Двумерное распределение фон Мизеса - Bivariate von Mises distribution

Выборки из косинусного варианта двумерного распределения фон Мизеса. Зеленые точки взяты из распределения с высокой концентрацией и высокой корреляцией (${\displaystyle \kappa _{1}=\kappa _{2}=200}$, ${\displaystyle \kappa _{3}=0}$) синие точки взяты из распределения с высокой концентрацией и отрицательной корреляцией (${\displaystyle \kappa _{1}=\kappa _{2}=200}$, ${\displaystyle \kappa _{3}=100}$), а красные точки взяты из распределения с низкой концентрацией и без корреляции (${\displaystyle \kappa _{1}=\kappa _{2}=20,\kappa _{3}=0}$).

В теория вероятности и статистика, то двумерное распределение фон Мизеса это распределение вероятностей описание ценностей на тор. Его можно рассматривать как аналог на торе двумерное нормальное распределение. Распределение относится к области направленная статистика. Общее двумерное распределение фон Мизеса было впервые предложено Канти Мардиа в 1975 г.^[1][2] Один из его вариантов сегодня используется в области биоинформатика сформулировать вероятностную модель структура белка в атомарных деталях.^[3][4]

Определение

Двумерное распределение фон Мизеса представляет собой распределение вероятностей определены на тор, ${\displaystyle S^{1}\times S^{1}}$ в ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$.Функция плотности вероятности общего двумерного распределения фон Мизеса для углов ${\displaystyle \phi ,\psi \in [0,2\pi ]}$ дан кем-то^[1]

${\displaystyle f(\phi ,\psi )\propto \exp[\kappa _{1}\cos(\phi -\mu )+\kappa _{2}\cos(\psi -\nu )+(\cos(\phi -\mu ),\sin(\phi -\mu ))\mathbf {A} (\cos(\psi -\nu ),\sin(\psi -\nu ))^{T}],}$

куда ${\displaystyle \mu }$ и ${\displaystyle \nu }$ средства для ${\displaystyle \phi }$ и ${\displaystyle \psi }$, ${\displaystyle \kappa _{1}}$ и ${\displaystyle \kappa _{2}}$ их концентрация и матрица ${\displaystyle \mathbf {A} \in \mathbb {M} (2,2)}$ связано с их соотношением.

Двумя обычно используемыми вариантами двумерного распределения фон Мизеса являются вариант синуса и косинуса.

Косинусный вариант двумерного распределения фон Мизеса^[3] имеет функцию плотности вероятности

${\displaystyle f(\phi ,\psi )=Z_{c}(\kappa _{1},\kappa _{2},\kappa _{3})\ \exp[\kappa _{1}\cos(\phi -\mu )+\kappa _{2}\cos(\psi -\nu )-\kappa _{3}\cos(\phi -\mu -\psi +\nu )],}$

куда ${\displaystyle \mu }$ и ${\displaystyle \nu }$ средства для ${\displaystyle \phi }$ и ${\displaystyle \psi }$, ${\displaystyle \kappa _{1}}$ и ${\displaystyle \kappa _{2}}$ их концентрация и ${\displaystyle \kappa _{3}}$ связано с их соотношением. ${\displaystyle Z_{c}}$ - константа нормировки. Это распределение с ${\displaystyle \kappa _{3}}$= 0 использовался для оценок плотности ядра распределения двугранных углов белка ${\displaystyle \phi }$ и ${\displaystyle \psi }$.^[4]

Вариант синуса имеет функцию плотности вероятности^[5]

${\displaystyle f(\phi ,\psi )=Z_{s}(\kappa _{1},\kappa _{2},\kappa _{3})\ \exp[\kappa _{1}\cos(\phi -\mu )+\kappa _{2}\cos(\psi -\nu )+\kappa _{3}\sin(\phi -\mu )\sin(\psi -\nu )],}$

где параметры имеют одинаковую интерпретацию.

Смотрите также

• Распределение фон Мизеса, аналогичное распределение на одномерной единичной окружности
• Кент распределение, соответствующее распределение на двумерной единичной сфере
• распределение фон Мизеса – Фишера
• Направленная статистика

Рекомендации

1. Мардиа, Канти (1975). «Статистика направленных данных». J. R. Stat. Soc. B. 37 (3): 349–393. JSTOR  2984782.
2. Mardia, K. V .; Фрелльсен, Дж. (2012). "Статистика двумерного распределения фон Мизеса". Байесовские методы в структурной биоинформатике. Статистика для биологии и здоровья. стр.159. Дои:10.1007/978-3-642-27225-7_6. ISBN  978-3-642-27224-0.
3. Boomsma, W .; Mardia, K. V .; Taylor, C.C .; Ferkinghoff-Borg, J .; Krogh, A .; Хамелрик, Т. (2008). «Генеративная вероятностная модель локальной структуры белка». Труды Национальной академии наук. 105 (26): 8932–7. Bibcode:2008PNAS..105.8932B. Дои:10.1073 / pnas.0801715105. ЧВК  2440424. PMID  18579771.
4. Шаповалов М.В., Данбрак Р.Л. (2011). «Сглаженная библиотека ротамеров, зависимая от остова, для белков, полученных на основе оценок и регрессий адаптивной плотности ядра». Структура (Cell Press). 19 (6): 844–858. Дои:10.1016 / j.str.2011.03.019. ЧВК  3118414. PMID  21645855.
5. Сингх, Х. (2002). «Вероятностная модель для двух зависимых круговых переменных». Биометрика. 89 (3): 719–723. Дои:10.1093 / biomet / 89.3.719.