Ковариация и корреляция - Covariance and correlation

Для более широкого освещения этой темы см. Ковариация и Корреляция.

В теория вероятности и статистика, математические концепции ковариация и корреляция очень похожи.^[1][2] Оба описывают степень, в которой два случайные переменные или же наборы случайных величин склонны отклоняться от своих ожидаемые значения аналогичным образом.

Если Икс и Y две случайные величины, причем средства (ожидаемые значения) μ_Икс и μ_Y и стандартные отклонения σ_Икс и σ_Yсоответственно, то их ковариация и корреляция следующие:

ковариация	${\displaystyle {\text{cov}}_{XY}=\sigma _{XY}=E[(X-\mu _{X})\,(Y-\mu _{Y})]}$
корреляция	${\displaystyle {\text{corr}}_{XY}=\rho _{XY}=E[(X-\mu _{X})\,(Y-\mu _{Y})]/(\sigma _{X}\sigma _{Y})}$,

так что

${\displaystyle \rho _{XY}=\sigma _{XY}/(\sigma _{X}\sigma _{Y})}$

куда E - оператор ожидаемого значения. Примечательно, что корреляция безразмерный в то время как ковариация выражается в единицах, полученных путем умножения единиц двух переменных.

Если Y всегда принимает те же значения, что и Икс, у нас есть ковариация переменной с самой собой (т.е. ${\displaystyle \sigma _{XX}}$), который называется отклонение и чаще обозначается как ${\displaystyle \sigma _{X}^{2},}$ площадь стандартное отклонение. В корреляция переменной с самой собой всегда равно 1 (кроме вырожденный случай где две дисперсии равны нулю, потому что Икс всегда принимает одно и то же единственное значение, и в этом случае корреляция не существует, так как ее вычисление будет включать деление на 0 ). В более общем смысле, корреляция между двумя переменными равна 1 (или –1), если одна из них всегда принимает значение, которое точно задается линейная функция другого с соответственно положительным (или отрицательным) склон.

Хотя значения теоретических ковариаций и корреляций связаны указанным выше образом, распределения вероятностей выборочные оценки эти количества никак не связаны между собой, и их обычно нужно рассматривать отдельно.

Несколько случайных величин

При любом количестве случайных величин, превышающем 1, переменные могут быть объединены в случайный вектор чей я ^th элемент - это я ^th случайная переменная. Тогда дисперсии и ковариации можно поместить в ковариационная матрица, в которой (я, j) элемент является ковариацией между я ^th случайная величина и j ^th один. Точно так же корреляции могут быть помещены в корреляционная матрица.

Анализ временных рядов

В случае Временные ряды который стационарный в широком смысле и средние, и дисперсии постоянны во времени (E (Икс_{п + м}) = E (Икс_п) = μ_Икс и var (Икс_{п + м}) = var (Икс_п) и аналогично для переменной Y). В этом случае кросс-ковариация и взаимная корреляция являются функциями разницы во времени:

кросс-ковариация	${\displaystyle \sigma _{XY}(m)=E[(X_{n}-\mu _{X})\,(Y_{n+m}-\mu _{Y})],}$
взаимная корреляция	${\displaystyle \rho _{XY}(m)=E[(X_{n}-\mu _{X})\,(Y_{n+m}-\mu _{Y})]/(\sigma _{X}\sigma _{Y}).}$

Если Y та же переменная, что и Икс, приведенные выше выражения называются автоковариация и автокорреляция:

автоковариация	${\displaystyle \sigma _{XX}(m)=E[(X_{n}-\mu _{X})\,(X_{n+m}-\mu _{X})],}$
автокорреляция	${\displaystyle \rho _{XX}(m)=E[(X_{n}-\mu _{X})\,(X_{n+m}-\mu _{X})]/(\sigma _{X}^{2}).}$

Рекомендации

1. Вайсштейн, Эрик В. "Ковариация". MathWorld.
2. Вайсштейн, Эрик В. «Статистическая корреляция». MathWorld.