Распределение соотношения - Ratio distribution

А соотношение распределения (также известный как частное распределение) это распределение вероятностей построенный как распределение соотношение из случайные переменные имея два других известных дистрибутива. независимый ) случайные переменные Икс и Y, распределение случайной величины Z который образуется как отношение Z = Икс/Y это соотношение распределения.

Примером может служить Распределение Коши (также называемый распределение нормального отношения),^{[нужна цитата ]} что происходит как отношение двух нормально распределенный переменные с нулевым средним. Два других распределения, часто используемых в тестовой статистике, также являются пропорциональными распределениями: т-распределение возникает из Гауссовский случайная величина, деленная на независимую чи-распределенный случайная величина, а F-распределение происходит от соотношения двух независимых распределенный хи-квадрат случайные величины. В литературе рассматривались более общие отношения распределения.^{[1][2][3][4][5][6][7][8][9]}

Часто распределения соотношений хвостатый, и может быть сложно работать с такими дистрибутивами и разработать соответствующий статистический тест.Метод, основанный на медиана был предложен в качестве "обходного пути".^[10]

Алгебра случайных величин

Основная статья: Алгебра случайных величин

Отношение - это один из видов алгебры случайных величин: с распределением соотношений связаны распространение продукции, распределение суммы и распределение разницы. В более общем плане можно говорить о комбинациях сумм, разностей, произведений и соотношений. Многие из этих распределений описаны в Мелвин Д. Спрингер книга 1979 г. Алгебра случайных величин.^[8]

Алгебраические правила, известные для обычных чисел, неприменимы к алгебре случайных величин, например, если продукт C = AB и соотношение D = C / A это не обязательно означает, что распределения D и B одинаковые. Действительно, наблюдается своеобразный эффект для Распределение Коши: Произведение и соотношение двух независимых распределений Коши (с одинаковым параметром масштаба и параметром местоположения, установленным на ноль) дадут одно и то же распределение.^[8]Это становится очевидным, если рассматривать распределение Коши как соотношение двух гауссовских распределений нулевых средних: рассмотрим две случайные величины Коши, ${displaystyle C_{1}}$ и ${displaystyle C_{2}}$ каждое построено из двух гауссовых распределений ${displaystyle C_{1}=G_{1}/G_{2}}$ и ${displaystyle C_{2}=G_{3}/G_{4}}$ тогда

${displaystyle {frac {C_{1}}{C_{2}}}={frac {{G_{1}}/{G_{2}}}{{G_{3}}/{G_{4}}}}={frac {G_{1}G_{4}}{G_{2}G_{3}}}={frac {G_{1}}{G_{2}}} imes {frac {G_{4}}{G_{3}}}=C_{1} imes C_{3},}$

куда ${displaystyle C_{3}=G_{4}/G_{3}}$. Первый член - это отношение двух распределений Коши, а последний член - произведение двух таких распределений.

Вывод

Способ получения соотношения распределения ${displaystyle Z=X/Y}$ из совместного распределения двух других случайных величин X, Y , с совместным pdf ${displaystyle p_{X,Y}(x,y)}$, получается интегрированием следующего вида^[3]

${displaystyle p_{Z}(z)=int _{-infty }^{+infty }|y|,p_{X,Y}(zy,y),dy.}$

Если две переменные независимы, то ${displaystyle p_{XY}(x,y)=p_{X}(x)p_{Y}(y)}$ и это становится

${displaystyle p_{Z}(z)=int _{-infty }^{+infty }|y|,p_{X}(zy)p_{Y}(y),dy.}$

Это может быть непросто. В качестве примера возьмем классическую задачу о соотношении двух стандартных гауссовских отсчетов. Совместный PDF-файл

${displaystyle p_{X,Y}(x,y)={frac {1}{2pi }}exp(-{frac {x^{2}}{2}})exp(-{frac {y^{2}}{2}})}$

Определение ${displaystyle Z=X/Y}$ у нас есть

${displaystyle p_{Z}(z)={frac {1}{2pi }}int _{-infty }^{infty },|y|,exp(-{frac {(zy)^{2}}{2}}),exp(-{frac {y^{2}}{2}}),dy}$

${displaystyle ;;;;={frac {1}{2pi }}int _{-infty }^{infty },|y|,exp(-{frac {y^{2}(z^{2}+1)}{2}}),dy}$

Используя известный определенный интеграл ${displaystyle int _{0}^{infty },x,exp(-cx^{2})dx={frac {1}{2c}}}$ мы получили

${displaystyle p_{Z}(z)={frac {1}{pi (z^{2}+1)}}}$

которое является распределением Коши или распределением Стьюдента т распространение с п = 1

В Преобразование Меллина также был предложен для вывода распределений отношений.^[8]

В случае положительных независимых переменных действуйте следующим образом. На диаграмме показано разделимое двумерное распределение ${displaystyle f_{x,y}(x,y)=f_{x}(x)f_{y}(y)}$ который имеет опору в положительном квадранте ${displaystyle x,y>0}$ и мы хотим найти pdf отношения ${displaystyle R=X/Y}$. Заштрихованный объем над линией ${displaystyle y=x/R}$ представляет собой кумулятивное распределение функции ${displaystyle f_{x,y}(x,y)}$ умноженный на логическую функцию ${displaystyle X/Yleq R}$. Плотность сначала интегрируется в горизонтальные полосы; горизонтальная полоса на высоте у простирается от Икс = От 0 до x = Ry и имеет возрастающую вероятность ${displaystyle f_{y}(y)dyint _{0}^{Ry}f_{x}(x)dx}$.
Во-вторых, объединение горизонтальных полос вверх по всей у дает объем вероятности над линией

${displaystyle F_{R}(R)=int _{0}^{infty }f_{y}(y)left(int _{0}^{Ry}f_{x}(x)dxight)dy}$

Наконец, дифференцируйте ${displaystyle F_{R}(R){ ext{ wrt. }}R}$ получить pdf ${displaystyle f_{R}(R)}$.

${displaystyle f_{R}(R)={frac {d}{dR}}left[int _{0}^{infty }f_{y}(y)left(int _{0}^{Ry}f_{x}(x)dxight)dyight]}$

Перенесем дифференцирование внутрь интеграла:

${displaystyle f_{R}(R)=int _{0}^{infty }f_{y}(y)left({frac {d}{dR}}int _{0}^{Ry}f_{x}(x)dxight)dy}$

и с тех пор

${displaystyle {frac {d}{dR}}int _{0}^{Ry}f_{x}(x)dx=yf_{x}(Ry)}$

тогда

${displaystyle f_{R}(R)=int _{0}^{infty }f_{y}(y);f_{x}(Ry);y;dy}$

В качестве примера найдите pdf отношения р когда

${displaystyle f_{x}(x)=alpha e^{-alpha x},;;;;f_{y}(y)=eta e^{-eta y},;;;x,ygeq 0}$

Оценка кумулятивного распределения коэффициента

У нас есть

${displaystyle int _{0}^{Ry}f_{x}(x)dx=-e^{-alpha x}vert _{0}^{Ry}=1-e^{-alpha Ry}}$

таким образом

${displaystyle {egin{aligned}F_{R}(R)&=int _{0}^{infty }f_{y}(y)left(1-e^{-alpha Ry}ight)dy=int _{0}^{infty }eta e^{-eta y}left(1-e^{-alpha Ry}ight)dy&=1-{frac {alpha R}{eta +alpha R}}&={frac {R}{{ frac {eta }{alpha }}+R}}end{aligned}}}$

Дифференциация относительно р дает PDF-файл р

${displaystyle f_{R}(R)={frac {d}{dR}}left({frac {R}{{ frac {eta }{alpha }}+R}}ight)={frac { frac {eta }{alpha }}{left({ frac {eta }{alpha }}+Right)^{2}}}}$

Моменты случайных соотношений

Из Преобразование Меллина теория, для распределений, существующих только на положительной полупрямой ${displaystyle xgeq 0}$, у нас есть айдентика продукта ${displaystyle operatorname {E} [(UV)^{p}]=operatorname {E} [U^{p}];;operatorname {E} [V^{p}]}$ при условии ${displaystyle U,;V}$ независимы. В случае соотношения выборок вида ${displaystyle operatorname {E} [(X/Y)^{p}]}$, чтобы использовать это тождество, необходимо использовать моменты обратного распределения. Набор ${displaystyle 1/Y=Z}$ такой, что ${displaystyle operatorname {E} [(XZ)^{p}]=operatorname {E} [X^{p}];operatorname {E} [Y^{-p}]}$Таким образом, если моменты ${displaystyle X^{p}{ ext{ and }}Y^{-p}}$ можно определить отдельно, то моменты ${displaystyle X/Y}$ можно найти. Моменты ${displaystyle Y^{-p}}$ определяются из обратного pdf ${displaystyle Y}$ , часто послушное упражнение. В простейшем случае ${displaystyle operatorname {E} [Y^{-p}]=int _{0}^{infty }y^{-p}f_{y}(y),dy}$.

Для иллюстрации пусть ${displaystyle X}$ быть выбранным из стандартного гамма-распределения

${displaystyle x^{alpha -1}e^{-x}/Gamma (alpha ){ ext{ whose }}p^{th}}$ момент ${displaystyle Gamma (alpha +p)/Gamma (alpha )}$.

${displaystyle Z=Y^{-1}}$выбирается из обратного гамма-распределения с параметром ${displaystyle eta }$ и имеет pdf ${displaystyle ;Gamma ^{-1}(eta )z^{1+eta }e^{-1/z}}$. Моменты этого pdf

${displaystyle operatorname {E} [Z^{p}]=operatorname {E} [Y^{-p}]={frac {Gamma (eta -p)}{Gamma (eta )}},;p<eta .}$

Умножение соответствующих моментов дает

${displaystyle operatorname {E} [(X/Y)^{p}]=operatorname {E} [X^{p}];operatorname {E} [Y^{-p}]={frac {Gamma (alpha +p)}{Gamma (alpha )}}{frac {Gamma (eta -p)}{Gamma (eta )}},;p<eta .}$

Независимо известно, что соотношение двух гамма-отсчетов ${displaystyle R=X/Y}$ следует распределению Beta Prime:

${displaystyle f_{eta ^{'}}(r,alpha ,eta )=B(alpha ,eta )^{-1}r^{alpha -1}(1+r)^{-(alpha +eta )}}$ чьи моменты ${displaystyle operatorname {E} [R^{p}]={frac {mathrm {B} (alpha +p,eta -p)}{mathrm {B} (alpha ,eta )}}}$

Подстановка ${displaystyle mathrm {B} (alpha ,eta )={frac {Gamma (alpha )Gamma (eta )}{Gamma (alpha +eta )}}}$ у нас есть${displaystyle operatorname {E} [R^{p}]={frac {Gamma (alpha +p)Gamma (eta -p)}{Gamma (alpha +eta )}}{Bigg /}{frac {Gamma (alpha )Gamma (eta )}{Gamma (alpha +eta )}}={frac {Gamma (alpha +p)Gamma (eta -p)}{Gamma (alpha )Gamma (eta )}}}$что согласуется с приведенным выше произведением моментов.

Средние и дисперсии случайных соотношений

в Распространение продукции раздел, и полученный из Преобразование Меллина Согласно теории (см. раздел выше), среднее значение произведения независимых переменных равно произведению их средних значений. В случае отношений имеем

${displaystyle operatorname {E} (X/Y)=operatorname {E} (X)operatorname {E} (1/Y)}$

что в терминах вероятностных распределений эквивалентно

${displaystyle operatorname {E} (X/Y)=int _{-infty }^{infty }xf_{x}(x),dx imes int _{-infty }^{infty }y^{-1}f_{y}(y),dy}$

Обратите внимание, что ${displaystyle operatorname {E} (1/Y)eq {frac {1}{operatorname {E} (Y)}}{ ext{ ie. }}int _{-infty }^{infty }y^{-1}f_{y}(y),dyeq {frac {1}{int _{-infty }^{infty }yf_{y}(y),dy}}}$

Дисперсия отношения независимых переменных равна

${displaystyle {egin{aligned}operatorname {Var} (X/Y)&=operatorname {E} ([X/Y]^{2})-operatorname {E^{2}} (X/Y)&=operatorname {E} (X^{2})operatorname {E} (1/Y^{2})-operatorname {E} ^{2}(X)operatorname {E} ^{2}(1/Y)end{aligned}}}$

Распределения нормального отношения

Некоррелированное центральное нормальное соотношение

Когда Икс и Y независимы и имеют Гауссово распределение с нулевым средним, форма их распределения отношения Распределение Коши Это можно получить, задав ${displaystyle Z=X/Y= an heta }$ затем показывая, что ${displaystyle heta }$ имеет круговую симметрию. Для двумерного некоррелированного гауссова распределения имеем

${displaystyle {egin{aligned}p(x,y)&={ frac {1}{sqrt {2pi }}}e^{-{ frac {1}{2}}x^{2}} imes { frac {1}{sqrt {2pi }}}e^{-{ frac {1}{2}}y^{2}}&={ frac {1}{2pi }}e^{-{ frac {1}{2}}(x^{2}+y^{2})}&={ frac {1}{2pi }}e^{-{ frac {1}{2}}r^{2}}{ ext{ with }}r^{2}=x^{2}+y^{2}end{aligned}}}$

Если ${displaystyle p(x,y)}$ является функцией только р тогда ${displaystyle heta }$ равномерно распределяется по ${displaystyle [0,2pi ]{ ext{ with density }}1/2pi }$ так что проблема сводится к нахождению распределения вероятностей Z под отображением

${displaystyle Z=X/Y= an heta }$

По сохранению вероятности имеем

${displaystyle p_{z}(z)|dz|=p_{ heta }( heta )|d heta |}$

и с тех пор ${displaystyle dz/d heta =1/cos ^{2} heta }$

${displaystyle p_{z}(z)={frac {p_{ heta }( heta )}{|dz/d heta |}}={ frac {1}{2pi }}{cos ^{2} heta }}$

и установка ${displaystyle cos ^{2} heta ={frac {1}{1+( an heta )^{2}}}={frac {1}{1+z^{2}}}}$ мы получили

${displaystyle p_{z}(z)={frac {1/2pi }{1+z^{2}}}}$

Здесь есть ложный множитель 2. Собственно, два значения ${displaystyle heta { ext{ spaced by }}pi }$ сопоставить с тем же значением z, плотность удваивается, и конечный результат

${displaystyle p_{z}(z)={frac {1/pi }{1+z^{2}}},;;-infty <z<infty }$

Однако, когда два распределения имеют ненулевые средние, форма распределения отношения намного сложнее. Ниже он приводится в сжатой форме, представленной Дэвид Хинкли.^[6]

Некоррелированное нецентральное нормальное соотношение

При отсутствии корреляции (кор (Икс,Y) = 0), функция плотности вероятности двух нормальных переменных Икс = N(μ_Икс, σ_Икс²) и Y = N(μ_Y, σ_Y²) соотношение Z = Икс/Y дается в точности следующим выражением, полученным из нескольких источников:^[6]

${displaystyle p_{Z}(z)={frac {b(z)cdot d(z)}{a^{3}(z)}}{frac {1}{{sqrt {2pi }}sigma _{x}sigma _{y}}}left[Phi left({frac {b(z)}{a(z)}}ight)-Phi left(-{frac {b(z)}{a(z)}}ight)ight]+{frac {1}{a^{2}(z)cdot pi sigma _{x}sigma _{y}}}e^{-{frac {c}{2}}}}$

куда

${displaystyle a(z)={sqrt {{frac {1}{sigma _{x}^{2}}}z^{2}+{frac {1}{sigma _{y}^{2}}}}}}$

${displaystyle b(z)={frac {mu _{x}}{sigma _{x}^{2}}}z+{frac {mu _{y}}{sigma _{y}^{2}}}}$

${displaystyle c={frac {mu _{x}^{2}}{sigma _{x}^{2}}}+{frac {mu _{y}^{2}}{sigma _{y}^{2}}}}$

${displaystyle d(z)=e^{frac {b^{2}(z)-ca^{2}(z)}{2a^{2}(z)}}}$

и ${displaystyle Phi }$ это нормальная кумулятивная функция распределения:

${displaystyle Phi (t)=int _{-infty }^{t},{frac {1}{sqrt {2pi }}}e^{-{frac {1}{2}}u^{2}} du }$.

При определенных условиях возможно нормальное приближение с вариацией:^[11]

${displaystyle sigma _{z}^{2}={frac {mu _{x}^{2}}{mu _{y}^{2}}}left({frac {sigma _{x}^{2}}{mu _{x}^{2}}}+{frac {sigma _{y}^{2}}{mu _{y}^{2}}}ight)}$

Коррелированное центральное нормальное соотношение

Вышеприведенное выражение становится более сложным, когда переменные Икс и Y коррелированы. Если ${displaystyle mu _{x}=mu _{y}=0{ ext{ but }}sigma _{X}eq sigma _{Y}}$ и ${displaystyle ho eq 0}$ получается более общее распределение Коши

${displaystyle p_{Z}(z)={frac {1}{pi }}{frac {eta }{(z-alpha )^{2}+eta ^{2}}},}$

где ρ - коэффициент корреляции между Икс и Y и

${displaystyle alpha =ho {frac {sigma _{x}}{sigma _{y}}},}$

${displaystyle eta ={frac {sigma _{x}}{sigma _{y}}}{sqrt {1-ho ^{2}}}.}$

Сложное распределение также было выражено с помощью Куммера конфлюэнтная гипергеометрическая функция или Функция Эрмита.^[9]

Коррелированное нецентральное нормальное соотношение

Приближение к коррелированному нецентральному нормальному отношению

Преобразование в лог-домен было предложено Кацем (1978) (см. Раздел биномиальных данных ниже). Пусть отношение будет

${displaystyle Tsim {frac {mu _{x}+mathbb {N} (0,sigma _{x}^{2})}{mu _{y}+mathbb {N} (0,sigma _{y}^{2})}}={frac {mu _{x}+X}{mu _{y}+Y}}={frac {mu _{x}}{mu _{y}}}{frac {1+{frac {X}{mu _{x}}}}{1+{frac {Y}{mu _{y}}}}}}$.

Возьмите журналы, чтобы получить

${displaystyle log _{e}(T)=log _{e}left({frac {mu _{x}}{mu _{y}}}ight)+log _{e}left(1+{frac {X}{mu _{x}}}ight)-log _{e}left(1+{frac {Y}{mu _{y}}}ight)}$.

С ${displaystyle log _{e}(1+delta )=delta -{frac {delta ^{2}}{2}}+{frac {delta ^{3}}{3}}+dots }$тогда асимптотически

${displaystyle log _{e}(T)approx log _{e}left({frac {mu _{x}}{mu _{y}}}ight)+{frac {X}{mu _{x}}}-{frac {Y}{mu _{y}}}sim log _{e}left({frac {mu _{x}}{mu _{y}}}ight)+mathbb {N} left(0,{frac {sigma _{x}^{2}}{mu _{x}^{2}}}+{frac {sigma _{y}^{2}}{mu _{y}^{2}}}ight)}$.

С другой стороны, Гири (1930) предположил, что

${displaystyle tapprox {frac {mu _{y}T-mu _{x}}{sqrt {sigma _{y}^{2}T^{2}-2ho sigma _{x}sigma _{y}T+sigma _{x}^{2}}}}}$

имеет примерно стандартное распределение Гаусса:^[1]Это преобразование было названо Преобразование Гири – Хинкли;^[7] приближение хорошее, если Y вряд ли примет отрицательные значения, в основном ${displaystyle mu _{y}>3sigma _{y}}$.

Точное коррелированное нецентральное нормальное соотношение

Гири показал, как коррелированное соотношение ${displaystyle z}$ можно преобразовать в форму, близкую к гауссовой, и разработать приближение для ${displaystyle t}$ зависит от вероятности отрицательных значений знаменателя ${displaystyle x+mu _{x}<0}$ будучи исчезающе маленьким. Более поздний анализ коррелированных соотношений Филлера является точным, но требуется осторожность при использовании с современными математическими пакетами, и аналогичные проблемы могут возникнуть в некоторых уравнениях Марсальи. Фам-Гия подробно рассмотрел эти методы. Коррелированные результаты Хинкли точны, но ниже показано, что условие коррелированного отношения может быть просто преобразовано в некоррелированное, поэтому требуются только упрощенные уравнения Хинкли, приведенные выше, а не полная версия коррелированного отношения.

Пусть соотношение будет:

${displaystyle z={frac {x+mu _{x}}{y+mu _{y}}}}$

в котором ${displaystyle x,y}$ - коррелированные нормальные переменные с нулевым средним и дисперсиями ${displaystyle sigma _{x}^{2},sigma _{y}^{2}}$ и ${displaystyle X,Y}$ иметь средства ${displaystyle mu _{x},mu _{y}.}$Написать ${displaystyle x'=x-ho ysigma _{x}/sigma _{y}}$ такой, что ${displaystyle x',y}$ стать некоррелированными и ${displaystyle x'}$ имеет стандартное отклонение

${displaystyle sigma _{x}'=sigma _{x}{sqrt {1-ho ^{2}}}.}$

Соотношение:

${displaystyle z={frac {x'+ho ysigma _{x}/sigma _{y}+mu _{x}}{y+mu _{y}}}}$

инвариантен относительно этого преобразования и сохраняет тот же pdf. ${displaystyle y}$ член в числителе делается разделяемым путем расширения:

${displaystyle {x'+ho ysigma _{x}/sigma _{y}+mu _{x}}=x'+mu _{x}-ho mu _{y}{frac {sigma _{x}}{sigma _{y}}}+ho (y+mu _{y}){frac {sigma _{x}}{sigma _{y}}}}$

получить

${displaystyle z={frac {x'+mu _{x}'}{y+mu _{y}}}+ho {frac {sigma _{x}}{sigma _{y}}}}$

в котором ${ extstyle mu '_{x}=mu _{x}-ho mu _{y}{frac {sigma _{x}}{sigma _{y}}}}$ и z теперь стало отношением некоррелированных нецентральных нормальных выборок с инвариантом z-компенсировать.

Наконец, чтобы быть точным, pdf отношения ${displaystyle z}$ для коррелированных переменных находится путем ввода измененных параметров ${displaystyle sigma _{x}',mu _{x}',sigma _{y},mu _{y}}$ и ${displaystyle ho '=0}$ в уравнение Хинкли выше, которое возвращает PDF для коррелированного отношения с постоянным смещением ${displaystyle -ho {frac {sigma _{x}}{sigma _{y}}}}$ на ${displaystyle z}$.

Контуры коррелированного двумерного распределения Гаусса (не в масштабе), дающего соотношение х / у

pdf отношения Гаусса z и моделирование (точки) для
${displaystyle sigma _{x}=sigma _{y}=1,mu _{x}=0,mu _{y}=0.5,ho =0.975}$

На рисунках выше показан пример положительно коррелированного отношения с ${displaystyle sigma _{x}=sigma _{y}=1,mu _{x}=0,mu _{y}=0.5,ho =0.975}$ в котором заштрихованные клинья представляют собой приращение площади, выбранной заданным соотношением ${displaystyle x/yin [r,r+delta ]}$ который накапливает вероятность там, где они перекрывают распределение. Теоретическое распределение, полученное из обсуждаемых уравнений в сочетании с уравнениями Хинкли, хорошо согласуется с результатом моделирования с использованием 5000 выборок. На верхнем рисунке легко понять, что для отношения ${displaystyle z=x/y=1}$ клин почти полностью обходит массу распределения, что совпадает с областью, близкой к нулю, в теоретической PDF. Наоборот, как ${displaystyle x/y}$ уменьшается к нулю, линия собирает более высокую вероятность.

Это преобразование будет признано таким же, как преобразование, использованное Гири (1932) как частичный результат в его уравнение viii но чье происхождение и ограничения вряд ли были объяснены. Таким образом, первая часть преобразования Гири к приближенной гауссовости в предыдущем разделе на самом деле точна и не зависит от положительности Y. Результат смещения также согласуется с коррелированным распределением гауссова отношения «Коши» с нулевым средним в первом разделе. Марсалья применил тот же результат, но использовал нелинейный метод для его достижения.

Комплексное нормальное соотношение

Отношение коррелированных циркулярно-симметричных сложный нормально распределенный переменные были определены Baxley et. al.^[12] Совместное распространение х, у является

${displaystyle f_{x,y}(x,y)={frac {1}{pi ^{2}|Sigma |}}exp {Biggr (}-{egin{bmatrix}xyend{bmatrix}}^{H}Sigma ^{-1}{egin{bmatrix}xyend{bmatrix}}{Biggr )}}$

куда

${displaystyle Sigma ={egin{bmatrix}sigma _{x}^{2}&ho sigma _{x}sigma _{y}ho ^{*}sigma _{x}sigma _{y}&sigma _{y}^{2}end{bmatrix}},;;x=x_{r}+ix_{i},;;y=y_{r}+iy_{i}}$

${displaystyle (.)^{H}}$ является эрмитовым транспонированием и

${displaystyle ho =ho _{r}+iho _{i}=operatorname {E} {igg (}{frac {xy^{*}}{sigma _{x}sigma _{y}}}{igg )};;in ;left|mathbb {C} ight|leq 1}$

PDF-файл ${displaystyle Z=X/Y}$ оказывается

${displaystyle {egin{aligned}f_{z}(z_{r},z_{i})&={frac {1-|ho |^{2}}{pi sigma _{x}^{2}sigma _{y}^{2}}}{Biggr (}{frac {|z|^{2}}{sigma _{x}^{2}}}+{frac {1}{sigma _{y}^{2}}}-2{frac {ho _{r}z_{r}-ho _{i}z_{i}}{sigma _{x}sigma _{y}}}{Biggr )}^{-2}&={frac {1-|ho |^{2}}{pi sigma _{x}^{2}sigma _{y}^{2}}}{Biggr (};;{Biggr |}{frac {z}{sigma _{x}}}-{frac {ho ^{*}}{sigma _{y}}}{Biggr |}^{2}+{frac {1-|ho |^{2}}{sigma _{y}^{2}}}{Biggr )}^{-2}end{aligned}}}$

В обычном случае, если ${displaystyle sigma _{x}=sigma _{y}}$ мы получили

${displaystyle f_{z}(z_{r},z_{i})={frac {1-|ho |^{2}}{pi left(;;|z-ho ^{*}|^{2}+1-|ho |^{2}ight)^{2}}}}$

Также приведены другие результаты в закрытой форме для CDF.

Распределение соотношения коррелированных комплексных переменных, rho = 0,7 exp (i pi / 4).

График показывает pdf отношения двух комплексных нормальных переменных с коэффициентом корреляции ${displaystyle ho =0.7exp(ipi /4)}$. Пик pdf возникает примерно при комплексном сопряжении уменьшенного ${displaystyle ho }$.

Равномерное распределение соотношения

С двумя независимыми случайными величинами, следующими за равномерное распределение, например,

${displaystyle p_{X}(x)={egin{cases}1qquad 0<x<1�qquad { ext{otherwise}}end{cases}}}$

соотношение распределения становится

${displaystyle p_{Z}(z)={egin{cases}1/2qquad &0<z<1{frac {1}{2z^{2}}}qquad &zgeq 1�qquad &{ ext{otherwise}}end{cases}}}$

Распределение отношения Коши

Если две независимые случайные величины, Икс и Y каждый следует за Распределение Коши с нулевой медианой и коэффициентом формы ${displaystyle a}$

${displaystyle p_{X}(x|a)={frac {a}{pi (a^{2}+x^{2})}}}$

тогда распределение отношений для случайной величины ${displaystyle Z=X/Y}$ является^[13]

${displaystyle p_{Z}(z|a)={frac {1}{pi ^{2}(z^{2}-1)}}ln(z^{2}).}$

Это распределение не зависит от ${displaystyle a}$ и результат, заявленный Springer^[8] (стр. 158, вопрос 4.6) неверно. Распределение соотношения похоже, но не то же самое, что и распространение продукции случайной величины ${displaystyle W=XY}$:

${displaystyle p_{W}(w|a)={frac {a^{2}}{pi ^{2}(w^{2}-a^{4})}}ln left({frac {w^{2}}{a^{4}}}ight).}$^[8]

В более общем смысле, если две независимые случайные величины Икс и Y каждый следует за Распределение Коши с нулевой медианой и коэффициентом формы ${displaystyle a}$ и ${displaystyle b}$ соответственно, тогда:

1. Распределение отношения для случайной величины ${displaystyle Z=X/Y}$ является^[13]

${displaystyle p_{Z}(z|a,b)={frac {ab}{pi ^{2}(b^{2}z^{2}-a^{2})}}ln left({frac {b^{2}z^{2}}{a^{2}}}ight).}$

2. Программа распространение продукции для случайной величины ${displaystyle W=XY}$ является^[13]

${displaystyle p_{W}(w|a,b)={frac {ab}{pi ^{2}(w^{2}-a^{2}b^{2})}}ln left({frac {w^{2}}{a^{2}b^{2}}}ight).}$

Результат для распределения соотношений можно получить из распределения продуктов, заменив ${displaystyle b}$ с ${displaystyle {frac {1}{b}}.}$

Соотношение стандартной нормальной формы к стандартной униформе

Основная статья: Распределение слэша

Если Икс имеет стандартное нормальное распределение и Y имеет стандартное равномерное распределение, то Z = Икс / Y имеет распространение, известное как распределение слэша, с функцией плотности вероятности

${displaystyle p_{Z}(z)={egin{cases}left[varphi (0)-varphi (z)ight]/z^{2}quad &zeq 0varphi (0)/2quad &z=0,end{cases}}}$

где φ (z) - функция плотности вероятности стандартного нормального распределения.^[14]

Хи-квадрат, гамма, бета-распределения

Позволять Икс - нормальное (0,1) распределение, Y и Z быть распределения хи-квадрат с м и п степени свободы соответственно все независимые, с ${displaystyle f_{chi }(x,k)={frac {x^{{frac {k}{2}}-1}e^{-x/2}}{2^{k/2}Gamma (k/2)}}}$. потом

${displaystyle {frac {X}{sqrt {Y/m}}}sim t_{m}}$ то Распределение Стьюдента

${displaystyle {frac {Y/m}{Z/n}}=F_{m,n}}$ то есть Фишера F-тест распределение

${displaystyle {frac {Y}{Y+Z}}sim eta ({ frac {m}{2}},{ frac {n}{2}})}$ то бета-распространение

${displaystyle ;;{frac {Y}{Z}}sim eta '({ frac {m}{2}},{ frac {n}{2}})}$ то бета-простое распределение

Если ${displaystyle V_{1}sim {chi '}_{k_{1}}^{2}(lambda )}$, а нецентральное распределение хи-квадрат, и ${displaystyle V_{2}sim {chi '}_{k_{2}}^{2}(0)}$ и ${displaystyle V_{1}}$ не зависит от ${displaystyle V_{2}}$ тогда

${displaystyle {frac {V_{1}/k_{1}}{V_{2}/k_{2}}}sim F'_{k_{1},k_{2}}(lambda )}$, а нецентральное F-распределение.

${displaystyle {frac {m}{n}}F'_{m,n}=eta '({ frac {m}{2}},{ frac {n}{2}}){ ext{ or }}F'_{m,n}=eta '({ frac {m}{2}},{ frac {n}{2}},1,{ frac {n}{m}})}$ определяет ${displaystyle F'_{m,n}}$, F-распределение плотности Фишера, PDF отношения двух хи-квадратов с м, н степени свободы.

CDF плотности Фишера, найденный в F-таблицы определены в бета-простое распределение статья. Если мы введем F-тестовая таблица с м = 3, п = 4 и 5% вероятности в правом хвосте, критическое значение оказывается 6.59. Это совпадает с интегралом

${displaystyle F_{3,4}(6.59)=int _{6.59}^{infty }eta '(x;{ frac {m}{2}},{ frac {n}{2}},1,{ frac {n}{m}})dx=0.05}$

Если ${displaystyle Usim Gamma (alpha _{1},1),Vsim Gamma (alpha _{2},1)}$, куда ${displaystyle Gamma (x;alpha ,1)={frac {x^{alpha -1}e^{-x}}{Gamma (alpha )}}}$, тогда

${displaystyle {frac {U}{U+V}}sim eta (alpha _{1},alpha _{2}),qquad { ext{ expectation }}={frac {alpha _{1}}{alpha _{1}+alpha _{2}}}}$

${displaystyle {frac {U}{V}}sim eta '(alpha _{1},alpha _{2}),qquad qquad { ext{ expectation }}={frac {alpha _{1}}{alpha _{2}-1}},;alpha _{2}>1}$

${displaystyle {frac {V}{U}}sim eta '(alpha _{2},alpha _{1}),qquad qquad { ext{ expectation }}={frac {alpha _{2}}{alpha _{1}-1}},;alpha _{1}>1}$

Если ${displaystyle Usim Gamma (x;alpha ,1)}$ тогда ${displaystyle heta Usim Gamma (x;alpha , heta )={frac {x^{alpha -1}e^{-{frac {x}{ heta }}}}{ heta ^{k}Gamma (alpha )}}}$

Если ${displaystyle Usim Gamma (alpha _{1}, heta _{1}),;Vsim Gamma (alpha _{2}, heta _{2})}$, затем, изменив масштаб ${displaystyle heta }$ параметр к единице мы имеем

${displaystyle {frac {frac {U}{ heta _{1}}}{{frac {U}{ heta _{1}}}+{frac {V}{ heta _{2}}}}}={frac { heta _{2}U}{ heta _{2}U+ heta _{1}V}}sim eta (alpha _{1},alpha _{2})}$

${displaystyle {frac {frac {U}{ heta _{1}}}{frac {V}{ heta _{2}}}}={frac { heta _{2}}{ heta _{1}}}{frac {U}{V}}sim eta '(alpha _{1},alpha _{2})}$

таким образом ${displaystyle {frac {U}{V}}sim eta '(alpha _{1},alpha _{2},1,{frac { heta _{1}}{ heta _{2}}})quad { ext{ and }}operatorname {E} left[{frac {U}{V}}ight]={frac { heta _{1}}{ heta _{2}}}{frac {alpha _{1}}{alpha _{2}-1}}}$

т.е. если ${displaystyle Xsim eta '(alpha _{1},alpha _{2},1,1)}$ тогда ${displaystyle heta Xsim eta '(alpha _{1},alpha _{2},1, heta )}$

Более конкретно, поскольку

${displaystyle eta '(x;alpha _{1},alpha _{2},1,R)={frac {1}{R}}eta '({frac {x}{R}};alpha _{1},alpha _{2})}$

если ${displaystyle Usim Gamma (alpha _{1}, heta _{1}),Vsim Gamma (alpha _{2}, heta _{2})}$ тогда

${displaystyle {frac {U}{V}}sim {frac {1}{R}}eta '({frac {x}{R}};alpha _{1},alpha _{2})={frac {left({frac {x}{R}}ight)^{alpha _{1}-1}}{left(1+{frac {x}{R}}ight)^{alpha _{1}+alpha _{2}}}}cdot {frac {1}{;R;B(alpha _{1},alpha _{2})}},;;xgeq 0}$

куда

${displaystyle R={frac { heta _{1}}{ heta _{2}}},;;;B(alpha _{1},alpha _{2})={frac {Gamma (alpha _{1})Gamma (alpha _{2})}{Gamma (alpha _{1}+alpha _{2})}}}$

Распределения Рэлея

Если X, Y независимые образцы из Распределение Рэлея ${displaystyle f_{r}(r)=re^{-r^{2}/2sigma ^{2}},;;rgeq 0}$, Соотношение Z = X / Y следует за распределением^[15]

${displaystyle f_{z}(z)={frac {2z}{(1+z^{2})^{2}}},;;zgeq 0}$

и имеет cdf

${displaystyle F_{z}(z)=1-{frac {1}{1+z^{2}}}={frac {z^{2}}{1+z^{2}}},;;;zgeq 0}$

В распределении Рэлея единственным параметром является масштабирование. Распределение ${displaystyle Z=alpha X/Y}$ следует

${displaystyle f_{z}(z,alpha )={frac {2alpha z}{(alpha +z^{2})^{2}}},;;z>0}$

и имеет cdf

${displaystyle F_{z}(z,alpha )={frac {z^{2}}{alpha +z^{2}}},;;;zgeq 0}$

Дробное гамма-распределение (включая хи, хи-квадрат, экспоненциальное, Рэлея и Вейбулла)

В обобщенное гамма-распределение является

${displaystyle f(x;a,d,r)={frac {r}{Gamma (d/r)a^{d}}}x^{d-1}e^{-(x/a)^{r}};xgeq 0;;;a,;d,;r>0}$

который включает в себя регулярную гамму, хи, хи-квадрат, экспоненциальное распределение, распределения Рэлея, Накагами и Вейбулла, включающие дробные степени.

Если ${displaystyle Usim f(x;a_{1},d_{1},r),;;Vsim f(x;a_{2},d_{2},r){ ext{ are independent, and }}W=U/V}$

тогда^[16] ${ extstyle g(w)={frac {rleft({frac {a_{1}}{a_{2}}}ight)^{d_{2}}}{Bleft({frac {d_{1}}{r}},{frac {d_{2}}{r}}ight)}}{frac {w^{-d_{2}-1}}{left(1+left({frac {a_{2}}{a_{1}}}ight)^{-r}w^{-r}ight)^{frac {d_{1}+d_{2}}{r}}}},;;w>0}$

куда ${displaystyle B(u,v)={frac {Gamma (u)Gamma (v)}{Gamma (u+v)}}}$

Моделирование смеси различных масштабных коэффициентов

В соотношениях выше, гамма выборки, U, V могут иметь разные размеры выборки ${displaystyle alpha _{1},alpha _{2}}$ но должны быть взяты из того же дистрибутива ${displaystyle {frac {x^{alpha -1}e^{-{frac {x}{ heta }}}}{ heta ^{k}Gamma (alpha )}}}$ с равным масштабированием ${displaystyle heta }$.

В ситуациях, когда U и V по-разному масштабируются, преобразование переменных позволяет определить модифицированный pdf случайного отношения. Позволять ${displaystyle X={frac {U}{U+V}}={frac {1}{1+B}}}$ куда ${displaystyle Usim Gamma (alpha _{1}, heta ),Vsim Gamma (alpha _{2}, heta ), heta }$ произвольно и сверху ${displaystyle Xsim Beta(alpha _{1},alpha _{2}),B=V/Usim Beta'(alpha _{2},alpha _{1})}$.

Масштабировать V произвольно, определяя ${displaystyle Ysim {frac {U}{U+varphi V}}={frac {1}{1+varphi B}},;;0leq varphi leq infty }$

У нас есть ${displaystyle B={frac {1-X}{X}}}$ и замена на Y дает ${displaystyle Y={frac {X}{varphi +(1-varphi )X}},dY/dX={frac {varphi }{(varphi +(1-varphi )X)^{2}}}}$

Преобразование Икс к Y дает ${displaystyle f_{Y}(Y)={frac {f_{X}(X)}{|dY/dX|}}={frac {eta (X,alpha _{1},alpha _{2})}{varphi /[varphi +(1-varphi )X]^{2}}}}$

Отмечая ${displaystyle X={frac {varphi Y}{1-(1-varphi )Y}}}$ наконец-то у нас есть

${displaystyle f_{Y}(Y,varphi )={frac {varphi }{[1-(1-varphi )Y]^{2}}}eta left({frac {varphi Y}{1-(1-varphi )Y}},alpha _{1},alpha _{2}ight),;;;0leq Yleq 1}$

Таким образом, если ${displaystyle Usim Gamma (alpha _{1}, heta _{1})}$ и ${displaystyle Vsim Gamma (alpha _{2}, heta _{2})}$
тогда ${displaystyle Y={frac {U}{U+V}}}$ распространяется как ${displaystyle f_{Y}(Y,varphi )}$ с ${displaystyle varphi ={frac { heta _{2}}{ heta _{1}}}}$

Распределение Y здесь ограничен интервалом [0,1]. Его можно обобщить путем масштабирования так, что если ${displaystyle Ysim f_{Y}(Y,varphi )}$ тогда

${displaystyle Theta Ysim f_{Y}(Y,varphi ,Theta )}$

куда ${displaystyle f_{Y}(Y,varphi ,Theta )={frac {varphi /Theta }{[1-(1-varphi )Y/Theta ]^{2}}}eta left({frac {varphi Y/Theta }{1-(1-varphi )Y/Theta }},alpha _{1},alpha _{2}ight),;;;0leq Yleq Theta }$

${displaystyle Theta Y}$ тогда образец из ${displaystyle {frac {Theta U}{U+varphi V}}}$

Взаимные образцы из бета-дистрибутивов

Хотя это и не соотношения двух переменных, полезны следующие тождества для одной переменной:

Если ${displaystyle Xsim eta (alpha ,eta )}$ тогда ${displaystyle mathbf {x} ={frac {X}{1-X}}sim eta '(alpha ,eta )}$

Если ${displaystyle mathbf {Y} sim eta '(alpha ,eta )}$ тогда ${displaystyle y={frac {1}{mathbf {Y} }}sim eta '(eta ,alpha )}$

объединение последних двух уравнений дает

Если ${displaystyle Xsim eta (alpha ,eta )}$ тогда ${displaystyle mathbf {x} ={frac {1}{X}}-1sim eta '(eta ,alpha )}$.

Если ${displaystyle mathbf {Y} sim eta '(alpha ,eta )}$ тогда ${displaystyle y={frac {mathbf {Y} }{1+mathbf {Y} }}sim eta (alpha ,eta )}$

поскольку ${displaystyle {frac {1}{1+mathbf {Y} }}={frac {mathbf {Y} ^{-1}}{mathbf {Y} ^{-1}+1}}sim eta (eta ,alpha )}$

тогда

${displaystyle 1+mathbf {Y} sim {;eta (eta ,alpha );}^{-1}}$, распределение обратных величин ${displaystyle eta (eta ,alpha )}$ образцы.

Если ${displaystyle Usim Gamma (alpha ,1),Vsim Gamma (eta ,1){ ext{ then }}{frac {U}{V}}sim eta '(alpha ,eta )}$ и

${displaystyle {frac {U/V}{1+U/V}}={frac {U}{V+U}}sim eta (alpha ,eta )}$

Дальнейшие результаты можно найти в Обратное распределение статья.

• Если ${displaystyle X,;Y}$ независимые экспоненциальные случайные величины со средним μ, тогда Икс − Y это двойная экспонента случайная величина со средним 0 и шкалойμ.

Биномиальное распределение

Этот результат был впервые получен Кацем и др. В 1978 году.^[17]

Предполагать Икс ~ Биномиальный (п,п₁) и Y ~ Биномиальный (м,п₂) и Икс, Y независимы. Позволять Т = (Икс/п)/(Y/м).

Затем войдите (Т) приблизительно нормально распределяется со средним логарифмом (п₁/п₂) и дисперсии ((1 /п₁) − 1)/п + ((1/п₂) − 1)/м.

Распределение биномиального отношения имеет значение в клинических испытаниях: если распределение Т известно, как указано выше, вероятность того, что данное соотношение возникает чисто случайно, может быть оценена, то есть ложноположительное испытание. В ряде работ сравнивается надежность различных приближений для биномиального отношения.^{[нужна цитата ]}

Пуассоновские и усеченные распределения Пуассона

В отношении переменных Пуассона R = X / Y есть проблема, что Y равен нулю с конечной вероятностью, поэтому р не определено. Чтобы противостоять этому, мы рассматриваем усеченное или цензурированное соотношение R '= X / Y' где нулевая выборка Y со скидкой. Более того, во многих обследованиях медицинского типа возникают систематические проблемы с надежностью нулевых выборок как X, так и Y, и может быть хорошей практикой в ​​любом случае игнорировать нулевые выборки.

Вероятность нулевой пуассоновской выборки ${displaystyle e^{-lambda }}$, общий pdf усеченного слева распределения Пуассона равен

${displaystyle { ilde {p}}_{x}(x;lambda )={frac {1}{1-e^{-lambda }}}{frac {e^{-lambda }lambda ^{x}}{x!}},;;;xin 1,2,3,cdots }$

что в сумме равно единице. После Коэна^[18], за п независимых испытаний, многомерный усеченный PDF-файл

${displaystyle { ilde {p}}(x_{1},x_{2},dots ,x_{n};lambda )={frac {1}{(1-e^{-lambda })^{n}}}prod _{i=1}^{n}{frac {e^{-lambda }lambda ^{x_{i}}}{x_{i}!}},;;;x_{i}in 1,2,3,cdots }$

и вероятность журнала становится

${displaystyle L=ln({ ilde {p}})=-nln(1-e^{-lambda })-nlambda +ln(lambda )sum _{1}^{n}x_{i}-ln prod _{1}^{n}(x_{i}!),;;;x_{i}in 1,2,3,cdots }$

При дифференцировании получаем

${displaystyle dL/dlambda ={frac {-n}{1-e^{-lambda }}}+{frac {1}{lambda }}sum _{i=1}^{n}x_{i}}$

а установка в ноль дает оценку максимального правдоподобия ${displaystyle {hat {lambda }}_{ML}}$

${displaystyle {frac {{hat {lambda }}_{ML}}{1-e^{-{hat {lambda }}_{ML}}}}={frac {1}{n}}sum _{i=1}^{n}x_{i}={ar {x}}}$

Обратите внимание, что как ${displaystyle {hat {lambda }}ightarrow 0{ ext{ then }}{ar {x}}ightarrow 1}$ поэтому усеченная максимальная вероятность ${displaystyle lambda }$ оценка, хотя и верна как для усеченного, так и для неусеченного распределений, дает усеченное среднее ${displaystyle {ar {x}}}$ значение, которое сильно смещено по сравнению с необрезанным. Тем не менее кажется, что ${displaystyle {ar {x}}}$ это достаточная статистика за ${displaystyle lambda }$ поскольку ${displaystyle {hat {lambda }}_{ML}}$ зависит от данных только через выборочное среднее ${displaystyle {ar {x}}={frac {1}{n}}sum _{i=1}^{n}x_{i}}$ в предыдущем уравнении, которое согласуется с методологией обычного распределение Пуассона.

При отсутствии каких-либо решений в замкнутой форме следующее приближенное обращение для усеченного ${displaystyle lambda }$ действует во всем диапазоне ${displaystyle 0leq lambda leq infty ;;1leq {ar {x}}leq infty }$.

${displaystyle {hat {lambda }}={ar {x}}-e^{-({ar {x}}-1)}-0.07({ar {x}}-1)e^{-0.666({ar {x}}-1)}+epsilon ,;;;|epsilon |<0.006}$

что сравнивается с необрезанной версией, которая просто ${displaystyle {hat {lambda }}={ar {x}}}$. Принимая соотношение ${displaystyle R={hat {lambda }}_{X}/{hat {lambda }}_{Y}}$ является допустимой операцией, даже если ${displaystyle {hat {lambda }}_{X}}$ может использовать необрезанную модель, а ${displaystyle {hat {lambda }}_{Y}}$ имеет усеченный слева.

Асимптотика больших${displaystyle nlambda { ext{ variance of }}{hat {lambda }}}$ (и Граница Крамера – Рао ) является

${displaystyle mathbb {Var} ({hat {lambda }})geq -left(mathbb {E} left[{frac {delta ^{2}L}{delta lambda ^{2}}}ight]_{lambda ={hat {lambda }}}ight)^{-1}}$

в котором замена L дает

${displaystyle {frac {delta ^{2}L}{delta lambda ^{2}}}=-nleft[{frac {ar {x}}{lambda ^{2}}}-{frac {e^{-lambda }}{(1-e^{-lambda })^{2}}}ight]}$

Затем подставив ${displaystyle {ar {x}}}$ из приведенного выше уравнения мы получаем оценку дисперсии Коэна

${displaystyle mathbb {Var} ({hat {lambda }})geq {frac {hat {lambda }}{n}}{frac {(1-e^{-{hat {lambda }}})^{2}}{1-({hat {lambda }}+1)e^{-{hat {lambda }}}}}}$

Дисперсия точечной оценки среднего ${displaystyle lambda }$, на основе п испытаний, убывает асимптотически до нуля при п увеличивается до бесконечности. Для малых ${displaystyle lambda }$ он отличается от усеченной дисперсии PDF в Спрингаеле^[19] например, кто цитирует дисперсию

${displaystyle mathbb {Var} (lambda )={frac {lambda /n}{1-e^{-lambda }}}left[1-{frac {lambda e^{-lambda }}{1-e^{-lambda }}}ight]}$

за п образцы в усеченном слева PDF-файле, показанном вверху этого раздела. Коэн показал, что дисперсия оценки относительно дисперсии PDF, ${displaystyle mathbb {Var} ({hat {lambda }})/mathbb {Var} (lambda )}$, колеблется от 1 для больших ${displaystyle lambda }$ (КПД 100%) до 2 как ${displaystyle lambda }$ приближается к нулю (эффективность 50%).

Эти оценки среднего и дисперсионного параметров вместе с параллельными оценками для Икс, может применяться к нормальному или биномиальному приближению для коэффициента Пуассона. Образцы из испытаний могут не подходить для процесса Пуассона; Дальнейшее обсуждение пуассоновского усечения проведено Дитцем и Бенингом.^[20] и есть Распределение Пуассона с нулевым усечением Запись в Википедии.

Двойное распределение Lomax

Это распределение представляет собой соотношение двух Распределения Лапласа.^[21] Позволять Икс и Y - стандартные случайные величины с одинаковым распределением по Лапласу, и пусть z = Икс / Y. Тогда распределение вероятностей z является

${displaystyle f(x)={frac {1}{2(1+|z|)^{2}}}}$

Пусть среднее значение Икс и Y быть а. Тогда стандартное двойное распределение Ломакса симметрично относительно а.

Это распределение имеет бесконечное среднее значение и дисперсию.

Если Z имеет стандартное двойное распределение Ломакса, то 1 /Z также имеет стандартное двойное распределение Lomax.

Стандартное распределение Ломакса является унимодальным и имеет более тяжелые хвосты, чем распределение Лапласа.

Для 0 < а <1, а^th момент существует.

${displaystyle E(Z^{a})={frac {Gamma (1+a)}{Gamma (1-a)}}}$

где Γ - гамма-функция.

Распределения соотношений в многомерном анализе

Распределение соотношений также появляется в многомерный анализ.^[22] Если случайные матрицы Икс и Y следовать Распределение Уишарта тогда соотношение детерминанты

${displaystyle varphi =|mathbf {X} |/|mathbf {Y} |}$

пропорциональна произведению независимых F случайные переменные. В случае, когда Икс и Y из независимых стандартизированных Распределения Уишарта тогда соотношение

${displaystyle Lambda ={|mathbf {X} |/|mathbf {X} +mathbf {Y} |}}$

имеет Лямбда-распределение Уилкса.

Отношения квадратичных форм с матрицами Уишарта

Распределение вероятностей может быть получено из случайных квадратичных форм

${displaystyle r=V^{T}AV}$

куда ${displaystyle V{ ext{ and/or }}A}$ случайны^[23]. Если А является инверсией другой матрицы B тогда ${displaystyle r=V^{T}B^{-1}V}$ в некотором смысле случайное отношение, часто возникающее в задачах оценки методом наименьших квадратов.

В гауссовском случае, если А матрица, полученная из сложного распределения Уишарта ${displaystyle Asim W_{C}(A_{0},k,p)}$ размерности п х п и k степени свободы с ${displaystyle kgeq p{ ext{ while }}V}$ - произвольный комплексный вектор с эрмитовым (сопряженным) транспонированием ${displaystyle (.)^{H}}$, Соотношение

${displaystyle r=k{frac {V^{H}A_{0}^{-1}V}{V^{H}A^{-1}V}}}$

следует гамма-распределению

${displaystyle p_{1}(r)={frac {r^{k-p}e^{-r}}{Gamma (k-p+1)}},;;;rgeq 0}$

Результат возникает при использовании адаптивной винеровской фильтрации методом наименьших квадратов - см. Уравнение (A13) в.^[24] Обратите внимание, что в исходной статье утверждается, что распространение ${displaystyle p_{1}(r)=r^{k-p-1};e^{-r};/Gamma (k-p)}$.

Аналогичным образом Bodnar et. аль^[25] покажем, что (теорема 2, следствие 1) для полного ранга ( ${displaystyle kgeq p)}$ вещественные образцы матрицы Уишарта${displaystyle Wsim W(Sigma ,k,p)}$, и V случайный вектор, не зависящий от W, Соотношение

${displaystyle r={frac {V^{T}Sigma ^{-1}V}{V^{T}W^{-1}V}}sim chi _{k-p+1}^{2}}$

Учитывая комплексную матрицу Уишарта ${displaystyle Asim W_{C}(I,k,p)}$, Соотношение

${displaystyle ho ={frac {(V^{H}A^{-1}V)^{2}}{V^{H}A^{-2}Vcdot V^{H}V}}}$

следует бета-распределению (см. уравнение (47)^[26])

${displaystyle p_{2}(ho )=(1-ho )^{p-2}ho ^{k-p+1}{frac {k!}{(k+1-p)!(p-2)!}},;;;0leq ho leq 1}$

Результат возникает при анализе производительности фильтрации методом наименьших квадратов с ограничениями и выводится из более сложного, но в конечном итоге эквивалентного отношения, которое, если ${displaystyle Asim W_{C}(A_{0},n,p)}$ тогда

${displaystyle ho ={frac {(V^{H}A^{-1}V)^{2}}{V^{H}A^{-1}A_{0}A^{-1}Vcdot V^{H}A_{0}^{-1}V}}}$

В простейшем виде, если ${displaystyle A_{i,j}sim W_{C}(I,k,p)}$ и ${displaystyle W^{i,j}=left(W^{-1}ight)_{i,j}}$ то отношение квадрата обратного элемента (1,1) к сумме квадратов модулей всех элементов верхней строки имеет распределение

${displaystyle ho ={frac {left(W^{1,1}ight)^{2}}{sum _{jin 1..p}|W^{1,j}|^{2}}}sim eta (p-1,k-p+2)}$

Смотрите также

• Связи между распределениями вероятностей
• Обратное распределение (также известное как взаимное распределение)
• Распространение продукции
• Оценка отношения
• Распределение слэша

Рекомендации

1. Гири, Р.С. (1930). «Частотное распределение отношения двух нормальных переменных». Журнал Королевского статистического общества. 93 (3): 442–446. Дои:10.2307/2342070. JSTOR  2342070.
2. Филлер, Э. К. (ноябрь 1932 г.). «Распределение индекса в нормальной двумерной популяции». Биометрика. 24 (3/4): 428–440. Дои:10.2307/2331976. JSTOR  2331976.
3. Кертисс, Дж. Х. (декабрь 1941 г.). «О распределении отношения двух случайных переменных». Анналы математической статистики. 12 (4): 409–421. Дои:10.1214 / aoms / 1177731679. JSTOR  2235953.
4. Джордж Марсалья (Апрель 1964 г.). Отношения нормальных переменных и отношения сумм однородных переменных. Центр оборонной технической информации.
5. Марсалья, Джордж (Март 1965 г.). «Отношения нормальных переменных и отношения сумм однородных переменных». Журнал Американской статистической ассоциации. 60 (309): 193–204. Дои:10.2307/2283145. JSTOR  2283145.
6. Хинкли, Д.В. (Декабрь 1969 г.). «О соотношении двух коррелированных нормальных случайных величин». Биометрика. 56 (3): 635–639. Дои:10.2307/2334671. JSTOR  2334671.
7. Хайя, Джек; Армстронг, Дональд; Грессис, Николас (июль 1975 г.). «Примечание о соотношении двух нормально распределенных переменных». Наука управления. 21 (11): 1338–1341. Дои:10.1287 / mnsc.21.11.1338. JSTOR  2629897.
8. Спрингер, Мелвин Дейл (1979). Алгебра случайных величин. Wiley. ISBN  0-471-01406-0.
9. Pham-Gia, T .; Турккан, Н .; Маршан, Э. (2006). «Плотность отношения двух нормальных случайных величин и приложения». Коммуникации в статистике - теория и методы. Тейлор и Фрэнсис. 35 (9): 1569–1591. Дои:10.1080/03610920600683689.
10. Броуди, Джеймс П .; Уильямс, Брайан А .; Уолд, Барбара Дж .; Дрожь, Стивен Р. (Октябрь 2002 г.). «Значимость и статистические ошибки при анализе данных ДНК-микрочипов» (PDF). Proc Natl Acad Sci U S A. 99 (20): 12975–12978. Дои:10.1073 / pnas.162468199. ЧВК  130571. PMID  12235357.
11. Диас-Франсес, Элоиза; Рубио, Франсиско Дж. (24 января 2012 г.). «О существовании нормального приближения к распределению отношения двух независимых нормальных случайных величин». Статистические статьи. ООО "Спрингер Сайенс энд Бизнес Медиа". 54 (2): 309–323. Дои:10.1007 / s00362-012-0429-2. ISSN  0932-5026.
12. Бэксли, Р. Т; Вальденхорст, Б. Т; Акоста-Марум, Г. (2010). «Комплексное распределение коэффициента Гаусса с приложениями для расчета частоты ошибок в каналах с замираниями с несовершенной CSI». 2010 Глобальная телекоммуникационная конференция IEEE GLOBECOM 2010. С. 1–5. Дои:10.1109 / GLOCOM.2010.5683407. ISBN  978-1-4244-5636-9.
13. Кермонд, Джон (2010). «Введение в алгебру случайных величин». Математическая ассоциация Виктории 47-я ежегодная конференция Труды - Новый учебный план. Новые возможности. Математическая ассоциация Виктории: 1–16. ISBN  978-1-876949-50-1.
14. «SLAPPF». Отдел статистической инженерии, Национальный институт науки и технологий. Получено 2009-07-02.
15. Хамедани, Г. Г. (октябрь 2013 г.). «Характеристики распределения отношения случайных величин Рэлея». Статистический журнал Пакистана. 29 (4): 369–376.
16. Б. Раджа Рао, М. Л. Гарг. «Замечание об обобщенном (положительном) распределении Коши». Канадский математический бюллетень. 12 (1969), 865–868 Опубликовано: 01.01.1969.
17. Кац Д. и другие. (1978) Получение доверительных интервалов для отношения рисков в когортных исследованиях. Биометрия 34: 469–474
18. Коэн, Клиффорд (июнь 1960 г.). «Оценка параметра условного распределения Пуассона». Биометрия. 60 (2): 203–211.
19. Спрингель, Йохан (2006). «О сумме независимых случайных величин Пуассона с нулевым усечением» (PDF). Университет Антверпена, факультет бизнеса и экономики.
20. Дитц, Эккехарт; Бохнинг, Данкмар (2000). «Об оценке параметра Пуассона в моделях Пуассона с нулевой модификацией». Вычислительная статистика и анализ данных (Elsevier). 34 (4): 441–459. Дои:10.1016 / S0167-9473 (99) 00111-5.
21. Бинду П. и Сангита К. (2015) Двойное распределение Lomax и его приложения. Statistica LXXV (3) 331–342
22. Бреннан, Л. Э .; Рид, И. С. (январь 1982 г.). "Адаптивный алгоритм обработки сигналов массива для связи". IEEE Transactions по аэрокосмическим и электронным системам. АЕС-18 № 1: 124–130. Bibcode:1982ITAES..18..124B. Дои:10.1109 / TAES.1982.309212.
23. Матхай, А. М.; Провост, L (1992). Квадратичные формы в случайных величинах. Нью-Йорк: Mercel Decker Inc. ISBN  0-8247-8691-2.
24. Бреннан, Л. Э .; Рид, И. С. (январь 1982 г.). "Адаптивный алгоритм обработки сигналов массива для связи". IEEE Transactions по аэрокосмическим и электронным системам. АЕС-18 № 1: 124–130. Bibcode:1982ITAES..18..124B. Дои:10.1109 / TAES.1982.309212.
25. Боднар, Т; Мазур, S; Подгорский, К (2015). «Сингулярное обратное распределение Уишарта в применении к теории портфеля». Lund Univj. Департамент статистики, Рабочий документ № 2 BodnarSingularInverseWishart.pdf.
26. Рид, I S; Mallett, JD; Бреннан, Л.Е. (ноябрь 1974 г.). «Быстрая сходимость в адаптивных массивах». IEEE Transactions по аэрокосмическим и электронным системам. АЕС-10 №6: 853–863.

внешняя ссылка

• Соотношение Распределение в MathWorld
• Распределение нормального соотношения в MathWorld
• Распределение соотношений на MathPages