Кросс-ковариация - Cross-covariance

Смотрите также: Взаимная корреляция

В вероятность и статистика, учитывая два случайные процессы ${\displaystyle \left\{X_{t}\right\}}$ и ${\displaystyle \left\{Y_{t}\right\}}$, то кросс-ковариация это функция, которая дает ковариация одного процесса с другим в пары моментов времени. С обычными обозначениями ${\displaystyle \operatorname {E} }$; для ожидание оператор, если процессы имеют иметь в виду функции ${\displaystyle \mu _{X}(t)=\operatorname {\operatorname {E} } [X_{t}]}$ и ${\displaystyle \mu _{Y}(t)=\operatorname {E} [Y_{t}]}$, то кросс-ковариация определяется выражением

${\displaystyle \operatorname {K} _{XY}(t_{1},t_{2})=\operatorname {cov} (X_{t_{1}},Y_{t_{2}})=\operatorname {E} [(X_{t_{1}}-\mu _{X}(t_{1}))(Y_{t_{2}}-\mu _{Y}(t_{2}))]=\operatorname {E} [X_{t_{1}}Y_{t_{2}}]-\mu _{X}(t_{1})\mu _{Y}(t_{2}).\,}$

Кросс-ковариация связана с наиболее часто используемыми взаимная корреляция рассматриваемых процессов.

В случае двух случайных векторов ${\displaystyle \mathbf {X} =(X_{1},X_{2},\ldots ,X_{p})^{\rm {T}}}$ и ${\displaystyle \mathbf {Y} =(Y_{1},Y_{2},\ldots ,Y_{q})^{\rm {T}}}$, кросс-ковариация будет ${\displaystyle p\times q}$ матрица ${\displaystyle \operatorname {K} _{XY}}$ (часто обозначается ${\displaystyle \operatorname {cov} (X,Y)}$) с записями ${\displaystyle \operatorname {K} _{XY}(j,k)=\operatorname {cov} (X_{j},Y_{k}).\,}$ Таким образом, термин кросс-ковариация используется для того, чтобы отличить это понятие от ковариации случайного вектора ${\displaystyle \mathbf {X} }$, что понимается как матрица ковариаций между скалярными компонентами ${\displaystyle \mathbf {X} }$ сам.

В обработка сигналов, кросс-ковариацию часто называют взаимная корреляция и является мера сходства из двух сигналы, обычно используется для поиска функций в неизвестном сигнале путем сравнения его с известным. Это функция относительного время между сигналами, иногда называют скольжение скалярное произведение, и имеет приложения в распознавание образов и криптоанализ.

Кросс-ковариация случайных векторов

Основная статья: Матрица кросс-ковариации

Кросс-ковариантность случайных процессов

Определение кросс-ковариации случайного вектора можно обобщить на случайные процессы следующее:

Определение

Позволять ${\displaystyle \{X(t)\}}$ и ${\displaystyle \{Y(t)\}}$ обозначают случайные процессы. Тогда кросс-ковариационная функция процессов ${\displaystyle K_{XY}}$ определяется:^{[1]:стр.172}

${\displaystyle \operatorname {K} _{XY}(t_{1},t_{2}){\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ \operatorname {cov} (X_{t_{1}},Y_{t_{2}})=\operatorname {E} \left[\left(X(t_{1})-\mu _{X}(t_{1})\right)\left(Y(t_{2})-\mu _{Y}(t_{2})\right)\right]}$

(Уравнение 2)

куда ${\displaystyle \mu _{X}(t)=\operatorname {E} \left[X(t)\right]}$ и ${\displaystyle \mu _{Y}(t)=\operatorname {E} \left[Y(t)\right]}$.

Если процессы являются сложными случайными процессами, второй фактор должен быть комплексно сопряженным.

${\displaystyle \operatorname {K} _{XY}(t_{1},t_{2}){\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ \operatorname {cov} (X_{t_{1}},Y_{t_{2}})=\operatorname {E} \left[\left(X(t_{1})-\mu _{X}(t_{1})\right){\overline {\left(Y(t_{2})-\mu _{Y}(t_{2})\right)}}\right]}$

Определение совместных процессов WSS

Если ${\displaystyle \left\{X_{t}\right\}}$ и ${\displaystyle \left\{Y_{t}\right\}}$ площадь совместно в широком смысле стационарный, то верно следующее:

${\displaystyle \mu _{X}(t_{1})=\mu _{X}(t_{2})\triangleq \mu _{X}}$ для всех ${\displaystyle t_{1},t_{2}}$,

${\displaystyle \mu _{Y}(t_{1})=\mu _{Y}(t_{2})\triangleq \mu _{Y}}$ для всех ${\displaystyle t_{1},t_{2}}$

и

${\displaystyle \operatorname {K} _{XY}(t_{1},t_{2})=\operatorname {K} _{XY}(t_{2}-t_{1},0)}$ для всех ${\displaystyle t_{1},t_{2}}$

Установив ${\displaystyle \tau =t_{2}-t_{1}}$ (временная задержка или количество времени, на которое сигнал был сдвинут), мы можем определить

${\displaystyle \operatorname {K} _{XY}(\tau )=\operatorname {K} _{XY}(t_{2}-t_{1})\triangleq \operatorname {K} _{XY}(t_{1},t_{2})}$.

Таким образом, кросс-ковариационная функция двух совместных процессов WSS определяется следующим образом:

${\displaystyle \operatorname {K} _{XY}(\tau )=\operatorname {cov} (X_{t},Y_{t-\tau })=\operatorname {E} [(X_{t}-\mu _{X})(Y_{t-\tau }-\mu _{Y})]=\operatorname {E} [X_{t}Y_{t-\tau }]-\mu _{X}\mu _{Y}}$

(Уравнение 3)

что эквивалентно

${\displaystyle \operatorname {K} _{XY}(\tau )=\operatorname {cov} (X_{t+\tau },Y_{t})=\operatorname {E} [(X_{t+\tau }-\mu _{X})(Y_{t}-\mu _{Y})]=\operatorname {E} [X_{t+\tau }Y_{t}]-\mu _{X}\mu _{Y}}$.

Некоррелированность

Два случайных процесса ${\displaystyle \left\{X_{t}\right\}}$ и ${\displaystyle \left\{Y_{t}\right\}}$ называются некоррелированный если их ковариация ${\displaystyle \operatorname {K} _{\mathbf {X} \mathbf {Y} }(t_{1},t_{2})}$ всегда равен нулю.^{[1]:стр.142} Формально:

${\displaystyle \left\{X_{t}\right\},\left\{Y_{t}\right\}{\text{ uncorrelated}}\quad \iff \quad \operatorname {K} _{\mathbf {X} \mathbf {Y} }(t_{1},t_{2})=0\quad \forall t_{1},t_{2}}$.

Кросс-ковариация детерминированных сигналов

Кросс-ковариация также актуальна в обработка сигналов где кросс-ковариация между двумя стационарный в широком смысле случайные процессы можно оценить путем усреднения произведения образцов, измеренных в одном процессе, и образцов, измеренных в другом (и его временных сдвигов). Выборки, включенные в среднее значение, могут быть произвольным подмножеством всех выборок в сигнале (например, выборки в пределах конечного временного окна или подвыборка одного из сигналов). Для большого количества выборок среднее сходится к истинной ковариации.

Кросс-ковариация может также относиться к «детерминированная» кросс-ковариация между двумя сигналами. Это состоит из суммирования все индексы времени. Например, для сигналов с дискретным временем ${\displaystyle f[k]}$ и ${\displaystyle g[k]}$ кросс-ковариация определяется как

${\displaystyle (f\star g)[n]\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ \sum _{k\in \mathbb {Z} }{\overline {f[k]}}g[n+k]=\sum _{k\in \mathbb {Z} }{\overline {f[k-n]}}g[k]}$

где линия указывает, что комплексно сопряженный берется, когда сигналы комплексный.

Для непрерывных функций ${\displaystyle f(x)}$ и ${\displaystyle g(x)}$ (детерминированная) кросс-ковариация определяется как

${\displaystyle (f\star g)(x)\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ \int {\overline {f(t)}}g(x+t)\,dt=\int {\overline {f(t-x)}}g(t)\,dt}$.

Характеристики

(Детерминированная) кросс-ковариация двух непрерывных сигналов связана с свертка к

${\displaystyle (f\star g)(t)=({\overline {f(-\tau )}}*g(\tau ))(t)}$

и (детерминированная) кросс-ковариация двух сигналов дискретного времени связана с дискретная свертка к

${\displaystyle (f\star g)[n]=({\overline {f[-k]}}*g[k])[n]}$.

Смотрите также

• Автоковариация
• Автокорреляция
• Корреляция
• Свертка
• Взаимная корреляция

Рекомендации

1. Кун Иль Парк, Основы вероятностных и случайных процессов с приложениями к коммуникациям, Springer, 2018, 978-3-319-68074-3

внешняя ссылка

• Взаимная корреляция из Mathworld
• http://scribblethink.org/Work/nvisionInterface/nip.html
• http://www.phys.ufl.edu/LIGO/stochastic/sign05.pdf
• http://www.staff.ncl.ac.uk/oliver.hinton/eee305/Chapter6.pdf