Обернутое экспоненциальное распределение - Wrapped exponential distribution

Обернутая экспонента

Функция плотности вероятности Опора выбрана равной [0,2π]
Кумулятивная функция распределения Опора выбрана равной [0,2π]
Параметры	${\displaystyle \lambda >0}$
Поддерживать	${\displaystyle 0\leq \theta <2\pi }$
PDF	${\displaystyle {\frac {\lambda e^{-\lambda \theta }}{1-e^{-2\pi \lambda }}}}$
CDF	${\displaystyle {\frac {1-e^{-\lambda \theta }}{1-e^{-2\pi \lambda }}}}$
Иметь в виду	${\displaystyle \arctan(1/\lambda )}$ (круговой)
Дисперсия	${\displaystyle 1-{\frac {\lambda }{\sqrt {1+\lambda ^{2}}}}}$ (круговой)
Энтропия	${\displaystyle 1+\ln \left({\frac {\beta -1}{\lambda }}\right)-{\frac {\beta }{\beta -1}}\ln(\beta )}$ куда ${\displaystyle \beta =e^{2\pi \lambda }}$ (дифференциал)
CF	${\displaystyle {\frac {1}{1-in/\lambda }}}$

В теория вероятности и направленная статистика, а экспоненциальное распределение в оболочке это свернутое распределение вероятностей что является результатом "упаковки" экспоненциальное распределение вокруг единичный круг.

Определение

В функция плотности вероятности свернутого экспоненциального распределения^[1]

${\displaystyle f_{WE}(\theta ;\lambda )=\sum _{k=0}^{\infty }\lambda e^{-\lambda (\theta +2\pi k)}={\frac {\lambda e^{-\lambda \theta }}{1-e^{-2\pi \lambda }}},}$

за ${\displaystyle 0\leq \theta <2\pi }$ куда ${\displaystyle \lambda >0}$ - параметр скорости развернутого распределения. Это идентично усеченное распределение полученные путем ограничения наблюдаемых значений Икс от экспоненциальное распределение с параметром скорости λ к диапазону ${\displaystyle 0\leq X<2\pi }$.

Характеристическая функция

В характеристическая функция завернутой экспоненты - это просто характеристическая функция экспоненциальной функции, вычисляемая при целочисленных аргументах:

${\displaystyle \varphi _{n}(\lambda )={\frac {1}{1-in/\lambda }}}$

что дает альтернативное выражение для упакованной экспоненциальной PDF в терминах круговой переменной г = е ^{я (θ-м)} действительно для всех действительных θ и m:

${\displaystyle {\begin{aligned}f_{WE}(z;\lambda )&={\frac {1}{2\pi }}\sum _{n=-\infty }^{\infty }{\frac {z^{-n}}{1-in/\lambda }}\\[10pt]&={\begin{cases}{\frac {\lambda }{\pi }}\,{\textrm {Im}}(\Phi (z,1,-i\lambda ))-{\frac {1}{2\pi }}&{\text{if }}z\neq 1\\[12pt]{\frac {\lambda }{1-e^{-2\pi \lambda }}}&{\text{if }}z=1\end{cases}}\end{aligned}}}$

куда ${\displaystyle \Phi ()}$ это Лерх трансцендентный функция.

Круговые моменты

В терминах круговой переменной ${\displaystyle z=e^{i\theta }}$ Круговые моменты свернутого экспоненциального распределения являются характеристической функцией экспоненциального распределения, оцениваемой при целочисленных аргументах:

${\displaystyle \langle z^{n}\rangle =\int _{\Gamma }e^{in\theta }\,f_{WE}(\theta ;\lambda )\,d\theta ={\frac {1}{1-in/\lambda }},}$

куда ${\displaystyle \Gamma \,}$ это некоторый интервал длины ${\displaystyle 2\pi }$. Тогда первый момент - это среднее значение z, также известный как средний результирующий или средний результирующий вектор:

${\displaystyle \langle z\rangle ={\frac {1}{1-i/\lambda }}.}$

Средний угол

${\displaystyle \langle \theta \rangle =\mathrm {Arg} \langle z\rangle =\arctan(1/\lambda ),}$

а длина среднего результата равна

${\displaystyle R=|\langle z\rangle |={\frac {\lambda }{\sqrt {1+\lambda ^{2}}}}.}$

и тогда дисперсия равна 1-р.

Характеристика

Обернутое экспоненциальное распределение - это распределение вероятностей максимальной энтропии для дистрибутивов, ограниченных диапазоном ${\displaystyle 0\leq \theta <2\pi }$ при фиксированном значении ожидания ${\displaystyle \operatorname {E} (\theta )}$.^[1]

Смотрите также

• Распространение в оболочке
• Направленная статистика

Рекомендации

1. Джаммаламадака, С. Рао; Козубовский, Томаш Дж. (2004). «Новые семейства обернутых распределений для моделирования асимметричных данных» (PDF). Коммуникации в статистике - теория и методы. 33 (9): 2059–2074. Дои:10.1081 / STA-200026570. Получено 2011-06-13.