Единообразно самый мощный тест - Uniformly most powerful test

В статистическая проверка гипотез, а равномерно самый мощный (UMP) тест это проверка гипотез который имеет величайший мощность ${\displaystyle 1-\beta }$ среди всех возможных тестов данного размер α. Например, согласно Лемма Неймана – Пирсона., то отношение правдоподобия test - это UMP для проверки простых (точечных) гипотез.

Параметр

Позволять ${\displaystyle X}$ обозначают случайный вектор (соответствующий измерениям), взятый из параметризованная семья из функции плотности вероятности или же вероятностные массовые функции ${\displaystyle f_{\theta }(x)}$, который зависит от неизвестного детерминированного параметра ${\displaystyle \theta \in \Theta }$. Пространство параметров ${\displaystyle \Theta }$ разбивается на два непересекающихся множества ${\displaystyle \Theta _{0}}$ и ${\displaystyle \Theta _{1}}$. Позволять ${\displaystyle H_{0}}$ обозначим гипотезу о том, что ${\displaystyle \theta \in \Theta _{0}}$, и разреши ${\displaystyle H_{1}}$ обозначим гипотезу о том, что ${\displaystyle \theta \in \Theta _{1}}$.Бинарная проверка гипотез выполняется с помощью тестовой функции. ${\displaystyle \varphi (x)}$.

${\displaystyle \varphi (x)={\begin{cases}1&{\text{if }}x\in \Theta _{1}\\0&{\text{if }}x\in \Theta _{0}\end{cases}}}$

означающий, что ${\displaystyle H_{1}}$ действует, если измерение ${\displaystyle X\in \Theta _{1}}$ и это ${\displaystyle H_{0}}$ действует, если измерение ${\displaystyle X\in \Theta _{0}}$.Обратите внимание, что ${\displaystyle \Theta _{0}\cup \Theta _{1}}$ является непересекающимся покрытием измерительного пространства.

Формальное определение

Тестовая функция ${\displaystyle \varphi (x)}$ UMP размера ${\displaystyle \alpha }$ если для любой другой тестовой функции ${\displaystyle \varphi '(x)}$ удовлетворение

${\displaystyle \sup _{\theta \in \Theta _{0}}\;\operatorname {E} _{\theta }\varphi '(X)=\alpha '\leq \alpha =\sup _{\theta \in \Theta _{0}}\;\operatorname {E} _{\theta }\varphi (X)\,}$

у нас есть

${\displaystyle \forall \theta \in \Theta _{1},\quad \operatorname {E} _{\theta }\varphi '(X)=1-\beta '(\theta )\geq 1-\beta (\theta )=\operatorname {E} _{\theta }\varphi (X).}$

Теорема Карлина – Рубина.

Теорема Карлина – Рубина может рассматриваться как расширение леммы Неймана – Пирсона для сложных гипотез.^[1] Рассмотрим скалярное измерение, имеющее функцию плотности вероятности, параметризованную скалярным параметром θ, и определим отношение правдоподобия ${\displaystyle l(x)=f_{\theta _{1}}(x)/f_{\theta _{0}}(x)}$.Если ${\displaystyle l(x)}$ монотонно неубывает, в ${\displaystyle x}$, для любой пары ${\displaystyle \theta _{1}\geq \theta _{0}}$ (это означает, что чем больше ${\displaystyle x}$ есть, более вероятно ${\displaystyle H_{1}}$ есть), то пороговая проверка:

${\displaystyle \varphi (x)={\begin{cases}1&{\text{if }}x>x_{0}\\0&{\text{if }}x<x_{0}\end{cases}}}$

куда ${\displaystyle x_{0}}$ выбирается так, что ${\displaystyle \operatorname {E} _{\theta _{0}}\varphi (X)=\alpha }$

это тест размера UMP α для тестирования ${\displaystyle H_{0}:\theta \leq \theta _{0}{\text{ vs. }}H_{1}:\theta >\theta _{0}.}$

Обратите внимание, что точно такой же тест также является UMP для тестирования. ${\displaystyle H_{0}:\theta =\theta _{0}{\text{ vs. }}H_{1}:\theta >\theta _{0}.}$

Важный случай: экспоненциальная семья

Хотя теорема Карлина-Рубина может показаться слабой из-за ее ограничения скалярным параметром и скалярным измерением, оказывается, что существует множество проблем, для которых теорема верна. В частности, одномерный экспоненциальная семья из функции плотности вероятности или же вероятностные массовые функции с

${\displaystyle f_{\theta }(x)=g(\theta )h(x)\exp(\eta (\theta )T(x))}$

имеет монотонное неубывающее отношение правдоподобия в достаточная статистика ${\displaystyle T(x)}$, при условии, что ${\displaystyle \eta (\theta )}$ не убывает.

Пример

Позволять ${\displaystyle X=(X_{0},\ldots ,X_{M-1})}$ обозначают i.i.d. нормально распределенный ${\displaystyle N}$-мерные случайные векторы со средним ${\displaystyle \theta m}$ и ковариационная матрица ${\displaystyle R}$. Тогда у нас есть

${\displaystyle {\begin{aligned}f_{\theta }(X)={}&(2\pi )^{-MN/2}|R|^{-M/2}\exp \left\{-{\frac {1}{2}}\sum _{n=0}^{M-1}(X_{n}-\theta m)^{T}R^{-1}(X_{n}-\theta m)\right\}\\[4pt]={}&(2\pi )^{-MN/2}|R|^{-M/2}\exp \left\{-{\frac {1}{2}}\sum _{n=0}^{M-1}\left(\theta ^{2}m^{T}R^{-1}m\right)\right\}\\[4pt]&\exp \left\{-{\frac {1}{2}}\sum _{n=0}^{M-1}X_{n}^{T}R^{-1}X_{n}\right\}\exp \left\{\theta m^{T}R^{-1}\sum _{n=0}^{M-1}X_{n}\right\}\end{aligned}}}$

которое в точности имеет форму экспоненциального семейства, показанного в предыдущем разделе, с достаточной статистикой

${\displaystyle T(X)=m^{T}R^{-1}\sum _{n=0}^{M-1}X_{n}.}$

Таким образом, делаем вывод, что тест

${\displaystyle \varphi (T)={\begin{cases}1&T>t_{0}\\0&T<t_{0}\end{cases}}\qquad \operatorname {E} _{\theta _{0}}\varphi (T)=\alpha }$

это тест размера UMP ${\displaystyle \alpha }$ для тестирования ${\displaystyle H_{0}:\theta \leqslant \theta _{0}}$ против. ${\displaystyle H_{1}:\theta >\theta _{0}}$

Дальнейшее обсуждение

Наконец, отметим, что в целом UMP-тесты не существуют для векторных параметров или для двусторонних тестов (теста, в котором одна гипотеза находится по обе стороны от альтернативы). Причина в том, что в этих ситуациях наиболее эффективный тест заданного размера для одного возможного значения параметра (например, для ${\displaystyle \theta _{1}}$ куда ${\displaystyle \theta _{1}>\theta _{0}}$) отличается от самого мощного теста того же размера для другого значения параметра (например, для ${\displaystyle \theta _{2}}$ куда ${\displaystyle \theta _{2}<\theta _{0}}$). В результате ни один тест не проводится. равномерно самый мощный в этих ситуациях.

Рекомендации

1. Casella, G .; Бергер, Р.Л. (2008), Статистические выводы, Брукс / Коул. ISBN  0-495-39187-5 (Теорема 8.3.17)

дальнейшее чтение

• Фергюсон, Т.С. (1967). "Раздел 5.2: Единообразно самые мощные тесты". Математическая статистика: теоретико-решающий подход. Нью-Йорк: Academic Press.
• Настроение, А. М .; Graybill, F.A .; Бос, Д. К. (1974). "Раздел IX.3.2: Единообразно самые мощные тесты". Введение в теорию статистики (3-е изд.). Нью-Йорк: Макгроу-Хилл.
• Л. Л. Шарф, Статистическая обработка сигналов, Addison-Wesley, 1991, раздел 4.7.