Теорема Фриша – Во – Ловелла. - Frisch–Waugh–Lovell theorem

В эконометрика, то Теорема Фриша – Во – Ловелла (FWL) назван в честь эконометристов Рагнар Фриш, Фредерик В. Во, и Майкл С. Ловелл.^[1][2][3]

Теорема Фриша – Во – Ловелла утверждает, что если регресс нас беспокоит:

${\displaystyle Y=X_{1}\beta _{1}+X_{2}\beta _{2}+u}$

где ${\displaystyle X_{1}}$ и ${\displaystyle X_{2}}$ находятся ${\displaystyle n\times k_{1}}$ и ${\displaystyle n\times k_{2}}$ матрицы соответственно и где ${\displaystyle \beta _{1}}$ и ${\displaystyle \beta _{2}}$ находятся соответствующий, то оценка ${\displaystyle \beta _{2}}$ будет таким же, как оценка его из модифицированной регрессии формы:

${\displaystyle M_{X_{1}}Y=M_{X_{1}}X_{2}\beta _{2}+M_{X_{1}}u,}$

где ${\displaystyle M_{X_{1}}}$ проекты на ортогональное дополнение из образ из матрица проекции ${\displaystyle X_{1}(X_{1}^{\mathsf {T}}X_{1})^{-1}X_{1}^{\mathsf {T}}}$. Эквивалентно M_Икс1 проекты на ортогональное дополнение пространства столбцовИкс₁. В частности,

${\displaystyle M_{X_{1}}=I-X_{1}(X_{1}^{\mathsf {T}}X_{1})^{-1}X_{1}^{\mathsf {T}},}$

и эта конкретная матрица ортогональной проекции известна как аннигиляторная матрица.^[4][5]

Вектор ${\textstyle M_{X_{1}}Y}$ вектор остатков от регрессии ${\textstyle Y}$ на колоннах ${\textstyle X_{1}}$.

Из теоремы следует, что вторичная регрессия, использованная для получения ${\displaystyle M_{X_{1}}}$ не является необходимым: использование матриц проекции, чтобы сделать независимые переменные ортогональными друг другу, приведет к тем же результатам, что и выполнение регрессии со всеми включенными неортогональными объяснителями.

использованная литература

1. Фриш, Рагнар; Во, Фредерик В. (1933). «Частичные временные регрессии по сравнению с отдельными тенденциями». Econometrica. 1 (4): 387–401. JSTOR  1907330.
2. Ловелл, М. (1963). «Сезонная корректировка экономических временных рядов и множественный регрессионный анализ». Журнал Американской статистической ассоциации. 58 (304): 993–1010. Дои:10.1080/01621459.1963.10480682.
3. Ловелл, М. (2008). «Простое доказательство теоремы FWL». Журнал экономического образования. 39 (1): 88–91. Дои:10.3200 / JECE.39.1.88-91.
4. Хаяси, Фумио (2000). Эконометрика. Принстон: Издательство Принстонского университета. С. 18–19. ISBN  0-691-01018-8.
5. Дэвидсон, Джеймс (2000). Эконометрическая теория. Молден: Блэквелл. п. 7. ISBN  0-631-21584-0.

дальнейшее чтение

• Дэвидсон, Рассел; Маккиннон, Джеймс Г. (1993). Оценка и вывод в эконометрике. Нью-Йорк: Издательство Оксфордского университета. С. 19–24. ISBN  0-19-506011-3.
• Дэвидсон, Рассел; Маккиннон, Джеймс Г. (2004). Эконометрическая теория и методы. Нью-Йорк: Издательство Оксфордского университета. стр.62 –75. ISBN  0-19-512372-7.
• Хасти, Тревор; Тибширани, Роберт; Фридман, Джером (2017). «Множественная регрессия из простой одномерной регрессии» (PDF). Элементы статистического обучения: интеллектуальный анализ данных, вывод и прогнозирование (2-е изд.). Нью-Йорк: Спрингер. С. 52–55. ISBN  978-0-387-84857-0.
• Рууд, П. А. (2000). Введение в классическую эконометрическую теорию. Нью-Йорк: Издательство Оксфордского университета. С. 54–60. ISBN  0-19-511164-8.
• Стахурски, Джон (2016). Учебник по эконометрической теории. MIT Press. С. 311–314.