Распределение Кумарасвами - Kumaraswamy distribution

Для использования в других целях см. Кумарасвами (значения).

Кумарасвами

Функция плотности вероятности
Кумулятивная функция распределения
Параметры	${\displaystyle a>0\,}$ (реальный) ${\displaystyle b>0\,}$ (реальный)
Поддержка	${\displaystyle x\in (0,1)\,}$
PDF	${\displaystyle abx^{a-1}(1-x^{a})^{b-1}\,}$
CDF	${\displaystyle 1-(1-x^{a})^{b}}$
Значить	${\displaystyle {\frac {b\Gamma (1+{\tfrac {1}{a}})\Gamma (b)}{\Gamma (1+{\tfrac {1}{a}}+b)}}\,}$
Медиана	${\displaystyle \left(1-2^{-1/b}\right)^{1/a}}$
Режим	${\displaystyle \left({\frac {a-1}{ab-1}}\right)^{1/a}}$ за ${\displaystyle a\geq 1,b\geq 1,(a,b)\neq (1,1)}$
Дисперсия	(сложный - см. текст)
Асимметрия	(сложный - см. текст)
Ex. эксцесс	(сложный - см. текст)
Энтропия	${\displaystyle \left(1\!-\!{\tfrac {1}{b}}\right)+\left(1\!-\!{\tfrac {1}{a}}\right)H_{b}-\ln(ab)}$

В вероятность и статистика, то Двойное ограниченное распределение Кумарасвами это семья непрерывные распределения вероятностей определенная на интервале (0,1). Это похоже на Бета-распространение, но намного проще в использовании, особенно в симуляционных исследованиях, поскольку функция плотности вероятности, кумулятивная функция распределения и квантильные функции могут быть выражены в закрытая форма. Это распределение было первоначально предложено Пунди Кумарасвами^[1] для переменных, ограниченных сверху и снизу с нулевой инфляцией. Это было распространено на инфляцию с обоими крайними значениями [0,1] дюйма.^[2]

Характеристика

Функция плотности вероятности

В функция плотности вероятности распределения Кумарасвами без учета инфляции

${\displaystyle f(x;a,b)=abx^{a-1}{(1-x^{a})}^{b-1},\ \ {\mbox{where}}\ \ x\in (0,1),}$

и где а и б неотрицательны параметры формы.

Кумулятивная функция распределения

В кумулятивная функция распределения является

${\displaystyle F(x;a,b)=\int _{0}^{x}f(\xi ;a,b)d\xi =1-(1-x^{a})^{b}.\ }$

Квантильная функция

Обратная кумулятивная функция распределения (функция квантиля) есть

${\displaystyle F(y;a,b)^{-1}=(1-(1-y)^{\frac {1}{b}})^{\frac {1}{a}}.\ }$

Обобщение на поддержку произвольного интервала

В простейшей форме распределение имеет носитель (0,1). В более общем виде нормализованная переменная Икс заменяется несмещенной и немасштабированной переменной z куда:

${\displaystyle x={\frac {z-z_{\text{min}}}{z_{\text{max}}-z_{\text{min}}}},\qquad z_{\text{min}}\leq z\leq z_{\text{max}}.\,\!}$

Характеристики

Сырье моменты распределения Кумарасвами дают:^[3][4]

${\displaystyle m_{n}={\frac {b\Gamma (1+n/a)\Gamma (b)}{\Gamma (1+b+n/a)}}=bB(1+n/a,b)\,}$

где B это Бета-функция а Γ (.) обозначает Гамма-функция. Дисперсия, перекос, и избыточный эксцесс можно рассчитать из этих сырых моментов. Например, разница составляет:

${\displaystyle \sigma ^{2}=m_{2}-m_{1}^{2}.}$

В Энтропия Шеннона (в нац) распределения составляет:^[5]

${\displaystyle H=\left(1\!-\!{\tfrac {1}{a}}\right)+\left(1\!-\!{\tfrac {1}{b}}\right)H_{b}-\ln(ab)}$

где ${\displaystyle H_{i}}$ это номер гармоники функция.

Отношение к бета-распределению

Распределение Кумарасвами тесно связано с бета-распределением.^[6]Предположим, что Икс_{а, б} Кумарасвами распространяет случайная переменная с параметрами а и б.Потом Икс_{а, б} это акорень -й степени из подходящим образом определенной Бета-распределенной случайной величины. Более формально, Пусть Y_{1, б} обозначить Бета-версия распространена случайная величина с параметрами ${\displaystyle \alpha =1}$ и ${\displaystyle \beta =b}$Между ними существует следующая связь. Икс_{а, б} и Y_{1, б}.

${\displaystyle X_{a,b}=Y_{1,b}^{1/a},}$

с равным распределением.

${\displaystyle \operatorname {P} \{X_{a,b}\leq x\}=\int _{0}^{x}abt^{a-1}(1-t^{a})^{b-1}dt=\int _{0}^{x^{a}}b(1-t)^{b-1}dt=\operatorname {P} \{Y_{1,b}\leq x^{a}\}=\operatorname {P} \{Y_{1,b}^{1/a}\leq x\}.}$

Можно ввести обобщенные распределения Кумарасвами, рассматривая случайные величины вида${\displaystyle Y_{\alpha ,\beta }^{1/\gamma }}$, с участием ${\displaystyle \gamma >0}$ и где ${\displaystyle Y_{\alpha ,\beta }}$обозначает бета-распределенную случайную величину с параметрами ${\displaystyle \alpha }$ и ${\displaystyle \beta }$. Необработанный моменты этого обобщенного распределения Кумарасвами даются:

${\displaystyle m_{n}={\frac {\Gamma (\alpha +\beta )\Gamma (\alpha +n/\gamma )}{\Gamma (\alpha )\Gamma (\alpha +\beta +n/\gamma )}}.}$

Обратите внимание, что мы можем восстановить исходное значение моментов ${\displaystyle \alpha =1}$, ${\displaystyle \beta =b}$ и ${\displaystyle \gamma =a}$Однако, как правило, кумулятивная функция распределения не имеет решения в замкнутой форме.

Связанные дистрибутивы

• Если ${\displaystyle X\sim {\textrm {Kumaraswamy}}(1,1)\,}$ тогда ${\displaystyle X\sim U(0,1)\,}$
• Если ${\displaystyle X\sim U(0,1)\,}$ (Равномерное распределение (непрерывное) ) тогда ${\displaystyle {{\Big (}1-{\left(1-X\right)}^{\tfrac {1}{b}}{\Big )}}^{\tfrac {1}{a}}\sim {\textrm {Kumaraswamy}}(a,b)\,}$
• Если ${\displaystyle X\sim {\textrm {Beta}}(1,b)\,}$ (Бета-распространение ) тогда ${\displaystyle X\sim {\textrm {Kumaraswamy}}(1,b)\,}$
• Если ${\displaystyle X\sim {\textrm {Beta}}(a,1)\,}$ (Бета-распространение ) тогда ${\displaystyle X\sim {\textrm {Kumaraswamy}}(a,1)\,}$
• Если ${\displaystyle X\sim {\textrm {Kumaraswamy}}(a,1)\,}$ тогда ${\displaystyle (1-X)\sim {\textrm {Kumaraswamy}}(1,a)\,}$
• Если ${\displaystyle X\sim {\textrm {Kumaraswamy}}(1,a)\,}$ тогда ${\displaystyle (1-X)\sim {\textrm {Kumaraswamy}}(a,1)\,}$
• Если ${\displaystyle X\sim {\textrm {Kumaraswamy}}(a,1)\,}$ тогда ${\displaystyle -\log(X)\sim {\textrm {Exponential}}(a)\,}$
• Если ${\displaystyle X\sim {\textrm {Kumaraswamy}}(1,b)\,}$ тогда ${\displaystyle -\log(1-X)\sim {\textrm {Exponential}}(b)\,}$
• Если ${\displaystyle X\sim {\textrm {Kumaraswamy}}(a,b)\,}$ тогда ${\displaystyle X\sim {\textrm {GB1}}(a,1,1,b)\,}$, то обобщенное бета-распределение первого рода.

пример

Примером использования распределения Кумарасвами является объем хранения резервуара емкости z чья верхняя граница z_{Максимум} а нижняя граница равна 0, что также является естественным примером наличия двух инфляций, поскольку многие резервуары имеют ненулевые вероятности как для пустого, так и для полного состояний резервуара.^[2]

Рекомендации

1. Кумарасвами, П. (1980). «Обобщенная функция плотности вероятности для дважды ограниченных случайных процессов». Журнал гидрологии. 46 (1–2): 79–88. Bibcode:1980JHyd ... 46 ... 79K. Дои:10.1016/0022-1694(80)90036-0. ISSN  0022-1694.
2. Fletcher, S.G .; Поннамбалам, К. (1996). «Оценка дебита коллектора и распределения запасов с использованием анализа моментов». Журнал гидрологии. 182 (1–4): 259–275. Bibcode:1996JHyd..182..259F. Дои:10.1016 / 0022-1694 (95) 02946-х. ISSN  0022-1694.
3. Лемонте, Артур Дж. (2011). «Улучшенная оценка баллов для распределения Кумарасвами». Журнал статистических вычислений и моделирования. 81 (12): 1971–1982. Дои:10.1080/00949655.2010.511621. ISSN  0094-9655.
4. КРИБАРИ-НЕТО, ФРАНЦИСКО; САНТОС, ХССИКА (2019). «Раздутое распределение Кумарасвами». Anais da Academia Brasileira de Ciências. 91 (2): e20180955. Дои:10.1590/0001-3765201920180955. ISSN  1678-2690. PMID  31141016.
5. Михалович, Йозеф Виктор; Николс, Джонатан М .; Бухольц, Франк (2013). Справочник по дифференциальной энтропии. Чепмен и Холл / CRC. п. 100. ISBN  9781466583177.
6. Джонс, М. (2009). «Распределение Кумарасвами: распределение бета-типа с некоторыми преимуществами управляемости». Статистическая методология. 6 (1): 70–81. Дои:10.1016 / j.stamet.2008.04.001. ISSN  1572-3127.