Обратное распределение - Inverse distribution

Не путать с Функция обратного распределения.

В теория вероятности и статистика, обратное распределение это распределение взаимный случайной величины. Обратные распределения возникают, в частности, в Байесовский контекст предыдущие распределения и апостериорные распределения за параметры шкалы. в алгебра случайных величин, обратные распределения являются частными случаями класса соотношения распределения, в котором случайная величина числителя имеет вырожденное распределение.

Отношение к оригинальному дистрибутиву

В целом, учитывая распределение вероятностей случайной величины Икс при строго положительной поддержке можно найти распределение взаимного, Y = 1 / Икс. Если распределение Икс является непрерывный с функция плотности ж(Икс) и кумулятивная функция распределения F(Икс), то кумулятивная функция распределения, грамм(у), обратного находится, отметив, что

${\displaystyle G(y)=\Pr(Y\leq y)=\Pr \left(X\geq {\frac {1}{y}}\right)=1-\Pr \left(X<{\frac {1}{y}}\right)=1-F\left({\frac {1}{y}}\right).}$

Тогда функция плотности Y находится как производная кумулятивной функции распределения:

${\displaystyle g(y)={\frac {1}{y^{2}}}f\left({\frac {1}{y}}\right).}$

Примеры

Взаимное распределение

В взаимное распределение имеет функцию плотности вида.^[1]

${\displaystyle f(x)\propto x^{-1}\quad {\text{ for }}0<a<x<b,}$

куда ${\displaystyle \propto \!\,}$ средства "пропорционально" Отсюда следует, что обратное распределение в этом случае имеет вид

${\displaystyle g(y)\propto y^{-1}\quad {\text{ for }}0\leq b^{-1}<y<a^{-1},}$

что снова является взаимным распределением.

Обратное равномерное распределение

Обратное равномерное распределение

Параметры	${\displaystyle 0<a<b,\quad a,b\in \mathbb {R} }$
Поддерживать	${\displaystyle [b^{-1},a^{-1}]}$
PDF	${\displaystyle y^{-2}{\frac {1}{b-a}}}$
CDF	${\displaystyle {\frac {b-y^{-1}}{b-a}}}$
Иметь в виду	${\displaystyle {\frac {\ln({\frac {1}{a}})-\ln({\frac {1}{b}})}{b-a}}}$
Медиана	${\displaystyle {\frac {2}{a+b}}}$
Дисперсия	${\displaystyle {\frac {1}{a\cdot b}}-\left({\frac {\ln({\frac {1}{a}})-\ln({\frac {1}{b}})}{b-a}}\right)^{2}}$

Если исходная случайная величина Икс является равномерно распределены на интервале (а,б), куда а> 0, то обратная переменная Y = 1 / Икс имеет обратное распределение, которое принимает значения в диапазоне (б⁻¹ ,а⁻¹), а функция плотности вероятности в этом диапазоне равна

${\displaystyle g(y)=y^{-2}{\frac {1}{b-a}},}$

и равен нулю в других местах.

Кумулятивная функция распределения обратной величины в том же диапазоне равна

${\displaystyle G(y)={\frac {b-y^{-1}}{b-a}}.}$

Например, если Икс равномерно распределена на отрезке (0,1), то Y = 1 / Икс имеет плотность ${\displaystyle g(y)=y^{-2}}$ и кумулятивная функция распределения ${\displaystyle G(y)={1-y^{-1}}}$ когда ${\displaystyle y>1.}$

Обратный т распределение

Позволять Икс быть т распределен случайное изменение с k степени свободы. Тогда его функция плотности равна

${\displaystyle f(x)={\frac {1}{\sqrt {k\pi }}}{\frac {\Gamma \left({\frac {k+1}{2}}\right)}{\Gamma \left({\frac {k}{2}}\right)}}{\frac {1}{\left(1+{\frac {x^{2}}{k}}\right)^{\frac {1+k}{2}}}}.}$

Плотность Y = 1 / Икс является

${\displaystyle g(y)={\frac {1}{\sqrt {k\pi }}}{\frac {\Gamma \left({\frac {k+1}{2}}\right)}{\Gamma \left({\frac {k}{2}}\right)}}{\frac {1}{y^{2}\left(1+{\frac {1}{y^{2}k}}\right)^{\frac {1+k}{2}}}}.}$

С k = 1, распределения Икс и 1 /Икс идентичны (Икс затем Коши распределил (0,1)). Если k > 1, то распределение 1 /Икс является бимодальный.^{[нужна цитата ]}

Взаимное нормальное распределение

Смотрите также: Распространение неопределенности § Взаимное и смещенное взаимное

График обратного нормального распределения

Если Икс это стандартный нормально распределенный переменной, то распределение обратной или обратной 1 /Икс (взаимное стандартное нормальное распределение) является бимодальный,^[2]а моменты первого и более высокого порядка не существуют.^[2]Для таких обратных распределений и для соотношения распределения, все еще могут быть определены вероятности для интервалов, которые могут быть вычислены либо Моделирование Монте-Карло или, в некоторых случаях, с помощью преобразования Гири – Хинкли.^[3]

Однако в более общем случае сдвинутой обратной функции ${\displaystyle 1/(p-B)}$, за ${\displaystyle B=N(\mu ,\sigma )}$ следуя общему нормальному распределению, статистика среднего и дисперсии действительно существует в основная стоимость смысл, если разница между полюсом ${\displaystyle p}$ и среднее ${\displaystyle \mu }$ имеет реальную ценность. Среднее значение этой преобразованной случайной величины (взаимно смещенное нормальное распределение) тогда действительно является масштабированным Функция Доусона:^[4]

${\displaystyle {\frac {\sqrt {2}}{\sigma }}F\left({\frac {p-\mu }{{\sqrt {2}}\sigma }}\right)}$.

Напротив, если сдвиг ${\displaystyle p-\mu }$ является чисто сложным, среднее существует и является масштабированным Функция Фаддеева, точное выражение которого зависит от знака мнимой части, ${\displaystyle \operatorname {Im} (p-\mu )}$В обоих случаях дисперсия является простой функцией среднего.^[5] Следовательно, дисперсию следует рассматривать в смысле главного значения, если ${\displaystyle p-\mu }$ реально, а существует, если мнимая часть ${\displaystyle p-\mu }$ не равно нулю. Обратите внимание, что эти средние и дисперсии точны, так как они не возвращаются к линеаризации отношения. Точная ковариация двух соотношений с парой разных полюсов ${\displaystyle p_{1}}$ и ${\displaystyle p_{2}}$ аналогично доступен.^[6]Случай инверсии комплексная нормальная переменная ${\displaystyle B}$, сдвинутые или нет, имеют разные характеристики.^[4]

Обратное экспоненциальное распределение

Если ${\displaystyle X}$ является экспоненциально распределенной случайной величиной с параметром скорости ${\displaystyle \lambda }$, тогда ${\displaystyle Y=1/X}$ имеет следующую кумулятивную функцию распределения: ${\displaystyle F_{Y}(y)=e^{-\lambda /y}}$за ${\displaystyle y>0}$. Обратите внимание, что ожидаемого значения этой случайной величины не существует. Обратное экспоненциальное распределение находит применение при анализе систем беспроводной связи с замираниями.

Обратное распределение Коши

Если Икс это Коши распределил (μ, σ) случайная величина, то 1 / X является ( μ / C, σ / C ) случайная величина, где C = μ² + σ².

Обратное F-распределение

Если Икс является F(ν₁, ν₂ ) распределены случайная величина, то 1 / Икс является F(ν₂, ν₁ ) случайная переменная.

Обратный биномиального распределения

Никакой закрытой формы для этого распределения не известно. Известно асимптотическое приближение для среднего.^[7]

${\displaystyle E[(1+X)^{a}]=O((np)^{-a})+o(n^{-a})}$

где E [] - оператор математического ожидания, X - случайная величина, O () и o () - большие и маленькие o функции заказа, n - размер выборки, p - вероятность успеха, а a - переменная, которая может быть положительной или отрицательной, целой или дробной.

Взаимное треугольное распределение

Для треугольное распределение с нижним пределом а, верхний предел б и режим c, куда а < б и а ≤ c ≤ б, среднее значение обратной величины равно

${\displaystyle \mu ={\frac {2\left({\frac {a\,\mathrm {ln} \left({\frac {a}{c}}\right)}{a-c}}+{\frac {b\,\mathrm {ln} \left({\frac {c}{b}}\right)}{b-c}}\right)}{a-b}}}$

и дисперсия на

${\displaystyle \sigma ^{2}={\frac {2\left({\frac {\mathrm {ln} \left({\frac {c}{a}}\right)}{a-c}}+{\frac {\mathrm {ln} \left({\frac {b}{c}}\right)}{b-c}}\right)}{a-b}}-\mu ^{2}}$.

Оба момента обратной величины определяются только тогда, когда треугольник не пересекает ноль, т.е. когда а, б, и c либо все положительные, либо все отрицательные.

Другие обратные распределения

Другие обратные распределения включают

обратное распределение хи-квадрат

обратное гамма-распределение

обратное распределение Вишарта

гамма-распределение обратной матрицы

Приложения

Обратные распределения широко используются в качестве априорных распределений в байесовском выводе для параметров масштаба.

Смотрите также

• Гармоническое среднее
• Распределение соотношения
• Самовзаимные распределения

Рекомендации

1. Хэмминг Р. В. (1970) «О раздаче номеров», Технический журнал Bell System 49(8) 1609–1625
2. Джонсон, Норман Л .; Коц, Самуэль; Балакришнан, Нараянасвами (1994). Непрерывные одномерные распределения, Том 1. Вайли. п. 171. ISBN  0-471-58495-9.
3. Хайя, Джек; Армстронг, Дональд; Грессис, Николас (июль 1975 г.). «Примечание о соотношении двух нормально распределенных переменных». Наука управления. 21 (11): 1338–1341. Дои:10.1287 / mnsc.21.11.1338. JSTOR  2629897.
4. Леконт, Кристоф (май 2013 г.). «Точная статистика систем с неопределенностями: аналитическая теория стохастических динамических систем первого ранга». Журнал звука и вибраций. 332 (11): 2750–2776. Дои:10.1016 / j.jsv.2012.12.009.
5. Леконт, Кристоф (май 2013 г.). «Точная статистика систем с неопределенностями: аналитическая теория стохастических динамических систем первого ранга». Журнал звука и вибраций. 332 (11). Раздел (4.1.1). Дои:10.1016 / j.jsv.2012.12.009.
6. Леконт, Кристоф (май 2013 г.). «Точная статистика систем с неопределенностями: аналитическая теория стохастических динамических систем первого ранга». Журнал звука и вибраций. 332 (11). Уравнение (39) - (40). Дои:10.1016 / j.jsv.2012.12.009.
7. Cribari-Neto F, Lopes Garcia N, Vasconcellos KLP (2000) Заметка об обратных моментах биномиальных переменных. Бразильский обзор эконометрики 20 (2)