Распределение Рэлея - Rayleigh distribution

Не путать с Распределение смеси Рэлея.

Рэлей

Функция плотности вероятности
Кумулятивная функция распределения
Параметры	шкала: ${\displaystyle \sigma >0}$
Поддерживать	${\displaystyle x\in [0,\infty )}$
PDF	${\displaystyle {\frac {x}{\sigma ^{2}}}e^{-x^{2}/\left(2\sigma ^{2}\right)}}$
CDF	${\displaystyle 1-e^{-x^{2}/\left(2\sigma ^{2}\right)}}$
Квантиль	${\displaystyle Q(F;\sigma )=\sigma {\sqrt {-2\ln(1-F)}}}$
Иметь в виду	${\displaystyle \sigma {\sqrt {\frac {\pi }{2}}}}$
Медиана	${\displaystyle \sigma {\sqrt {2\ln(2)}}}$
Режим	${\displaystyle \sigma }$
Дисперсия	${\displaystyle {\frac {4-\pi }{2}}\sigma ^{2}}$
Асимметрия	${\displaystyle {\frac {2{\sqrt {\pi }}(\pi -3)}{(4-\pi )^{3/2}}}}$
Бывший. эксцесс	${\displaystyle -{\frac {6\pi ^{2}-24\pi +16}{(4-\pi )^{2}}}}$
Энтропия	${\displaystyle 1+\ln \left({\frac {\sigma }{\sqrt {2}}}\right)+{\frac {\gamma }{2}}}$
MGF	${\displaystyle 1+\sigma te^{\sigma ^{2}t^{2}/2}{\sqrt {\frac {\pi }{2}}}\left(\operatorname {erf} \left({\frac {\sigma t}{\sqrt {2}}}\right)+1\right)}$
CF	${\displaystyle 1-\sigma te^{-\sigma ^{2}t^{2}/2}{\sqrt {\frac {\pi }{2}}}\left(\operatorname {erfi} \left({\frac {\sigma t}{\sqrt {2}}}\right)-i\right)}$

В теория вероятности и статистика, то Распределение Рэлея это непрерывное распределение вероятностей для неотрицательных случайные переменные. По сути, это распределение ци с двумя степени свободы.

Распределение Рэлея часто наблюдается, когда общая величина вектора связана с его направлением. составные части. Один из примеров, когда естественно возникает распределение Рэлея, - это когда ветер скорость анализируется в два измерения. Предполагая, что каждый компонент некоррелированный, нормально распределенный с равным отклонение, и ноль иметь в виду, то общая скорость ветра (вектор величина) будет характеризоваться распределением Рэлея. Второй пример распределения возникает в случае случайных комплексных чисел, действительная и мнимая составляющие которых независимо и одинаково распределены. Гауссовский с равной дисперсией и нулевым средним. В этом случае абсолютное значение комплексного числа распределено по Рэлею.

Распространение названо в честь Лорд Рэйли (/ˈрeɪля/).^[1]

Определение

В функция плотности вероятности распределения Рэлея есть^[2]

${\displaystyle f(x;\sigma )={\frac {x}{\sigma ^{2}}}e^{-x^{2}/(2\sigma ^{2})},\quad x\geq 0,}$

куда ${\displaystyle \sigma }$ это параметр масштаба распределения. В кумулятивная функция распределения является^[2]

${\displaystyle F(x;\sigma )=1-e^{-x^{2}/(2\sigma ^{2})}}$

за ${\displaystyle x\in [0,\infty ).}$

Связь со случайной длиной вектора

Рассмотрим двумерный вектор ${\displaystyle Y=(U,V)}$ который имеет компоненты, которые нормально распределены, центрированы в нуле и независимы. потом ${\displaystyle U}$ и ${\displaystyle V}$ иметь функции плотности

${\displaystyle f_{U}(x;\sigma )=f_{V}(x;\sigma )={\frac {e^{-x^{2}/(2\sigma ^{2})}}{\sqrt {2\pi \sigma ^{2}}}}.}$

Позволять ${\displaystyle X}$ быть длиной ${\displaystyle Y}$. То есть, ${\displaystyle X={\sqrt {U^{2}+V^{2}}}.}$ потом ${\displaystyle X}$ имеет кумулятивную функцию распределения

${\displaystyle F_{X}(x;\sigma )=\iint _{D_{x}}f_{U}(u;\sigma )f_{V}(v;\sigma )\,dA,}$

куда ${\displaystyle D_{x}}$ диск

${\displaystyle D_{x}=\left\{(u,v):{\sqrt {u^{2}+v^{2}}}<x\right\}.}$

Написание двойной интеграл в полярные координаты, это становится

${\displaystyle F_{X}(x;\sigma )={\frac {1}{2\pi \sigma ^{2}}}\int _{0}^{2\pi }\int _{0}^{x}re^{-r^{2}/(2\sigma ^{2})}\,dr\,d\theta ={\frac {1}{\sigma ^{2}}}\int _{0}^{x}re^{-r^{2}/(2\sigma ^{2})}\,dr.}$

Наконец, функция плотности вероятности для ${\displaystyle X}$ является производной его кумулятивной функции распределения, которая по основная теорема исчисления является

${\displaystyle f_{X}(x;\sigma )={\frac {d}{dx}}F_{X}(x;\sigma )={\frac {x}{\sigma ^{2}}}e^{-x^{2}/(2\sigma ^{2})},}$

которое является распределением Рэлея. Легко обобщить на векторы размерности, отличной от 2. Существуют также обобщения, когда компоненты имеют неравная дисперсия или корреляции, или когда вектор Y следует за двумерный студент т-распределение.^[3]

Характеристики

В сырые моменты даны:

${\displaystyle \mu _{j}=\sigma ^{j}2^{j/2}\,\Gamma \left(1+{\frac {j}{2}}\right),}$

куда ${\displaystyle \Gamma (z)}$ это гамма-функция.

В иметь в виду случайной величины Рэлея:

${\displaystyle \mu (X)=\sigma {\sqrt {\frac {\pi }{2}}}\ \approx 1.253\ \sigma .}$

В стандартное отклонение случайной величины Рэлея:

${\displaystyle \operatorname {std} (X)={\sqrt {\left(2-{\frac {\pi }{2}}\right)}}\sigma \approx {\sqrt {0.429}}\ \sigma }$

В отклонение случайной величины Рэлея:

${\displaystyle \operatorname {var} (X)=\mu _{2}-\mu _{1}^{2}=\left(2-{\frac {\pi }{2}}\right)\sigma ^{2}\approx 0.429\ \sigma ^{2}}$

В Режим является ${\displaystyle \sigma ,}$ и максимальный pdf

${\displaystyle f_{\max }=f(\sigma ;\sigma )={\frac {1}{\sigma }}e^{-1/2}\approx {\frac {0.606}{\sigma }}.}$

В перекос дан кем-то:

${\displaystyle \gamma _{1}={\frac {2{\sqrt {\pi }}(\pi -3)}{(4-\pi )^{3/2}}}\approx 0.631}$

Избыток эксцесс дан кем-то:

${\displaystyle \gamma _{2}=-{\frac {6\pi ^{2}-24\pi +16}{(4-\pi )^{2}}}\approx 0.245}$

В характеристическая функция дан кем-то:

${\displaystyle \varphi (t)=1-\sigma te^{-{\frac {1}{2}}\sigma ^{2}t^{2}}{\sqrt {\frac {\pi }{2}}}\left[\operatorname {erfi} \left({\frac {\sigma t}{\sqrt {2}}}\right)-i\right]}$

куда ${\displaystyle \operatorname {erfi} (z)}$ это воображаемый функция ошибки. В функция, производящая момент дан кем-то

${\displaystyle M(t)=1+\sigma t\,e^{{\frac {1}{2}}\sigma ^{2}t^{2}}{\sqrt {\frac {\pi }{2}}}\left[\operatorname {erf} \left({\frac {\sigma t}{\sqrt {2}}}\right)+1\right]}$

куда ${\displaystyle \operatorname {erf} (z)}$ это функция ошибки.

Дифференциальная энтропия

В дифференциальная энтропия дан кем-то^{[нужна цитата ]}

${\displaystyle H=1+\ln \left({\frac {\sigma }{\sqrt {2}}}\right)+{\frac {\gamma }{2}}}$

куда ${\displaystyle \gamma }$ это Константа Эйлера – Маскерони.

Оценка параметров

Учитывая образец N независимые и одинаково распределенные Случайные величины Рэлея ${\displaystyle x_{i}}$ с параметром ${\displaystyle \sigma }$,

${\displaystyle {\widehat {\sigma }}^{2}\approx \!\,{\frac {1}{2N}}\sum _{i=1}^{N}x_{i}^{2}}$ это максимальная вероятность оценка, а также беспристрастный.

${\displaystyle {\widehat {\sigma }}\approx {\sqrt {{\frac {1}{2N}}\sum _{i=1}^{N}x_{i}^{2}}}}$ является смещенной оценкой, которую можно исправить с помощью формулы

${\displaystyle \sigma ={\widehat {\sigma }}{\frac {\Gamma (N){\sqrt {N}}}{\Gamma (N+{\frac {1}{2}})}}={\widehat {\sigma }}{\frac {4^{N}N!(N-1)!{\sqrt {N}}}{(2N)!{\sqrt {\pi }}}}}$^[4]

Доверительные интервалы

Чтобы найти (1 -α) доверительный интервал, сначала найдите границы ${\displaystyle [a,b]}$ куда:

  ${\displaystyle P(\chi _{2N}^{2}\leq a)=\alpha /2,\quad P(\chi _{2N}^{2}\leq b)=1-\alpha /2}$

тогда параметр масштаба попадет в границы

  ${\displaystyle {\frac {{N}{\overline {x^{2}}}}{b}}\leq {\widehat {\sigma }}^{2}\leq {\frac {{N}{\overline {x^{2}}}}{a}}}$^[5]

Генерация случайных переменных

Учитывая случайную вариацию U взяты из равномерное распределение в интервале (0, 1), то вариация

${\displaystyle X=\sigma {\sqrt {-2\ln U}}\,}$

имеет распределение Рэлея с параметром ${\displaystyle \sigma }$. Это достигается применением выборка с обратным преобразованием -метод.

Связанные дистрибутивы

• ${\displaystyle R\sim \mathrm {Rayleigh} (\sigma )}$ распределено Рэлея, если ${\displaystyle R={\sqrt {X^{2}+Y^{2}}}}$, куда ${\displaystyle X\sim N(0,\sigma ^{2})}$ и ${\displaystyle Y\sim N(0,\sigma ^{2})}$ независимы нормальные случайные величины.^[6] (Это дает мотивацию к использованию символа «сигма» в описанной выше параметризации плотности Рэлея.)

• Величина ${\displaystyle |z|}$ из стандартный комплекс нормально распределенный Переменная z будет иметь распределение Рэлея.

• В распределение ци с v = 2 эквивалентно распределению Рэлея сσ = 1.

• Если ${\displaystyle R\sim \mathrm {Rayleigh} (1)}$, тогда ${\displaystyle R^{2}}$ имеет распределение хи-квадрат с параметром ${\displaystyle N}$, степени свободы, равные двум (N = 2)

${\displaystyle [Q=R^{2}]\sim \chi ^{2}(N)\ .}$

• Если ${\displaystyle R\sim \mathrm {Rayleigh} (\sigma )}$, тогда ${\displaystyle \sum _{i=1}^{N}R_{i}^{2}}$ имеет гамма-распределение с параметрами ${\displaystyle N}$ и ${\displaystyle 2\sigma ^{2}}$

${\displaystyle \left[Y=\sum _{i=1}^{N}R_{i}^{2}\right]\sim \Gamma (N,2\sigma ^{2}).}$

• В Раздача риса это нецентральное обобщение распределения Рэлея: ${\displaystyle \mathrm {Rayleigh} (\sigma )=\mathrm {Rice} (0,\sigma )}$.
• В Распределение Вейбулла с "параметром формы" k= 2 дает распределение Рэлея. Тогда параметр распределения Рэлея ${\displaystyle \sigma }$ связана с параметром шкалы Вейбулла согласно ${\displaystyle \lambda =\sigma {\sqrt {2}}.}$
• В Распределение Максвелла – Больцмана описывает величину вектора нормали в трех измерениях.
• Если ${\displaystyle X}$ имеет экспоненциальное распределение ${\displaystyle X\sim \mathrm {Exponential} (\lambda )}$, тогда ${\displaystyle Y={\sqrt {X}}\sim \mathrm {Rayleigh} (1/{\sqrt {2\lambda }}).}$

• В полунормальное распределение является одномерным частным случаем распределения Рэлея.

Приложения

Приложение оценки σ можно найти в магнитно-резонансная томография (МРТ). Поскольку изображения МРТ записываются как сложный изображения, но чаще всего рассматриваемые как изображения величины, фоновые данные распределены по Рэлею. Следовательно, приведенная выше формула может использоваться для оценки дисперсии шума в МРТ-изображении по фоновым данным.^[7][8]

Распределение Рэлея также использовалось в области питание для связи диетический питательное вещество уровни и человек и животное ответы. Таким образом, параметр σ можно использовать для расчета зависимости отклика на питательные вещества.^[9]

Смотрите также

• Замирание Рэлея
• Распределение смеси Рэлея
• Вероятна круговая ошибка

Рекомендации

1. "Волновая теория света", Энциклопедическая Британника 1888; «Проблема случайного блуждания», Природа 1905 т.72 с.318
2. Папулис, Афанасий; Пиллаи, С. (2001) Вероятность, случайные величины и случайные процессы. ISBN  0073660116, ISBN  9780073660110^{[страница нужна ]}
3. Рёвер, К. (2011). «Фильтр Стьюдента для надежного обнаружения сигнала». Физический обзор D. 84 (12): 122004. arXiv:1109.0442. Bibcode:2011ПхРвД..84л2004Р. Дои:10.1103 / Physrevd.84.122004.
4. Сиддики, М. М. (1964) "Статистический вывод для распределений Рэлея", Журнал исследований Национального бюро стандартов, Sec. D: Радио наука, Vol. 68Д, №9, с. 1007
5. Сиддики, М. М. (1961) "Некоторые проблемы, связанные с распределениями Рэлея", Журнал исследований Национального бюро стандартов; Раздел D: распространение радио, Vol. 66Д, №2, с. 169
6. Hogema, Jeroen (2005) "Статистика группы выстрелов"
7. Sijbers, J .; ден Деккер, А. Дж .; Raman, E .; Ван Дайк, Д. (1999). «Оценка параметров по магнитудным МР-изображениям». Международный журнал систем и технологий обработки изображений. 10 (2): 109–114. CiteSeerX  10.1.1.18.1228. Дои:10.1002 / (sici) 1098-1098 (1999) 10: 2 <109 :: aid-ima2> 3.0.co; 2-r.
8. ден Деккер, А. Дж .; Сиджберс, Дж. (2014). «Распределение данных на магнитно-резонансных изображениях: обзор». Physica Medica. 30 (7): 725–741. Дои:10.1016 / j.ejmp.2014.05.002. PMID  25059432.
9. Ахмади, Хамед (21.11.2017). «Математическая функция для описания кривой отклика на питательные вещества». PLOS ONE. 12 (11): e0187292. Bibcode:2017PLoSO..1287292A. Дои:10.1371 / journal.pone.0187292. ISSN  1932-6203. ЧВК  5697816. PMID  29161271.