Распространение неопределенности - Propagation of uncertainty

О распространении неопределенности во времени см. Теория хаоса § Чувствительность к начальным условиям.

В статистика, распространение неопределенности (или же распространение ошибки) является эффектом переменные ' неопределенности (или же ошибки, более конкретно случайные ошибки ) от неопределенности функция на их основе. Когда переменные являются значениями экспериментальных измерений, они имеют неопределенности из-за ограничений измерения (например, инструмент точность ), которые распространяются из-за комбинации переменных в функции.

Неопределенность ты можно выразить разными способами. абсолютная ошибка ΔИкс. Неопределенности также могут быть определены относительная ошибка (ΔИкс)/Икс, который обычно записывается в процентах. Чаще всего неопределенность величины количественно выражается с помощью стандартное отклонение, σ, который является положительным квадратным корнем из отклонение. Тогда значение количества и его ошибка выражаются в виде интервала Икс ± ты. Если статистический распределение вероятностей переменной известно или можно предположить, можно вывести пределы уверенности для описания области, в которой может быть найдено истинное значение переменной. Например, 68% доверительный интервал для одномерной переменной, принадлежащей нормальное распределение примерно ± одно стандартное отклонение σ от центрального значения Икс, что означает, что регион Икс ± σ покрывает истинную стоимость примерно в 68% случаев.

Если неопределенности коррелированный тогда ковариация необходимо учитывать. Корреляция может возникать из двух разных источников. Во-первых, погрешности измерения могут быть коррелированы. Во-вторых, когда базовые значения коррелируют по всей совокупности, неопределенности в средних по группе будут соотнесены.^[1]

Линейные комбинации

Позволять ${\displaystyle \{f_{k}(x_{1},x_{2},\dots ,x_{n})\}}$ быть набором м функции, которые представляют собой линейные комбинации ${\displaystyle n}$ переменные ${\displaystyle x_{1},x_{2},\dots ,x_{n}}$ с комбинационными коэффициентами ${\displaystyle A_{k1},A_{k2},\dots ,A_{kn},(k=1,\dots ,m)}$:

${\displaystyle f_{k}=\sum _{i=1}^{n}A_{ki}x_{i},}$

или в матричной записи,

${\displaystyle \mathbf {f} =\mathbf {Ax} .}$

Также позвольте матрица дисперсии-ковариации из Икс = (Икс₁, ..., Икс_п) обозначим через ${\displaystyle {\boldsymbol {\Sigma }}^{x}}$:

${\displaystyle {\boldsymbol {\Sigma }}^{x}={\begin{pmatrix}\sigma _{1}^{2}&\sigma _{12}&\sigma _{13}&\cdots \\\sigma _{12}&\sigma _{2}^{2}&\sigma _{23}&\cdots \\\sigma _{13}&\sigma _{23}&\sigma _{3}^{2}&\cdots \\\vdots &\vdots &\vdots &\ddots \end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}{\Sigma }_{11}^{x}&{\Sigma }_{12}^{x}&{\Sigma }_{13}^{x}&\cdots \\{\Sigma }_{12}^{x}&{\Sigma }_{22}^{x}&{\Sigma }_{23}^{x}&\cdots \\{\Sigma }_{13}^{x}&{\Sigma }_{23}^{x}&{\Sigma }_{33}^{x}&\cdots \\\vdots &\vdots &\vdots &\ddots \end{pmatrix}}.}$

Тогда матрица дисперсии-ковариации ${\displaystyle {\boldsymbol {\Sigma }}^{f}}$ из ж дан кем-то

${\displaystyle \Sigma _{ij}^{f}=\sum _{k}^{n}\sum _{l}^{n}A_{ik}{\Sigma }_{kl}^{x}A_{jl},}$

или в матричной записи,

${\displaystyle {\boldsymbol {\Sigma }}^{f}=\mathbf {A} {\boldsymbol {\Sigma }}^{x}\mathbf {A} ^{\mathrm {T} }.}$

Это наиболее общее выражение для распространения ошибки от одного набора переменных к другому. Когда ошибки на Икс некоррелированы, общее выражение упрощается до

${\displaystyle \Sigma _{ij}^{f}=\sum _{k}^{n}A_{ik}\Sigma _{k}^{x}A_{jk},}$

куда ${\displaystyle \Sigma _{k}^{x}=\sigma _{x_{k}}^{2}}$ это дисперсия k-й элемент Икс vector. Обратите внимание, что даже если ошибки на Икс могут быть некоррелированными, ошибки на ж в целом коррелированы; другими словами, даже если ${\displaystyle {\boldsymbol {\Sigma }}^{x}}$ - диагональная матрица, ${\displaystyle {\boldsymbol {\Sigma }}^{f}}$ это вообще полная матрица.

Общие выражения для скалярной функции ж немного проще (здесь а вектор-строка):

${\displaystyle f=\sum _{i}^{n}a_{i}x_{i}=\mathbf {ax} ,}$

${\displaystyle \sigma _{f}^{2}=\sum _{i}^{n}\sum _{j}^{n}a_{i}\Sigma _{ij}^{x}a_{j}=\mathbf {a} {\boldsymbol {\Sigma }}^{x}\mathbf {a} ^{\mathrm {T} }.}$

Каждый член ковариации ${\displaystyle \sigma _{ij}}$ можно выразить через коэффициент корреляции ${\displaystyle \rho _{ij}}$ к ${\displaystyle \sigma _{ij}=\rho _{ij}\sigma _{i}\sigma _{j}}$, так что альтернативное выражение для дисперсии ж является

${\displaystyle \sigma _{f}^{2}=\sum _{i}^{n}a_{i}^{2}\sigma _{i}^{2}+\sum _{i}^{n}\sum _{j(j\neq i)}^{n}a_{i}a_{j}\rho _{ij}\sigma _{i}\sigma _{j}.}$

В случае, если переменные в Икс некоррелированы, это упрощает дальнейшее

${\displaystyle \sigma _{f}^{2}=\sum _{i}^{n}a_{i}^{2}\sigma _{i}^{2}.}$

В простейшем случае одинаковых коэффициентов и дисперсий находим

${\displaystyle \sigma _{f}={\sqrt {n}}\,|a|\sigma .}$

Нелинейные комбинации

Смотрите также: Разложения Тейлора для моментов функций случайных величин

Когда ж представляет собой набор нелинейных комбинаций переменных Икс, интервальное распространение может выполняться для вычисления интервалов, содержащих все согласованные значения переменных. В вероятностном подходе функция ж обычно необходимо линеаризовать приближением к первому порядку Серия Тейлор разложения, хотя в некоторых случаях могут быть получены точные формулы, которые не зависят от разложения, как в случае точной дисперсии продуктов.^[2] Расширение Тейлора будет:

${\displaystyle f_{k}\approx f_{k}^{0}+\sum _{i}^{n}{\frac {\partial f_{k}}{\partial {x_{i}}}}x_{i}}$

куда ${\displaystyle \partial f_{k}/\partial x_{i}}$ обозначает частная производная из ж_k с уважением к я-я переменная, вычисляемая по среднему значению всех компонентов вектора Икс. Или в матричная запись,

${\displaystyle \mathrm {f} \approx \mathrm {f} ^{0}+\mathrm {J} \mathrm {x} \,}$

где J - Матрица якобиана. Поскольку f⁰ является константой, она не вносит вклад в ошибку f. Следовательно, распространение ошибки следует линейному случаю, описанному выше, но с заменой линейных коэффициентов, А_ки и А_кДж частными производными, ${\displaystyle {\frac {\partial f_{k}}{\partial x_{i}}}}$ и ${\displaystyle {\frac {\partial f_{k}}{\partial x_{j}}}}$. В матричных обозначениях^[3]

${\displaystyle \mathrm {\Sigma } ^{\mathrm {f} }=\mathrm {J} \mathrm {\Sigma } ^{\mathrm {x} }\mathrm {J} ^{\top }.}$

То есть, якобиан функции используется для преобразования строк и столбцов ковариационно-дисперсионной матрицы аргумента. Обратите внимание, что это эквивалентно матричному выражению для линейного случая с ${\displaystyle \mathrm {J=A} }$.

Упрощение

Пренебрежение корреляциями или допущение независимых переменных приводит к общей формуле для инженеров и ученых-экспериментаторов для расчета распространения ошибок, формуле дисперсии:^[4]

${\displaystyle s_{f}={\sqrt {\left({\frac {\partial f}{\partial x}}\right)^{2}s_{x}^{2}+\left({\frac {\partial f}{\partial y}}\right)^{2}s_{y}^{2}+\left({\frac {\partial f}{\partial z}}\right)^{2}s_{z}^{2}+\cdots }}}$

куда ${\displaystyle s_{f}}$ представляет собой стандартное отклонение функции ${\displaystyle f}$, ${\displaystyle s_{x}}$ представляет собой стандартное отклонение ${\displaystyle x}$, ${\displaystyle s_{y}}$ представляет собой стандартное отклонение ${\displaystyle y}$, и так далее.

Важно отметить, что эта формула основана на линейных характеристиках градиента ${\displaystyle f}$ и поэтому это хорошая оценка стандартного отклонения ${\displaystyle f}$ так долго как ${\displaystyle s_{x},s_{y},s_{z},\ldots }$ достаточно малы. В частности, линейная аппроксимация ${\displaystyle f}$ должно быть близко к ${\displaystyle f}$ внутри окрестности радиуса ${\displaystyle s_{x},s_{y},s_{z},\ldots }$.^[5]

Пример

Любая нелинейная дифференцируемая функция, ${\displaystyle f(a,b)}$, двух переменных, ${\displaystyle a}$ и ${\displaystyle b}$, может быть расширен как

${\displaystyle f\approx f^{0}+{\frac {\partial f}{\partial a}}a+{\frac {\partial f}{\partial b}}b}$

следовательно:

${\displaystyle \sigma _{f}^{2}\approx \left|{\frac {\partial f}{\partial a}}\right|^{2}\sigma _{a}^{2}+\left|{\frac {\partial f}{\partial b}}\right|^{2}\sigma _{b}^{2}+2{\frac {\partial f}{\partial a}}{\frac {\partial f}{\partial b}}\sigma _{ab}}$

куда ${\displaystyle \sigma _{f}}$ стандартное отклонение функции ${\displaystyle f}$, ${\displaystyle \sigma _{a}}$ стандартное отклонение ${\displaystyle a}$, ${\displaystyle \sigma _{b}}$ стандартное отклонение ${\displaystyle b}$ и ${\displaystyle \sigma _{ab}=\sigma _{a}\sigma _{b}\rho _{ab}}$ ковариация между ${\displaystyle a}$ и ${\displaystyle b}$.

В частном случае, когда ${\displaystyle f=ab}$, ${\displaystyle {\frac {\partial f}{\partial a}}=b,{\frac {\partial f}{\partial b}}=a}$. потом

${\displaystyle \sigma _{f}^{2}\approx b^{2}\sigma _{a}^{2}+a^{2}\sigma _{b}^{2}+2ab\,\sigma _{ab}}$

или же

${\displaystyle \left({\frac {\sigma _{f}}{f}}\right)^{2}\approx \left({\frac {\sigma _{a}}{a}}\right)^{2}+\left({\frac {\sigma _{b}}{b}}\right)^{2}+2\left({\frac {\sigma _{a}}{a}}\right)\left({\frac {\sigma _{b}}{b}}\right)\rho _{ab}}$

куда ${\displaystyle \rho _{ab}}$ корреляция между ${\displaystyle a}$ и ${\displaystyle b}$.

Когда переменные ${\displaystyle a}$ и ${\displaystyle b}$ некоррелированы, ${\displaystyle \rho _{ab}=0}$. потом

${\displaystyle \left({\frac {\sigma _{f}}{f}}\right)^{2}\approx \left({\frac {\sigma _{a}}{a}}\right)^{2}+\left({\frac {\sigma _{b}}{b}}\right)^{2}.}$

Предостережения и предупреждения

Оценки ошибок для нелинейных функций: пристрастный за счет использования расширения усеченного ряда. Степень этого смещения зависит от характера функции. Например, смещение ошибки, вычисленное для log (1+Икс) увеличивается как Икс увеличивается, так как расширение до Икс хорошее приближение только тогда, когда Икс близок к нулю.

Для сильно нелинейных функций существует пять категорий вероятностных подходов для распространения неопределенности;^[6] видеть Количественная оценка неопределенности # Методики прямого распространения неопределенности для подробностей.

Взаимный и сдвинутый взаимный

Основная статья: Взаимное нормальное распределение

В частном случае обратного или обратного ${\displaystyle 1/B}$, куда ${\displaystyle B=N(0,1)}$ следует за стандартное нормальное распределение, результирующее распределение является обратным стандартным нормальным распределением, и нет определяемой дисперсии.^[7]

Однако в несколько более общем случае сдвинутой обратной функции ${\displaystyle 1/(p-B)}$ за ${\displaystyle B=N(\mu ,\sigma )}$ следуя общему нормальному распределению, статистика среднего и дисперсии действительно существует в основная стоимость смысл, если разница между полюсом ${\displaystyle p}$ и среднее ${\displaystyle \mu }$ имеет реальную ценность.^[8]

Соотношения

Основная статья: Распределение нормального соотношения

Соотношения также проблематичны; нормальные приближения существуют при определенных условиях.

Примеры формул

В этой таблице показаны дисперсии и стандартные отклонения простых функций действительных переменных. ${\displaystyle A,B\!}$, со стандартными отклонениями ${\displaystyle \sigma _{A},\sigma _{B},\,}$ ковариация ${\displaystyle \sigma _{AB}}$ и точно известные (детерминированные) действительные константы ${\displaystyle a,b\,}$ (т.е. ${\displaystyle \sigma _{a}=\sigma _{b}=0}$). В столбцах «Дисперсия» и «Стандартное отклонение» ${\displaystyle A,B\!}$ следует понимать как ожидаемые значения (то есть значения, вокруг которых мы оцениваем неопределенность), и ${\displaystyle f}$ следует понимать значение функции, вычисленное при математическом ожидании ${\displaystyle A,B\!}$.

Функция	Дисперсия	Стандартное отклонение
${\displaystyle f=aA\,}$	${\displaystyle \sigma _{f}^{2}=a^{2}\sigma _{A}^{2}}$	${\displaystyle \sigma _{f}=|a|\sigma _{A}}$
${\displaystyle f=aA+bB\,}$	${\displaystyle \sigma _{f}^{2}=a^{2}\sigma _{A}^{2}+b^{2}\sigma _{B}^{2}+2ab\,\sigma _{AB}}$	${\displaystyle \sigma _{f}={\sqrt {a^{2}\sigma _{A}^{2}+b^{2}\sigma _{B}^{2}+2ab\,\sigma _{AB}}}}$
${\displaystyle f=aA-bB\,}$	${\displaystyle \sigma _{f}^{2}=a^{2}\sigma _{A}^{2}+b^{2}\sigma _{B}^{2}-2ab\,\sigma _{AB}}$	${\displaystyle \sigma _{f}={\sqrt {a^{2}\sigma _{A}^{2}+b^{2}\sigma _{B}^{2}-2ab\,\sigma _{AB}}}}$
${\displaystyle f=AB\,}$	${\displaystyle \sigma _{f}^{2}\approx f^{2}\left[\left({\frac {\sigma _{A}}{A}}\right)^{2}+\left({\frac {\sigma _{B}}{B}}\right)^{2}+2{\frac {\sigma _{AB}}{AB}}\right]}$[9][10]	${\displaystyle \sigma _{f}\approx \left|f\right|{\sqrt {\left({\frac {\sigma _{A}}{A}}\right)^{2}+\left({\frac {\sigma _{B}}{B}}\right)^{2}+2{\frac {\sigma _{AB}}{AB}}}}}$
${\displaystyle f={\frac {A}{B}}\,}$	${\displaystyle \sigma _{f}^{2}\approx f^{2}\left[\left({\frac {\sigma _{A}}{A}}\right)^{2}+\left({\frac {\sigma _{B}}{B}}\right)^{2}-2{\frac {\sigma _{AB}}{AB}}\right]}$[11]	${\displaystyle \sigma _{f}\approx \left|f\right|{\sqrt {\left({\frac {\sigma _{A}}{A}}\right)^{2}+\left({\frac {\sigma _{B}}{B}}\right)^{2}-2{\frac {\sigma _{AB}}{AB}}}}}$
${\displaystyle f=aA^{b}\,}$	${\displaystyle \sigma _{f}^{2}\approx \left({a}{b}{A}^{b-1}{\sigma _{A}}\right)^{2}=\left({\frac {{f}{b}{\sigma _{A}}}{A}}\right)^{2}}$	${\displaystyle \sigma _{f}\approx \left|{a}{b}{A}^{b-1}{\sigma _{A}}\right|=\left|{\frac {{f}{b}{\sigma _{A}}}{A}}\right|}$
${\displaystyle f=a\ln(bA)\,}$	${\displaystyle \sigma _{f}^{2}\approx \left(a{\frac {\sigma _{A}}{A}}\right)^{2}}$[12]	${\displaystyle \sigma _{f}\approx \left|a{\frac {\sigma _{A}}{A}}\right|}$
${\displaystyle f=a\log _{10}(bA)\,}$	${\displaystyle \sigma _{f}^{2}\approx \left(a{\frac {\sigma _{A}}{A\ln(10)}}\right)^{2}}$[12]	${\displaystyle \sigma _{f}\approx \left|a{\frac {\sigma _{A}}{A\ln(10)}}\right|}$
${\displaystyle f=ae^{bA}\,}$	${\displaystyle \sigma _{f}^{2}\approx f^{2}\left(b\sigma _{A}\right)^{2}}$[13]	${\displaystyle \sigma _{f}\approx \left|f\right|\left|\left(b\sigma _{A}\right)\right|}$
${\displaystyle f=a^{bA}\,}$	${\displaystyle \sigma _{f}^{2}\approx f^{2}(b\ln(a)\sigma _{A})^{2}}$	${\displaystyle \sigma _{f}\approx \left|f\right|\left|(b\ln(a)\sigma _{A})\right|}$
${\displaystyle f=a\sin(bA)\,}$	${\displaystyle \sigma _{f}^{2}\approx \left[ab\cos(bA)\sigma _{A}\right]^{2}}$	${\displaystyle \sigma _{f}\approx \left|ab\cos(bA)\sigma _{A}\right|}$
${\displaystyle f=a\cos \left(bA\right)\,}$	${\displaystyle \sigma _{f}^{2}\approx \left[ab\sin(bA)\sigma _{A}\right]^{2}}$	${\displaystyle \sigma _{f}\approx \left|ab\sin(bA)\sigma _{A}\right|}$
${\displaystyle f=a\tan \left(bA\right)\,}$	${\displaystyle \sigma _{f}^{2}\approx \left[ab\sec ^{2}(bA)\sigma _{A}\right]^{2}}$	${\displaystyle \sigma _{f}\approx \left|ab\sec ^{2}(bA)\sigma _{A}\right|}$
${\displaystyle f=A^{B}\,}$	${\displaystyle \sigma _{f}^{2}\approx f^{2}\left[\left({\frac {B}{A}}\sigma _{A}\right)^{2}+\left(\ln(A)\sigma _{B}\right)^{2}+2{\frac {B\ln(A)}{A}}\sigma _{AB}\right]}$	${\displaystyle \sigma _{f}\approx \left|f\right|{\sqrt {\left({\frac {B}{A}}\sigma _{A}\right)^{2}+\left(\ln(A)\sigma _{B}\right)^{2}+2{\frac {B\ln(A)}{A}}\sigma _{AB}}}}$
${\displaystyle f={\sqrt {aA^{2}\pm bB^{2}}}\,}$	${\displaystyle \sigma _{f}^{2}\approx \left({\frac {A}{f}}\right)^{2}a^{2}\sigma _{A}^{2}+\left({\frac {B}{f}}\right)^{2}b^{2}\sigma _{B}^{2}\pm 2ab{\frac {AB}{f^{2}}}\,\sigma _{AB}}$	${\displaystyle \sigma _{f}\approx {\sqrt {\left({\frac {A}{f}}\right)^{2}a^{2}\sigma _{A}^{2}+\left({\frac {B}{f}}\right)^{2}b^{2}\sigma _{B}^{2}\pm 2ab{\frac {AB}{f^{2}}}\,\sigma _{AB}}}}$

Для некоррелированных переменных (${\displaystyle \rho _{AB}=0}$) члены ковариации также равны нулю, так как ${\displaystyle \sigma _{AB}=\rho _{AB}\sigma _{A}\sigma _{B}\,}$.

В этом случае выражения для более сложных функций могут быть получены путем объединения более простых функций. Например, повторное умножение при отсутствии корреляции дает

${\displaystyle f=ABC;\qquad \left({\frac {\sigma _{f}}{f}}\right)^{2}\approx \left({\frac {\sigma _{A}}{A}}\right)^{2}+\left({\frac {\sigma _{B}}{B}}\right)^{2}+\left({\frac {\sigma _{C}}{C}}\right)^{2}.}$

По делу ${\displaystyle f=AB}$ у нас также есть выражение Гудмана^[2] для точной дисперсии: для некоррелированного случая это

${\displaystyle V(XY)=E(X)^{2}V(Y)+E(Y)^{2}V(X)+E((X-E(X))^{2}(Y-E(Y))^{2})}$

и поэтому имеем:

${\displaystyle \sigma _{f}^{2}=A^{2}\sigma _{B}^{2}+B^{2}\sigma _{A}^{2}+\sigma _{A}^{2}\sigma _{B}^{2}}$

Примеры расчетов

Функция обратной тангенса

Мы можем рассчитать распространение неопределенности для функции обратной касательной в качестве примера использования частных производных для распространения ошибки.

Определять

${\displaystyle f(x)=\arctan(x),}$

куда ${\displaystyle \Delta _{x}}$ абсолютная неопределенность нашего измерения Икс. Производная от ж(Икс) относительно Икс является

${\displaystyle {\frac {df}{dx}}={\frac {1}{1+x^{2}}}.}$

Следовательно, наша распространенная неопределенность равна

${\displaystyle \Delta _{f}\approx {\frac {\Delta _{x}}{1+x^{2}}},}$

куда ${\displaystyle \Delta _{f}}$ - распространенная абсолютная неопределенность.

Измерение сопротивления

Практическое применение - это эксперимент в котором измеряется Текущий, я, и Напряжение, V, на резистор чтобы определить сопротивление, р, с помощью Закон Ома, р = V / я.

Учитывая измеренные переменные с погрешностями, я ± σ_я и V ± σ_V, и пренебрегая их возможной корреляцией, неопределенность в вычисленной величине, σ_р, является:

${\displaystyle \sigma _{R}\approx {\sqrt {\sigma _{V}^{2}\left({\frac {1}{I}}\right)^{2}+\sigma _{I}^{2}\left({\frac {-V}{I^{2}}}\right)^{2}}}=R{\sqrt {\left({\frac {\sigma _{V}}{V}}\right)^{2}+\left({\frac {\sigma _{I}}{I}}\right)^{2}}}.}$

Смотрите также

• Тщательность и точность
• Автоматическая дифференциация
• Дельта-метод
• Ошибки и неточности в статистике
• Анализ экспериментальной неопределенности
• Интервальный конечный элемент
• Погрешность измерения
• Анализ вероятностных границ
• Значимость арифметики
• Количественная оценка неопределенности
• Случайно-нечеткая переменная

Рекомендации

1. Киршнер, Джеймс. «Инструментарий анализа данных № 5: Анализ неопределенности и распространение ошибок» (PDF). Лаборатория сейсмологии Беркли. Калифорнийский университет. Получено 22 апреля 2016.
2. Гудман, Лео (1960). «О точной дисперсии товаров». Журнал Американской статистической ассоциации. 55 (292): 708–713. Дои:10.2307/2281592. JSTOR  2281592.
3. Очоа1, Бенджамин; Белонги, Серж «Распространение ковариации для управляемого сопоставления» В архиве 2011-07-20 на Wayback Machine
4. Ку, Х. Х. (октябрь 1966 г.). «Замечания по использованию формул распространения ошибок». Журнал исследований Национального бюро стандартов. 70C (4): 262. Дои:10.6028 / jres.070c.025. ISSN  0022-4316. Получено 3 октября 2012.
5. Клиффорд, А. А. (1973). Многомерный анализ ошибок: руководство по распространению ошибок и расчетам в многопараметрических системах. Джон Вили и сыновья. ISBN  978-0470160558.^{[страница нужна ]}
6. Lee, S. H .; Чен, В. (2009). «Сравнительное исследование методов распространения неопределенности для задач типа черного ящика». Структурная и междисциплинарная оптимизация. 37 (3): 239–253. Дои:10.1007 / s00158-008-0234-7. S2CID  119988015.
7. Джонсон, Норман Л .; Коц, Самуэль; Балакришнан, Нараянасвами (1994). Непрерывные одномерные распределения, Том 1. Вайли. п. 171. ISBN  0-471-58495-9.
8. Леконт, Кристоф (май 2013 г.). «Точная статистика систем с неопределенностями: аналитическая теория стохастических динамических систем первого ранга». Журнал звука и вибраций. 332 (11): 2750–2776. Дои:10.1016 / j.jsv.2012.12.009.
9. «Сводка распространения ошибок» (PDF). п. 2. Архивировано из оригинал (PDF) на 2016-12-13. Получено 2016-04-04.
10. «Распространение неопределенности с помощью математических операций» (PDF). п. 5. Получено 2016-04-04.
11. «Стратегии оценки дисперсии» (PDF). п. 37. Получено 2013-01-18.
12. Харрис, Дэниел С. (2003), Количественный химический анализ (6-е изд.), Macmillan, p. 56, ISBN  978-0-7167-4464-1
13. "Учебник по распространению ошибок" (PDF). Футхилл Колледж. 9 октября 2009 г.. Получено 2012-03-01.

дальнейшее чтение

• Бевингтон, Филип Р .; Робинсон, Д. Кейт (2002), Обработка данных и анализ ошибок для физических наук (3-е изд.), McGraw-Hill, ISBN  978-0-07-119926-1
• Форнасини, Паоло (2008), Неопределенность физических измерений: введение в анализ данных в физической лаборатории, Springer, стр. 161, ISBN  978-0-387-78649-0
• Мейер, Стюарт Л. (1975), Анализ данных для ученых и инженеров, Wiley, ISBN  978-0-471-59995-1
• Перальта, М. (2012), Распространение ошибок: как математически предсказать ошибки измерения, CreateSpace
• Руо, М. (2013), Вероятность, статистика и оценка: распространение неопределенностей в экспериментальных измерениях (PDF) (короткое изд.)
• Тейлор, Дж. Р. (1997), Введение в анализ ошибок: исследование неопределенностей в физических измерениях (2-е изд.), University Science Books
• Ван, К. М.; Айер, Хари К. (2005-09-07). «О поправках высшего порядка для распространения неопределенностей». Метрология. 42 (5): 406–410. Дои:10.1088/0026-1394/42/5/011. ISSN  0026-1394.

внешняя ссылка

• Подробное обсуждение измерений и распространения неопределенности объяснение преимуществ использования формул распространения ошибок и моделирования Монте-Карло вместо простых арифметика значений
• КАМЕДЬ, Руководство по выражению неопределенности в измерениях
• EPFL Введение в распространение ошибок, Вывод, значение и примеры Cy = Fx Cx Fx '
• пакет неопределенностей, программа / библиотека для прозрачного выполнения расчетов с неопределенностями (и корреляциями ошибок).
• пакет soerp, программа / библиотека на Python для прозрачного выполнения вычислений * второго порядка * с неопределенностями (и корреляциями ошибок).
• Объединенный комитет руководств по метрологии (2011 г.). JCGM 102: Оценка данных измерений - Дополнение 2 к «Руководству по выражению неопределенности в измерениях» - Расширение на любое количество выходных величин (PDF) (Технический отчет). JCGM. Получено 13 февраля 2013.
• Калькулятор неопределенности Распространение неопределенности для любого выражения