Структурное моделирование уравнение - Structural equation modeling

Для журнала см. Structural Equation Modeling (журнал).
Пример модели структурного уравнения
Пример модели структурного уравнения. Скрытые переменные изображены кружками. Манифест или измеряемые переменные показаны в виде квадратов. Невязки и отклонения отображаются на объекте в виде двусторонних стрелок. Обратите внимание на скрытую переменную IQ, установленную на 1, чтобы обеспечить масштаб модели.

Структурное моделирование уравнение (SEM) включает в себя разнообразный набор математических моделей, компьютерных алгоритмов и статистических методов, которые позволяют согласовывать сети конструкций с данными.[1] SEM включает подтверждающий факторный анализ, подтверждающий композитный анализ, анализ пути, моделирование методом частичных наименьших квадратов, и моделирование скрытого роста.[2] Это понятие не следует путать с родственным понятием структурные модели в эконометрике, ни с структурные модели в экономике. Модели структурных уравнений часто используются для оценки ненаблюдаемых «скрытых» конструкций. Они часто используют модель измерения, которая определяет скрытые переменные используя один или несколько наблюдаемые переменные и структурная модель, которая устанавливает отношения между скрытыми переменными.[1][3] Связи между конструкциями модели структурного уравнения можно оценить с помощью независимых уравнения регрессии или с помощью более сложных подходов, таких как те, что используются в LISREL.[4]

Использование SEM обычно оправдано в социальных науках из-за его способности вменять отношения между ненаблюдаемыми конструкциями (скрытыми переменными) и наблюдаемыми переменными.[5] Чтобы предоставить простой пример, концепция человеческий интеллект нельзя измерить напрямую, как можно измерить рост или вес. Вместо этого психологи разрабатывают гипотезу интеллекта и пишут измерительные приборы с заданиями (вопросами), предназначенными для измерения интеллекта в соответствии с их гипотезой.[6] Затем они использовали SEM для проверки своей гипотезы, используя данные, полученные от людей, прошедших тест на интеллект. В SEM «интеллект» будет скрытой переменной, а тестовые задания - наблюдаемыми переменными.

Упрощенная модель, предполагающая, что интеллект (измеряемый четырьмя вопросами) может предсказать академическую успеваемость (измеряемую SAT, ACT и средним баллом средней школы), показана выше (вверху справа). На SEM-диаграммах скрытые переменные обычно отображаются в виде овалов, а наблюдаемые переменные - в виде прямоугольников. На приведенной выше диаграмме показано, как ошибка (e) влияет на каждый вопрос об интеллекте и на результаты SAT, ACT и GPA, но не влияет на скрытые переменные. SEM предоставляет числовые оценки для каждого из параметров (стрелки) в модели, чтобы указать на силу взаимосвязей. Таким образом, помимо проверки общей теории, SEM позволяет исследователю диагностировать, какие наблюдаемые переменные являются хорошими индикаторами скрытых переменных.[7]

В науке используются различные методы моделирования структурных уравнений,[8] бизнес,[9] и другие поля. Критика методов SEM часто касается ошибок математической формулировки, слабой внешней достоверности некоторых принятых моделей и философской предвзятости, присущей стандартным процедурам.[10]

История

Моделирование структурным уравнением, как этот термин в настоящее время используется в социологии, психологии и других социальных науках, возникло из более ранних методов в моделирование генетического пути из Сьюэлл Райт. Их современные формы появились в 1960-х и 1970-х годах с интенсивным использованием компьютеров. SEM развивалась в трех разных направлениях: (1) системы методов регрессии уравнений, разработанные в основном Комиссией Коулза; (2) итеративные алгоритмы максимального правдоподобия для анализа пути, разработанные в основном Карлом Густавом Йорескогом в Службе образовательного тестирования, а затем в Упсальском университете; и (3) алгоритмы итеративной канонической корреляции для анализа путей, также разработанные Германом Вольдом в Уппсальском университете. Большая часть этого развития произошла в то время, когда автоматизированные вычисления предлагали существенные обновления по сравнению с существующими калькуляторами и доступными методами аналоговых вычислений, которые сами по себе являются продуктом распространения инноваций в офисном оборудовании в конце 20-го века. Текст 2015 года Моделирование структурным уравнением: от путей к сетям предоставляет историю методов.[11]

Для того чтобы скрыть слабые места методов, использовалась расплывчатая и запутанная терминология. В частности, PLS-PA (алгоритм Ломоллера) был объединен с частичной регрессией наименьших квадратов PLSR, которая заменяет обычную регрессию наименьших квадратов и не имеет ничего общего с анализом путей. PLS-PA ошибочно позиционируется как метод, работающий с небольшими наборами данных, когда другие подходы к оценке терпят неудачу. Вестленд (2010) убедительно показал, что это не так, и разработал алгоритм для определения размеров выборки в SEM. С 1970-х годов было известно, что утверждение о «малом размере выборки» ошибочно (см., Например, Dhrymes, 1972, 1974; Dhrymes & Erlat, 1972; Dhrymes et al., 1972; Gupta, 1969; Sobel, 1982).

И LISREL, и PLS-PA были задуманы как итеративные компьютерные алгоритмы с упором с самого начала на создание доступного графического интерфейса и интерфейса для ввода данных, а также на расширение анализа путей Райта (1921). Ранняя работа Комиссии Коулза по оценке одновременных уравнений была сосредоточена на алгоритмах Купмана и Худ (1953) из экономики транспорта и оптимальной маршрутизации, с оценкой максимального правдоподобия и алгебраическими вычислениями в закрытой форме, поскольку итерационные методы поиска решения были ограничены в дни до появления компьютеров. Андерсон и Рубин (1949, 1950) разработали оценку максимального правдоподобия с ограниченной информацией для параметров одного структурного уравнения, которая косвенно включала двухэтапную оценку наименьших квадратов и ее асимптотическое распределение (Anderson, 2005) и Farebrother (1999). Двухэтапный метод наименьших квадратов был первоначально предложен как метод оценки параметров одного структурного уравнения в системе линейных одновременных уравнений, введенный Тейл (1953a, 1953b, 1961) и более или менее независимо Basmann (1957) и Сарган (1958). Ограниченная информация Андерсона оценка максимального правдоподобия была в конечном итоге реализована в алгоритме компьютерного поиска, где он конкурировал с другими итеративными алгоритмами SEM. Из них двухэтапный метод наименьших квадратов был наиболее широко используемым в 1960-х и начале 1970-х годов.

Системы подходов к уравнениям регрессии были разработаны Комиссией Коулза с 1950-х годов, расширяя возможности транспортного моделирования Тьяллинга Купманса. Сьюэлл Райт и другие статистики пытались продвигать методы анализа пути в Коулсе (затем в Чикагском университете). Статистики Чикагского университета выявили множество недостатков в применении анализа пути к социальным наукам; ошибки, которые не создавали существенных проблем для идентификации передачи гена в контексте Райта, но делали методы определения путей, такие как PLS-PA и LISREL, проблематичными в социальных науках. Фридман (1987) резюмировал эти возражения в анализе пути: «Неспособность провести различие между причинными допущениями, статистическими последствиями и политическими утверждениями была одной из основных причин подозрений и путаницы, связанных с количественными методами в социальных науках» (см. Также Уолд (( 1987) ответ). Анализ пути Райта так и не получил широкого распространения среди эконометристов США, но ему удалось повлиять на Германа Вольда и его ученика Карла Йорескога. Студент Йорескога Клаас Форнелл продвигал LISREL в США.

Достижения в области компьютеров упростили для новичков применение методов структурных уравнений в компьютерном анализе больших наборов данных в сложных неструктурированных задачах. Наиболее популярные методы решения делятся на три класса алгоритмов: (1) обычные алгоритмы наименьших квадратов, применяемые независимо к каждому пути, например, применяемые в так называемых пакетах анализа пути PLS, которые оценивают с помощью OLS; (2) алгоритмы ковариационного анализа, разработанные на основе основополагающей работы Уолда и его ученика Карла Йорескога, реализованные в LISREL, AMOS и EQS; и (3) алгоритмы регрессии одновременных уравнений, разработанные Тьяллингом Купмансом в Комиссии Коулза.

Жемчужина[12] расширил SEM от линейных до непараметрических моделей и предложил причинно-следственные и контрфактические интерпретации уравнений. Например, исключение переменной Z из аргументов уравнения означает, что зависимая переменная не зависит от вмешательства в исключенную переменную, если мы сохраняем постоянными остальные аргументы. Непараметрические SEM позволяют оценивать общие, прямые и косвенные эффекты без каких-либо обязательств по форме уравнений или распределению членов ошибок. Это расширяет посреднический анализ на системы, включающие категориальные переменные при наличии нелинейных взаимодействий. Боллен и Перл[13] исследуйте историю причинной интерпретации SEM и выясните, почему она стала источником путаницы и споров.

Методы анализа пути SEM популярны в социальных науках из-за их доступности; Упакованные компьютерные программы позволяют исследователям получать результаты, не испытывая неудобств, связанных с пониманием схемы эксперимента и контроля, эффекта и размеров выборки, а также множества других факторов, которые являются частью хорошего дизайна исследования. Сторонники говорят, что это отражает целостную и менее явно причинную интерпретацию многих явлений реального мира - особенно в психологии и социальном взаимодействии - чем может быть принято в естественных науках; хулители предполагают, что из-за отсутствия экспериментального контроля было сделано много ошибочных выводов.

Направление в направленных сетевых моделях SEM проистекает из предполагаемых причинно-следственных предположений о реальности. Социальные взаимодействия и артефакты часто являются эпифеноменами - вторичными явлениями, которые трудно напрямую связать с причинными факторами. Примером физиологического эпифеномена является, например, время для завершения 100-метрового спринта. Человек может улучшить свою скорость спринта с 12 до 11 секунд, но будет трудно связать это улучшение с какими-либо прямыми причинными факторами, такими как диета, отношение, погода и т. Д. Улучшение времени спринта на 1 секунду является Эпифеномен - целостный продукт взаимодействия множества индивидуальных факторов.

Общий подход к SEM

Хотя каждый метод в семействе SEM отличается, следующие аспекты являются общими для многих методов SEM.

Спецификация модели

В SEM различают два основных компонента моделей: структурная модель показывая потенциальные причинные зависимости между эндогенными и экзогенными переменными, и модель измерения показывая отношения между скрытыми переменными и их индикаторами. Исследовательские и подтверждающие факторный анализ модели, например, содержат только измерительную часть, а диаграммы пути можно рассматривать как SEM, которые содержат только конструктивную часть.

При определении путей в модели разработчик модели может установить два типа отношений: (1) свободный пути, в которых проверяются предполагаемые причинно-следственные (фактически контрфактические) связи между переменными, и поэтому они остаются «свободными» для изменения, и (2) отношения между переменными, которые уже имеют предполагаемую связь, обычно основанные на предыдущих исследованиях, исправлено 'в модели.

Разработчик модели часто определяет набор теоретически правдоподобных моделей, чтобы оценить, является ли предложенная модель лучшей из набора возможных. Разработчик модели не только должен учитывать теоретические причины построения модели как она есть, но также должен учитывать количество точек данных и количество параметров, которые модель должна оценить, чтобы идентифицировать модель. Идентифицированная модель - это модель, в которой конкретное значение параметра однозначно идентифицирует модель (рекурсивное определение ), и никакая другая эквивалентная формулировка не может быть дана другим значением параметра. А точка данных - это переменная с наблюдаемыми оценками, например переменная, содержащая оценки по вопросу или количество раз, когда респонденты покупали автомобиль. Параметр представляет собой интересующее значение, которое может быть коэффициентом регрессии между экзогенной и эндогенной переменной или факторной нагрузкой (коэффициент регрессии между показателем и его фактором). Если точек данных меньше, чем количество оцениваемых параметров, результирующая модель является «неидентифицированной», поскольку существует слишком мало контрольных точек, чтобы учесть все отклонения в модели. Решение состоит в том, чтобы ограничить один из путей нулем, что означает, что он больше не является частью модели.

Оценка свободных параметров

Оценка параметров производится путем сравнения фактических ковариационные матрицы представляющие отношения между переменными и оцененными ковариационными матрицами модели наилучшего соответствия. Это достигается путем численной максимизации через ожидание – максимизация из критерий соответствия как предусмотрено максимальная вероятность оценка, квази-максимальное правдоподобие оценка, взвешенный метод наименьших квадратов или асимптотически безраспределительные методы. Это часто достигается с помощью специальной программы анализа SEM, из которых существует несколько.

Оценка модели и соответствия модели

Оценив модель, аналитики захотят ее интерпретировать. Предполагаемые пути могут быть сведены в таблицу и / или представлены графически в виде модели пути. Влияние переменных оценивается с помощью правила трассировки пути (видеть анализ пути ).

Важно изучить «соответствие» оценочной модели, чтобы определить, насколько хорошо она моделирует данные. Это основная задача в SEM-моделировании, формирующая основу для принятия или отклонения моделей и, как правило, принятия одной конкурирующей модели над другой. Выходные данные программ SEM включают в себя матрицы предполагаемых взаимосвязей между переменными в модели. Оценка соответствия по сути вычисляет, насколько похожи прогнозируемые данные на матрицы, содержащие отношения в фактических данных.

Для этих целей были разработаны формальные статистические тесты и индексы соответствия. Отдельные параметры модели также можно исследовать в рамках оценочной модели, чтобы увидеть, насколько хорошо предложенная модель соответствует теории вождения. Большинство, хотя и не все, методы оценки делают возможными такие испытания модели.

Конечно как и все статистические проверки гипотез, Тесты модели SEM основаны на предположении, что были смоделированы правильные и полные соответствующие данные. В литературе по SEM обсуждение соответствия привело к множеству различных рекомендаций по точному применению различных индексов соответствия и тестов гипотез.

Существуют разные подходы к оценке соответствия. Традиционные подходы к моделированию начинаются с нулевая гипотеза, вознаграждая более экономные модели (то есть с меньшим количеством бесплатных параметров), другим, таким как AIC которые фокусируются на том, насколько мало подогнанные значения отклоняются от насыщенной модели[нужна цитата ] (т.е. насколько хорошо они воспроизводят измеренные значения) с учетом количества используемых свободных параметров. Поскольку разные меры соответствия отражают разные элементы соответствия модели, целесообразно сообщить о выборе различных мер соответствия. Рекомендации (т.е. «пороговые баллы») для интерпретации критериев соответствия, в том числе перечисленных ниже, являются предметом многочисленных споров среди исследователей SEM.[14]

Некоторые из наиболее часто используемых мер подгонки включают:

  • Хи-квадрат
    • Фундаментальная мера соответствия, используемая при расчете многих других мер соответствия. Концептуально это функция размера выборки и разницы между наблюдаемой ковариационной матрицей и ковариационной матрицей модели.
  • Информационный критерий Акаике (AIC)
    • Тест относительного соответствия модели: предпочтительной является модель с наименьшим значением AIC.
    • куда k это количество параметры в статистическая модель, и L - максимальное значение вероятность модели.
  • Среднеквадратичная ошибка аппроксимации (RMSEA)
    • Индекс соответствия, где нулевое значение указывает на лучшее соответствие.[15] Хотя рекомендации по определению "точного соответствия" с использованием RMSEA весьма спорны,[16] большинство исследователей сходятся во мнении, что RMSEA 0,1 или более указывает на плохое соответствие.[17][18]
  • Стандартизированный средний остаток (SRMR)
    • SRMR - популярный индикатор абсолютного соответствия. Ху и Бентлер (1999) предложили 0,08 или меньше в качестве ориентира для хорошей подгонки.[19] Клайн (2011) предложил .1 или меньше в качестве ориентира для хорошей подгонки.
  • Сравнительный индекс пригодности (CFI)
    • При изучении исходных сравнений CFI в значительной степени зависит от среднего размера корреляций в данных. Если средняя корреляция между переменными невысока, CFI не будет очень высоким. Желательно значение CFI 0,95 или выше.[19]

Для каждой меры соответствия решение о том, что представляет собой достаточно хорошее соответствие между моделью и данными, должно отражать другие контекстные факторы, такие как размер образца, отношение показателей к факторам и общая сложность модели. Например, очень большие выборки делают критерий хи-квадрат чрезмерно чувствительным и с большей вероятностью указывают на отсутствие соответствия модельным данным. [20]

Модификация модели

Модель может нуждаться в модификации, чтобы улучшить соответствие, тем самым оценивая наиболее вероятные взаимосвязи между переменными. Многие программы предоставляют индексы модификации, которые могут указывать на незначительные модификации. Индексы модификации сообщают об изменении χ², которое является результатом освобождения фиксированных параметров: обычно, таким образом, добавляется путь к модели, который в настоящее время установлен на ноль. Модификации, улучшающие соответствие модели, могут быть помечены как потенциальные изменения, которые могут быть внесены в модель. Модификации модели, особенно структурной модели, представляют собой изменения теории, которая считается истинной. Поэтому модификации должны иметь смысл с точки зрения проверяемой теории или признаваться ограничениями этой теории. Изменения в модели измерения фактически являются утверждением, что элементы / данные являются нечистыми индикаторами скрытых переменных, определенных теорией.[21]

МИ не должен руководить моделями, как показал Маккаллум (1986): «даже при благоприятных условиях к моделям, возникающим в результате поиска спецификаций, следует относиться с осторожностью».[22]

Размер и мощность выборки

Хотя исследователи согласны с тем, что большие размеры выборки необходимы для обеспечения достаточного статистическая мощность и точных оценок с использованием SEM, нет единого мнения о подходящем методе определения адекватного размера выборки.[23][24] Как правило, при определении размера выборки необходимо учитывать количество наблюдений на каждый параметр, количество наблюдений, необходимых для адекватного выполнения индексов соответствия, и количество наблюдений на степень свободы.[23] Исследователи предложили рекомендации, основанные на имитационных исследованиях,[25] профессиональный опыт,[26] и математические формулы.[24][27]

Требования к размеру выборки для достижения определенной значимости и мощности при проверке гипотез с помощью SEM аналогичны для той же модели, когда для проверки используется любой из трех алгоритмов (PLS-PA, LISREL или системы уравнений регрессии).[нужна цитата ]

Устный перевод и общение

Затем набор моделей интерпретируется, чтобы можно было сделать заявления о конструкциях на основе наиболее подходящей модели.

Всегда следует проявлять осторожность при утверждении причинно-следственной связи, даже если проводились эксперименты или исследования, упорядоченные по времени. Период, термин причинная модель следует понимать как «модель, которая выражает причинные допущения», не обязательно модель, которая дает подтвержденные причинные выводы. Сбор данных в нескольких временных точках и использование экспериментального или квазиэкспериментального плана может помочь исключить определенные конкурирующие гипотезы, но даже рандомизированный эксперимент не может исключить все такие угрозы причинному выводу. Хорошее соответствие модели, согласующейся с одной причинной гипотезой, неизменно влечет за собой одинаково хорошее соответствие другой модели, согласующейся с противоположной причинной гипотезой. Никакой исследовательский план, каким бы умным он ни был, не поможет выявить такие конкурирующие гипотезы, за исключением интервенционных экспериментов.[12]

Как и в любой другой науке, последующее воспроизведение и, возможно, модификация будет исходить из первоначального открытия.

Расширенное использование

Программное обеспечение для SEM

Существует несколько пакетов программного обеспечения для подбора моделей структурных уравнений. LISREL была первой подобной программой, первоначально выпущенной в 1970-х годах.

Также есть несколько пакетов для р статистическая среда с открытым исходным кодом. В OpenMx р Пакет предоставляет расширенную версию приложения Mx с открытым исходным кодом.

Ученые считают хорошей практикой сообщать, какой программный пакет и версия использовались для анализа SEM, потому что они имеют разные возможности и могут использовать несколько разные методы для выполнения техник с одинаковыми названиями.[28]

Смотрите также

Рекомендации

  1. ^ а б Каплан 2008 С. 79-88.
  2. ^ Kline 2011.
  3. ^ Kline 2011, п. 230-294.
  4. ^ Kline 2011, п. 265-294.
  5. ^ Хэнкок, Греогри Р. (2003). «Файлы cookie с предсказаниями, ошибка измерения и экспериментальный план». Журнал современных прикладных статистических методов. 2 (2): 293–305. Дои:10.22237 / jmasm / 1067644980.
  6. ^ Салкинд, Нил Дж. (2007). «Тесты интеллекта». Энциклопедия измерения и статистики. Дои:10.4135 / 9781412952644.n220. ISBN  978-1-4129-1611-0.
  7. ^ МакКаллум и Остин 2000, п. 209.
  8. ^ Босло, Сара; Макнатт, Луиза-Энн (2008). "Структурное моделирование уравнение". Энциклопедия эпидемиологии. Дои:10.4135 / 9781412953948.n443. HDL:2022/21973. ISBN  978-1-4129-2816-8.
  9. ^ Шелли, Мак C (2006). "Структурное моделирование уравнение". Энциклопедия лидерства и управления образованием. Дои:10.4135 / 9781412939584.n544. ISBN  978-0-7619-3087-7.
  10. ^ Тарка, Петр (2017). «Обзор моделирования структурных уравнений: его истоки, историческое развитие, полезность и противоречия в социальных науках». Качество и количество. 52 (1): 313–54. Дои:10.1007 / s11135-017-0469-8. ЧВК  5794813. PMID  29416184.
  11. ^ Вестленд, Дж. Кристофер (2015). Моделирование структурным уравнением: от путей к сетям. Нью-Йорк: Спрингер.
  12. ^ а б Жемчужина, Иудея (2000). Причинная связь: модели, рассуждения и выводы. Издательство Кембриджского университета. ISBN  978-0-521-77362-1.
  13. ^ Боллен, Кеннет А; Жемчуг, Иудея (2013). «Восемь мифов о моделях причинно-следственной связи и структурных уравнений». Справочник причинно-следственного анализа для социальных исследований. Справочники по социологии и социальным исследованиям. С. 301–28. Дои:10.1007/978-94-007-6094-3_15. ISBN  978-94-007-6093-6.
  14. ^ МакКаллум и Остин 2000, п. 218-219.
  15. ^ Kline 2011, п. 205.
  16. ^ Kline 2011, п. 206.
  17. ^ Ху и Бентлер 1999, п. 11.
  18. ^ Браун, М. В .; Кадек, Р. (1993). «Альтернативные способы оценки соответствия модели». В Bollen, K. A .; Лонг, Дж. С. (ред.). Тестирование моделей структурных уравнений. Ньюбери-Парк, Калифорния: Сейдж.
  19. ^ а б Ху и Бентлер 1999, п. 27.
  20. ^ Kline 2011, п. 201.
  21. ^ Лёлин, Дж. К. (2004). Модели со скрытыми переменными: введение в факторный, путевой анализ и анализ структурных уравнений. Психология Press.
  22. ^ МакКаллум, Роберт (1986). «Спецификационные поиски в моделировании ковариационной структуры». Психологический бюллетень. 100: 107–120. Дои:10.1037/0033-2909.100.1.107.
  23. ^ а б Кинтана и Максвелл 1999, п. 499.
  24. ^ а б Вестленд, Дж. Кристофер (2010). «Нижние границы размера выборки при моделировании структурным уравнением». Электрон. Comm. Res. Приложение. 9 (6): 476–487. Дои:10.1016 / j.elerap.2010.07.003.
  25. ^ Chou, C.P .; Бентлер, Питер (1995). «Оценки и тесты в моделировании структурными уравнениями». В Хойл, Рик (ред.). Моделирование структурным уравнением: концепции, проблемы и приложения. Таузенд-Оукс, Калифорния: Сейдж. С. 37–55.
  26. ^ Бентлер, П. М.; Чжоу, Чжи-Пин (2016). «Практические вопросы структурного моделирования». Социологические методы и исследования. 16 (1): 78–117. Дои:10.1177/0049124187016001004.
  27. ^ МакКаллум, Роберт С; Браун, Майкл В; Сугавара, Хадзуки М (1996). «Силовой анализ и определение размера выборки для моделирования ковариационной структуры». Психологические методы. 1 (2): 130–49. Дои:10.1037 / 1082-989X.1.2.130.
  28. ^ Kline 2011, п. 79-88.

Библиография

  • Ху, Ли-цзы; Бентлер, Питер М (1999). «Критерии отсечения для индексов соответствия в анализе ковариационной структуры: обычные критерии по сравнению с новыми альтернативами». Моделирование структурным уравнением: многопрофильный журнал. 6: 1–55. Дои:10.1080/10705519909540118. HDL:2027.42/139911.
  • Каплан Д. (2008). Моделирование структурными уравнениями: основы и расширения (2-е изд.). МУДРЕЦ. ISBN  978-1412916240.
  • Клайн, Рекс (2011). Принципы и практика моделирования структурными уравнениями (Третье изд.). Гилфорд. ISBN  978-1-60623-876-9.
  • Маккаллум, Роберт; Остин, Джеймс (2000). «Применение моделирования структурных уравнений в психологических исследованиях» (PDF). Ежегодный обзор психологии. 51: 201–226. Дои:10.1146 / annurev.psych.51.1.201. PMID  10751970. Получено 25 января 2015.
  • Кинтана, Стивен М .; Максвелл, Скотт Э. (1999). «Последствия недавних разработок в моделировании структурных уравнений для психологического консультирования». Психолог-консультант. 27 (4): 485–527. Дои:10.1177/0011000099274002.

дальнейшее чтение

внешняя ссылка