Распределение Уишарта - Wishart distribution

Wishart

Обозначение	Икс ~ Wп(V, п)
Параметры	п > п − 1 степени свободы (настоящий ) V > 0 масштабная матрица (п × п поз. def )
Поддержка	Икс(п × п) положительно определенная матрица
PDF	${\displaystyle f_{\mathbf {X} }(\mathbf {x} )={\frac {|\mathbf {x} |^{(n-p-1)/2}e^{-\operatorname {tr} (\mathbf {V} ^{-1}\mathbf {x} )/2}}{2^{\frac {np}{2}}|{\mathbf {V} }|^{n/2}\Gamma _{p}({\frac {n}{2}})}}}$ Γп это многомерная гамма-функция tr это след функция
Значить	${\displaystyle \operatorname {E} [X]=n{\mathbf {V} }}$
Режим	(п − п − 1)V для п ≥ п + 1
Дисперсия	${\displaystyle \operatorname {Var} (\mathbf {X} _{ij})=n\left(v_{ij}^{2}+v_{ii}v_{jj}\right)}$
Энтропия	см. ниже
CF	${\displaystyle \Theta \mapsto \left|{\mathbf {I} }-2i\,{\mathbf {\Theta } }{\mathbf {V} }\right|^{-{\frac {n}{2}}}}$

В статистика, то Распределение Уишарта является обобщением нескольких измерений гамма-распределение. Назван в честь Джон Уишарт, который первым сформулировал распределение в 1928 году.^[1][2]

Это семья распределения вероятностей определяется над симметричным, неотрицательно-определенный матрица -значен случайные переменные («Случайные матрицы»). Эти распределения имеют большое значение в оценка ковариационных матриц в многомерная статистика. В Байесовская статистика, распределение Уишарта - это сопряженный предшествующий из обратный ковариационная матрица из многомерный нормальный случайный вектор.^[3]

Определение

Предположим г это п × п матрица, каждый столбец которой независимо взят из п-вариантное нормальное распределение с нулевым средним:

${\displaystyle G_{i}=(g_{i}^{1},\dots ,g_{i}^{p})^{T}\sim N_{p}(0,V).}$

Тогда распределение Уишарта - это распределение вероятностей из п × п случайная матрица ^[4]

${\displaystyle S=GG^{T}=\sum _{i=1}^{n}G_{i}G_{i}^{T}}$

известный как матрица рассеяния. Один указывает, что S имеет это распределение вероятностей, написав

${\displaystyle S\sim W_{p}(V,n).}$

Положительное целое число п это количество степени свободы. Иногда это пишут W(V, п, п). Для п ≥ п матрица S обратима с вероятностью 1 если V обратимо.

Если п = V = 1 то это распределение является распределение хи-квадрат с участием п степени свободы.

Вхождение

Распределение Уишарта возникает как распределение выборочной ковариационной матрицы для выборки из многомерное нормальное распределение. Часто встречается в тесты отношения правдоподобия в многомерном статистическом анализе. Он также возникает в спектральной теории случайные матрицы^{[нужна цитата ]} и в многомерном байесовском анализе.^[5] Он также встречается в беспроводной связи, при анализе производительности Замирание Рэлея MIMO беспроводные каналы.^[6]

Функция плотности вероятности

Распределение Уишарта можно характеризует своим функция плотности вероятности следующим образом:

Позволять Икс быть п × п симметричная матрица случайных величин, которая положительно определенный. Позволять V - (фиксированная) симметричная положительно определенная матрица размера п × п.

Тогда, если п ≥ п, Икс имеет распределение Уишарта с п степени свободы, если он имеет функция плотности вероятности

${\displaystyle f_{\mathbf {X} }(\mathbf {x} )={\frac {1}{2^{np/2}\left|{\mathbf {V} }\right|^{n/2}\Gamma _{p}\left({\frac {n}{2}}\right)}}{\left|\mathbf {x} \right|}^{(n-p-1)/2}e^{-(1/2)\operatorname {tr} ({\mathbf {V} }^{-1}\mathbf {x} )}}$

где ${\displaystyle \left|{\mathbf {x} }\right|}$ это детерминант из ${\displaystyle \mathbf {x} }$ и Γ_п это многомерная гамма-функция определяется как

${\displaystyle \Gamma _{p}\left({\frac {n}{2}}\right)=\pi ^{p(p-1)/4}\prod _{j=1}^{p}\Gamma \left({\frac {n}{2}}-{\frac {j-1}{2}}\right).}$

Плотность выше не является совместной плотностью всех ${\displaystyle p^{2}}$ элементы случайной матрицы Икс (такой ${\displaystyle p^{2}}$-размерный плотности не существует из-за ограничений симметрии ${\displaystyle X_{ij}=X_{ji}}$), это скорее совместная плотность ${\displaystyle p(p+1)/2}$ элементы ${\displaystyle X_{ij}}$ для ${\displaystyle i\leq j}$ (^[1], стр.38). Кроме того, приведенная выше формула плотности применима только к положительно определенным матрицам ${\displaystyle \mathbf {x} ;}$ для остальных матриц плотность равна нулю.

Совместная плотность собственных значений для собственных значений ${\displaystyle \lambda _{1},\dots \lambda _{p}\geq 0}$ случайной матрицы ${\displaystyle \mathbf {X} \sim W_{p}(\mathbf {I} ,n)}$ является ^[7], ^[8]

${\displaystyle c_{n,p}e^{-{\frac {1}{2}}\sum _{i}\lambda _{i}}\prod \lambda _{i}^{(n-p-1)/2}\prod _{i<j}|\lambda _{i}-\lambda _{j}|}$

где ${\displaystyle c_{n,p}}$является константой.

Фактически, приведенное выше определение можно распространить на любые реальные п > п − 1. Если п ≤ п − 1, то Wishart больше не имеет плотности - вместо этого оно представляет собой сингулярное распределение, которое принимает значения в подпространстве более низкой размерности пространства п × п матрицы.^[9]

Использование в байесовской статистике

В Байесовская статистика, в контексте многомерное нормальное распределение, распределение Уишарта является сопряженным до матрицы точности Ω = Σ⁻¹, где Σ - ковариационная матрица.^[10]:135

Выбор параметров

Наименее информативный, правильный априор Уишарта получается путем установки п = п.^{[нужна цитата ]}

Предыдущее среднее значение W_п(V, п) является пV, предполагая, что разумный выбор для V было бы п⁻¹Σ₀⁻¹, где Σ₀ является предварительным предположением для ковариационной матрицы.

Свойства

Лог-ожидание

Следующая формула играет роль в вариационный байесовский выводы для Байесовские сети с участием распределения Уишарта: ^[10]:693

${\displaystyle \operatorname {E} [\,\ln \left|\mathbf {X} \right|\,]=\psi _{p}\left({\frac {n}{2}}\right)+p\,\ln(2)+\ln |\mathbf {V} |}$

где ${\displaystyle \psi _{p}}$ - многомерная дигамма-функция (производная от логарифма многомерная гамма-функция ).

Логарифмическая дисперсия

Следующее вычисление дисперсии может помочь в байесовской статистике:

${\displaystyle \operatorname {Var} \left[\,\ln \left|\mathbf {X} \right|\,\right]=\sum _{i=1}^{p}\psi _{1}\left({\frac {n+1-i}{2}}\right)}$

где ${\displaystyle \psi _{1}}$ - это тригамма-функция. Это возникает при вычислении информации Фишера случайной величины Уишарта.

Энтропия

В информационная энтропия распределения имеет следующую формулу:^[10]:693

${\displaystyle \operatorname {H} \left[\,\mathbf {X} \,\right]=-\ln \left(B(\mathbf {V} ,n)\right)-{\frac {n-p-1}{2}}\operatorname {E} \left[\,\ln \left|\mathbf {X} \right|\,\right]+{\frac {np}{2}}}$

где B(V, п) это нормализующая константа распределения:

${\displaystyle B(\mathbf {V} ,n)={\frac {1}{\left|\mathbf {V} \right|^{n/2}2^{np/2}\Gamma _{p}\left({\frac {n}{2}}\right)}}.}$

Это можно расширить следующим образом:

${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {H} \left[\,\mathbf {X} \,\right]&={\frac {n}{2}}\ln \left|\mathbf {V} \right|+{\frac {np}{2}}\ln 2+\ln \Gamma _{p}\left({\frac {n}{2}}\right)-{\frac {n-p-1}{2}}\operatorname {E} \left[\,\ln \left|\mathbf {X} \right|\,\right]+{\frac {np}{2}}\\[8pt]&={\frac {n}{2}}\ln \left|\mathbf {V} \right|+{\frac {np}{2}}\ln 2+\ln \Gamma _{p}\left({\frac {n}{2}}\right)-{\frac {n-p-1}{2}}\left(\psi _{p}\left({\frac {n}{2}}\right)+p\ln 2+\ln \left|\mathbf {V} \right|\right)+{\frac {np}{2}}\\[8pt]&={\frac {n}{2}}\ln \left|\mathbf {V} \right|+{\frac {np}{2}}\ln 2+\ln \Gamma _{p}\left({\frac {n}{2}}\right)-{\frac {n-p-1}{2}}\psi _{p}\left({\frac {n}{2}}\right)-{\frac {n-p-1}{2}}\left(p\ln 2+\ln \left|\mathbf {V} \right|\right)+{\frac {np}{2}}\\[8pt]&={\frac {p+1}{2}}\ln \left|\mathbf {V} \right|+{\frac {1}{2}}p(p+1)\ln 2+\ln \Gamma _{p}\left({\frac {n}{2}}\right)-{\frac {n-p-1}{2}}\psi _{p}\left({\frac {n}{2}}\right)+{\frac {np}{2}}\end{aligned}}}$

Кросс-энтропия

В перекрестная энтропия двух распределений Уишарта ${\displaystyle p_{0}}$ с параметрами ${\displaystyle n_{0},V_{0}}$ и ${\displaystyle p_{1}}$ с параметрами ${\displaystyle n_{1},V_{1}}$ является

${\displaystyle {\begin{aligned}H(p_{0},p_{1})&=\operatorname {E} _{p_{0}}[\,-\log p_{1}\,]\\[8pt]&=\operatorname {E} _{p_{0}}\left[\,-\log {\frac {\left|\mathbf {X} \right|^{(n_{1}-p_{1}-1)/2}e^{-\operatorname {tr} (\mathbf {V} _{1}^{-1}\mathbf {X} )/2}}{2^{n_{1}p_{1}/2}\left|\mathbf {V} _{1}\right|^{n_{1}/2}\Gamma _{p_{1}}\left({\tfrac {n_{1}}{2}}\right)}}\right]\\[8pt]&={\tfrac {n_{1}p_{1}}{2}}\log 2+{\tfrac {n_{1}}{2}}\log \left|\mathbf {V} _{1}\right|+\log \Gamma _{p_{1}}({\tfrac {n_{1}}{2}})-{\tfrac {n_{1}-p_{1}-1}{2}}\operatorname {E} _{p_{0}}\left[\,\log \left|\mathbf {X} \right|\,\right]+{\tfrac {1}{2}}\operatorname {E} _{p_{0}}\left[\,\operatorname {tr} \left(\,\mathbf {V} _{1}^{-1}\mathbf {X} \,\right)\,\right]\\[8pt]&={\tfrac {n_{1}p_{1}}{2}}\log 2+{\tfrac {n_{1}}{2}}\log \left|\mathbf {V} _{1}\right|+\log \Gamma _{p_{1}}({\tfrac {n_{1}}{2}})-{\tfrac {n_{1}-p_{1}-1}{2}}\left(\psi _{p_{0}}({\tfrac {n_{0}}{2}})+p_{0}\log 2+\log \left|\mathbf {V} _{0}\right|\right)+{\tfrac {1}{2}}\operatorname {tr} \left(\,\mathbf {V} _{1}^{-1}n_{0}\mathbf {V} _{0}\,\right)\\[8pt]&=-{\tfrac {n_{1}}{2}}\log \left|\,\mathbf {V} _{1}^{-1}\mathbf {V} _{0}\,\right|+{\tfrac {p_{1}+1}{2}}\log \left|\mathbf {V} _{0}\right|+{\tfrac {n_{0}}{2}}\operatorname {tr} \left(\,\mathbf {V} _{1}^{-1}\mathbf {V} _{0}\right)+\log \Gamma _{p_{1}}\left({\tfrac {n_{1}}{2}}\right)-{\tfrac {n_{1}-p_{1}-1}{2}}\psi _{p_{0}}({\tfrac {n_{0}}{2}})+{\tfrac {n_{1}(p_{1}-p_{0})+p_{0}(p_{1}+1)}{2}}\log 2\end{aligned}}}$

Обратите внимание, что когда ${\displaystyle p_{0}=p_{1}}$ и ${\displaystyle n_{0}=n_{1}}$мы восстанавливаем энтропию.

KL-дивергенция

В Дивергенция Кульбака – Лейблера из ${\displaystyle p_{1}}$ от ${\displaystyle p_{0}}$ является

${\displaystyle {\begin{aligned}D_{KL}(p_{0}\|p_{1})&=H(p_{0},p_{1})-H(p_{0})\\[6pt]&=-{\frac {n_{1}}{2}}\log |\mathbf {V} _{1}^{-1}\mathbf {V} _{0}|+{\frac {n_{0}}{2}}(\operatorname {tr} (\mathbf {V} _{1}^{-1}\mathbf {V} _{0})-p)+\log {\frac {\Gamma _{p}\left({\frac {n_{1}}{2}}\right)}{\Gamma _{p}\left({\frac {n_{0}}{2}}\right)}}+{\tfrac {n_{0}-n_{1}}{2}}\psi _{p}\left({\frac {n_{0}}{2}}\right)\end{aligned}}}$

Характеристическая функция

В характеристическая функция распределения Уишарта составляет

${\displaystyle \Theta \mapsto \left|\,{\mathbf {I} }-2i\,{\mathbf {\Theta } }\,{\mathbf {V} }\,\right|^{-n/2}.}$

Другими словами,

${\displaystyle \Theta \mapsto \operatorname {E} \left[\,\exp \left(\,i\operatorname {tr} \left(\,\mathbf {X} {\mathbf {\Theta } }\,\right)\,\right)\,\right]=\left|\,{\mathbf {I} }-2i\,{\mathbf {\Theta } }\,{\mathbf {V} }\,\right|^{-n/2}}$

где E [⋅] обозначает ожидание. (Вот Θ и я матрицы того же размера, что и V(я это единичная матрица ); и я является квадратным корнем из −1).^[8]

Поскольку диапазон определителя содержит замкнутую линию через начало координат для размеров матрицы больше двух, приведенная выше формула верна только для малых значений переменной Фурье. (увидеть arXiv:1901.09347 )

Теорема

Если п × п случайная матрица Икс имеет распределение Уишарта с м матрица степеней свободы и дисперсии V - записывать ${\displaystyle \mathbf {X} \sim {\mathcal {W}}_{p}({\mathbf {V} },m)}$ - и C это q × п матрица ранг q, тогда ^[11]

${\displaystyle \mathbf {C} \mathbf {X} {\mathbf {C} }^{T}\sim {\mathcal {W}}_{q}\left({\mathbf {C} }{\mathbf {V} }{\mathbf {C} }^{T},m\right).}$

Следствие 1.

Если z ненулевой п × 1 постоянный вектор, тогда:^[11]

${\displaystyle {\mathbf {z} }^{T}\mathbf {X} {\mathbf {z} }\sim \sigma _{z}^{2}\chi _{m}^{2}.}$

В таком случае, ${\displaystyle \chi _{m}^{2}}$ это распределение хи-квадрат и ${\displaystyle \sigma _{z}^{2}={\mathbf {z} }^{T}{\mathbf {V} }{\mathbf {z} }}$ (Обратите внимание, что ${\displaystyle \sigma _{z}^{2}}$ постоянная; это положительно, потому что V положительно определен).

Следствие 2.

Рассмотрим случай, когда z^Т = (0, ..., 0, 1, 0, ..., 0) (это j-й элемент равен единице, а все остальные - нулю). Тогда следствие 1 показывает, что

${\displaystyle w_{jj}\sim \sigma _{jj}\chi _{m}^{2}}$

дает предельное распределение каждого из элементов на диагонали матрицы.

Джордж Себер указывает, что распределение Уишарта не называется «многомерным распределением хи-квадрат», потому что маргинальное распределение недиагональные элементы не является хи-квадрат. Себер предпочитает оставить срок многомерный для случая, когда все одномерные маргиналы принадлежат к одному семейству.^[12]

Оценщик многомерного нормального распределения

Распределение Уишарта - это выборочное распределение из оценщик максимального правдоподобия (MLE) ковариационная матрица из многомерное нормальное распределение.^[13] А вывод MLE использует спектральная теорема.

Разложение Бартлетта

В Разложение Бартлетта матрицы Икс из п-вариантное распределение Уишарта с масштабной матрицей V и п степеней свободы - это факторизация:

${\displaystyle \mathbf {X} ={\textbf {L}}{\textbf {A}}{\textbf {A}}^{T}{\textbf {L}}^{T},}$

где L это Фактор холецкого из V, и:

${\displaystyle \mathbf {A} ={\begin{pmatrix}c_{1}&0&0&\cdots &0\\n_{21}&c_{2}&0&\cdots &0\\n_{31}&n_{32}&c_{3}&\cdots &0\\\vdots &\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\n_{p1}&n_{p2}&n_{p3}&\cdots &c_{p}\end{pmatrix}}}$

где ${\displaystyle c_{i}^{2}\sim \chi _{n-i+1}^{2}}$ и п_ij ~ N(0, 1) независимо.^[14] Это обеспечивает полезный метод получения случайных выборок из распределения Уишарта.^[15]

Предельное распределение матричных элементов

Позволять V быть 2 × 2 матрица дисперсии, характеризующаяся коэффициент корреляции −1 < ρ < 1 и L его нижний фактор Холецкого:

${\displaystyle \mathbf {V} ={\begin{pmatrix}\sigma _{1}^{2}&\rho \sigma _{1}\sigma _{2}\\\rho \sigma _{1}\sigma _{2}&\sigma _{2}^{2}\end{pmatrix}},\qquad \mathbf {L} ={\begin{pmatrix}\sigma _{1}&0\\\rho \sigma _{2}&{\sqrt {1-\rho ^{2}}}\sigma _{2}\end{pmatrix}}}$

Умножая на разложение Бартлетта выше, мы обнаруживаем, что случайная выборка из 2 × 2 Распределение Уишарта

${\displaystyle \mathbf {X} ={\begin{pmatrix}\sigma _{1}^{2}c_{1}^{2}&\sigma _{1}\sigma _{2}\left(\rho c_{1}^{2}+{\sqrt {1-\rho ^{2}}}c_{1}n_{21}\right)\\\sigma _{1}\sigma _{2}\left(\rho c_{1}^{2}+{\sqrt {1-\rho ^{2}}}c_{1}n_{21}\right)&\sigma _{2}^{2}\left(\left(1-\rho ^{2}\right)c_{2}^{2}+\left({\sqrt {1-\rho ^{2}}}n_{21}+\rho c_{1}\right)^{2}\right)\end{pmatrix}}}$

Диагональные элементы, наиболее очевидно в первом элементе, следуют за χ² распространение с п степени свободы (в масштабе σ²) как и ожидалось. Недиагональный элемент менее знаком, но может быть идентифицирован как нормальная смесь средних дисперсий где плотность смешения χ² распространение. Следовательно, соответствующая предельная плотность вероятности для недиагонального элемента равна дисперсионно-гамма-распределение

${\displaystyle f(x_{12})={\frac {\left|x_{12}\right|^{\frac {n-1}{2}}}{\Gamma \left({\frac {n}{2}}\right){\sqrt {2^{n-1}\pi \left(1-\rho ^{2}\right)\left(\sigma _{1}\sigma _{2}\right)^{n+1}}}}}\cdot K_{\frac {n-1}{2}}\left({\frac {\left|x_{12}\right|}{\sigma _{1}\sigma _{2}\left(1-\rho ^{2}\right)}}\right)\exp {\left({\frac {\rho x_{12}}{\sigma _{1}\sigma _{2}(1-\rho ^{2})}}\right)}}$

где K_ν(z) это модифицированная функция Бесселя второго рода.^[16] Подобные результаты могут быть получены для более высоких измерений, но взаимозависимость недиагональных корреляций становится все более сложной. Также можно записать момент-производящая функция даже в нецентральный случай (по сути п-я сила Крейга (1936)^[17] уравнение 10), хотя плотность вероятности становится бесконечной суммой функций Бесселя.

Диапазон параметра формы

Это можно показать ^[18] что распределение Уишарта можно определить тогда и только тогда, когда параметр формы п принадлежит набору

${\displaystyle \Lambda _{p}:=\{0,\ldots ,p-1\}\cup \left(p-1,\infty \right).}$

Этот набор назван в честь представившего его Гиндикина.^[19] в семидесятые годы в контексте гамма-распределений на однородных конусах. Однако для новых параметров в дискретном спектре ансамбля Гиндикина, а именно:

${\displaystyle \Lambda _{p}^{*}:=\{0,\ldots ,p-1\},}$

соответствующее распределение Уишарта не имеет плотности Лебега.

Связь с другими дистрибутивами

• Распределение Уишарта связано с обратное распределение Вишарта, обозначаемый ${\displaystyle W_{p}^{-1}}$, следующим образом: Если Икс ~ W_п(V, п) и если мы сделаем замену переменных C = Икс⁻¹, тогда ${\displaystyle \mathbf {C} \sim W_{p}^{-1}(\mathbf {V} ^{-1},n)}$. Это соотношение можно вывести, отметив, что абсолютное значение Определитель якобиана этой замены переменных |C|^п+1см., например, уравнение (15.15) в.^[20]
• В Байесовская статистика, распределение Уишарта является сопряженный предшествующий для параметр точности из многомерное нормальное распределение, когда известен средний параметр.^[10]
• Обобщением является многомерное гамма-распределение.
• Другой тип обобщения - это нормальное распределение Вишарта, по сути, продукт многомерное нормальное распределение с распределением Уишарта.

Смотрите также

• Распределение хи-квадрат
• Комплексное распределение Уишарта
• F-распределение
• Гамма-распределение
• Распределение Т-квадрата Хотеллинга
• Распределение обратного Вишарта
• Многомерное гамма-распределение
• Распределение Стьюдента
• Лямбда-распределение Уилкса

использованная литература

1. Уишарт, Дж. (1928). «Обобщенное распределение момента продукта в выборках из нормальной многомерной совокупности». Биометрика. 20А (1–2): 32–52. Дои:10.1093 / biomet / 20A.1-2.32. JFM  54.0565.02. JSTOR  2331939.
2. Эконофизика: Введение, С. Синха
3. Куп, Гэри; Коробилис, Димитрис (2010). «Байесовские методы многомерных временных рядов для эмпирической макроэкономики». Основы и тенденции в эконометрике. 3 (4): 267–358. Дои:10.1561/0800000013.
4. Гупта, А. К .; Нагар, Д. К. (2000). Матричные распределения переменных. Чепмен и Холл / CRC. ISBN  1584880465.
5. Гельман, Андрей (2003). Байесовский анализ данных (2-е изд.). Бока-Ратон, Флорида: Chapman & Hall. п. 582. ISBN  158488388X. Получено 3 июн 2015.
6. Zanella, A .; Chiani, M .; Win, M.Z. (Апрель 2009 г.). «О маргинальном распределении собственных значений матриц Уишарта» (PDF). Транзакции IEEE по коммуникациям. 57 (4): 1050–1060. Дои:10.1109 / TCOMM.2009.04.070143.
7. Мюрхед, Робб Дж. (2005). Аспекты многомерной статистической теории (2-е изд.). Wiley Interscience. ISBN  0471769851.
8. Андерсон, Т. (2003). Введение в многомерный статистический анализ (3-е изд.). Хобокен, Н. Дж .: Wiley Interscience. п. 259. ISBN  0-471-36091-0.
9. Улиг, Х. (1994). "О сингулярном распределении Уишарта и сингулярном многомерном бета-распределении". Анналы статистики. 22: 395–405. Дои:10.1214 / aos / 1176325375.
10. Бишоп, К. М. (2006). Распознавание образов и машинное обучение. Springer.
11. Рао, К. Р. (1965). Линейный статистический вывод и его приложения. Вайли. п. 535.
12. Себер, Джордж А. Ф. (2004). Многовариантные наблюдения. Wiley. ISBN  978-0471691211.
13. Chatfield, C .; Коллинз, А. Дж. (1980). Введение в многомерный анализ. Лондон: Чепмен и Холл. стр.103–108. ISBN  0-412-16030-7.
14. Андерсон, Т. (2003). Введение в многомерный статистический анализ (3-е изд.). Хобокен, Н. Дж .: Wiley Interscience. п. 257. ISBN  0-471-36091-0.
15. Smith, W. B .; Хокинг, Р. Р. (1972). «Алгоритм AS 53: Генератор переменной Уишарта». Журнал Королевского статистического общества, серия C. 21 (3): 341–345. JSTOR  2346290.
16. Пирсон, Карл; Джеффри, Дж. Б.; Элдертон, Этель М. (Декабрь 1929 г.). «О распределении момент-коэффициента первого продукта в выборках, взятых из бесконечно большой нормальной популяции». Биометрика. Biometrika Trust. 21: 164–201. Дои:10.2307/2332556. JSTOR  2332556.
17. Крейг, Сесил С. (1936). «О частотной функции xy». Анна. Математика. Статист. 7: 1–15. Дои:10.1214 / aoms / 1177732541.
18. Педдада и Ричардс, Шьямал Дас; Ричардс, Дональд Сент-П. (1991). "Доказательство гипотезы М. Л. Итона о характеристической функции распределения Уишарта",. Анналы вероятности. 19 (2): 868–874. Дои:10.1214 / aop / 1176990455.
19. Гиндикин, С.Г. (1975). «Инвариантные обобщенные функции в однородных областях». Функц. Анальный. Appl. 9 (1): 50–52. Дои:10.1007 / BF01078179.
20. Двайер, Пол С. (1967). «Некоторые приложения матричных производных в многомерном анализе». J. Amer. Статист. Доц. 62 (318): 607–625. JSTOR  2283988.

внешние ссылки

• Библиотека C ++ для генератора случайных матриц