Распределение Бернулли - Bernoulli distribution

Бернулли

Параметры	${\displaystyle 0\leq p\leq 1}$ ${\displaystyle q=1-p}$
Поддерживать	${\displaystyle k\in \{0,1\}}$
PMF	${\displaystyle {\begin{cases}q=1-p&{\text{if }}k=0\\p&{\text{if }}k=1\end{cases}}}$ ${\displaystyle p^{k}(1-p)^{1-k}}$
CDF	${\displaystyle {\begin{cases}0&{\text{if }}k<0\\1-p&{\text{if }}0\leq k<1\\1&{\text{if }}k\geq 1\end{cases}}}$
Иметь в виду	${\displaystyle p}$
Медиана	${\displaystyle {\begin{cases}0&{\text{if }}p<1/2\\\left[0,1\right]&{\text{if }}p=1/2\\1&{\text{if }}p>1/2\end{cases}}}$
Режим	${\displaystyle {\begin{cases}0&{\text{if }}p<1/2\\0,1&{\text{if }}p=1/2\\1&{\text{if }}p>1/2\end{cases}}}$
Дисперсия	${\displaystyle p(1-p)=pq}$
Асимметрия	${\displaystyle {\frac {q-p}{\sqrt {pq}}}}$
Бывший. эксцесс	${\displaystyle {\frac {1-6pq}{pq}}}$
Энтропия	${\displaystyle -q\ln q-p\ln p}$
MGF	${\displaystyle q+pe^{t}}$
CF	${\displaystyle q+pe^{it}}$
PGF	${\displaystyle q+pz}$
Информация Fisher	${\displaystyle {\frac {1}{pq}}}$

В теория вероятности и статистика, то Распределение Бернулли, названный в честь швейцарского математика Джейкоб Бернулли,^[1] это дискретное распределение вероятностей из случайная переменная который с вероятностью принимает значение 1 ${\displaystyle p}$ и значение 0 с вероятностью ${\displaystyle q=1-p}$. Менее формально его можно рассматривать как модель для набора возможных результатов любого отдельного эксперимент это спрашивает да – нет вопроса. Такие вопросы приводят к результаты которые логический -значен: одиночный кусочек чья ценность - успех /да /истинный /один с вероятность п и отказ / нет /ложный /нуль с вероятностью q. Его можно использовать для представления (возможно, предвзятого) подбрасывание монеты где 1 и 0 означают «орел» и «решка» (или наоборот) соответственно, и п будет вероятностью выпадения монеты орлом или решкой соответственно. В частности, несправедливые монеты ${\displaystyle p\neq 1/2.}$

Распределение Бернулли является частным случаем биномиальное распределение где проводится одно испытание (так п будет 1 для такого биномиального распределения). Это также частный случай двухточечное распределение, для которого возможные исходы не обязательно равны 0 и 1.

Характеристики

Если ${\displaystyle X}$ случайная величина с таким распределением, то:

${\displaystyle \Pr(X=1)=p=1-\Pr(X=0)=1-q.}$

В функция массы вероятности ${\displaystyle f}$ этого распределения по возможным исходам k, является

${\displaystyle f(k;p)={\begin{cases}p&{\text{if }}k=1,\\q=1-p&{\text{if }}k=0.\end{cases}}}$^[2]

Это также можно выразить как

${\displaystyle f(k;p)=p^{k}(1-p)^{1-k}\quad {\text{for }}k\in \{0,1\}}$

или как

${\displaystyle f(k;p)=pk+(1-p)(1-k)\quad {\text{for }}k\in \{0,1\}.}$

Распределение Бернулли является частным случаем биномиальное распределение с ${\displaystyle n=1.}$^[3]

В эксцесс уходит в бесконечность для больших и малых значений ${\displaystyle p,}$ но для ${\displaystyle p=1/2}$ двухточечные распределения, включая распределение Бернулли, имеют более низкую избыточный эксцесс чем любое другое распределение вероятностей, а именно −2.

Распределения Бернулли для ${\displaystyle 0\leq p\leq 1}$ для мужчин экспоненциальная семья.

В оценщик максимального правдоподобия из ${\displaystyle p}$ на основе случайной выборки выборочное среднее.

Иметь в виду

В ожидаемое значение случайной величины Бернулли ${\displaystyle X}$ является

${\displaystyle \operatorname {E} \left(X\right)=p}$

Это связано с тем, что для распределенной по Бернулли случайной величины ${\displaystyle X}$ с ${\displaystyle \Pr(X=1)=p}$ и ${\displaystyle \Pr(X=0)=q}$ мы нашли

${\displaystyle \operatorname {E} [X]=\Pr(X=1)\cdot 1+\Pr(X=0)\cdot 0=p\cdot 1+q\cdot 0=p.}$^[2]

Дисперсия

В отклонение распределенного Бернулли ${\displaystyle X}$ является

${\displaystyle \operatorname {Var} [X]=pq=p(1-p)}$

Мы сначала находим

${\displaystyle \operatorname {E} [X^{2}]=\Pr(X=1)\cdot 1^{2}+\Pr(X=0)\cdot 0^{2}=p\cdot 1^{2}+q\cdot 0^{2}=p}$

Из этого следует

${\displaystyle \operatorname {Var} [X]=\operatorname {E} [X^{2}]-\operatorname {E} [X]^{2}=p-p^{2}=p(1-p)=pq}$^[2]

Асимметрия

В перекос является ${\displaystyle {\frac {q-p}{\sqrt {pq}}}={\frac {1-2p}{\sqrt {pq}}}}$. Когда мы берем стандартизированную случайную величину с распределением Бернулли ${\displaystyle {\frac {X-\operatorname {E} [X]}{\sqrt {\operatorname {Var} [X]}}}}$ мы обнаруживаем, что эта случайная величина достигает ${\displaystyle {\frac {q}{\sqrt {pq}}}}$ с вероятностью ${\displaystyle p}$ и достигает ${\displaystyle -{\frac {p}{\sqrt {pq}}}}$ с вероятностью ${\displaystyle q}$. Таким образом мы получаем

${\displaystyle {\begin{aligned}\gamma _{1}&=\operatorname {E} \left[\left({\frac {X-\operatorname {E} [X]}{\sqrt {\operatorname {Var} [X]}}}\right)^{3}\right]\\&=p\cdot \left({\frac {q}{\sqrt {pq}}}\right)^{3}+q\cdot \left(-{\frac {p}{\sqrt {pq}}}\right)^{3}\\&={\frac {1}{{\sqrt {pq}}^{3}}}\left(pq^{3}-qp^{3}\right)\\&={\frac {pq}{{\sqrt {pq}}^{3}}}(q-p)\\&={\frac {q-p}{\sqrt {pq}}}\end{aligned}}}$

Высшие моменты и кумулянты

Центральный момент порядка ${\displaystyle k}$ дан кем-то

${\displaystyle \mu _{k}=(1-p)(-p)^{k}+p(1-p)^{k}.}$

Первые шесть центральных моментов

${\displaystyle {\begin{aligned}\mu _{1}&=0,\\\mu _{2}&=p(1-p),\\\mu _{3}&=p(1-p)(1-2p),\\\mu _{4}&=p(1-p)(1-3p(1-p)),\\\mu _{5}&=p(1-p)(1-2p)(1-2p(1-p)),\\\mu _{6}&=p(1-p)(1-5p(1-p)(1-p(1-p))).\end{aligned}}}$

Более высокие центральные моменты можно выразить более компактно через ${\displaystyle \mu _{2}}$ и ${\displaystyle \mu _{3}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\mu _{4}&=\mu _{2}(1-3\mu _{2}),\\\mu _{5}&=\mu _{3}(1-2\mu _{2}),\\\mu _{6}&=\mu _{2}(1-5\mu _{2}(1-\mu _{2})).\end{aligned}}}$

Первые шесть кумулянтов

${\displaystyle {\begin{aligned}\kappa _{1}&=p,\\\kappa _{2}&=\mu _{2},\\\kappa _{3}&=\mu _{3},\\\kappa _{4}&=\mu _{2}(1-6\mu _{2}),\\\kappa _{5}&=\mu _{3}(1-12\mu _{2}),\\\kappa _{6}&=\mu _{2}(1-30\mu _{2}(1-4\mu _{2})).\end{aligned}}}$

Связанные дистрибутивы

• Если ${\displaystyle X_{1},\dots ,X_{n}}$ независимы, одинаково распределены (i.i.d. ) случайные величины, все Бернулли испытания с вероятностью успехап, то их сумма распределяется согласно биномиальное распределение с параметрами п и п:

  ${\displaystyle \sum _{k=1}^{n}X_{k}\sim \operatorname {B} (n,p)}$ (биномиальное распределение ).^[2]

Распределение Бернулли просто ${\displaystyle \operatorname {B} (1,p)}$, также записывается как ${\textstyle \mathrm {Bernoulli} (p).}$

• В категориальное распределение является обобщением распределения Бернулли для переменных с любым постоянным числом дискретных значений.
• В Бета-распространение это сопряженный предшествующий распределения Бернулли.
• В геометрическое распределение моделирует количество независимых и идентичных испытаний Бернулли, необходимых для достижения одного успеха.
• Если ${\textstyle Y\sim \mathrm {Bernoulli} \left({\frac {1}{2}}\right)}$, тогда ${\textstyle 2Y-1}$ имеет Распределение Радемахера.

Смотрите также

• Процесс Бернулли, а случайный процесс состоящий из последовательности независимый Бернулли испытания
• Отбор проб Бернулли
• Двоичная функция энтропии
• Диаграмма двоичного решения

Рекомендации

1. Джеймс Виктор Успенский: Введение в математическую вероятность, McGraw-Hill, New York 1937, стр. 45.
2. Бертсекас, Дмитрий П. (2002). Введение в вероятность. Цициклис, Джон Н., Τσιτσικλής, Γιάννης Ν. Бельмонт, Массачусетс: Athena Scientific. ISBN  188652940X. OCLC  51441829.
3. Маккаллах, Питер; Нелдер, Джон (1989). Обобщенные линейные модели, второе издание. Бока-Ратон: Чепмен и Холл / CRC. Раздел 4.2.2. ISBN  0-412-31760-5.

дальнейшее чтение

• Johnson, N.L .; Kotz, S .; Кемп, А. (1993). Одномерные дискретные распределения (2-е изд.). Вайли. ISBN  0-471-54897-9.
• Питман, Джон Г. (1963). Введение в прикладную статистику. Нью-Йорк: Харпер и Роу. С. 162–171.

внешняя ссылка

• "Биномиальное распределение", Энциклопедия математики, EMS Press, 2001 [1994]
• Вайсштейн, Эрик В. "Бернулли Дистрибьюшн". MathWorld.
• Интерактивная графика: Одномерные отношения распределения