Распределение Трейси – Уидома - Tracy–Widom distribution

Плотности распределений Трейси – Уидома для β = 1, 2, 4

В Распределение Трейси – Уидома, представлен Крейг Трейси и Гарольд Уидом  (1993, 1994 ), это распределение вероятностей нормализованного наибольшего собственное значение из случайный Эрмитова матрица.

На практике Tracy – Widom - это функция кроссовера между двумя фазами слабосвязанных и сильно связанных компонентов в системе.^[1]Это также проявляется в распределении длины самая длинная возрастающая подпоследовательность случайных перестановки,^[2] в текущих колебаниях асимметричный простой процесс исключения (ASEP) со ступенчатым начальным условием,^[3] и в упрощенных математических моделях поведения самая длинная общая подпоследовательность проблема на случайных входах.^[4] Видеть Такеучи и Сано (2010) и Takeuchi et al. (2011) для экспериментального тестирования (и подтверждения) того, что флуктуации границы раздела растущей капли (или подложки) описываются распределением TW ${displaystyle F_{2}}$ (или же ${displaystyle F_{1}}$) как предсказано Prähofer & Spohn (2000).

Распространение F₁ представляет особый интерес в многомерная статистика.^[5] Для обсуждения универсальности F_β, β = 1, 2 и 4, см. Deift (2007). Для применения F₁ для вывода структуры населения из генетических данных см. Паттерсон, Прайс и Райх (2006) В 2017 году было доказано, что распределение F не является безгранично делимым.^[6]

Определение

Распределение Трейси – Уидома определяется как предел:^[7]

${displaystyle F_{2}(s)=lim _{nightarrow infty }operatorname {Prob} left((lambda _{max }-{sqrt {2n}})({sqrt {2}})n^{1/6}leq sight),}$

куда ${displaystyle lambda _{max }}$ обозначает наибольшее собственное значение случайной матрицы. Сдвиг на ${displaystyle {sqrt {2n}}}$ используется для сохранения центра распределения в 0. Умножение на ${displaystyle ({sqrt {2}})n^{1/6}}$ используется, потому что стандартное отклонение распределений масштабируется как ${displaystyle n^{-1/6}}$.

Эквивалентные составы

В кумулятивная функция распределения распределения Трейси – Уидома можно представить как Определитель Фредгольма

${displaystyle F_{2}(s)=det(I-A_{s}),}$

оператора А_s на квадратично интегрируемых функциях на полупрямой (s, ∞) с ядро дано с точки зрения Воздушные функции Ai - пользователем

${displaystyle {frac {mathrm {Ai} (x)mathrm {Ai} '(y)-mathrm {Ai} '(x)mathrm {Ai} (y)}{x-y}}.,}$

Его также можно представить в виде интеграла

${displaystyle F_{2}(s)=exp left(-int _{s}^{infty }(x-s)q^{2}(x),dxight)}$

с точки зрения решения Уравнение Пенлеве типа II

${displaystyle q^{prime prime }(s)=sq(s)+2q(s)^{3},}$

куда q, называемое решением Гастингса – МакЛеода, удовлетворяет граничному условию

${displaystyle displaystyle q(s)sim { extrm {Ai}}(s),sightarrow infty .}$

Другие дистрибутивы Tracy – Widom

Распространение F₂ связана с унитарными ансамблями в теории случайных матриц. Существуют аналогичные распределения Трэйси – Уидома. F₁ и F₄ для ортогональных (β = 1) и симплектических ансамблей (β = 4), которые также можно выразить через те же Пенлеве трансцендентный q:^[7]

${displaystyle F_{1}(s)=exp left(-{frac {1}{2}}int _{s}^{infty }q(x),dxight),left(F_{2}(s)ight)^{1/2}}$

и

${displaystyle F_{4}(s/{sqrt {2}})=cosh left({frac {1}{2}}int _{s}^{infty }q(x),dxight),left(F_{2}(s)ight)^{1/2}.}$

Для расширения определения распределений Трейси – Уидома F_β все β > 0 см. Рамирес, Райдер и Вираг (2006).

Численные приближения

Численные методы для получения численных решений уравнений Пенлеве типов II и V и численного вычисления распределений собственных значений случайных матриц в бета-ансамблях впервые были представлены Эдельман и Перссон (2005) с помощью MATLAB. Эти методы аппроксимации получили дальнейшее аналитическое обоснование в Бежан (2005) и используется для численной оценки распределений Пенлеве II и Трейси – Уидома (для β = 1, 2 и 4) в S-PLUS. Эти распределения представлены в таблице в Бежан (2005) до четырех значащих цифр для значений аргумента с шагом 0,01; статистическая таблица для p-значений также была дана в этой работе. Борнеманн (2010) предоставил точные и быстрые алгоритмы численной оценки F_β и функции плотности ж_β(s) = dF_β/ds за β = 1, 2 и 4. Эти алгоритмы могут использоваться для численного вычисления иметь в виду, отклонение, перекос и избыточный эксцесс распределений F_β.

β	Иметь в виду	Дисперсия	Асимметрия	Чрезмерный эксцесс
1	−1.2065335745820	1.607781034581	0.29346452408	0.1652429384
2	−1.771086807411	0.8131947928329	0.224084203610	0.0934480876
4	−2.306884893241	0.5177237207726	0.16550949435	0.0491951565

Функции для работы с законами Трейси – Уидома также представлены в R-пакете RMTstat. Johnstone et al. (2009) и пакет MATLAB 'RMLab' от Диенг (2006).

Для простого приближения, основанного на смещенном гамма-распределении, см. Киани (2014).

Смотрите также

• Распределение полукруга Вигнера
• Марченко – Пастур раздача

Сноски

1. Таинственный статистический закон может наконец получить объяснение, wired.com 27.10.2014
2. Байк, Дейфт и Йоханссон (1999).
3. Йоханссон (2000); Трейси и Уидом (2009) ).
4. Маджумдар и Нечаев (2005).
5. Джонстон (2007, 2008, 2009 ).
6. Домингес-Молина (2017).
7. Трейси и Видом (1996).

Рекомендации

• Baik, J .; Deift, P .; Йоханссон, К. (1999), "О распределении длины самой длинной возрастающей подпоследовательности случайных перестановок", Журнал Американского математического общества, 12 (4): 1119–1178, Дои:10.1090 / S0894-0347-99-00307-0, JSTOR  2646100, Г-Н  1682248.
• Борнеманн, Ф. (2010), "О численной оценке распределений в теории случайных матриц: обзор с приглашением к экспериментальной математике", Марковские процессы и родственные поля, 16 (4): 803–866, arXiv:0904.1581, Bibcode:2009arXiv0904.1581B.
• Чиани, М. (2014), "Распределение наибольшего собственного значения для вещественных и гауссовских случайных матриц Уишарта и простое приближение для распределения Трейси – Уидома", Журнал многомерного анализа, 129: 69–81, arXiv:1209.3394, Дои:10.1016 / j.jmva.2014.04.002.
• Дейфт, П. (2007), «Универсальность математических и физических систем» (PDF), Международный конгресс математиков (Мадрид, 2006 г.), Европейское математическое общество, стр. 125–152, arXiv:math-ph / 0603038, Дои:10.4171/022-1/7, Г-Н  2334189.
• Дьенг, Момар (2006), RMLab, пакет MATLAB для вычисления распределений Трейси-Уидома и моделирования случайных матриц.
• Домингес-Молина, Х.Армандо (2017), «Распределение Трейси-Уидома не является бесконечно делимым», Письма о статистике и вероятности, 213 (1): 56–60.
• Йоханссон, К. (2000), "Флуктуации формы и случайные матрицы", Коммуникации по математической физике, 209 (2): 437–476, arXiv:математика / 9903134, Bibcode:2000CMaPh.209..437J, Дои:10.1007 / s002200050027.
• Йоханссон, К. (2002), «Детерминанты Теплица, случайный рост и детерминантные процессы» (PDF), Proc. Международный конгресс математиков (Пекин, 2002 г.), 3, Пекин: Высшее изд. Press, стр. 53–62, Г-Н  1957518.
• Джонстон, И. М. (2007), «Высокоразмерный статистический вывод и случайные матрицы» (PDF), Международный конгресс математиков (Мадрид, 2006 г.), Европейское математическое общество, стр. 307–333, arXiv:математика / 0611589, Дои:10.4171/022-1/13, Г-Н  2334195.
• Джонстон, И. М. (2008), "Многомерный анализ и ансамбли Якоби: наибольшее собственное значение, пределы Трейси – Уидома и скорости сходимости", Анналы статистики, 36 (6): 2638–2716, arXiv:0803.3408, Дои:10.1214 / 08-AOS605, ЧВК  2821031, PMID  20157626.
• Джонстон, И. М. (2009), "Приближенное нулевое распределение наибольшего корня в многомерном анализе", Анналы прикладной статистики, 3 (4): 1616–1633, arXiv:1009.5854, Дои:10.1214 / 08-AOAS220, ЧВК  2880335, PMID  20526465.
• Majumdar, Satya N .; Нечаев, Сергей (2005), "Точные асимптотические результаты для модели соответствия Бернулли выравнивания последовательностей", Физический обзор E, 72 (2): 020901, 4, arXiv:q-bio / 0410012, Bibcode:2005PhRvE..72b0901M, Дои:10.1103 / PhysRevE.72.020901, Г-Н  2177365, PMID  16196539.
• Patterson, N .; Цена, А. Л .; Райх, Д. (2006), «Структура населения и собственный анализ», PLoS Genetics, 2 (12): e190, Дои:10.1371 / journal.pgen.0020190, ЧВК  1713260, PMID  17194218.
• Prähofer, M .; Спон, Х. (2000), "Универсальные распределения для растущих процессов в размерности 1 + 1 и случайные матрицы", Письма с физическими проверками, 84 (21): 4882–4885, arXiv:cond-mat / 9912264, Bibcode:2000ПхРвЛ..84.4882П, Дои:10.1103 / PhysRevLett.84.4882, PMID  10990822.
• Takeuchi, K. A .; Сано, М. (2010), "Универсальные флуктуации растущих границ раздела: свидетельство в турбулентных жидких кристаллах", Письма с физическими проверками, 104 (23): 230601, arXiv:1001.5121, Bibcode:2010PhRvL.104w0601T, Дои:10.1103 / PhysRevLett.104.230601, PMID  20867221
• Takeuchi, K. A .; Сано, М .; Сасамото, Т .; Спон, Х. (2011), «Растущие границы раздела раскрывают универсальные флуктуации, лежащие в основе масштабной инвариантности», Научные отчеты, 1: 34, arXiv:1108.2118, Bibcode:2011НатСР ... 1Е..34Т, Дои:10.1038 / srep00034
• Трейси, К.А.; Видом, Х. (1993), «Распределение интервалов уровней и ядро ​​Эйри», Письма по физике B, 305 (1–2): 115–118, arXiv:hep-th / 9210074, Bibcode:1993ФЛБ..305..115Т, Дои:10.1016/0370-2693(93)91114-3.
• Трейси, К.А.; Видом, Х. (1994), "Распределение уровней и ядро ​​Эйри", Коммуникации по математической физике, 159 (1): 151–174, arXiv:hep-th / 9211141, Bibcode:1994CMaPh.159..151T, Дои:10.1007 / BF02100489, Г-Н  1257246.
• Трейси, К.А.; Видом, Х. (1996), "Об ортогональных и симплектических матричных ансамблях", Коммуникации по математической физике, 177 (3): 727–754, arXiv:solv-int / 9509007, Bibcode:1996CMaPh.177..727T, Дои:10.1007 / BF02099545, Г-Н  1385083
• Трейси, К.А.; Видом, Х. (2002), «Функции распределения для наибольших собственных значений и их приложения» (PDF), Proc. Международный конгресс математиков (Пекин, 2002 г.), 1, Пекин: Высшее изд. Press, стр. 587–596, Г-Н  1989209.
• Трейси, К.А.; Видом, Х. (2009), «Асимптотика в ASEP со ступенчатым начальным условием», Коммуникации по математической физике, 290 (1): 129–154, arXiv:0807.1713, Bibcode:2009CMaPh.290..129T, Дои:10.1007 / s00220-009-0761-0.

дальнейшее чтение

• Бежан, Андрей Ю. (2005), Наибольшие собственные значения и выборочные ковариационные матрицы. Трейси – Уидом и Пенлеве II: Вычислительные аспекты и реализация в S-Plus с приложениями (PDF), M.Sc. докторская диссертация, Департамент статистики, Уорикский университет.
• Эдельман, А .; Перссон, П.-О. (2005), Численные методы распределения собственных значений случайных матриц, arXiv:math-ph / 0501068, Bibcode:2005math.ph ... 1068E.
• Рамирес, Дж. А .; Райдер, Б .; Вираг, Б. (2006), "Бета-ансамбли, стохастический спектр Эйри и диффузия", Журнал Американского математического общества, 24: 919–944, arXiv:математика / 0607331, Bibcode:2006математика ...... 7331R, Дои:10.1090 / S0894-0347-2011-00703-0.

внешняя ссылка

• Куйлаарс, Универсальность функций распределения в теории случайных матриц (PDF).
• Трейси, К.А.; Видом, Х., Распределения теории случайных матриц и их приложения (PDF).
• Джонстон, Иэн; Ма, Цзунминь; Перри, Патрик; Шахрам, Мортеза (2009), Пакет 'RMTstat' (PDF).
• Журнал Quanta: На краю нового универсального закона