это полные степени свободы.^[1]

Приближения

Вычисления или таблицы распределения Уилкса для более высоких измерений недоступны, и обычно прибегают к приближениям. М. С. Бартлетт и работает на м^[2] позволяет аппроксимировать лямбду Уилкса с помощью распределение хи-квадрат

${\displaystyle \left({\frac {p-n+1}{2}}-m\right)\log \Lambda (p,m,n)\sim \chi _{np}^{2}.}$^[1]

Другое приближение приписывается К. Р. Рао.^[1][3]

Характеристики

Между параметрами распределения Уилкса существует симметрия:^[1]

${\displaystyle \Lambda (p,m,n)\sim \Lambda (n,m+n-p,p)}$

Связанные дистрибутивы

Распределение может быть связано с продуктом независимый бета-распределенный случайные переменные

${\displaystyle u_{i}\sim B\left({\frac {m+1-i}{2}},{\frac {n}{2}}\right)}$

${\displaystyle \prod _{i=1}^{p}u_{i}\sim \Lambda (p,m,n).}$

Таким образом, его можно рассматривать как многомерное обобщение бета-распределения.

Отсюда непосредственно следует, что для одномерной задачи, когда распределения Уишарта одномерны с ${\displaystyle p=1}$ (т.е.распределение хи-квадрат), то распределение Уилкса равно бета-распределению с определенным набором параметров,

${\displaystyle \Lambda (1,m,n)\sim B\left({\frac {m}{2}},{\frac {n}{2}}\right).}$

Из отношений между бета и F-распределение, Лямбда Уилкса может быть связана с F-распределением, когда один из параметров лямбда-распределения Уилкса равен 1 или 2, например,^[1]

${\displaystyle {\frac {1-\Lambda (p,m,1)}{\Lambda (p,m,1)}}\sim {\frac {p}{m-p+1}}F_{p,m-p+1},}$

и

${\displaystyle {\frac {1-{\sqrt {\Lambda (p,m,2)}}}{\sqrt {\Lambda (p,m,2)}}}\sim {\frac {p}{m-p+1}}F_{2p,2(m-p+1)}.}$

Смотрите также

• Распределение хи-квадрат
• Распределение Дирихле
• F-распределение
• Гамма-распределение
• Хотеллинга Т-квадратное распределение
• Студенты т-распределение
• Распределение Уишарта

Рекомендации

1. Канти Мардиа, Джон Т. Кент и Джон Бибби (1979). Многомерный анализ. Академическая пресса. ISBN  0-12-471250-9.
2. М. С. Бартлетт (1954). "Примечание о множителях для различных ${\displaystyle \chi ^{2}}$ Приближения ». J R Stat Soc Ser B. 16 (2): 296–298. JSTOR  2984057.
3. К. Р. Рао (1951). "Асимптотическое расширение распределения критерия Уилкса". Bulletin de l'Institut International de Statistique. 33: 177–180.