Дисперсия-гамма-распределение - Variance-gamma distribution

дисперсионно-гамма-распределение

Параметры	${displaystyle mu }$ место расположения (настоящий ) ${displaystyle alpha }$ (настоящий) ${displaystyle eta }$ параметр асимметрии (реальный) ${displaystyle lambda >0}$ параметр формы (альтернативные параметризации используют ${displaystyle u =1/lambda }$[1]) ${displaystyle gamma ={sqrt {alpha ^{2}-eta ^{2}}}>0}$
Поддерживать	${displaystyle xin (-infty ;+infty )!}$
PDF	${displaystyle {frac {gamma ^{2lambda }|x-mu |^{lambda -1/2}K_{lambda -1/2}left(alpha |x-mu |ight)}{{sqrt {pi }}Gamma (lambda )(2alpha )^{lambda -1/2}}};e^{eta (x-mu )}}$ ${displaystyle K_{lambda }}$ обозначает модифицированная функция Бесселя второго рода ${displaystyle Gamma }$ обозначает Гамма-функция
Иметь в виду	${displaystyle mu +2eta lambda /gamma ^{2}}$
Дисперсия	${displaystyle 2lambda (1+2eta ^{2}/gamma ^{2})/gamma ^{2}}$
MGF	${displaystyle e^{mu z}left(gamma /{sqrt {alpha ^{2}-(eta +z)^{2}}}ight)^{2lambda }}$

В дисперсионно-гамма-распределение, обобщенное распределение Лапласа^[2] или же Распределение функции Бесселя^[2] это непрерывное распределение вероятностей что определяется как нормальная смесь средних дисперсий где плотность смешивания это гамма-распределение. Хвосты распределения убывают медленнее, чем нормальное распределение. Поэтому он подходит для моделирования явлений, в которых численно большие значения более вероятны, чем в случае нормального распределения. Примерами являются доход от финансовых активов и резкий ветер. Распределение было представлено в финансовой литературе Маданом и Сенетой.^[3] Гамма-дисперсионные распределения образуют подкласс обобщенные гиперболические распределения.

Тот факт, что существует простое выражение для функция, производящая момент означает, что простые выражения для всех моменты доступны. Класс дисперсионно-гамма-распределений замкнут при свертка в следующем смысле. Если ${displaystyle X_{1}}$ и ${displaystyle X_{2}}$ находятся независимый случайные переменные которые распределены по гамма-дисперсии с одинаковыми значениями параметров ${displaystyle alpha }$ и ${displaystyle eta }$, но, возможно, другие значения других параметров, ${displaystyle lambda _{1}}$, ${displaystyle mu _{1}}$ и ${displaystyle lambda _{2},}$ ${displaystyle mu _{2}}$соответственно, то ${displaystyle X_{1}+X_{2}}$ дисперсия-гамма распределена с параметрами ${displaystyle alpha }$, ${displaystyle eta }$, ${displaystyle lambda _{1}+lambda _{2}}$ и ${displaystyle mu _{1}+mu _{2}}$.

Гамма-дисперсия также может быть выражена с помощью трех входных параметров (C, G, M), обозначенных после инициалов его учредителей. Если "C", ${displaystyle lambda }$ здесь параметр является целым числом, тогда распределение имеет замкнутую форму 2-EPT. Видеть Функция плотности вероятности 2-EPT. В рамках этого ограничения могут быть получены цены опционов в закрытой форме.

Если ${displaystyle alpha =1}$, ${displaystyle lambda =1}$ и ${displaystyle eta =0}$, распределение становится Распределение Лапласа с параметр масштаба ${displaystyle b=1}$. Так долго как ${displaystyle lambda =1}$, альтернативные варианты ${displaystyle alpha }$ и ${displaystyle eta }$ создаст распределения, связанные с распределением Лапласа, с асимметрией, масштабом и местоположением в зависимости от других параметров.^[4]

Для симметричного гамма-дисперсионного распределения эксцесс может быть дан ${displaystyle 3(1+1/lambda )}$.^[1]

Смотрите также Вариант гамма-процесса.

Примечания

1. Нестлер, Скотт и Холл, Эндрю (4 октября 2019 г.). «Гамма-распределение дисперсии». Королевское статистическое общество. Дои:10.1111 / j.1740-9713.2019.01314.x. Получено 2020-10-14.
2. Kotz, S .; и другие. (2001). Распределение Лапласа и обобщения. Birkhäuser. п.180. ISBN  0-8176-4166-1.
3. Д. Мадан и Э. Сенета (1990): Модель дисперсионной гаммы (V.G.) для доходности рынка акций, Журнал Бизнеса, 63, стр. 511–524.
4. Мейерс, Роберт А. (2010). Сложные системы в финансах и эконометрике. Springer. п.326. ISBN  9781441977007.