Часть серии по Статистика |
Корреляция и ковариация |
---|
![CorrelationIcon.svg](//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/6/6a/CorrelationIcon.svg/100px-CorrelationIcon.svg.png) |
Корреляция и ковариация случайных векторов |
Корреляция и ковариация случайных процессов |
Корреляция и ковариация детерминированных сигналов - Автоковариационная функция
- Кросс-ковариационная функция
|
|
В теория вероятности и статистика, учитывая случайный процесс, то автоковариация это функция, которая дает ковариация процесса с самим собой в пары временных точек. Автоковариация тесно связана с автокорреляция рассматриваемого процесса.
Автоковариантность случайных процессов
Определение
С обычными обозначениями
для ожидание оператор, если случайный процесс
имеет иметь в виду функция
, то автоковариация определяется выражением[1]:п. 162
![{ displaystyle operatorname {K} _ {XX} (t_ {1}, t_ {2}) = operatorname {cov} left [X_ {t_ {1}}, X_ {t_ {2}} right] = operatorname {E} [(X_ {t_ {1}} - mu _ {t_ {1}}) (X_ {t_ {2}} - mu _ {t_ {2}})] = operatorname { E} [X_ {t_ {1}} X_ {t_ {2}}] - mu _ {t_ {1}} mu _ {t_ {2}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/92c3c2da09a072e13e513b1bbe6933e25cde5645) | | (Уравнение 2) |
куда
и
два момента во времени.
Определение слабо стационарного процесса
Если
это слабо стационарный (WSS) процесс, то верно следующее:[1]:п. 163
для всех ![т_ {1}, т_ {2}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7e76daf1a59dca26c96dbca2863a1c236b15b5a1)
и
для всех ![т](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/65658b7b223af9e1acc877d848888ecdb4466560)
и
![{ displaystyle operatorname {K} _ {XX} (t_ {1}, t_ {2}) = operatorname {K} _ {XX} (t_ {2} -t_ {1}, 0) треугольникq operatorname {K} _ {XX} (t_ {2} -t_ {1}) = operatorname {K} _ {XX} ( tau),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/70c338953af0513dfc62451b0d42f734a2f45601)
куда
- время задержки или время, на которое сигнал был сдвинут.
Таким образом, функция автоковариации процесса WSS определяется следующим образом:[2]:п. 517
![{ displaystyle operatorname {K} _ {XX} ( tau) = operatorname {E} [(X_ {t} - mu _ {t}) (X_ {t- tau} - mu _ {t - tau})] = operatorname {E} [X_ {t} X_ {t- tau}] - mu _ {t} mu _ {t- tau}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bebac457858097c963a0420549814469b9957a91) | | (Уравнение 3) |
что эквивалентно
.
Нормализация
Это обычная практика в некоторых дисциплинах (например, статистика и анализ временных рядов ), чтобы нормализовать функцию автоковариации, чтобы получить зависящую от времени Коэффициент корреляции Пирсона. Однако в других дисциплинах (например, инженерии) от нормализации обычно отказываются, и термины «автокорреляция» и «автоковариация» используются как взаимозаменяемые.
Определение нормализованной автокорреляции случайного процесса:
.
Если функция
четко определено, его значение должно лежать в диапазоне
, где 1 указывает на идеальную корреляцию, а -1 указывает на идеальную антикорреляция.
Для процесса WSS это определение
.
куда
.
Характеристики
Свойство симметрии
[3]:стр.169
соответственно для процесса WSS:
[3]:стр.173
Линейная фильтрация
Автоковариантность линейно фильтрованного процесса ![{ displaystyle left {Y_ {t} right }}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c0f6c45b3e23284b76bf9081ac85c1d518ea6fca)
![Y_ {t} = sum _ {{k = - infty}} ^ { infty} a_ {k} X _ {{t + k}} ,](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a7e6e48b511109956168c704db8951347c701f38)
является
![{ displaystyle K_ {YY} ( tau) = sum _ {k, l = - infty} ^ { infty} a_ {k} a_ {l} K_ {XX} ( tau + kl). , }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/93c848ab818d0847ee4b900b072df0edc317cf46)
Расчет турбулентной диффузии
Автоковариацию можно использовать для расчета бурный диффузность.[4] Турбулентность потока может вызвать колебания скорости в пространстве и времени. Таким образом, мы можем идентифицировать турбулентность по статистике этих колебаний.[нужна цитата ].
Разложение Рейнольдса используется для определения пульсаций скорости
(предположим, что сейчас мы работаем с одномерной задачей и
скорость по
направление):
![{ Displaystyle U (x, t) = langle U (x, t) rangle + u '(x, t),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9de01b0f0e0869a827821afd0e96b847a61e23ba)
куда
- истинная скорость, а
это ожидаемое значение скорости. Если мы выберем правильный
, все стохастические компоненты турбулентной скорости будут включены в
. Чтобы определить
, требуется набор измерений скорости, собранных из точек в пространстве, моментов времени или повторных экспериментов.
Если принять турбулентный поток
(
, и c - член концентрации) может быть вызвано случайным блужданием, мы можем использовать Законы диффузии Фика чтобы выразить член турбулентного потока:
![{ Displaystyle J _ {{ text {turbulence}} _ {x}} = langle u'c ' rangle приблизительно D_ {T_ {x}} { frac { partial langle c rangle} { partial Икс}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/70bab75600baf80bdbdbdce847b5b81a2f429ae0)
Автоковариация скорости определяется как
или же ![{ Displaystyle K_ {XX} Equiv langle u '(x_ {0}) u' (x_ {0} + r) rangle,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/182d51c712578161252f8e82a2b5714e0e9397ca)
куда
время задержки, и
это расстояние запаздывания.
Турбулентная диффузия
можно рассчитать с помощью следующих 3 методов:
- Если у нас есть данные о скорости вдоль Лагранжева траектория:
![{ displaystyle D_ {T_ {x}} = int _ { tau} ^ { infty} u '(t_ {0}) u' (t_ {0} + tau) , d tau.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/993e8a71ccbc9f0eb24b926315ef7a66d1d07d23)
- Если у нас есть данные о скорости на одном фиксированном (Эйлеров ) место расположения[нужна цитата ]:
![{ displaystyle D_ {T_ {x}} приблизительно [0,3 pm 0,1] left [{ frac { langle u'u ' rangle + langle u rangle ^ {2}} { langle u'u ' rangle}} right] int _ { tau} ^ { infty} u' (t_ {0}) u '(t_ {0} + tau) , d tau.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ec64e8eaa03768b3b941ad1e1a0ad878dd8384f7)
- Если у нас есть информация о скорости в двух фиксированных (эйлеровых) точках[нужна цитата ]:
![{ displaystyle D_ {T_ {x}} приблизительно [0,4 pm 0,1] left [{ frac {1} { langle u'u ' rangle}} right] int _ {r} ^ { infty} u '(x_ {0}) u' (x_ {0} + r) , dr,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c27ff93a23a26b35510de18e610047c20baf639c)
куда
- это расстояние, разделенное этими двумя фиксированными точками.
Автоковариация случайных векторов
Смотрите также
Рекомендации