Комплексное распределение Уишарта - Complex Wishart distribution - Wikipedia

Комплекс Wishart

Обозначение	А ~ CWп(${\displaystyle \Gamma }$, п)
Параметры	п > п − 1 степени свободы (настоящий ) ${\displaystyle \Gamma }$ > 0 (п × п Эрмитский поз. def )
Поддерживать	А (п × п) Эрмитский положительно определенная матрица
PDF	${\displaystyle {\frac {\det \left(\mathbf {A} \right)^{(n-p)}e^{-\operatorname {tr} (\mathbf {\Gamma } ^{-1}\mathbf {A} )}}{\det \left(\mathbf {\Gamma } \right)^{n}\cdot {\mathcal {C}}{\widetilde {\Gamma }}_{p}(n)}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {C}}{\widetilde {\mathbf {\Gamma } }}_{p}}$ это ${\displaystyle p}$-variate комплексная многомерная гамма-функция tr это след функция
Иметь в виду	${\displaystyle \operatorname {E} [A]=n\Gamma }$
Режим	${\displaystyle (n-p)\mathbf {\Gamma } }$ за п ≥ п + 1
CF	${\displaystyle \det \left(I_{p}-i\mathbf {\Gamma } \mathbf {\Theta } \right)^{-n}}$

В статистика, то сложное распределение Уишарта это сложный версия Распределение Уишарта. Это распределение ${\displaystyle n}$ умноженное на выборочную эрмитову ковариационную матрицу ${\displaystyle n}$ нулевое среднее независимый Гауссовский случайные переменные. Она имеет поддерживать за ${\displaystyle p\times p}$ Эрмитский положительно определенные матрицы.^[1]

Комплексное распределение Уишарта - это плотность ковариационной матрицы комплексной выборки. Позволять

${\displaystyle S_{p\times p}=\sum _{i=1}^{n}G_{i}G_{i}^{H}}$

где каждый ${\displaystyle G_{i}}$ независимый столбец п-вектор случайных комплексных гауссовских выборок с нулевым средним и ${\displaystyle (.)^{H}}$ является эрмитовым (комплексно сопряженным) транспонированием. Если ковариация грамм является ${\displaystyle \mathbb {E} [GG^{H}]=M}$ тогда

${\displaystyle S\sim n{\mathcal {CW}}(M,n,p)}$

куда ${\displaystyle {\mathcal {CW}}(M,n,p)}$ - комплексное центральное распределение Уишарта с п степени свободы и среднее значение, или масштабная матрица, M.

${\displaystyle f_{S}(\mathbf {S} )={\frac {\left|\mathbf {S} \right|^{n-p}e^{-\operatorname {tr} (\mathbf {M} ^{-1}\mathbf {S} )}}{\left|\mathbf {M} \right|^{n}\cdot {\mathcal {C}}{\widetilde {\Gamma }}_{p}(n)}},\;\;\;n\geq p,\;\;\;\left|\mathbf {M} \right|>0}$

куда

${\displaystyle {\mathcal {C}}{\widetilde {\Gamma }}_{p}^{}(n)=\pi ^{p(p-1)/2}\prod _{j=1}^{p}\Gamma (n-j+1)}$

- комплексная многомерная гамма-функция.

Использование правила вращения трассы ${\displaystyle \operatorname {tr} (ABC)=\operatorname {tr} (CAB)}$ мы также получаем

${\displaystyle f_{S}(\mathbf {S} )={\frac {\left|\mathbf {S} \right|^{n-p}}{\left|\mathbf {M} \right|^{n}\cdot {\mathcal {C}}{\widetilde {\Gamma }}_{p}(n)}}\exp \left(-\sum _{i=1}^{p}G_{i}^{H}\mathbf {M} ^{-1}G_{i}\right)}$

что довольно близко к сложному многомерному PDF грамм сам. Элементы грамм обычно имеют круговую симметрию, такую ​​что ${\displaystyle \mathbb {E} [GG^{T}]=0}$

Обратный комплекс WishartРаспределение обратного комплексного распределения Вишарта ${\displaystyle \mathbf {Y} =\mathbf {S^{-1}} }$ по словам Гудмана,^[2] Шаман^[3] является

${\displaystyle f_{Y}(\mathbf {Y} )={\frac {\left|\mathbf {Y} \right|^{-(n+p)}e^{-\operatorname {tr} (\mathbf {M} \mathbf {Y^{-1}} )}}{\left|\mathbf {M} \right|^{-n}\cdot {\mathcal {C}}{\widetilde {\Gamma }}_{p}(n)}},\;\;\;n\geq p,\;\;\;\det \left(\mathbf {Y} \right)>0}$

куда ${\displaystyle \mathbf {M} =\mathbf {\Gamma ^{-1}} }$.

Если выводится с помощью отображения инверсии матриц, результат зависит от комплексного определителя Якобиана

${\displaystyle {\mathcal {C}}J_{Y}(Y^{-1})=\left|Y\right|^{-2p-2}}$

Гудман и другие^[4] обсудить такие сложные якобианы.

Собственные значения

Распределение вероятностей собственных значений комплексного эрмитова распределения Вишарта дано, например, Джеймсом^[5] и Эдельман.^[6] Для ${\displaystyle p\times p{\text{ matrix with }}\nu \geq p}$ степени свободы у нас есть

${\displaystyle f(\lambda _{1}\dots \lambda _{p})={\tilde {K}}_{\nu ,p}\exp \left(-{\frac {1}{2}}\sum _{i=1}^{p}\lambda _{i}\right)\prod _{i=1}^{p}\lambda _{i}^{\nu -p}\prod _{i<j}(\lambda _{i}-\lambda _{j})^{2}d\lambda _{1}\dots d\lambda _{p},\;\;\;\lambda _{i}\in \mathbb {R} \geq 0}$

куда

${\displaystyle {\tilde {K}}_{\nu ,p}^{-1}=2^{p\nu }\prod _{i=1}^{p}\Gamma (\nu -i+1)\Gamma (p-i+1)}$

Однако обратите внимание, что Эдельман использует «математическое» определение сложной нормальной переменной. ${\displaystyle Z=X+iY}$ где iid Икс и Y у каждого есть единичная дисперсия и дисперсия ${\displaystyle Z=\mathbf {E} \left(X^{2}+Y^{2}\right)=2}$. Для определения, более распространенного в инженерных кругах, с Икс и Y каждое с отклонением 0,5, собственные значения уменьшаются в 2 раза.

Хотя это выражение дает мало информации, существуют приближения для предельных распределений собственных значений. От Эдельмана мы получаем, что если S - образец из комплексного распределения Уишарта с ${\displaystyle p=\kappa \nu ,\;\;0\leq \kappa \leq 1}$ такой, что ${\displaystyle S_{p\times p}\sim {\mathcal {CW}}\left(2\mathbf {I} ,{\frac {p}{\kappa }}\right)}$тогда в пределе ${\displaystyle p\rightarrow \infty }$ распределение собственных значений сходится по вероятности к Марченко – Пастур раздача функция

${\displaystyle p_{\lambda }(\lambda )={\frac {\sqrt {[\lambda /2-({\sqrt {\kappa }}-1)^{2}][{\sqrt {\kappa }}+1)^{2}-\lambda /2]}}{4\pi \kappa (\lambda /2)}},\;\;\;2({\sqrt {\kappa }}-1)^{2}\leq \lambda \leq 2({\sqrt {\kappa }}+1)^{2},\;\;\;0\leq \kappa \leq 1}$

Это распределение становится идентичным реальному случаю Уишарта при замене ${\displaystyle \lambda {\text{ by }}2\lambda }$, из-за удвоенной выборочной дисперсии, поэтому в случае ${\displaystyle S_{p\times p}\sim {\mathcal {CW}}\left(\mathbf {I} ,{\frac {p}{\kappa }}\right)}$, PDF-файл превращается в настоящий файл Wishart:

${\displaystyle p_{\lambda }(\lambda )={\frac {\sqrt {[\lambda -({\sqrt {\kappa }}-1)^{2}][{\sqrt {\kappa }}+1)^{2}-\lambda ]}}{2\pi \kappa \lambda }},\;\;\;({\sqrt {\kappa }}-1)^{2}\leq \lambda \leq ({\sqrt {\kappa }}+1)^{2},\;\;\;0\leq \kappa \leq 1}$

Особый случай ${\displaystyle \kappa =1}$

${\displaystyle p_{\lambda }(\lambda )={\frac {1}{4\pi }}\left({\frac {8-\lambda }{\lambda }}\right)^{\frac {1}{2}},\;0\leq \lambda \leq 8}$

или, если Var (Z) = 1 используется соглашение, тогда

${\displaystyle p_{\lambda }(\lambda )={\frac {1}{2\pi }}\left({\frac {4-\lambda }{\lambda }}\right)^{\frac {1}{2}},\;0\leq \lambda \leq 4}$.

В Распределение полукруга Вигнера возникает при замене переменной ${\displaystyle y=\pm {\sqrt {\lambda }}}$ в последнем и выбрав знак у случайный pdf

${\displaystyle p_{y}(y)={\frac {1}{2\pi }}\left(4-y^{2}\right)^{\frac {1}{2}},\;-2\leq y\leq 2}$

Вместо определения матрицы-образца Уишарта выше, ${\displaystyle S_{p\times p}=\sum _{j=1}^{\nu }G_{j}G_{j}^{H}}$, мы можем определить гауссовский ансамбль

${\displaystyle \mathbf {G} _{i,j}=[G_{1}\dots G_{\nu }]\in \mathbb {C} ^{\,p\times \nu }}$

такой, что S это матричное произведение ${\displaystyle S=\mathbf {G} \mathbf {G^{H}} }$. Действительные неотрицательные собственные значения S - тогда квадрат модуля сингулярных значений ансамбля ${\displaystyle \mathbf {G} }$ причем модули последних имеют распределение четверти круга.

В случае ${\displaystyle \kappa >1{\text{ such that }}\nu <p{\text{ then }}S}$

имеет недостаточный ранг не менее ${\displaystyle p-\nu }$ нулевые собственные значения. Однако сингулярные значения ${\displaystyle \mathbf {G} }$ инвариантны относительно транспонирования, поэтому, переопределяя ${\displaystyle {\tilde {S}}=\mathbf {G^{H}} \mathbf {G} }$, тогда ${\displaystyle {\tilde {S}}_{\nu \times \nu }}$ имеет сложное распределение Уишарта, почти наверняка имеет полный ранг и распределения собственных значений могут быть получены из ${\displaystyle {\tilde {S}}}$ вместо этого, используя все предыдущие уравнения.

В случаях, когда столбцы ${\displaystyle \mathbf {G} }$ не являются линейно независимыми и ${\displaystyle {\tilde {S}}_{\nu \times \nu }}$ остается сингулярным, a QR-разложение может использоваться для уменьшения грамм к продукту, подобному

${\displaystyle \mathbf {G} =Q{\begin{bmatrix}\mathbf {R} \\0\end{bmatrix}}}$

такой, что ${\displaystyle \mathbf {R} _{q\times q},\;\;q\leq \nu }$ верхний треугольник с полным рангом и ${\displaystyle {\tilde {\tilde {S}}}_{q\times q}=\mathbf {R^{H}} \mathbf {R} }$ еще больше уменьшила размерность.

Собственные значения имеют практическое значение в теории радиосвязи, так как они определяют пропускную способность канала Шеннона. ${\displaystyle \nu \times p}$ MIMO беспроводной канал, который в первом приближении моделируется как комплексный гауссовский ансамбль с нулевым средним.

Рекомендации

1. Н. Р. Гудман (1963). "Распределение определителя сложной распределенной матрицы Уишарта". Анналы математической статистики. 34 (1): 178–180. Дои:10.1214 / aoms / 1177704251.
2. Гудман, Н. Р. (1963). «Статистический анализ, основанный на многомерном комплексном распределении Гаусса (введение)». Анна. Математика. Статист. 34: 152–177. Дои:10.1214 / aoms / 1177704250.
3. Шаман, Пол (1980). «Обращенное комплексное распределение Уишарта и его применение для спектральной оценки». Журнал многомерного анализа. 10: 51–59. Дои:10.1016 / 0047-259X (80) 90081-0.
4. Кросс, Д. Дж. (Май 2008 г.). «О связи между действительными и комплексными детерминантами якобиана» (PDF). drexel.edu.
5. Джеймс, А. Т. (1964). «Распределение матричных вариаций и скрытых корней, полученных из нормальных образцов». Анна. Математика. Статист. 35 (2): 475–501. Дои:10.1214 / aoms / 1177703550.
6. Эдельман, Алан (октябрь 1988 г.). «Собственные значения и числа обусловленности случайных матриц» (PDF). SIAM J. Matrix Anal. Приложение. 9 (4): 543–560. Дои:10.1137/0609045.