Многомерное стабильное распределение - Multivariate stable distribution

многомерный стабильный

Функция плотности вероятности Тепловая карта, показывающая многомерное (двумерное) стабильное распределение сα = 1.1
Параметры	${\displaystyle \alpha \in (0,2]}$ — показатель степени ${\displaystyle \delta \in \mathbb {R} ^{d}}$ - вектор сдвига / местоположения ${\displaystyle \Lambda (s)}$ - спектральная конечная мера на сфере
Поддерживать	${\displaystyle u\in \mathbb {R} ^{d}}$
PDF	(нет аналитического выражения)
CDF	(нет аналитического выражения)
Дисперсия	Бесконечный, когда ${\displaystyle \alpha <2}$
CF	см текст

В многомерное стабильное распределение многомерный распределение вероятностей это многомерное обобщение одномерного стабильное распространение. Многомерное устойчивое распределение определяет линейные отношения между стабильное распространение маргиналы.^{[требуется разъяснение ]} Так же, как и в одномерном случае, распределение определяется в терминах его характеристическая функция.

Многомерное стабильное распределение также можно рассматривать как расширение многомерное нормальное распределение. У него есть параметр,α, который определен в диапазоне 0 <α ≤ 2, и где случайα = 2 эквивалентно многомерному нормальному распределению. Он имеет дополнительный параметр перекоса, который учитывает несимметричные распределения, где многомерное нормальное распределение симметрично.

Определение

Позволять ${\displaystyle \mathbb {S} }$ быть единичной сферой в ${\displaystyle \mathbb {R} ^{d}\colon \mathbb {S} =\{u\in \mathbb {R} ^{d}\colon |u|=1\}}$. А случайный вектор, ${\displaystyle X}$, имеет многомерное устойчивое распределение - обозначается как ${\displaystyle X\sim S(\alpha ,\Lambda ,\delta )}$ -, если совместная характеристическая функция ${\displaystyle X}$ является^[1]

${\displaystyle \operatorname {E} \exp(iu^{T}X)=\exp \left\{-\int \limits _{s\in \mathbb {S} }\left\{|u^{T}s|^{\alpha }+i\nu (u^{T}s,\alpha )\right\}\,\Lambda (ds)+iu^{T}\delta \right\}}$

где 0 <α <2, а для ${\displaystyle y\in \mathbb {R} }$

${\displaystyle \nu (y,\alpha )={\begin{cases}-\mathbf {sign} (y)\tan(\pi \alpha /2)|y|^{\alpha }&\alpha \neq 1,\\(2/\pi )y\ln |y|&\alpha =1.\end{cases}}}$

По сути, это результат Фельдхейма,^[2] что любой устойчивый случайный вектор может быть охарактеризован спектральной мерой ${\displaystyle \Lambda }$ (конечная мера на ${\displaystyle \mathbb {S} }$) и вектор сдвига ${\displaystyle \delta \in \mathbb {R} ^{d}}$.

Параметризация с помощью проекций

Другой способ описать стабильный случайный вектор - это проекции. Для любого вектора ${\displaystyle u}$, проекция ${\displaystyle u^{T}X}$ одномерный ${\displaystyle \alpha -}$стабильный с некоторым перекосом ${\displaystyle \beta (u)}$, шкала ${\displaystyle \gamma (u)}$ и немного сдвига ${\displaystyle \delta (u)}$. Обозначение ${\displaystyle X\sim S(\alpha ,\beta (\cdot ),\gamma (\cdot ),\delta (\cdot ))}$ используется, если X стабильно с${\displaystyle u^{T}X\sim s(\alpha ,\beta (\cdot ),\gamma (\cdot ),\delta (\cdot ))}$для каждого ${\displaystyle u\in \mathbb {R} ^{d}}$. Это называется параметризацией проекции.

Спектральная мера определяет функции параметров проекции:

${\displaystyle \gamma (u)={\Bigl (}\int _{s\in \mathbb {S} }|u^{T}s|^{\alpha }\Lambda (ds){\Bigr )}^{1/\alpha }}$

${\displaystyle \beta (u)=\int _{s\in \mathbb {S} }|u^{T}s|^{\alpha }\mathbf {sign} (u^{T}s)\Lambda (ds)/\gamma (u)^{\alpha }}$

${\displaystyle \delta (u)={\begin{cases}u^{T}\delta &\alpha \neq 1\\u^{T}\delta -\int _{s\in \mathbb {S} }{\tfrac {\pi }{2}}u^{T}s\ln |u^{T}s|\Lambda (ds)&\alpha =1\end{cases}}}$

Особые случаи

Есть особые случаи, когда многомерная характеристическая функция принимает более простую форму. Определим характеристическую функцию стабильного маргинала как

${\displaystyle \omega (y|\alpha ,\beta )={\begin{cases}|y|^{\alpha }\left[1-i\beta (\tan {\tfrac {\pi \alpha }{2}})\mathbf {sign} (y)\right]&\alpha \neq 1\\|y|\left[1+i\beta {\tfrac {2}{\pi }}\mathbf {sign} (y)\ln |y|\right]&\alpha =1\end{cases}}}$

Изотропное многомерное стабильное распределение

Характеристическая функция:${\displaystyle E\exp(iu^{T}X)=\exp\{-\gamma _{0}^{\alpha }|u|^{\alpha }+iu^{T}\delta )\}}$ Спектральная мера непрерывна и однородна, что приводит к радиальной / изотропной симметрии.^[3]Для мультинормального случая ${\displaystyle \alpha =2}$, это соответствует независимым компонентам, но это не так, когда ${\displaystyle \alpha <2}$. Изотропия - это частный случай эллиптичности (см. Следующий абзац) - просто возьмите ${\displaystyle \Sigma }$ быть кратным единичной матрице.

Многопараметрическое устойчивое распределение с эллиптическими контурами

В эллиптически очерченный многомерное устойчивое распределение является частным симметричным случаем многомерного устойчивого распределения. Икс является α-устойчивая и эллиптически очерченная, то есть стыковочная характеристическая функция ${\displaystyle E\exp(iu^{T}X)=\exp\{-(u^{T}\Sigma u)^{\alpha /2}+iu^{T}\delta )\}}$ для некоторого вектора сдвига ${\displaystyle \delta \in R^{d}}$ (равно среднему значению, когда оно существует) и некоторой положительно определенной матрице ${\displaystyle \Sigma }$ (сродни матрице корреляции, хотя обычное определение корреляции не имеет смысла) .Обратите внимание на связь с характеристической функцией многомерное нормальное распределение: ${\displaystyle E\exp(iu^{T}X)=\exp\{-(u^{T}\Sigma u)+iu^{T}\delta )\}}$ получен, когда α = 2.

Независимые компоненты

Маргиналы независимы от ${\displaystyle X_{j}\sim S(\alpha ,\beta _{j},\gamma _{j},\delta _{j})}$, то характеристическая функция

${\displaystyle E\exp(iu^{T}X)=\exp \left\{-\sum _{j=1}^{m}\omega (u_{j}|\alpha ,\beta _{j})\gamma _{j}^{\alpha }+iu^{T}\delta )\right\}}$

Обратите внимание, когда α = 2 это снова сводится к многомерной нормали; заметим, что случай iid и изотропный случай не совпадают, когда α <2. Независимые компоненты - это частный случай дискретной спектральной меры (см. Следующий абзац), где спектральная мера поддерживается стандартными единичными векторами.

Тепловая карта, показывающая многомерное (двумерное) независимое стабильное распределение сα = 1

Тепловая карта, показывающая многомерное (двумерное) независимое стабильное распределение сα = 2

Дискретный

Если спектральная мера дискретна с массой ${\displaystyle \lambda _{j}}$ в ${\displaystyle s_{j}\in \mathbb {S} ,j=1,\ldots ,m}$характеристическая функция

${\displaystyle E\exp(iu^{T}X)=\exp \left\{-\sum _{j=1}^{m}\omega (u^{T}s_{j}|\alpha ,1)\lambda _{j}^{\alpha }+iu^{T}\delta )\right\}}$

Линейные свойства

Если ${\displaystyle X\sim S(\alpha ,\beta (\cdot ),\gamma (\cdot ),\delta (\cdot ))}$ является d-размерный, А является м Икс d матрица и ${\displaystyle b\in \mathbb {R} ^{m},}$ тогда AX + b является м-размерный ${\displaystyle \alpha }$-устойчивый с функцией масштабирования ${\displaystyle \gamma (A^{T}\cdot ),}$ функция асимметрии ${\displaystyle \beta (A^{T}\cdot ),}$ и функция местоположения ${\displaystyle \delta (A^{T}\cdot )+b^{T}.}$

Вывод в модели независимых компонентов

Недавно^[4] было показано, как вычислить логический вывод в замкнутой форме в линейной модели (или, что эквивалентно факторный анализ model), включая независимые компонентные модели.

В частности, пусть ${\displaystyle X_{i}\sim S(\alpha ,\beta _{x_{i}},\gamma _{x_{i}},\delta _{x_{i}}),i=1,\ldots ,n}$ быть набором i.i.d. ненаблюдаемая одномерная, полученная из стабильное распространение. Для известной матрицы линейных отношений A размера ${\displaystyle n\times n}$, наблюдение ${\displaystyle Y_{i}=\sum _{i=1}^{n}A_{ij}X_{j}}$ предполагается, что они распределены как свертка скрытых факторов ${\displaystyle X_{i}}$. ${\displaystyle Y_{i}=S(\alpha ,\beta _{y_{i}},\gamma _{y_{i}},\delta _{y_{i}})}$. Задача вывода - вычислить наиболее вероятную ${\displaystyle X_{i}}$, учитывая матрицу линейных отношений A и наблюдения ${\displaystyle Y_{i}}$. Эта задача может быть вычислена в закрытом виде за O (п³).

Заявка на эту конструкцию многопользовательское обнаружение со стабильным негауссовым шумом.

Смотрите также

• Многомерное распределение Коши
• Многомерное нормальное распределение

Ресурсы

• Пакет Matlab стабильного распространения Марка Вейлетта http://www.mathworks.com/matlabcentral/fileexchange/37514
• Графики на этой странице построены с использованием вывода Дэнни Биксона в пакете Matlab для линейно-стабильной модели: https://www.cs.cmu.edu/~bickson/stable

Примечания

1. Дж. Нолан, Многомерные устойчивые плотности и функции распределения: общий и эллиптический случай, Конференция BundesBank, Эльтвилль, Германия, 11 ноября 2005 г. См. Также http://academic2.american.edu/~jpnolan/stable/stable.html
2. Фельдхейм, Э. (1937). Etude de la stabilité des lois de probabilité. Докторская диссертация, Парижский факультет наук, Париж, Франция.
3. Руководство пользователя для версии STABLE 5.1 ​​Matlab, Robust Analysis Inc., http://www.RobustAnalysis.com
4. Д. Биксон и К. Гестрин. Вывод в линейных моделях с многомерными тяжелыми хвостами. In Neural Information Processing Systems (NIPS) 2010, Ванкувер, Канада, декабрь 2010 г. https://www.cs.cmu.edu/~bickson/stable/