Комплексное нормальное распределение - Complex normal distribution

Сложный нормальный

Параметры	${\displaystyle \mathbf {\mu } \in \mathbb {C} ^{n}}$ — место расположения ${\displaystyle \Gamma \in \mathbb {C} ^{n\times n}}$ — ковариационная матрица (положительная полуопределенная матрица ) ${\displaystyle C\in \mathbb {C} ^{n\times n}}$ — матрица отношений (комплексная симметричная матрица )
Поддерживать	${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$
PDF	сложно, см. текст
Иметь в виду	${\displaystyle \mathbf {\mu } }$
Режим	${\displaystyle \mathbf {\mu } }$
Дисперсия	${\displaystyle \Gamma }$
CF	${\displaystyle \exp \!{\big \{}i\operatorname {Re} ({\overline {w}}'\mu )-{\tfrac {1}{4}}{\big (}{\overline {w}}'\Gamma w+\operatorname {Re} ({\overline {w}}'C{\overline {w}}){\big )}{\big \}}}$

В теория вероятности, семья сложные нормальные распределения характеризует сложные случайные величины чья действительная и мнимая части вместе нормальный.^[1] Сложное нормальное семейство имеет три параметра: место расположения параметр μ, ковариация матрица ${\displaystyle \Gamma }$, а связь матрица ${\displaystyle C}$. В стандартный комплекс нормальный - одномерное распределение с ${\displaystyle \mu =0}$, ${\displaystyle \Gamma =1}$, и ${\displaystyle C=0}$.

Важный подкласс сложной нормальной семьи называется циркулярно-симметричная (центральная) комплексная нормаль и соответствует случаю нулевой матрицы отношений и нулевого среднего: ${\displaystyle \mu =0}$ и ${\displaystyle C=0}$.^[2] Этот чехол широко используется в обработка сигналов, где его иногда называют просто сложный нормальный в литературе.

Определения

Комплексная стандартная нормальная случайная величина

В стандартная комплексная нормальная случайная величина или же стандартная комплексная гауссовская случайная величина сложная случайная величина ${\displaystyle Z}$ действительная и мнимая части которого являются независимыми нормально распределенными случайными величинами с нулевым средним и дисперсией ${\displaystyle 1/2}$.^{[3]:п. 494[4]:стр.501} Формально,

${\displaystyle Z\sim {\mathcal {CN}}(0,1)\quad \iff \quad \Re (Z)\perp \!\!\!\perp \Im (Z){\text{ and }}\Re (Z)\sim {\mathcal {N}}(0,1/2){\text{ and }}\Im (Z)\sim {\mathcal {N}}(0,1/2)}$

(Уравнение 1)

куда ${\displaystyle Z\sim {\mathcal {CN}}(0,1)}$ означает, что ${\displaystyle Z}$ стандартная комплексная нормальная случайная величина.

Комплексная нормальная случайная величина

Предполагать ${\displaystyle X}$ и ${\displaystyle Y}$ реальные случайные величины такие, что ${\displaystyle (X,Y)^{\mathrm {T} }}$ является двумерным нормальный случайный вектор. Тогда комплексная случайная величина ${\displaystyle Z=X+iY}$ называется сложная нормальная случайная величина или же комплексная гауссова случайная величина.^{[3]:п. 500}

${\displaystyle Z{\text{ complex normal random variable}}\quad \iff \quad (\Re (Z),\Im (Z))^{\mathrm {T} }{\text{ real normal random vector}}}$

(Уравнение 2)

Комплексный стандартный нормальный случайный вектор

N-мерный комплексный случайный вектор ${\displaystyle \mathbf {Z} =(Z_{1},\ldots ,Z_{n})^{\mathrm {T} }}$ это комплексный стандартный нормальный случайный вектор или же комплексный стандартный гауссовский случайный вектор если его компоненты независимы и все они являются стандартными комплексными нормальными случайными величинами, как определено выше.^{[3]:п. 502[4]:стр.501}Который ${\displaystyle \mathbf {Z} }$ - стандартный комплексный нормальный случайный вектор, обозначается ${\displaystyle \mathbf {Z} \sim {\mathcal {CN}}(0,{\boldsymbol {I}}_{n})}$.

${\displaystyle \mathbf {Z} \sim {\mathcal {CN}}(0,{\boldsymbol {I}}_{n})\quad \iff (Z_{1},\ldots ,Z_{n}){\text{ independent}}{\text{ and for }}1\leq i\leq n:Z_{i}\sim {\mathcal {CN}}(0,1)}$

(Уравнение 3)

Комплексный нормальный случайный вектор

Если ${\displaystyle \mathbf {X} =(X_{1},\ldots ,X_{n})^{\mathrm {T} }}$ и ${\displaystyle \mathbf {Y} =(Y_{1},\ldots ,Y_{n})^{\mathrm {T} }}$ находятся случайные векторы в ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ такой, что ${\displaystyle [\mathbf {X} ,\mathbf {Y} ]}$ это нормальный случайный вектор с ${\displaystyle 2n}$ составные части. Затем мы говорим, что комплексный случайный вектор

${\displaystyle \mathbf {Z} =\mathbf {X} +i\mathbf {Y} \,}$

есть комплексный нормальный случайный вектор или комплексный гауссовский случайный вектор.

${\displaystyle \mathbf {Z} {\text{ complex normal random vector}}\quad \iff \quad (\Re (Z_{1}),\ldots ,\Re (Z_{n}),\Im (Z_{1}),\ldots ,\Im (Z_{n}))^{\mathrm {T} }{\text{ real normal random vector}}}$

(Уравнение 4)

Обозначение

Символ ${\displaystyle {\mathcal {N}}_{\mathcal {C}}}$ также используется для сложного нормального распределения.

Среднее и ковариация

Сложное распределение Гаусса можно описать тремя параметрами:^[5]

${\displaystyle \mu =\operatorname {E} [\mathbf {Z} ],\quad \Gamma =\operatorname {E} [(\mathbf {Z} -\mu )({\mathbf {Z} }-\mu )^{\mathrm {H} }],\quad C=\operatorname {E} [(\mathbf {Z} -\mu )(\mathbf {Z} -\mu )^{\mathrm {T} }],}$

куда ${\displaystyle \mathbf {Z} ^{\mathrm {T} }}$ обозначает матрица транспонировать из ${\displaystyle \mathbf {Z} }$, и ${\displaystyle \mathbf {Z} ^{\mathrm {H} }}$ обозначает сопряженный транспонировать.^{[3]:п. 504[4]:стр.500}

Здесь параметр местоположения ${\displaystyle \mu }$ - n-мерный комплексный вектор; то ковариационная матрица ${\displaystyle \Gamma }$ является Эрмитский и неотрицательно определенный; и матрица отношений или же псевдоковариационная матрица ${\displaystyle C}$ является симметричный. Комплексный нормальный случайный вектор ${\displaystyle \mathbf {Z} }$ теперь можно обозначить как

$${\displaystyle \mathbf {Z} \ \sim \ {\mathcal {CN}}(\mu ,\ \Gamma ,\ C).}$$

Кроме того, матрицы ${\displaystyle \Gamma }$ и ${\displaystyle C}$ таковы, что матрица

${\displaystyle P={\overline {\Gamma }}-{C}^{\mathrm {H} }\Gamma ^{-1}C}$

также неотрицательно определен, где ${\displaystyle {\overline {\Gamma }}}$ обозначает комплексное сопряжение ${\displaystyle \Gamma }$.^[5]

Связь между ковариационными матрицами

Основная статья: Комплексный случайный вектор § Матрица ковариации и матрица псевдоковариации

Как и для любого сложного случайного вектора, матрицы ${\displaystyle \Gamma }$ и ${\displaystyle C}$ можно связать с ковариационными матрицами ${\displaystyle \mathbf {X} =\Re (\mathbf {Z} )}$ и ${\displaystyle \mathbf {Y} =\Im (\mathbf {Z} )}$ через выражения

${\displaystyle {\begin{aligned}&V_{XX}\equiv \operatorname {E} [(\mathbf {X} -\mu _{X})(\mathbf {X} -\mu _{X})^{\mathrm {T} }]={\tfrac {1}{2}}\operatorname {Re} [\Gamma +C],\quad V_{XY}\equiv \operatorname {E} [(\mathbf {X} -\mu _{X})(\mathbf {Y} -\mu _{Y})^{\mathrm {T} }]={\tfrac {1}{2}}\operatorname {Im} [-\Gamma +C],\\&V_{YX}\equiv \operatorname {E} [(\mathbf {Y} -\mu _{Y})(\mathbf {X} -\mu _{X})^{\mathrm {T} }]={\tfrac {1}{2}}\operatorname {Im} [\Gamma +C],\quad \,V_{YY}\equiv \operatorname {E} [(\mathbf {Y} -\mu _{Y})(\mathbf {Y} -\mu _{Y})^{\mathrm {T} }]={\tfrac {1}{2}}\operatorname {Re} [\Gamma -C],\end{aligned}}}$

и наоборот

${\displaystyle {\begin{aligned}&\Gamma =V_{XX}+V_{YY}+i(V_{YX}-V_{XY}),\\&C=V_{XX}-V_{YY}+i(V_{YX}+V_{XY}).\end{aligned}}}$

Функция плотности

Функция плотности вероятности для комплексного нормального распределения может быть вычислена как

${\displaystyle {\begin{aligned}f(z)&={\frac {1}{\pi ^{n}{\sqrt {\det(\Gamma )\det(P)}}}}\,\exp \!\left\{-{\frac {1}{2}}{\begin{pmatrix}({\overline {z}}-{\overline {\mu }})^{\intercal }&(z-\mu )^{\intercal }\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}\Gamma &C\\{\overline {C}}&{\overline {\Gamma }}\end{pmatrix}}^{\!\!-1}\!{\begin{pmatrix}z-\mu \\{\overline {z}}-{\overline {\mu }}\end{pmatrix}}\right\}\\[8pt]&={\tfrac {\sqrt {\det \left({\overline {P^{-1}}}-R^{\ast }P^{-1}R\right)\det(P^{-1})}}{\pi ^{n}}}\,e^{-(z-\mu )^{\ast }{\overline {P^{-1}}}(z-\mu )+\operatorname {Re} \left((z-\mu )^{\intercal }R^{\intercal }{\overline {P^{-1}}}(z-\mu )\right)},\end{aligned}}}$

куда ${\displaystyle R=C^{\mathrm {H} }\Gamma ^{-1}}$ и ${\displaystyle P={\overline {\Gamma }}-RC}$.

Характеристическая функция

В характеристическая функция комплексного нормального распределения имеет вид^[5]

${\displaystyle \varphi (w)=\exp \!{\big \{}i\operatorname {Re} ({\overline {w}}'\mu )-{\tfrac {1}{4}}{\big (}{\overline {w}}'\Gamma w+\operatorname {Re} ({\overline {w}}'C{\overline {w}}){\big )}{\big \}},}$

где аргумент ${\displaystyle w}$ это п-мерный комплексный вектор.

Характеристики

• Если ${\displaystyle \mathbf {Z} }$ сложный нормальный п-вектор, ${\displaystyle {\boldsymbol {A}}}$ ан м × п матрица и ${\displaystyle b}$ постоянный м-вектор, то линейное преобразование ${\displaystyle {\boldsymbol {A}}\mathbf {Z} +b}$ будет распространяться также комплексно-нормально:

${\displaystyle Z\ \sim \ {\mathcal {CN}}(\mu ,\,\Gamma ,\,C)\quad \Rightarrow \quad AZ+b\ \sim \ {\mathcal {CN}}(A\mu +b,\,A\Gamma A^{\mathrm {H} },\,ACA^{\mathrm {T} })}$

• Если ${\displaystyle \mathbf {Z} }$ сложный нормальный п-вектор, тогда

${\displaystyle 2{\Big [}(\mathbf {Z} -\mu )^{\mathrm {H} }{\overline {P^{-1}}}(\mathbf {Z} -\mu )-\operatorname {Re} {\big (}(\mathbf {Z} -\mu )^{\mathrm {T} }R^{\mathrm {T} }{\overline {P^{-1}}}(\mathbf {Z} -\mu ){\big )}{\Big ]}\ \sim \ \chi ^{2}(2n)}$

• Центральная предельная теорема. Если ${\displaystyle Z_{1},\ldots ,Z_{T}}$ являются независимыми и одинаково распределенными комплексными случайными величинами, то

${\displaystyle {\sqrt {T}}{\Big (}{\tfrac {1}{T}}\textstyle \sum _{t=1}^{T}Z_{t}-\operatorname {E} [Z_{t}]{\Big )}\ {\xrightarrow {d}}\ {\mathcal {CN}}(0,\,\Gamma ,\,C),}$

куда ${\displaystyle \Gamma =\operatorname {E} [ZZ^{\mathrm {H} }]}$ и ${\displaystyle C=\operatorname {E} [ZZ^{\mathrm {T} }]}$.

• Модуль комплексной нормальной случайной величины следует за Распределение Хойта.^[6]

Кругло-симметричный центральный корпус

Определение

Сложный случайный вектор ${\displaystyle \mathbf {Z} }$ называется циркулярно-симметричным, если для каждого детерминированного ${\displaystyle \varphi \in [-\pi ,\pi )}$ распределение ${\displaystyle e^{\mathrm {i} \varphi }\mathbf {Z} }$ равно распределению ${\displaystyle \mathbf {Z} }$.^{[4]:стр. 500–501}

Основная статья: Комплексный случайный вектор § Круговая симметрия

Центральные нормальные комплексные случайные векторы, которые являются циркулярно-симметричными, представляют особый интерес, потому что они полностью задаются ковариационной матрицей ${\displaystyle \Gamma }$.

В циркулярно-симметричное (центральное) комплексное нормальное распределение соответствует случаю нулевого среднего и нулевой матрицы отношений, т.е. ${\displaystyle \mu =0}$ и ${\displaystyle C=0}$.^{[3]:п. 507[7]} Обычно это обозначается

${\displaystyle \mathbf {Z} \sim {\mathcal {CN}}(0,\,\Gamma )}$

Распределение действительной и мнимой частей

Если ${\displaystyle \mathbf {Z} =\mathbf {X} +i\mathbf {Y} }$ является циркулярно-симметричной (центральной) комплексной нормалью, то вектор ${\displaystyle [\mathbf {X} ,\mathbf {Y} ]}$ многомерный нормальный с ковариационной структурой

${\displaystyle {\begin{pmatrix}\mathbf {X} \\\mathbf {Y} \end{pmatrix}}\ \sim \ {\mathcal {N}}{\Big (}{\begin{bmatrix}\operatorname {Re} \,\mu \\\operatorname {Im} \,\mu \end{bmatrix}},\ {\tfrac {1}{2}}{\begin{bmatrix}\operatorname {Re} \,\Gamma &-\operatorname {Im} \,\Gamma \\\operatorname {Im} \,\Gamma &\operatorname {Re} \,\Gamma \end{bmatrix}}{\Big )}}$

куда ${\displaystyle \mu =\operatorname {E} [\mathbf {Z} ]=0}$ и ${\displaystyle \Gamma =\operatorname {E} [\mathbf {Z} \mathbf {Z} ^{\mathrm {H} }]}$.

Функция плотности вероятности

Для невырожденной ковариационной матрицы ${\displaystyle \Gamma }$, его распределение также можно упростить как^{[3]:п. 508}

${\displaystyle f_{\mathbf {Z} }(\mathbf {z} )={\tfrac {1}{\pi ^{n}\det(\Gamma )}}\,e^{-\mathbf {z} ^{\mathrm {H} }\Gamma ^{-1}\mathbf {z} }}$.

Следовательно, если ненулевое среднее ${\displaystyle \mu }$ и ковариационная матрица ${\displaystyle \Gamma }$ неизвестны, подходящая функция логарифма правдоподобия для одного вектора наблюдения ${\displaystyle z}$ было бы

${\displaystyle \ln(L(\mu ,\Gamma ))=-\ln(\det(\Gamma ))-{\overline {(z-\mu )}}'\Gamma ^{-1}(z-\mu )-n\ln(\pi ).}$

В стандартный комплекс нормальный (определено в Уравнение 1) соответствует распределению скалярной случайной величины с ${\displaystyle \mu =0}$, ${\displaystyle C=0}$ и ${\displaystyle \Gamma =1}$. Таким образом, стандартное комплексное нормальное распределение имеет плотность

${\displaystyle f_{Z}(z)={\tfrac {1}{\pi }}e^{-{\overline {z}}z}={\tfrac {1}{\pi }}e^{-|z|^{2}}.}$

Характеристики

Вышеприведенное выражение демонстрирует, почему случай ${\displaystyle C=0}$, ${\displaystyle \mu =0}$ называется «кругово-симметричным». Функция плотности зависит только от величины ${\displaystyle z}$ но не на его аргумент. Таким образом, величина ${\displaystyle |z|}$ стандартной сложной нормальной случайной величины будет иметь Распределение Рэлея и квадрат величины ${\displaystyle |z|^{2}}$ будет иметь экспоненциальное распределение, тогда как аргумент будет распространен равномерно на ${\displaystyle [-\pi ,\pi ]}$.

Если ${\displaystyle \left\{\mathbf {Z} _{1},\ldots ,\mathbf {Z} _{k}\right\}}$ независимы и одинаково распределены п-мерные круговые комплексные нормальные случайные векторы с ${\displaystyle \mu =0}$, то случайный квадрат нормы

${\displaystyle Q=\sum _{j=1}^{k}\mathbf {Z} _{j}^{\mathrm {H} }\mathbf {Z} _{j}=\sum _{j=1}^{k}\|\mathbf {Z} _{j}\|^{2}}$

имеет обобщенное распределение хи-квадрат и случайная матрица

${\displaystyle W=\sum _{j=1}^{k}\mathbf {Z} _{j}\mathbf {Z} _{j}^{\mathrm {H} }}$

имеет сложное распределение Уишарта с ${\displaystyle k}$ степени свободы. Это распределение можно описать функцией плотности

${\displaystyle f(w)={\frac {\det(\Gamma ^{-1})^{k}\det(w)^{k-n}}{\pi ^{n(n-1)/2}\prod _{j=1}^{k}(k-j)!}}\ e^{-\operatorname {tr} (\Gamma ^{-1}w)}}$

куда ${\displaystyle k\geq n}$, и ${\displaystyle w}$ это ${\displaystyle n\times n}$ неотрицательно-определенная матрица.

Смотрите также

• Распределение сложного нормального отношения
• Направленная статистика # Распределение среднего
• Нормальное распределение
• Многомерное нормальное распределение (сложное нормальное распределение - это двумерное нормальное распределение)
• Обобщенное распределение хи-квадрат
• Распределение Уишарта
• Сложная случайная величина

Рекомендации

1. Гудман (1963)
2. bookchapter, Gallager.R, стр.9.
3. Лапидот, А. (2009). Фонд цифровых коммуникаций. Издательство Кембриджского университета. ISBN  9780521193955.
4. Це, Дэвид (2005). Основы беспроводной связи. Издательство Кембриджского университета. ISBN  9781139444668.
5. Пичинбоно (1996)
6. Даниэль Волльшлегер. «Дистрибутив Хойта (документация для пакета R 'shotGroups' версии 0.6.2)».^{[постоянная мертвая ссылка ]}
7. bookchapter, Gallager.R

дальнейшее чтение

• Гудман, Н. (1963). «Статистический анализ, основанный на многомерном комплексном распределении Гаусса (введение)». Анналы математической статистики. 34 (1): 152–177. Дои:10.1214 / aoms / 1177704250. JSTOR  2991290.
• Пичинбоно, Бернар (1996). «Комплексные случайные векторы второго порядка и нормальные распределения». Транзакции IEEE при обработке сигналов. 44 (10): 2637–2640. Дои:10.1109/78.539051.

• Wollschlaeger, Даниэль. "ShotGroups". Hoyt. RDocumentation, н.д. Интернет. https://www.rdocumentation.org/packages/shotGroups/versions/0.7.1/topics/Hoyt.
• Галлагер, Роберт G (2008). «Циркулярно-симметричные гауссовские случайные векторы». (н.о.): н. стр. Предварительная печать. Интернет. 9 http://www.rle.mit.edu/rgallager/documents/CircSymGauss.pdf.