Фильтр Калмана - Kalman filter

Фильтр Калмана отслеживает оценочное состояние системы и отклонение или неопределенность оценки. Оценка обновляется с использованием переход состояния модель и размеры. ${\displaystyle {\hat {x}}_{k\mid k-1}}$ обозначает оценку состояния системы на временном шаге k перед k-е измерение у_k учтено; ${\displaystyle P_{k\mid k-1}}$ - соответствующая неопределенность.

В статистика и теория управления, Фильтрация Калмана, также известный как линейно-квадратичная оценка (LQE), является алгоритм который использует серию измерений, наблюдаемых во времени, содержащих статистический шум и другие неточности, а также дает оценки неизвестных переменных, которые, как правило, более точны, чем оценки, основанные только на одном измерении, путем оценки совместное распределение вероятностей по переменным для каждого таймфрейма. Фильтр назван в честь Рудольф Э. Кальман, один из основных разработчиков его теории.

Фильтр Калмана находит множество применений в технике. Обычное приложение для руководство, навигация и контроль транспортных средств, особенно самолетов, космических кораблей и динамически позиционируется корабли.^[1] Кроме того, фильтр Калмана широко применяется в Временные ряды анализ, используемый в таких областях, как обработка сигнала и эконометрика. Фильтры Калмана также являются одной из основных тем в области робототехники. планирование движения и управления и может использоваться в оптимизация траектории.^[2] Фильтр Калмана также работает для моделирования Центральная нервная система контроль движения. Из-за временной задержки между выдачей команд двигателя и получением сенсорная обратная связь использование фильтра Калмана поддерживает реалистичную модель для оценки текущего состояния двигательной системы и выдачи обновленных команд.^[3]

Алгоритм работает в два этапа. На этапе прогнозирования фильтр Калмана производит оценки текущего переменные состояния вместе с их неопределенностями. После того как результат следующего измерения (обязательно искаженный с некоторой ошибкой, включая случайный шум) наблюдается, эти оценки обновляются с использованием средневзвешенное, причем больший вес придается оценкам с большей достоверностью. Алгоритм такой рекурсивный. Он может работать реальное время, используя только текущие входные измерения и ранее рассчитанное состояние и его матрицу неопределенности; никакой дополнительной прошлой информации не требуется.

Оптимальность фильтра Калмана предполагает, что ошибки Гауссовский. По словам Рудольф Э. Кальман: "Таким образом, в отношении случайных процессов делаются следующие предположения: физические случайные явления можно рассматривать как следствие первичных случайных источников, возбуждающих динамические системы. Первичные источники считаются независимыми гауссовскими случайными процессами с нулевым средним значением; динамические системы будут быть линейным ".^[4] Хотя независимо от гауссовости, если известны ковариации процесса и измерения, фильтр Калмана является наилучшим из возможных. линейный оценщик в чувство минимальной среднеквадратичной ошибки.^[5]

Расширения и обобщения к методу также были разработаны, такие как расширенный фильтр Калмана и фильтр Калмана без запаха которые работают на нелинейные системы. Базовая модель - это скрытая марковская модель где пространство состояний из скрытые переменные является непрерывный и все скрытые и наблюдаемые переменные имеют гауссовское распределение. Также фильтр Калмана успешно применялся в мультисенсорная слияние,^[6] и распространил сенсорные сети разрабатывать распределенные или консенсус Фильтр Калмана.^[7]

История

Фильтр назван в честь венгерского эмигрант Рудольф Э. Кальман, несмотря на то что Торвальд Николай Тиле^[8][9] и Питер Сверлинг ранее разработал аналогичный алгоритм. Ричард С. Бьюси из Лаборатория прикладной физики Джона Хопкинса внес свой вклад в теорию, в результате чего его иногда называют фильтром Калмана – Бьюси.Стэнли Ф. Шмидт обычно приписывают разработку первой реализации фильтра Калмана. Он понял, что фильтр можно разделить на две отдельные части, одна часть для периодов времени между выходами датчиков, а другая часть для включения измерений.^[10] Это произошло во время визита Кальмана в Исследовательский центр НАСА Эймса что Шмидт увидел применимость идей Кальмана к нелинейной задаче оценки траектории Программа Аполлон Это привело к его включению в навигационный компьютер Apollo. Этот фильтр Калмана был впервые описан и частично разработан в технических статьях Сверлинга (1958), Калмана (1960) и Калмана и Бьюси (1961).

Компьютер Apollo использовал 2k RAM магнитного сердечника и трос 36k [...]. ЦП был построен из микросхем [...]. Тактовая частота была ниже 100 кГц [...]. Тот факт, что инженеры Массачусетского технологического института смогли упаковать такое хорошее программное обеспечение (одно из самых первых применений фильтра Калмана) в такой крошечный компьютер, действительно примечателен.

— Интервью с Джеком Креншоу, Мэтью Рид, TRS-80.org (2009) [1]

Фильтры Калмана сыграли важную роль в реализации навигационных систем ВМС США ядерный подводные лодки с баллистическими ракетами, а также в системах наведения и навигации крылатых ракет, таких как ВМС США Ракета Томагавк и ВВС США с Крылатая ракета воздушного базирования. Они также используются в системах наведения и навигации многоразовые ракеты-носители и контроль отношения и навигационные системы космических кораблей, которые состыковываются с Международная космическая станция.^[11]

Этот цифровой фильтр иногда называют Фильтр Стратоновича – Калмана – Бьюси потому что это частный случай более общего, нелинейного фильтра, разработанного несколько ранее советскими математик Руслан Стратонович.^{[12][13][14][15]} Фактически, некоторые частные уравнения линейных фильтров появились в этих статьях Стратоновича, которые были опубликованы до лета 1960 г., когда Калман встретился со Стратоновичем во время конференции в Москве.^[16]

Обзор расчета

Фильтр Калмана использует динамическую модель системы (например, физические законы движения), известные управляющие входные данные для этой системы и несколько последовательных измерений (например, от датчиков), чтобы сформировать оценку переменных величин системы (ее штат ), что лучше, чем оценка, полученная с использованием только одного измерения. Таким образом, это обычная сенсор слияния и слияние данных алгоритм.

Зашумленные данные датчиков, приближения в уравнениях, описывающих эволюцию системы, и внешние факторы, которые не учитываются, накладывают ограничения на то, насколько хорошо можно определить состояние системы. Фильтр Калмана эффективно справляется с неопределенностью из-за зашумленных данных датчика и, в некоторой степени, случайных внешних факторов. Фильтр Калмана производит оценку состояния системы как среднее значение прогнозируемого состояния системы и нового измерения с использованием средневзвешенное. Назначение весов состоит в том, чтобы значениям с лучшей (то есть меньшей) оцененной неопределенностью больше доверяли. Вес рассчитывается из ковариация, мера оценочной неопределенности прогноза состояния системы. Результатом средневзвешенного значения является новая оценка состояния, которая находится между прогнозируемым и измеренным состояниями и имеет более точную оценку неопределенности, чем любой другой. Этот процесс повторяется на каждом временном шаге, при этом новая оценка и ее ковариация определяют прогноз, используемый в следующей итерации. Это означает, что фильтр Калмана работает рекурсивно и требует только последнего «лучшего предположения», а не всей истории состояния системы, чтобы вычислить новое состояние.

Относительная достоверность измерений и оценки текущего состояния является важным соображением, и принято обсуждать отклик фильтра в терминах фильтра Калмана. прирост. Коэффициент Калмана - это относительный вес, придаваемый измерениям и оценке текущего состояния, и его можно «настроить» для достижения определенной производительности. При высоком усилении фильтр придает больший вес самым последним измерениям и, следовательно, более оперативно отслеживает их. При низком усилении фильтр более точно следует прогнозам модели. В крайних случаях высокое усиление, близкое к единице, приведет к более скачкообразной расчетной траектории, в то время как низкое усиление, близкое к нулю, сгладит шум, но снизит отзывчивость.

При выполнении фактических вычислений для фильтра (как обсуждается ниже) оценка состояния и ковариации кодируются в матрицы для обработки нескольких измерений, участвующих в одном наборе вычислений. Это позволяет представить линейные отношения между различными переменными состояния (такими как положение, скорость и ускорение) в любой из переходных моделей или ковариаций.

Пример приложения

В качестве примера приложения рассмотрим задачу определения точного местоположения грузовика. Грузовик может быть оснащен GPS устройство, обеспечивающее оценку местоположения в пределах нескольких метров. Оценка GPS, вероятно, будет зашумленной; показания быстро «прыгают», но остаются в пределах нескольких метров от реального положения. Кроме того, поскольку ожидается, что грузовик будет следовать законам физики, его положение также можно оценить, интегрировав его скорость с течением времени, определенную путем отслеживания оборотов колес и угла поворота рулевого колеса. Это метод, известный как счисление. Как правило, точный расчет дает очень точную оценку положения грузовика, но дрейф со временем по мере накопления мелких ошибок.

В этом примере фильтр Калмана можно рассматривать как работающий в двух различных фазах: прогнозирование и обновление. На этапе прогнозирования старое положение грузовика будет изменено в соответствии с физическими данными. законы движения (динамическая модель или модель «перехода состояний»). Будет рассчитана не только новая оценка местоположения, но и новая ковариация. Возможно, ковариация пропорциональна скорости грузовика, потому что мы более не уверены в точности оценки точного определения местоположения на высоких скоростях, но очень уверены в оценке местоположения на низких скоростях. Затем на этапе обновления данные о местоположении грузовика снимаются с устройства GPS. Наряду с этим измерением возникает некоторая неопределенность, и ее ковариация относительно ковариации прогноза из предыдущей фазы определяет, насколько новое измерение повлияет на обновленный прогноз. В идеале, поскольку оценки точного исчисления имеют тенденцию отклоняться от реального положения, измерения GPS должны подтягивать оценку местоположения к реальному положению, но не мешать ей до такой степени, что она становится шумной и быстро прыгает.

Техническое описание и контекст

Фильтр Калмана - эффективный рекурсивный фильтр это оценки внутреннее состояние линейная динамическая система из серии шумный измерения. Он используется в широком диапазоне инженерное дело и эконометрический заявки от радар и компьютерное зрение оценке структурных макроэкономических моделей,^[17][18] и это важная тема в теория управления и Системы управления инженерия. Вместе с линейно-квадратичный регулятор (LQR) фильтр Калмана решает линейно-квадратично-гауссовское управление проблема (LQG). Фильтр Калмана, линейно-квадратичный регулятор и линейно-квадратично-гауссовский регулятор являются решениями, возможно, наиболее фундаментальных проблем теории управления.

В большинстве приложений внутреннее состояние намного больше (подробнее степени свободы ), чем несколько «наблюдаемых» параметров, которые измеряются. Однако, объединив серию измерений, фильтр Калмана может оценить все внутреннее состояние.

в Теория Демпстера – Шафера, каждое уравнение состояния или наблюдение рассматривается как частный случай линейная функция веры а фильтр Калмана представляет собой частный случай объединения линейных функций доверия на дереве соединения или Марковское дерево. Дополнительные подходы включают фильтры убеждений которые используют байесовские или доказательные обновления уравнений состояния.

На основе оригинальной формулировки Калмана, которая теперь называется «простым» фильтром Калмана, было разработано большое количество фильтров Калмана. Фильтр Калмана – Бьюси, «Расширенный» фильтр Шмидта, информационный фильтр, а также множество фильтров «квадратного корня», разработанных Бирманом, Торнтоном и многими другими. Возможно, наиболее часто используемым типом очень простого фильтра Калмана является ФАПЧ, который теперь широко используется в радиоприемниках, особенно модуляция частоты (FM) радио, телевизоры, спутниковая связь приемники, космические системы связи и почти любые другие электронный коммуникационное оборудование.

Базовая модель динамической системы

Фильтры Калмана основаны на линейные динамические системы дискретизированный во временной области. Они созданы по образцу Цепь Маркова построен на линейные операторы возмущены ошибками, которые могут включать Гауссовский шум. В штат системы представляется в виде вектор из действительные числа. На каждом дискретное время Приращение, линейный оператор применяется к состоянию для генерации нового состояния с добавлением некоторого шума и, возможно, некоторой информации от элементов управления в системе, если они известны. Затем другой линейный оператор, смешанный с большим количеством шума, генерирует наблюдаемые выходные данные из истинного («скрытого») состояния. Фильтр Калмана можно рассматривать как аналог скрытой модели Маркова с тем ключевым отличием, что скрытые переменные состояния принимают значения в непрерывном пространстве, а не в дискретном пространстве состояний, как в скрытой марковской модели. Существует сильная аналогия между уравнениями фильтра Калмана и уравнениями скрытой марковской модели. Обзор этой и других моделей дан в Roweis and Гахрамани (1999),^[19] и Гамильтон (1994), глава 13.^[20]

Чтобы использовать фильтр Калмана для оценки внутреннего состояния процесса с учетом только последовательности зашумленных наблюдений, необходимо смоделировать процесс в соответствии со следующей структурой. Это означает указание следующих матриц:

• F_k, модель перехода между состояниями;
• ЧАС_k, модель наблюдения;
• Q_k, то ковариация шума процесса;
• р_k, то ковариация шума наблюдения;
• и иногда B_k, модель управления-ввода, для каждого временного шага, k, как описано ниже.

Модель, лежащая в основе фильтра Калмана. Квадраты представляют собой матрицы. Эллипсы представляют многомерные нормальные распределения (с прилагаемой матрицей среднего и ковариационной). Незакрытые значения векторов. В простом случае различные матрицы постоянны во времени, и поэтому индексы опускаются, но фильтр Калмана позволяет любой из них изменяться на каждом временном шаге.

Модель фильтра Калмана предполагает истинное состояние во времени k развивается из состояния в (k - 1) согласно

${\displaystyle \mathbf {x} _{k}=\mathbf {F} _{k}\mathbf {x} _{k-1}+\mathbf {B} _{k}\mathbf {u} _{k}+\mathbf {w} _{k}}$

где

• F_k это модель перехода между состояниями, которая применяется к предыдущему состоянию Икс_k−1;
• B_k модель управления-ввода, которая применяется к вектору управления ты_k;
• ш_k - технологический шум, который, как предполагается, берется из нулевого среднего многомерное нормальное распределение, ${\displaystyle {\mathcal {N}}}$, с участием ковариация, Q_k: ${\displaystyle \mathbf {w} _{k}\sim {\mathcal {N}}\left(0,\mathbf {Q} _{k}\right)}$.

Вовремя k наблюдение (или измерение) z_k истинного состояния Икс_k сделано согласно

${\displaystyle \mathbf {z} _{k}=\mathbf {H} _{k}\mathbf {x} _{k}+\mathbf {v} _{k}}$

где

• ЧАС_k модель наблюдения, которая отображает истинное пространство состояний в наблюдаемое пространство и
• v_k - шум наблюдения, который предполагается равным гауссову с нулевым средним белый шум с ковариацией р_k: ${\displaystyle \mathbf {v} _{k}\sim {\mathcal {N}}\left(0,\mathbf {R} _{k}\right)}$.

Начальное состояние и векторы шума на каждом шаге {Икс₀, ш₁, ..., ш_k, v₁, ... ,v_k} все считаются взаимно независимый.

Многие реальные динамические системы не совсем подходят для этой модели. Фактически, немоделированная динамика может серьезно ухудшить характеристики фильтра, даже когда он должен был работать с неизвестными стохастическими сигналами в качестве входных данных. Причина этого в том, что эффект немоделированной динамики зависит от входа и, следовательно, может привести алгоритм оценки к нестабильности (он расходится). С другой стороны, независимые сигналы белого шума не заставят алгоритм расходиться. Проблема различения шума измерений и немоделируемой динамики является сложной и рассматривается в теории управления в рамках теории управления. надежный контроль.^[21][22]

подробности

Фильтр Калмана - это рекурсивный оценщик. Это означает, что для вычисления оценки текущего состояния необходимы только оценочное состояние из предыдущего временного шага и текущее измерение. В отличие от методов пакетной оценки, история наблюдений и / или оценок не требуется. В дальнейшем обозначения ${\displaystyle {\hat {\mathbf {x} }}_{n\mid m}}$ представляет собой оценку ${\displaystyle \mathbf {x} }$ вовремя п данные наблюдения до времени включительно м ≤ п.

Состояние фильтра представлено двумя переменными:

• ${\displaystyle {\hat {\mathbf {x} }}_{k\mid k}}$, то апостериорный государственная оценка на время k данные наблюдения до времени включительно k;
• ${\displaystyle \mathbf {P} _{k\mid k}}$, то апостериорный оценочная ковариационная матрица (мера оценочного точность государственной сметы).

Фильтр Калмана можно записать в виде одного уравнения, однако он чаще всего концептуализируется как две отдельные фазы: «Прогнозирование» и «Обновление». Фаза прогнозирования использует оценку состояния из предыдущего временного шага, чтобы произвести оценку состояния на текущем временном шаге. Эта прогнозируемая оценка состояния также известна как априори оценка состояния, потому что, хотя это оценка состояния на текущем временном шаге, она не включает информацию наблюдения из текущего временного шага. На этапе обновления текущий априори прогноз объединяется с информацией текущего наблюдения для уточнения оценки состояния. Эта улучшенная оценка называется апостериорный государственная оценка.

Как правило, две фазы чередуются, причем прогнозирование продвигает состояние до следующего запланированного наблюдения, а обновление включает наблюдение. Однако в этом нет необходимости; если наблюдение недоступно по какой-либо причине, обновление может быть пропущено и выполнено несколько шагов прогнозирования. Аналогичным образом, если одновременно доступно несколько независимых наблюдений, может быть выполнено несколько шагов обновления (обычно с разными матрицами наблюдений). ЧАС_k).^[23][24]

Предсказывать

Прогнозируемый (априори) государственная оценка	${\displaystyle {\hat {\mathbf {x} }}_{k\mid k-1}=\mathbf {F} _{k}{\hat {\mathbf {x} }}_{k-1\mid k-1}+\mathbf {B} _{k}\mathbf {u} _{k}}$
Прогнозируемый (априори) оценить ковариацию	${\displaystyle \mathbf {P} _{k\mid k-1}=\mathbf {F} _{k}\mathbf {P} _{k-1\mid k-1}\mathbf {F} _{k}^{\textsf {T}}+\mathbf {Q} _{k}}$

Обновлять

Инновации или остаток предварительной настройки измерения	${\displaystyle {\tilde {\mathbf {y} }}_{k}=\mathbf {z} _{k}-\mathbf {H} _{k}{\hat {\mathbf {x} }}_{k\mid k-1}}$
Новаторская (или предварительная остаточная) ковариация	${\displaystyle \mathbf {S} _{k}=\mathbf {H} _{k}\mathbf {P} _{k\mid k-1}\mathbf {H} _{k}^{\textsf {T}}+\mathbf {R} _{k}}$
Оптимально Кальман усиление	${\displaystyle \mathbf {K} _{k}=\mathbf {P} _{k\mid k-1}\mathbf {H} _{k}^{\textsf {T}}\mathbf {S} _{k}^{-1}}$
Обновлено (апостериорный) государственная оценка	${\displaystyle {\hat {\mathbf {x} }}_{k\mid k}={\hat {\mathbf {x} }}_{k\mid k-1}+\mathbf {K} _{k}{\tilde {\mathbf {y} }}_{k}}$
Обновлено (апостериорный) оценить ковариацию	${\displaystyle \mathbf {P} _{k|k}=\left(\mathbf {I} -\mathbf {K} _{k}\mathbf {H} _{k}\right)\mathbf {P} _{k|k-1}}$
Измерение после посадки остаточный	${\displaystyle {\tilde {\mathbf {y} }}_{k\mid k}=\mathbf {z} _{k}-\mathbf {H} _{k}{\hat {\mathbf {x} }}_{k\mid k}}$

Формула обновленного (апостериорный) оценка ковариации выше верна для оптимального K_k коэффициент усиления, который минимизирует остаточную ошибку, в какой форме он наиболее широко используется в приложениях. Доказательство формул находится в производные раздел, где формула действительна для любого K_k также показано.

Более интуитивно понятный способ выразить обновленную оценку состояния (${\displaystyle {\hat {\mathbf {x} }}_{k\mid k}}$) является:

${\displaystyle {\hat {\mathbf {x} }}_{k\mid k}=(\mathbf {I} -\mathbf {K} _{k}\mathbf {H} _{k})({\hat {\mathbf {x} }}_{k\mid k-1})+(\mathbf {K} _{k})(\mathbf {H} _{k}\mathbf {x} _{k}+\mathbf {v} _{k})}$

Это выражение напоминает нам линейную интерполяцию, ${\displaystyle x=(1-t)(a)+t(b)}$ за ${\displaystyle t}$ между [0,1]. В нашем случае:

• ${\displaystyle t}$ - усиление Калмана (${\displaystyle \mathbf {K} _{k}}$), матрица, принимающая значения из ${\displaystyle 0}$(высокая погрешность датчика) до ${\displaystyle I}$(низкая ошибка).
• ${\displaystyle a}$ - значение, оцененное по модели.
• ${\displaystyle b}$ это значение из измерения.

Инварианты

Если модель точна, и значения для ${\displaystyle {\hat {\mathbf {x} }}_{0\mid 0}}$ и ${\displaystyle \mathbf {P} _{0\mid 0}}$ точно отражают распределение значений начального состояния, то сохраняются следующие инварианты:

${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {E} [\mathbf {x} _{k}-{\hat {\mathbf {x} }}_{k\mid k}]&=\operatorname {E} [\mathbf {x} _{k}-{\hat {\mathbf {x} }}_{k\mid k-1}]=0\\\operatorname {E} [{\tilde {\mathbf {y} }}_{k}]&=0\end{aligned}}}$

где ${\displaystyle \operatorname {E} [\xi ]}$ это ожидаемое значение из ${\displaystyle \xi }$. То есть все оценки имеют нулевую среднюю ошибку.

Также:

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {P} _{k\mid k}&=\operatorname {cov} \left(\mathbf {x} _{k}-{\hat {\mathbf {x} }}_{k\mid k}\right)\\\mathbf {P} _{k\mid k-1}&=\operatorname {cov} \left(\mathbf {x} _{k}-{\hat {\mathbf {x} }}_{k\mid k-1}\right)\\\mathbf {S} _{k}&=\operatorname {cov} \left({\tilde {\mathbf {y} }}_{k}\right)\end{aligned}}}$

поэтому ковариационные матрицы точно отражают ковариацию оценок.

Оценка ковариаций шума Q_k и R_k

Практическая реализация фильтра Калмана часто затруднена из-за трудности получения хорошей оценки ковариационных матриц шума. Q_k и р_k. В этой области были проведены обширные исследования для оценки этих ковариаций на основе данных. Один из практических подходов к этому - автоковариационный метод наименьших квадратов (ALS) техника, использующая запаздывающую автоковариации стандартных рабочих данных для оценки ковариаций.^[25][26] В GNU Octave и Matlab код, используемый для вычисления ковариационных матриц шума с помощью метода ALS, доступен в Интернете по адресу Стандартная общественная лицензия GNU.^[27] Полевой фильтр Калмана (FKF), байесовский алгоритм, который позволяет одновременно оценивать состояние, параметры и ковариацию шума, был предложен в.^[28] Алгоритм FKF имеет рекурсивную формулировку, хорошую наблюдаемую сходимость и относительно низкую сложность. Это дает возможность того, что алгоритм FKF может быть альтернативой методам наименьших квадратов автоковариации.

Оптимальность и производительность

Из теории следует, что фильтр Калмана является оптимальным линейным фильтром в случаях, когда а) модель идеально соответствует реальной системе, б) входящий шум белый (некоррелированный) и в) ковариации шума точно известны. В течение последних десятилетий было предложено несколько методов оценки ковариации шума, в том числе ALS, упомянутый в разделе выше. После оценки ковариаций полезно оценить производительность фильтра; то есть, можно ли улучшить качество оценки состояния. Если фильтр Калмана работает оптимально, последовательность нововведений (ошибка прогнозирования выходных данных) представляет собой белый шум, поэтому свойство белизны нововведений измеряет эффективность фильтра. Для этого можно использовать несколько различных методов.^[29] Если шумовые составляющие распределены не по Гауссу, в литературе известны методы оценки эффективности оценки фильтра, в которых используются вероятностные неравенства или теория большой выборки.^[30][31]

Пример приложения, технический

  Правда;   фильтрованный процесс;   наблюдения.

Представьте грузовик, движущийся по прямым рельсам без трения. Первоначально грузовик неподвижен в позиции 0, но на него в разных направлениях действуют случайные неконтролируемые силы. Мы измеряем положение грузовика каждые Δт секунды, но эти измерения неточны; мы хотим сохранить модель положения грузовика и скорость. Мы покажем здесь, как мы выводим модель, из которой мы создаем наш фильтр Калмана.

С ${\displaystyle \mathbf {F} ,\mathbf {H} ,\mathbf {R} ,\mathbf {Q} }$ постоянны, их временные индексы опущены.

Положение и скорость грузовика описываются линейным пространством состояний

${\displaystyle \mathbf {x} _{k}={\begin{bmatrix}x\\{\dot {x}}\end{bmatrix}}}$

где ${\displaystyle {\dot {x}}}$ - скорость, то есть производная положения по времени.

Мы предполагаем, что между (k - 1) и k неконтролируемые силы с шагом времени вызывают постоянное ускорение а_k это нормально распределенный, со средним 0 и стандартным отклонением σ_а. Из Законы движения Ньютона мы заключаем, что

${\displaystyle \mathbf {x} _{k}=\mathbf {F} \mathbf {x} _{k-1}+\mathbf {G} a_{k}}$

(здесь нет ${\displaystyle \mathbf {B} u}$ срок, так как нет известных управляющих входов. Вместо, а_k это эффект неизвестного входа и ${\displaystyle \mathbf {G} }$ применяет этот эффект к вектору состояния), где

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {F} &={\begin{bmatrix}1&\Delta t\\0&1\end{bmatrix}}\\[4pt]\mathbf {G} &={\begin{bmatrix}{\frac {1}{2}}{\Delta t}^{2}\\[6pt]\Delta t\end{bmatrix}}\end{aligned}}}$

так что

${\displaystyle \mathbf {x} _{k}=\mathbf {F} \mathbf {x} _{k-1}+\mathbf {w} _{k}}$

где

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {w} _{k}&\sim N(0,\mathbf {Q} )\\\mathbf {Q} &=\mathbf {G} \mathbf {G} ^{\textsf {T}}\sigma _{a}^{2}={\begin{bmatrix}{\frac {1}{4}}{\Delta t}^{4}&{\frac {1}{2}}{\Delta t}^{3}\\[6pt]{\frac {1}{2}}{\Delta t}^{3}&{\Delta t}^{2}\end{bmatrix}}\sigma _{a}^{2}.\end{aligned}}}$

Матрица ${\displaystyle \mathbf {Q} }$ не полный ранг (он первого ранга, если ${\displaystyle \Delta t\neq 0}$). Следовательно, распределение ${\displaystyle N(0,\mathbf {Q} )}$ не является абсолютно непрерывным и имеет нет функции плотности вероятности. Другой способ выразить это, избегая явных вырожденных распределений, дает

${\displaystyle \mathbf {w} _{k}\sim \mathbf {G} \cdot N\left(0,\sigma _{a}^{2}\right).}$

На каждом временном шаге производится измерение истинного положения грузовика с шумом. Предположим, что шум измерения v_k также нормально распределен, со средним значением 0 и стандартным отклонением σ_z.

${\displaystyle \mathbf {z} _{k}=\mathbf {Hx} _{k}+\mathbf {v} _{k}}$

где

${\displaystyle \mathbf {H} ={\begin{bmatrix}1&0\end{bmatrix}}}$

и

${\displaystyle \mathbf {R} =\mathrm {E} \left[\mathbf {v} _{k}\mathbf {v} _{k}^{\textsf {T}}\right]={\begin{bmatrix}\sigma _{z}^{2}\end{bmatrix}}}$

Мы знаем начальное стартовое состояние грузовика с идеальной точностью, поэтому инициализируем

${\displaystyle {\hat {\mathbf {x} }}_{0\mid 0}={\begin{bmatrix}0\\0\end{bmatrix}}}$

и чтобы сообщить фильтру, что мы знаем точное положение и скорость, мы даем ему нулевую ковариационную матрицу:

${\displaystyle \mathbf {P} _{0\mid 0}={\begin{bmatrix}0&0\\0&0\end{bmatrix}}}$

Если начальное положение и скорость неизвестны точно, ковариационная матрица должна быть инициализирована с подходящей дисперсией на ее диагонали:

${\displaystyle \mathbf {P} _{0\mid 0}={\begin{bmatrix}\sigma _{x}^{2}&0\\0&\sigma _{\dot {x}}^{2}\end{bmatrix}}}$

Тогда фильтр предпочтет информацию из первых измерений информации, уже содержащейся в модели.

Асимптотическая форма

Для простоты предположим, что управляющий вход ${\displaystyle \mathbf {u} _{k}=\mathbf {0} }$. Тогда фильтр Калмана можно записать:

${\displaystyle {\hat {\mathbf {x} }}_{k\mid k}=\mathbf {F} _{k}{\hat {\mathbf {x} }}_{k-1\mid k-1}+\mathbf {K} _{k}[\mathbf {z} _{k}-\mathbf {H} _{k}\mathbf {F} _{k}{\hat {\mathbf {x} }}_{k-1\mid k-1}].}$

Аналогичное уравнение выполняется, если мы включаем ненулевой управляющий вход. Матрицы усиления ${\displaystyle \mathbf {K} _{k}}$ развиваться независимо от измерений ${\displaystyle \mathbf {z} _{k}}$. Сверху четыре уравнения, необходимые для обновления коэффициента Калмана, следующие:

${\displaystyle \mathbf {P} _{k\mid k-1}=\mathbf {F} _{k}\mathbf {P} _{k-1\mid k-1}\mathbf {F} _{k}^{\textsf {T}}+\mathbf {Q} _{k},}$

${\displaystyle \mathbf {S} _{k}=\mathbf {R} _{k}+\mathbf {H} _{k}\mathbf {P} _{k\mid k-1}\mathbf {H} _{k}^{\textsf {T}},}$

${\displaystyle \mathbf {K} _{k}=\mathbf {P} _{k\mid k-1}\mathbf {H} _{k}^{\textsf {T}}\mathbf {S} _{k}^{-1},}$

${\displaystyle \mathbf {P} _{k|k}=\left(\mathbf {I} -\mathbf {K} _{k}\mathbf {H} _{k}\right)\mathbf {P} _{k|k-1}.}$

Поскольку матрицы усиления зависят только от модели, а не от измерений, их можно вычислить в автономном режиме. Сходимость матриц усиления ${\displaystyle \mathbf {K} _{k}}$ к асимптотической матрице ${\displaystyle \mathbf {K} _{\infty }}$ выполняется при условиях, установленных Вальрандом и Димакисом.^[32] Моделирование устанавливает количество шагов к сходимости. Для примера движущегося грузовика, описанного выше, с ${\displaystyle \Delta t=1}$. и ${\displaystyle \sigma _{a}^{2}=\sigma _{z}^{2}=\sigma _{x}^{2}=\sigma _{\dot {x}}^{2}=1}$, моделирование показывает сходимость в ${\displaystyle 10}$ итераций.

Используя асимптотический коэффициент усиления и предполагая ${\displaystyle \mathbf {H} _{k}}$ и ${\displaystyle \mathbf {F} _{k}}$ не зависят от ${\displaystyle k}$, фильтр Калмана становится линейный инвариантный во времени фильтр:

${\displaystyle {\hat {\mathbf {x} }}_{k}=\mathbf {F} {\hat {\mathbf {x} }}_{k-1}+\mathbf {K} _{\infty }[\mathbf {z} _{k}-\mathbf {H} \mathbf {F} {\hat {\mathbf {x} }}_{k-1}].}$

Асимптотический выигрыш ${\displaystyle \mathbf {K} _{\infty }}$, если он существует, можно вычислить, сначала решив следующее дискретное уравнение Риккати для асимптотической ковариации состояния ${\displaystyle \mathbf {P} _{\infty }}$:^[32]

${\displaystyle \mathbf {P} _{\infty }=\mathbf {F} \left(\mathbf {P} _{\infty }-\mathbf {P} _{\infty }\mathbf {H} ^{\textsf {T}}\left(\mathbf {H} \mathbf {P} _{\infty }\mathbf {H} ^{\textsf {T}}+\mathbf {R} \right)^{-1}\mathbf {H} \mathbf {P} _{\infty }\right)\mathbf {F} ^{\textsf {T}}+\mathbf {Q} .}$

Затем асимптотический коэффициент усиления вычисляется, как и раньше.

${\displaystyle \mathbf {K} _{\infty }=\mathbf {P} _{\infty }\mathbf {H} ^{\textsf {T}}\left(\mathbf {H} \mathbf {P} _{\infty }\mathbf {H} ^{\textsf {T}}+\mathbf {R} \right)^{-1}.}$

Производные

Получение posteriori оценка ковариационной матрицы

Начнем с нашего инварианта ковариации ошибок п_k | k как указано выше

${\displaystyle \mathbf {P} _{k\mid k}=\operatorname {cov} \left(\mathbf {x} _{k}-{\hat {\mathbf {x} }}_{k\mid k}\right)}$

заменить в определении ${\displaystyle {\hat {\mathbf {x} }}_{k\mid k}}$

${\displaystyle \mathbf {P} _{k\mid k}=\operatorname {cov} \left[\mathbf {x} _{k}-\left({\hat {\mathbf {x} }}_{k\mid k-1}+\mathbf {K} _{k}{\tilde {\mathbf {y} }}_{k}\right)\right]}$

и заменить ${\displaystyle {\tilde {\mathbf {y} }}_{k}}$

${\displaystyle \mathbf {P} _{k\mid k}=\operatorname {cov} \left(\mathbf {x} _{k}-\left[{\hat {\mathbf {x} }}_{k\mid k-1}+\mathbf {K} _{k}\left(\mathbf {z} _{k}-\mathbf {H} _{k}{\hat {\mathbf {x} }}_{k\mid k-1}\right)\right]\right)}$

и ${\displaystyle \mathbf {z} _{k}}$

${\displaystyle \mathbf {P} _{k\mid k}=\operatorname {cov} \left(\mathbf {x} _{k}-\left[{\hat {\mathbf {x} }}_{k\mid k-1}+\mathbf {K} _{k}\left(\mathbf {H} _{k}\mathbf {x} _{k}+\mathbf {v} _{k}-\mathbf {H} _{k}{\hat {\mathbf {x} }}_{k\mid k-1}\right)\right]\right)}$

и собирая векторы ошибок, получаем

${\displaystyle \mathbf {P} _{k\mid k}=\operatorname {cov} \left[\left(\mathbf {I} -\mathbf {K} _{k}\mathbf {H} _{k}\right)\left(\mathbf {x} _{k}-{\hat {\mathbf {x} }}_{k\mid k-1}\right)-\mathbf {K} _{k}\mathbf {v} _{k}\right]}$

Поскольку погрешность измерения v_k не коррелирует с другими терминами, это становится

${\displaystyle \mathbf {P} _{k\mid k}=\operatorname {cov} \left[\left(\mathbf {I} -\mathbf {K} _{k}\mathbf {H} _{k}\right)\left(\mathbf {x} _{k}-{\hat {\mathbf {x} }}_{k\mid k-1}\right)\right]+\operatorname {cov} \left[\mathbf {K} _{k}\mathbf {v} _{k}\right]}$

по свойствам векторная ковариация это становится

${\displaystyle \mathbf {P} _{k\mid k}=\left(\mathbf {I} -\mathbf {K} _{k}\mathbf {H} _{k}\right)\operatorname {cov} \left(\mathbf {x} _{k}-{\hat {\mathbf {x} }}_{k\mid k-1}\right)\left(\mathbf {I} -\mathbf {K} _{k}\mathbf {H} _{k}\right)^{\textsf {T}}+\mathbf {K} _{k}\operatorname {cov} \left(\mathbf {v} _{k}\right)\mathbf {K} _{k}^{\textsf {T}}}$

который, используя наш инвариант на п_k | k−1 и определение р_k становится

${\displaystyle \mathbf {P} _{k\mid k}=\left(\mathbf {I} -\mathbf {K} _{k}\mathbf {H} _{k}\right)\mathbf {P} _{k\mid k-1}\left(\mathbf {I} -\mathbf {K} _{k}\mathbf {H} _{k}\right)^{\textsf {T}}+\mathbf {K} _{k}\mathbf {R} _{k}\mathbf {K} _{k}^{\textsf {T}}}$

Эта формула (иногда известная как Форма Джозефа уравнения обновления ковариации) действительно для любого значения K_k. Получается, что если K_k оптимальное усиление Калмана, его можно упростить, как показано ниже.

Расчет усиления Калмана

Фильтр Калмана - это минимальная среднеквадратичная ошибка оценщик. Ошибка в апостериорный оценка состояния

${\displaystyle \mathbf {x} _{k}-{\hat {\mathbf {x} }}_{k\mid k}}$

Мы стремимся минимизировать математическое ожидание квадрата величины этого вектора, ${\displaystyle \operatorname {E} \left[\left\|\mathbf {x} _{k}-{\hat {\mathbf {x} }}_{k|k}\right\|^{2}\right]}$. Это эквивалентно минимизации след из апостериорный оценивать ковариационная матрица ${\displaystyle \mathbf {P} _{k|k}}$. Расширяя члены в приведенном выше уравнении и собирая, мы получаем:

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {P} _{k\mid k}&=\mathbf {P} _{k\mid k-1}-\mathbf {K} _{k}\mathbf {H} _{k}\mathbf {P} _{k\mid k-1}-\mathbf {P} _{k\mid k-1}\mathbf {H} _{k}^{\textsf {T}}\mathbf {K} _{k}^{\textsf {T}}+\mathbf {K} _{k}\left(\mathbf {H} _{k}\mathbf {P} _{k\mid k-1}\mathbf {H} _{k}^{\textsf {T}}+\mathbf {R} _{k}\right)\mathbf {K} _{k}^{\textsf {T}}\\[6pt]&=\mathbf {P} _{k\mid k-1}-\mathbf {K} _{k}\mathbf {H} _{k}\mathbf {P} _{k\mid k-1}-\mathbf {P} _{k\mid k-1}\mathbf {H} _{k}^{\textsf {T}}\mathbf {K} _{k}^{\textsf {T}}+\mathbf {K} _{k}\mathbf {S} _{k}\mathbf {K} _{k}^{\textsf {T}}\end{aligned}}}$

След сводится к минимуму, когда его производная матрицы относительно матрицы усиления равна нулю. С использованием правила градиентной матрицы и симметрии задействованных матриц мы находим, что

${\displaystyle {\frac {\partial \;\operatorname {tr} (\mathbf {P} _{k\mid k})}{\partial \;\mathbf {K} _{k}}}=-2\left(\mathbf {H} _{k}\mathbf {P} _{k\mid k-1}\right)^{\textsf {T}}+2\mathbf {K} _{k}\mathbf {S} _{k}=0.}$

Решение этого для K_k дает выигрыш Калмана:

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {K} _{k}\mathbf {S} _{k}&=\left(\mathbf {H} _{k}\mathbf {P} _{k\mid k-1}\right)^{\textsf {T}}=\mathbf {P} _{k\mid k-1}\mathbf {H} _{k}^{\textsf {T}}\\\Rightarrow \mathbf {K} _{k}&=\mathbf {P} _{k\mid k-1}\mathbf {H} _{k}^{\textsf {T}}\mathbf {S} _{k}^{-1}\end{aligned}}}$

Это усиление, известное как оптимальное усиление Калмана, тот, который дает MMSE оценки при использовании.

Упрощение posteriori формула ковариации ошибок

Формула, используемая для расчета апостериорный Ковариация ошибок может быть упрощена, если коэффициент усиления Калмана равен оптимальному значению, полученному выше. Умножая обе части нашей формулы усиления Калмана справа на S_kK_k^Т, следует, что

${\displaystyle \mathbf {K} _{k}\mathbf {S} _{k}\mathbf {K} _{k}^{\textsf {T}}=\mathbf {P} _{k\mid k-1}\mathbf {H} _{k}^{\textsf {T}}\mathbf {K} _{k}^{\textsf {T}}}$

Возвращаясь к нашей расширенной формуле для апостериорный ковариация ошибок,

${\displaystyle \mathbf {P} _{k\mid k}=\mathbf {P} _{k\mid k-1}-\mathbf {K} _{k}\mathbf {H} _{k}\mathbf {P} _{k\mid k-1}-\mathbf {P} _{k\mid k-1}\mathbf {H} _{k}^{\textsf {T}}\mathbf {K} _{k}^{\textsf {T}}+\mathbf {K} _{k}\mathbf {S} _{k}\mathbf {K} _{k}^{\textsf {T}}}$

мы обнаруживаем, что последние два члена сокращаются, давая

${\displaystyle \mathbf {P} _{k\mid k}=\mathbf {P} _{k\mid k-1}-\mathbf {K} _{k}\mathbf {H} _{k}\mathbf {P} _{k\mid k-1}=(\mathbf {I} -\mathbf {K} _{k}\mathbf {H} _{k})\mathbf {P} _{k\mid k-1}.}$

Эта формула дешевле в вычислительном отношении и поэтому почти всегда используется на практике, но верна только для оптимального усиления. Если арифметическая точность необычно низкая, что вызывает проблемы с числовая стабильность, или если неоптимальное усиление Калмана используется намеренно, это упрощение не может быть применено; то апостериорный Необходимо использовать формулу ковариации ошибок, полученную выше (форму Джозефа).

Анализ чувствительности

Уравнения фильтрации Калмана позволяют оценить состояние ${\displaystyle {\hat {\mathbf {x} }}_{k\mid k}}$ и его ковариация ошибок ${\displaystyle \mathbf {P} _{k\mid k}}$ рекурсивно. Оценка и ее качество зависят от параметров системы и статистики шума, подаваемой в качестве входных данных для оценщика. В этом разделе анализируется влияние неопределенностей в статистических входных данных для фильтра.^[33] При отсутствии достоверной статистики или истинных значений матриц ковариации шума ${\displaystyle \mathbf {Q} _{k}}$ и ${\displaystyle \mathbf {R} _{k}}$, выражение

${\displaystyle \mathbf {P} _{k\mid k}=\left(\mathbf {I} -\mathbf {K} _{k}\mathbf {H} _{k}\right)\mathbf {P} _{k\mid k-1}\left(\mathbf {I} -\mathbf {K} _{k}\mathbf {H} _{k}\right)^{\textsf {T}}+\mathbf {K} _{k}\mathbf {R} _{k}\mathbf {K} _{k}^{\textsf {T}}}$

больше не обеспечивает фактическую ковариацию ошибок. Другими словами, ${\displaystyle \mathbf {P} _{k\mid k}\neq E\left[\left(\mathbf {x} _{k}-{\hat {\mathbf {x} }}_{k\mid k}\right)\left(\mathbf {x} _{k}-{\hat {\mathbf {x} }}_{k\mid k}\right)^{\textsf {T}}\right]}$. В большинстве приложений реального времени ковариационные матрицы, которые используются при разработке фильтра Калмана, отличаются от реальных (истинных) матриц ковариаций шума.^{[нужна цитата ]} Этот анализ чувствительности описывает поведение ковариации ошибки оценки, когда ковариации шума, а также системные матрицы ${\displaystyle \mathbf {F} _{k}}$ и ${\displaystyle \mathbf {H} _{k}}$ которые поступают в фильтр как входы, неверны. Таким образом, анализ чувствительности описывает устойчивость (или чувствительность) оценщика к неверно указанным статистическим и параметрическим входным данным оценщика.

Это обсуждение ограничивается анализом чувствительности к ошибкам для случая статистических неопределенностей. Здесь фактические ковариации шума обозначены ${\displaystyle \mathbf {Q} _{k}^{a}}$ и ${\displaystyle \mathbf {R} _{k}^{a}}$ соответственно, тогда как расчетные значения, используемые в оценке, равны ${\displaystyle \mathbf {Q} _{k}}$ и ${\displaystyle \mathbf {R} _{k}}$ соответственно. Фактическая ковариация ошибки обозначается ${\displaystyle \mathbf {P} _{k\mid k}^{a}}$ и ${\displaystyle \mathbf {P} _{k\mid k}}$ вычисленный фильтром Калмана, называется переменной Риккати. Когда ${\displaystyle \mathbf {Q} _{k}\equiv \mathbf {Q} _{k}^{a}}$ и ${\displaystyle \mathbf {R} _{k}\equiv \mathbf {R} _{k}^{a}}$, это означает, что ${\displaystyle \mathbf {P} _{k\mid k}=\mathbf {P} _{k\mid k}^{a}}$. При вычислении фактической ковариации ошибки с использованием ${\displaystyle \mathbf {P} _{k\mid k}^{a}=E\left[\left(\mathbf {x} _{k}-{\hat {\mathbf {x} }}_{k\mid k}\right)\left(\mathbf {x} _{k}-{\hat {\mathbf {x} }}_{k\mid k}\right)^{\textsf {T}}\right]}$, заменяя ${\displaystyle {\widehat {\mathbf {x} }}_{k\mid k}}$ и используя тот факт, что ${\displaystyle E\left[\mathbf {w} _{k}\mathbf {w} _{k}^{\textsf {T}}\right]=\mathbf {Q} _{k}^{a}}$ и ${\displaystyle E\left[\mathbf {v} _{k}\mathbf {v} _{k}^{\textsf {T}}\right]=\mathbf {R} _{k}^{a}}$, приводит к следующим рекурсивным уравнениям для ${\displaystyle \mathbf {P} _{k\mid k}^{a}}$ :

${\displaystyle \mathbf {P} _{k\mid k-1}^{a}=\mathbf {F} _{k}\mathbf {P} _{k-1\mid k-1}^{a}\mathbf {F} _{k}^{\textsf {T}}+\mathbf {Q} _{k}^{a}}$

и

${\displaystyle \mathbf {P} _{k\mid k}^{a}=\left(\mathbf {I} -\mathbf {K} _{k}\mathbf {H} _{k}\right)\mathbf {P} _{k\mid k-1}^{a}\left(\mathbf {I} -\mathbf {K} _{k}\mathbf {H} _{k}\right)^{\textsf {T}}+\mathbf {K} _{k}\mathbf {R} _{k}^{a}\mathbf {K} _{k}^{\textsf {T}}}$

При вычислении ${\displaystyle \mathbf {P} _{k\mid k}}$, по умолчанию фильтр неявно предполагает, что ${\displaystyle E\left[\mathbf {w} _{k}\mathbf {w} _{k}^{\textsf {T}}\right]=\mathbf {Q} _{k}}$ и ${\displaystyle E\left[\mathbf {v} _{k}\mathbf {v} _{k}^{\textsf {T}}\right]=\mathbf {R} _{k}}$. Рекурсивные выражения для ${\displaystyle \mathbf {P} _{k\mid k}^{a}}$ и ${\displaystyle \mathbf {P} _{k\mid k}}$ идентичны, за исключением наличия ${\displaystyle \mathbf {Q} _{k}^{a}}$ и ${\displaystyle \mathbf {R} _{k}^{a}}$ вместо проектных значений ${\displaystyle \mathbf {Q} _{k}}$ и ${\displaystyle \mathbf {R} _{k}}$ соответственно. Были проведены исследования для анализа устойчивости системы фильтров Калмана.^[34]

Форма квадратного корня

Одна проблема с фильтром Калмана - это числовая стабильность. Если ковариация шума процесса Q_k мала, ошибка округления часто приводит к тому, что небольшое положительное собственное значение вычисляется как отрицательное число. Это отображает числовое представление матрицы ковариации состояний п неопределенный, а его истинная форма положительно определенный.

Положительно определенные матрицы обладают тем свойством, что они имеют треугольная матрица квадратный корень п = S·S^Т. Это можно эффективно вычислить, используя Факторизация Холецкого алгоритма, но, что более важно, если ковариация сохраняется в этой форме, она никогда не может иметь отрицательную диагональ или стать асимметричной. Эквивалентная форма, позволяющая избежать многих квадратный корень операции, требуемые матричным квадратным корнем, но сохраняющие желаемые числовые свойства, является формой разложения U-D, п = U·D·U^Т, где U это единичная треугольная матрица (с единичной диагональю) и D - диагональная матрица.

Между этими двумя факторизация U-D использует тот же объем памяти и несколько меньше вычислений и является наиболее часто используемой формой квадратного корня. (Ранняя литература об относительной эффективности несколько вводит в заблуждение, так как предполагалось, что извлечение квадратного корня занимает гораздо больше времени, чем деление,^[35]:69 в то время как на компьютерах 21 века они лишь немного дороже.)

Эффективные алгоритмы для предсказания Калмана и шагов обновления в форме квадратного корня были разработаны Г. Дж. Бирманом и К. Л. Торнтоном.^[35][36]

В L·D·L^Т разложение матрицы ковариации инноваций S_k является основой для другого типа численно эффективного и надежного фильтра извлечения квадратного корня.^[37] Алгоритм начинается с разложения LU, как это реализовано в пакете Linear Algebra PACKage (ЛАПАК ). Эти результаты в дальнейшем учитываются в L·D·L^Т структура с методами, данными Голубом и Ван Лоаном (алгоритм 4.1.2) для симметричной невырожденной матрицы.^[38] Любая сингулярная ковариационная матрица повернутый так что первое диагональное разбиение неособый и хорошо кондиционированный. Алгоритм поворота должен сохранять любую часть ковариационной матрицы инноваций, непосредственно соответствующую наблюдаемым переменным состояния. ЧАС_k·Икс_{к | к-1} которые связаны со вспомогательными наблюдениями ву_k. В л·d·л^т фильтр квадратного корня требует ортогонализация вектора наблюдения.^[36][37] Это можно сделать с помощью обратного квадратного корня из ковариационной матрицы для вспомогательных переменных, используя метод 2 в Higham (2002, стр. 263).^[39]

Связь с рекурсивным байесовским оцениванием

Фильтр Калмана можно представить как один из самых простых динамические байесовские сети. Фильтр Калмана вычисляет оценки истинных значений состояний рекурсивно с течением времени, используя входящие измерения и математическую модель процесса. Так же, рекурсивная байесовская оценка вычисляет оценки неизвестного функция плотности вероятности (PDF) рекурсивно с течением времени с использованием входящих измерений и математической модели процесса.^[40]

При рекурсивной байесовской оценке истинное состояние предполагается ненаблюдаемым Марковский процесс, а измерения - это наблюдаемые состояния скрытой марковской модели (HMM).

из-за предположения Маркова истинное состояние условно не зависит от всех предыдущих состояний при непосредственно предшествующем состоянии.

${\displaystyle p(\mathbf {x} _{k}\mid \mathbf {x} _{0},\dots ,\mathbf {x} _{k-1})=p(\mathbf {x} _{k}\mid \mathbf {x} _{k-1})}$

Аналогично, измерение на k-й временной шаг зависит только от текущего состояния и условно не зависит от всех других состояний с учетом текущего состояния.

${\displaystyle p(\mathbf {z} _{k}\mid \mathbf {x} _{0},\dots ,\mathbf {x} _{k})=p(\mathbf {z} _{k}\mid \mathbf {x} _{k})}$

Используя эти предположения, распределение вероятностей по всем состояниям скрытой марковской модели можно записать просто как:

${\displaystyle p\left(\mathbf {x} _{0},\dots ,\mathbf {x} _{k},\mathbf {z} _{1},\dots ,\mathbf {z} _{k}\right)=p\left(\mathbf {x} _{0}\right)\prod _{i=1}^{k}p\left(\mathbf {z} _{i}\mid \mathbf {x} _{i}\right)p\left(\mathbf {x} _{i}\mid \mathbf {x} _{i-1}\right)}$

Однако, когда фильтр Калмана используется для оценки состояния Икс, интересующее распределение вероятностей связано с текущими состояниями, обусловленными измерениями, вплоть до текущего временного шага. Это достигается за счет исключения предыдущих состояний и деления на вероятность набора измерений.

Это приводит к предсказывать и Обновить шаги фильтра Калмана записаны вероятностно. Распределение вероятностей, связанное с предсказанным состоянием, представляет собой сумму (интеграл) произведений распределения вероятностей, связанных с переходом от (k - 1) -й временной шаг до k-го и распределение вероятностей, связанных с предыдущим состоянием, по всем возможным ${\displaystyle x_{k-1}}$.

${\displaystyle p\left(\mathbf {x} _{k}\mid \mathbf {Z} _{k-1}\right)=\int p\left(\mathbf {x} _{k}\mid \mathbf {x} _{k-1}\right)p\left(\mathbf {x} _{k-1}\mid \mathbf {Z} _{k-1}\right)\,d\mathbf {x} _{k-1}}$

Измерение настроено на время т является

${\displaystyle \mathbf {Z} _{t}=\left\{\mathbf {z} _{1},\dots ,\mathbf {z} _{t}\right\}}$

Распределение вероятностей обновления пропорционально произведению вероятности измерения и прогнозируемого состояния.

${\displaystyle p\left(\mathbf {x} _{k}\mid \mathbf {Z} _{k}\right)={\frac {p\left(\mathbf {z} _{k}\mid \mathbf {x} _{k}\right)p\left(\mathbf {x} _{k}\mid \mathbf {Z} _{k-1}\right)}{p\left(\mathbf {z} _{k}\mid \mathbf {Z} _{k-1}\right)}}}$

Знаменатель

${\displaystyle p\left(\mathbf {z} _{k}\mid \mathbf {Z} _{k-1}\right)=\int p\left(\mathbf {z} _{k}\mid \mathbf {x} _{k}\right)p\left(\mathbf {x} _{k}\mid \mathbf {Z} _{k-1}\right)\,d\mathbf {x} _{k}}$

это нормализационный член.

Остальные функции плотности вероятности:

${\displaystyle {\begin{aligned}p\left(\mathbf {x} _{k}\mid \mathbf {x} _{k-1}\right)&={\mathcal {N}}\left(\mathbf {F} _{k}\mathbf {x} _{k-1},\mathbf {Q} _{k}\right)\\p\left(\mathbf {z} _{k}\mid \mathbf {x} _{k}\right)&={\mathcal {N}}\left(\mathbf {H} _{k}\mathbf {x} _{k},\mathbf {R} _{k}\right)\\p\left(\mathbf {x} _{k-1}\mid \mathbf {Z} _{k-1}\right)&={\mathcal {N}}\left({\hat {\mathbf {x} }}_{k-1},\mathbf {P} _{k-1}\right)\end{aligned}}}$

Индуктивно предполагается, что PDF на предыдущем временном шаге является оцененным состоянием и ковариацией. Это оправдано, поскольку в качестве оптимальной оценки фильтр Калмана наилучшим образом использует измерения, поэтому PDF для ${\displaystyle \mathbf {x} _{k}}$ учитывая измерения ${\displaystyle \mathbf {Z} _{k}}$ оценка фильтра Калмана.

Предельная вероятность

Связанный с рекурсивной байесовской интерпретацией, описанной выше, фильтр Калмана можно рассматривать как генеративная модель, т.е. процесс создание поток случайных наблюдений z = (z₀, z₁, z₂, ...). В частности, процесс

1. Пример скрытого состояния ${\displaystyle \mathbf {x} _{0}}$ из априорного распределения Гаусса ${\displaystyle p\left(\mathbf {x} _{0}\right)={\mathcal {N}}\left({\hat {\mathbf {x} }}_{0\mid 0},\mathbf {P} _{0\mid 0}\right)}$.
2. Пример наблюдения ${\displaystyle \mathbf {z} _{0}}$ из модели наблюдения ${\displaystyle p\left(\mathbf {z} _{0}\mid \mathbf {x} _{0}\right)={\mathcal {N}}\left(\mathbf {H} _{0}\mathbf {x} _{0},\mathbf {R} _{0}\right)}$.
3. За ${\displaystyle k=1,2,3,\ldots }$, делать
   1. Пример следующего скрытого состояния ${\displaystyle \mathbf {x} _{k}}$ из переходной модели ${\displaystyle p\left(\mathbf {x} _{k}\mid \mathbf {x} _{k-1}\right)={\mathcal {N}}\left(\mathbf {F} _{k}\mathbf {x} _{k-1}+\mathbf {B} _{k}\mathbf {u} _{k},\mathbf {Q} _{k}\right).}$
   2. Пример наблюдения ${\displaystyle \mathbf {z} _{k}}$ из модели наблюдения ${\displaystyle p\left(\mathbf {z} _{k}\mid \mathbf {x} _{k}\right)={\mathcal {N}}\left(\mathbf {H} _{k}\mathbf {x} _{k},\mathbf {R} _{k}\right).}$

Этот процесс имеет идентичную структуру скрытая марковская модель, за исключением того, что дискретное состояние и наблюдения заменяются непрерывными переменными, выбранными из гауссовых распределений.

В некоторых приложениях полезно вычислить вероятность что фильтр Калмана с заданным набором параметров (предварительное распределение, модели перехода и наблюдения, а также управляющие входы) будет генерировать конкретный наблюдаемый сигнал. Эта вероятность известна как предельная вероятность потому что он интегрирует («маргинализирует») значения скрытых переменных состояния, поэтому его можно вычислить, используя только наблюдаемый сигнал. Предельное правдоподобие может быть полезно для оценки выбора различных параметров или для сравнения фильтра Калмана с другими моделями с использованием Сравнение байесовских моделей.

Несложно вычислить предельное правдоподобие как побочный эффект вычисления рекурсивной фильтрации. Посредством Правило цепи, вероятность может быть учтена как произведение вероятности каждого наблюдения с учетом предыдущих наблюдений,

${\displaystyle p(\mathbf {z} )=\prod _{k=0}^{T}p\left(\mathbf {z} _{k}\mid \mathbf {z} _{k-1},\ldots ,\mathbf {z} _{0}\right)}$,

и поскольку фильтр Калмана описывает марковский процесс, вся соответствующая информация из предыдущих наблюдений содержится в оценке текущего состояния ${\displaystyle {\hat {\mathbf {x} }}_{k\mid k-1},\mathbf {P} _{k\mid k-1}.}$ Таким образом, предельная вероятность определяется выражением

${\displaystyle {\begin{aligned}p(\mathbf {z} )&=\prod _{k=0}^{T}\int p\left(\mathbf {z} _{k}\mid \mathbf {x} _{k}\right)p\left(\mathbf {x} _{k}\mid \mathbf {z} _{k-1},\ldots ,\mathbf {z} _{0}\right)d\mathbf {x} _{k}\\&=\prod _{k=0}^{T}\int {\mathcal {N}}\left(\mathbf {z} _{k};\mathbf {H} _{k}\mathbf {x} _{k},\mathbf {R} _{k}\right){\mathcal {N}}\left(\mathbf {x} _{k};{\hat {\mathbf {x} }}_{k\mid k-1},\mathbf {P} _{k\mid k-1}\right)d\mathbf {x} _{k}\\&=\prod _{k=0}^{T}{\mathcal {N}}\left(\mathbf {z} _{k};\mathbf {H} _{k}{\hat {\mathbf {x} }}_{k\mid k-1},\mathbf {R} _{k}+\mathbf {H} _{k}\mathbf {P} _{k\mid k-1}\mathbf {H} _{k}^{\textsf {T}}\right)\\&=\prod _{k=0}^{T}{\mathcal {N}}\left(\mathbf {z} _{k};\mathbf {H} _{k}{\hat {\mathbf {x} }}_{k\mid k-1},\mathbf {S} _{k}\right),\end{aligned}}}$

т. е. произведение гауссовых плотностей, каждая из которых соответствует плотности одного наблюдения z_k при текущем распределении фильтрации ${\displaystyle \mathbf {H} _{k}{\hat {\mathbf {x} }}_{k\mid k-1},\mathbf {S} _{k}}$. Это можно легко вычислить как простое рекурсивное обновление; однако, чтобы избежать числовое исчезновение, в практической реализации обычно желательно вычислить бревно предельная вероятность ${\displaystyle \ell =\log p(\mathbf {z} )}$ вместо. Принятие конвенции ${\displaystyle \ell ^{(-1)}=0}$, это можно сделать с помощью правила рекурсивного обновления

${\displaystyle \ell ^{(k)}=\ell ^{(k-1)}-{\frac {1}{2}}\left({\tilde {\mathbf {y} }}_{k}^{\textsf {T}}\mathbf {S} _{k}^{-1}{\tilde {\mathbf {y} }}_{k}+\log \left|\mathbf {S} _{k}\right|+d_{y}\log 2\pi \right),}$

где ${\displaystyle d_{y}}$ - размерность вектора измерения.^[41]

Важным приложением, в котором используется такая (логарифмическая) вероятность наблюдений (с учетом параметров фильтра), является отслеживание нескольких целей. Например, рассмотрим сценарий отслеживания объекта, в котором поток наблюдений является входом, однако неизвестно, сколько объектов находится в сцене (или количество объектов известно, но больше единицы). В таком сценарии может быть неизвестно априори, какие наблюдения / измерения были произведены каким объектом. Устройство отслеживания множественных гипотез (MHT) обычно формирует разные гипотезы ассоциации треков, где каждую гипотезу можно рассматривать как фильтр Калмана (в линейном гауссовском случае) с определенным набором параметров, связанных с гипотетическим объектом. Таким образом, важно вычислить вероятность наблюдений для различных рассматриваемых гипотез, чтобы можно было найти наиболее вероятную.

Информационный фильтр

В информационном фильтре или фильтре обратной ковариации оцененная ковариация и оценочное состояние заменяются информационная матрица и Информация вектор соответственно. Они определены как:

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {Y} _{k\mid k}&=\mathbf {P} _{k\mid k}^{-1}\\{\hat {\mathbf {y} }}_{k\mid k}&=\mathbf {P} _{k\mid k}^{-1}{\hat {\mathbf {x} }}_{k\mid k}\end{aligned}}}$

Точно так же предсказанная ковариация и состояние имеют эквивалентные информационные формы, определяемые как:

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {Y} _{k\mid k-1}&=\mathbf {P} _{k\mid k-1}^{-1}\\{\hat {\mathbf {y} }}_{k\mid k-1}&=\mathbf {P} _{k\mid k-1}^{-1}{\hat {\mathbf {x} }}_{k\mid k-1}\end{aligned}}}$

а также ковариация измерения и вектор измерения, которые определяются как:

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {I} _{k}&=\mathbf {H} _{k}^{\textsf {T}}\mathbf {R} _{k}^{-1}\mathbf {H} _{k}\\\mathbf {i} _{k}&=\mathbf {H} _{k}^{\textsf {T}}\mathbf {R} _{k}^{-1}\mathbf {z} _{k}\end{aligned}}}$

Обновление информации теперь превращается в банальную сумму.^[42]

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {Y} _{k\mid k}&=\mathbf {Y} _{k\mid k-1}+\mathbf {I} _{k}\\{\hat {\mathbf {y} }}_{k\mid k}&={\hat {\mathbf {y} }}_{k\mid k-1}+\mathbf {i} _{k}\end{aligned}}}$

Основное преимущество информационного фильтра в том, что N измерения можно фильтровать на каждом временном шаге, просто суммируя их информационные матрицы и векторы.

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {Y} _{k\mid k}&=\mathbf {Y} _{k\mid k-1}+\sum _{j=1}^{N}\mathbf {I} _{k,j}\\{\hat {\mathbf {y} }}_{k\mid k}&={\hat {\mathbf {y} }}_{k\mid k-1}+\sum _{j=1}^{N}\mathbf {i} _{k,j}\end{aligned}}}$

Для прогнозирования информационного фильтра информационная матрица и вектор могут быть преобразованы обратно в их эквиваленты в пространстве состояний, или, в качестве альтернативы, может использоваться прогнозирование информационного пространства.^[42]

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {M} _{k}&=\left[\mathbf {F} _{k}^{-1}\right]^{\textsf {T}}\mathbf {Y} _{k-1\mid k-1}\mathbf {F} _{k}^{-1}\\\mathbf {C} _{k}&=\mathbf {M} _{k}\left[\mathbf {M} _{k}+\mathbf {Q} _{k}^{-1}\right]^{-1}\\\mathbf {L} _{k}&=\mathbf {I} -\mathbf {C} _{k}\\\mathbf {Y} _{k\mid k-1}&=\mathbf {L} _{k}\mathbf {M} _{k}\mathbf {L} _{k}^{\textsf {T}}+\mathbf {C} _{k}\mathbf {Q} _{k}^{-1}\mathbf {C} _{k}^{\textsf {T}}\\{\hat {\mathbf {y} }}_{k\mid k-1}&=\mathbf {L} _{k}\left[\mathbf {F} _{k}^{-1}\right]^{\textsf {T}}{\hat {\mathbf {y} }}_{k-1\mid k-1}\end{aligned}}}$

Если F и Q не зависят от времени, эти значения могут быть кэшированы, и F и Q должно быть обратимым.

Более плавная работа с фиксированной задержкой

Оптимальный сглаживание с фиксированной задержкой обеспечивает оптимальную оценку ${\displaystyle {\hat {\mathbf {x} }}_{k-N\mid k}}$ для данного фиксированного лага ${\displaystyle N}$ используя измерения из ${\displaystyle \mathbf {z} _{1}}$ к ${\displaystyle \mathbf {z} _{k}}$.^[43] Его можно получить, используя предыдущую теорию через расширенное состояние, и основное уравнение фильтра следующее:

${\displaystyle {\begin{bmatrix}{\hat {\mathbf {x} }}_{t\mid t}\\{\hat {\mathbf {x} }}_{t-1\mid t}\\\vdots \\{\hat {\mathbf {x} }}_{t-N+1\mid t}\\\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}\mathbf {I} \\0\\\vdots \\0\\\end{bmatrix}}{\hat {\mathbf {x} }}_{t\mid t-1}+{\begin{bmatrix}0&\ldots &0\\\mathbf {I} &0&\vdots \\\vdots &\ddots &\vdots \\0&\ldots &\mathbf {I} \\\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}{\hat {\mathbf {x} }}_{t-1\mid t-1}\\{\hat {\mathbf {x} }}_{t-2\mid t-1}\\\vdots \\{\hat {\mathbf {x} }}_{t-N+1\mid t-1}\\\end{bmatrix}}+{\begin{bmatrix}\mathbf {K} ^{(0)}\\\mathbf {K} ^{(1)}\\\vdots \\\mathbf {K} ^{(N-1)}\\\end{bmatrix}}\mathbf {y} _{t\mid t-1}}$

куда:

• ${\displaystyle {\hat {\mathbf {x} }}_{t\mid t-1}}$ оценивается с помощью стандартного фильтра Калмана;
• ${\displaystyle \mathbf {y} _{t\mid t-1}=\mathbf {z} _{t}-\mathbf {H} {\hat {\mathbf {x} }}_{t\mid t-1}}$ инновация, произведенная с учетом оценки стандартного фильтра Калмана;
• различные ${\displaystyle {\hat {\mathbf {x} }}_{t-i\mid t}}$ с ${\displaystyle i=1,\ldots ,N-1}$ новые переменные; т.е. они не появляются в стандартном фильтре Калмана;
• выигрыши рассчитываются по следующей схеме:

  ${\displaystyle \mathbf {K} ^{(i+1)}=\mathbf {P} ^{(i)}\mathbf {H} ^{\textsf {T}}\left[\mathbf {H} \mathbf {P} \mathbf {H} ^{\textsf {T}}+\mathbf {R} \right]^{-1}}$

и

${\displaystyle \mathbf {P} ^{(i)}=\mathbf {P} \left[\left(\mathbf {F} -\mathbf {K} \mathbf {H} \right)^{\textsf {T}}\right]^{i}}$

где ${\displaystyle \mathbf {P} }$ и ${\displaystyle \mathbf {K} }$ - ковариация ошибки предсказания и коэффициенты усиления стандартного фильтра Калмана (т. е. ${\displaystyle \mathbf {P} _{t\mid t-1}}$).

Если ковариация ошибки оценки определена так, что

${\displaystyle \mathbf {P} _{i}:=E\left[\left(\mathbf {x} _{t-i}-{\hat {\mathbf {x} }}_{t-i\mid t}\right)^{*}\left(\mathbf {x} _{t-i}-{\hat {\mathbf {x} }}_{t-i\mid t}\right)\mid z_{1}\ldots z_{t}\right],}$

тогда мы видим, что улучшение оценки ${\displaystyle \mathbf {x} _{t-i}}$ дан кем-то:

${\displaystyle \mathbf {P} -\mathbf {P} _{i}=\sum _{j=0}^{i}\left[\mathbf {P} ^{(j)}\mathbf {H} ^{\textsf {T}}\left(\mathbf {H} \mathbf {P} \mathbf {H} ^{\textsf {T}}+\mathbf {R} \right)^{-1}\mathbf {H} \left(\mathbf {P} ^{(i)}\right)^{\textsf {T}}\right]}$

Сглаживающие устройства с фиксированным интервалом

Оптимальный сглаживание с фиксированным интервалом обеспечивает оптимальную оценку ${\displaystyle {\hat {\mathbf {x} }}_{k\mid n}}$ (${\displaystyle k<n}$) с использованием измерений из фиксированного интервала ${\displaystyle \mathbf {z} _{1}}$ к ${\displaystyle \mathbf {z} _{n}}$. Это также называется «сглаживанием Кальмана». Часто используются несколько алгоритмов сглаживания.

Раух – Тунг – Штрибель

Сглаживание Рауха – Тунга – Штрибеля (RTS) - это эффективный двухпроходный алгоритм для сглаживания с фиксированным интервалом.^[44]

Прямой проход такой же, как и обычный алгоритм фильтра Калмана. Эти фильтрованный априорные и апостериорные оценки состояний ${\displaystyle {\hat {\mathbf {x} }}_{k\mid k-1}}$, ${\displaystyle {\hat {\mathbf {x} }}_{k\mid k}}$ и ковариации ${\displaystyle \mathbf {P} _{k\mid k-1}}$, ${\displaystyle \mathbf {P} _{k\mid k}}$ сохраняются для использования в обратном проходе.

При обратном проходе мы вычисляем сглаженный государственные оценки ${\displaystyle {\hat {\mathbf {x} }}_{k\mid n}}$ и ковариации ${\displaystyle \mathbf {P} _{k\mid n}}$. Мы начинаем с последнего временного шага и движемся назад во времени, используя следующие рекурсивные уравнения:

${\displaystyle {\begin{aligned}{\hat {\mathbf {x} }}_{k\mid n}&={\hat {\mathbf {x} }}_{k\mid k}+\mathbf {C} _{k}\left({\hat {\mathbf {x} }}_{k+1\mid n}-{\hat {\mathbf {x} }}_{k+1\mid k}\right)\\\mathbf {P} _{k\mid n}&=\mathbf {P} _{k\mid k}+\mathbf {C} _{k}\left(\mathbf {P} _{k+1\mid n}-\mathbf {P} _{k+1\mid k}\right)\mathbf {C} _{k}^{\textsf {T}}\end{aligned}}}$

где

${\displaystyle \mathbf {C} _{k}=\mathbf {P} _{k\mid k}\mathbf {F} _{k+1}^{\textsf {T}}\mathbf {P} _{k+1\mid k}^{-1}.}$

${\displaystyle \mathbf {x} _{k\mid k}}$ является апостериорной оценкой временного шага ${\displaystyle k}$ и ${\displaystyle \mathbf {x} _{k+1\mid k}}$ является априорной оценкой временного шага ${\displaystyle k+1}$. То же самое относится и к ковариации.

Модифицированный сглаживатель Брайсона – Фрейзера

Альтернативой алгоритму RTS является модифицированный сглаживание фиксированного интервала Брайсона – Фрейзера (MBF), разработанный Бирманом.^[36] При этом также используется обратный проход, который обрабатывает данные, сохраненные из прямого прохода фильтра Калмана. Уравнения для обратного прохода включают рекурсивное вычисление данных, которые используются в каждый момент наблюдения для вычисления сглаженного состояния и ковариации.

Рекурсивные уравнения:

${\displaystyle {\begin{aligned}{\tilde {\Lambda }}_{k}&=\mathbf {H} _{k}^{\textsf {T}}\mathbf {S} _{k}^{-1}\mathbf {H} _{k}+{\hat {\mathbf {C} }}_{k}^{\textsf {T}}{\hat {\Lambda }}_{k}{\hat {\mathbf {C} }}_{k}\\{\hat {\Lambda }}_{k-1}&=\mathbf {F} _{k}^{\textsf {T}}{\tilde {\Lambda }}_{k}\mathbf {F} _{k}\\{\hat {\Lambda }}_{n}&=0\\{\tilde {\lambda }}_{k}&=-\mathbf {H} _{k}^{\textsf {T}}\mathbf {S} _{k}^{-1}\mathbf {y} _{k}+{\hat {\mathbf {C} }}_{k}^{\textsf {T}}{\hat {\lambda }}_{k}\\{\hat {\lambda }}_{k-1}&=\mathbf {F} _{k}^{\textsf {T}}{\tilde {\lambda }}_{k}\\{\hat {\lambda }}_{n}&=0\end{aligned}}}$

где ${\displaystyle \mathbf {S} _{k}}$ остаточная ковариация и ${\displaystyle {\hat {\mathbf {C} }}_{k}=\mathbf {I} -\mathbf {K} _{k}\mathbf {H} _{k}}$. Затем сглаженное состояние и ковариацию можно найти путем подстановки в уравнения

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {P} _{k\mid n}&=\mathbf {P} _{k\mid k}-\mathbf {P} _{k\mid k}{\hat {\Lambda }}_{k}\mathbf {P} _{k\mid k}\\\mathbf {x} _{k\mid n}&=\mathbf {x} _{k\mid k}-\mathbf {P} _{k\mid k}{\hat {\lambda }}_{k}\end{aligned}}}$

или

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {P} _{k\mid n}&=\mathbf {P} _{k\mid k-1}-\mathbf {P} _{k\mid k-1}{\tilde {\Lambda }}_{k}\mathbf {P} _{k\mid k-1}\\\mathbf {x} _{k\mid n}&=\mathbf {x} _{k\mid k-1}-\mathbf {P} _{k\mid k-1}{\tilde {\lambda }}_{k}.\end{aligned}}}$

Важным преимуществом MBF является то, что он не требует нахождения инверсии ковариационной матрицы.

Сглаживание с минимальной дисперсией

Сглаживатель с минимальной дисперсией может обеспечить максимально возможное количество ошибок при условии, что модели являются линейными, их параметры и статистика шума известны точно.^[45] Этот сглаживатель представляет собой изменяющееся во времени обобщение оптимального непричинного Винеровский фильтр.

Более плавные вычисления выполняются за два прохода. Прямые вычисления включают предсказатель на один шаг вперед и даются как

${\displaystyle {\begin{aligned}{\hat {\mathbf {x} }}_{k+1\mid k}&=(\mathbf {F} _{k}-\mathbf {K} _{k}\mathbf {H} _{k}){\hat {\mathbf {x} }}_{k\mid k-1}+\mathbf {K} _{k}\mathbf {z} _{k}\\\alpha _{k}&=-\mathbf {S} _{k}^{-{\frac {1}{2}}}\mathbf {H} _{k}{\hat {\mathbf {x} }}_{k\mid k-1}+\mathbf {S} _{k}^{-{\frac {1}{2}}}\mathbf {z} _{k}\end{aligned}}}$

Вышеупомянутая система известна как обратный фактор Винера-Хопфа. Обратная рекурсия является дополнением к указанной выше прямой. Результат обратного прохода ${\displaystyle \beta _{k}}$ может быть вычислен, оперируя прямыми уравнениями на обращенном во времени ${\displaystyle \alpha _{k}}$ и время обратить вспять результат. В случае оценки выхода сглаженная оценка дается выражением

${\displaystyle {\hat {\mathbf {y} }}_{k\mid N}=\mathbf {z} _{k}-\mathbf {R} _{k}\beta _{k}}$

Взяв причинную часть этой минимальной дисперсии, мы получим более плавный результат.

${\displaystyle {\hat {\mathbf {y} }}_{k\mid k}=\mathbf {z} _{k}-\mathbf {R} _{k}\mathbf {S} _{k}^{-{\frac {1}{2}}}\alpha _{k}}$

который идентичен фильтру Калмана с минимальной дисперсией. Приведенные выше решения минимизируют дисперсию ошибки оценки выхода. Обратите внимание, что более сглаженный вывод Рауха – Тунга – Штрибеля предполагает, что лежащие в основе распределения являются гауссовскими, тогда как решения с минимальной дисперсией этого не делают. Аналогичным образом могут быть построены оптимальные сглаживающие устройства для оценки состояния и оценки входных данных.

Версия вышеописанного сглаживания с непрерывным временем описана в.^[46][47]

Алгоритмы ожидания-максимизации может использоваться для расчета приблизительного максимальная вероятность оценки неизвестных параметров пространства состояний в фильтрах с минимальной дисперсией и сглаживателях. Часто неуверенность остается в пределах проблемных предположений. Устройство сглаживания, учитывающее неопределенности, может быть разработано путем добавления положительно определенного члена в уравнение Риккати.^[48]

В случаях, когда модели являются нелинейными, пошаговая линеаризация может быть в пределах фильтра минимальной дисперсии и более гладких рекурсий (расширенная фильтрация Калмана ).

Фильтры Калмана, взвешенные по частоте

Новаторские исследования восприятия звуков на разных частотах были проведены Флетчером и Мансоном в 1930-х годах. Их работа привела к стандартному способу взвешивания измеренных уровней звука в исследованиях промышленного шума и потери слуха. С тех пор частотные весовые коэффициенты используются в конструкциях фильтров и контроллеров для управления производительностью в пределах интересующих диапазонов.

Обычно функция формирования частоты используется для взвешивания средней мощности спектральной плотности ошибок в заданной полосе частот. Позволять ${\displaystyle \mathbf {y} -{\hat {\mathbf {y} }}}$ обозначают ошибку оценки выходного сигнала, проявляемую обычным фильтром Калмана. Кроме того, пусть ${\displaystyle \mathbf {W} }$ обозначают причинно-частотную весовую передаточную функцию. Оптимальное решение, сводящее к минимуму разброс ${\displaystyle \mathbf {W} \left(\mathbf {y} -{\hat {\mathbf {y} }}\right)}$ возникает путем простого построения ${\displaystyle \mathbf {W} ^{-1}{\hat {\mathbf {y} }}}$.

Дизайн ${\displaystyle \mathbf {W} }$ остается открытым вопросом. Один из способов - определить систему, которая генерирует ошибку оценки, и установить ${\displaystyle \mathbf {W} }$ равняется обратной этой системе.^[49] Эта процедура может повторяться для получения улучшения среднеквадратичной ошибки за счет увеличения порядка фильтрации. Ту же технику можно применить и к сглаживателям.

Нелинейные фильтры

Базовый фильтр Калмана ограничен линейным предположением. Однако более сложные системы могут быть нелинейный. Нелинейность может быть связана либо с моделью процесса, либо с моделью наблюдения, либо с обоими.

Наиболее распространенными вариантами фильтров Калмана для нелинейных систем являются расширенный фильтр Калмана и фильтр Калмана без запаха. Пригодность того, какой фильтр использовать, зависит от показателей нелинейности процесса и модели наблюдения.^[50]

Расширенный фильтр Калмана

Основная статья: Расширенный фильтр Калмана

В расширенном фильтре Калмана (EKF) модели перехода состояний и наблюдения не обязательно должны быть линейными функциями состояния, но вместо этого могут быть нелинейными функциями. Эти функции дифференцируемый тип.

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {x} _{k}&=f(\mathbf {x} _{k-1},\mathbf {u} _{k})+\mathbf {w} _{k}\\\mathbf {z} _{k}&=h(\mathbf {x} _{k})+\mathbf {v} _{k}\end{aligned}}}$

Функция ж может использоваться для вычисления прогнозируемого состояния из предыдущей оценки и аналогично функции час может использоваться для вычисления прогнозируемого измерения из прогнозируемого состояния. Однако, ж и час не может быть применен к ковариации напрямую. Вместо этого матрица частных производных ( Якобиан ) вычисляется.

На каждом временном шаге якобиан оценивается с учетом текущих предсказанных состояний. Эти матрицы могут использоваться в уравнениях фильтра Калмана. Этот процесс существенно линеаризует нелинейную функцию вокруг текущей оценки.

Фильтр Калмана без запаха

Когда модели перехода состояний и наблюдения, то есть функции прогнозирования и обновления ${\displaystyle f}$ и ${\displaystyle h}$- сильно нелинейны, расширенный фильтр Калмана может дать особенно плохие характеристики.^[51] Это потому, что ковариация распространяется через линеаризацию лежащей в основе нелинейной модели. Фильтр Калмана без запаха (UKF)^[51] использует детерминированный метод выборки, известный как преобразование без запаха (UT) чтобы выбрать минимальный набор точек выборки (называемых сигма-точками) вокруг среднего. Затем сигма-точки распространяются через нелинейные функции, из которых затем формируются новое среднее значение и оценка ковариации. Результирующий фильтр зависит от того, как вычисляется преобразованная статистика UT и какой набор сигма-точек используется. Следует отметить, что всегда можно построить новые UKF последовательным образом.^[52] Для некоторых систем результирующий UKF более точно оценивает истинное среднее значение и ковариацию.^[53] Это можно проверить с помощью Отбор проб Монте-Карло или Серия Тейлор расширение апостериорной статистики. Кроме того, этот метод устраняет требование явно вычислять якобианы, что для сложных функций может быть трудной задачей само по себе (т. Е. Требовать сложных производных, если выполняется аналитически, или требует больших вычислительных затрат, если выполняется численно), если не невозможно (если эти функции выполняются не дифференцируемый).

Сигма точки

Для случайного вектора ${\displaystyle \mathbf {x} =(x_{1},\dots ,x_{L})}$, сигма-точки - это любой набор векторов

${\displaystyle \{\mathbf {s} _{0},\dots ,\mathbf {s} _{N}\}={\bigl \{}{\begin{pmatrix}s_{0,1}&s_{0,2}&\ldots &s_{0,L}\end{pmatrix}},\dots ,{\begin{pmatrix}s_{N,1}&s_{N,2}&\ldots &s_{N,L}\end{pmatrix}}{\bigr \}}}$

приписывается

• веса первого порядка ${\displaystyle W_{0}^{a},\dots ,W_{N}^{a}}$ это выполнить

1. ${\displaystyle \sum _{j=0}^{N}W_{j}^{a}=1}$
2. для всех ${\displaystyle i=1,\dots ,L}$: ${\displaystyle E[x_{i}]=\sum _{j=0}^{N}W_{j}^{a}s_{j,i}}$

• веса второго порядка ${\displaystyle W_{0}^{c},\dots ,W_{N}^{c}}$ что выполнить

1. ${\displaystyle \sum _{j=0}^{N}W_{j}^{c}=1}$
2. для всех пар ${\displaystyle (i,l)\in \{1,\dots ,L\}^{2}:E[x_{i}x_{l}]=\sum _{j=0}^{N}W_{j}^{c}s_{j,i}s_{j,l}}$.

Простой выбор сигма-точек и весов для ${\displaystyle \mathbf {x} _{k-1\mid k-1}}$ в алгоритме UKF

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {s} _{0}&={\hat {\mathbf {x} }}_{k-1\mid k-1}\\-1&<W_{0}^{a}=W_{0}^{c}<1\\\mathbf {s} _{j}&={\hat {\mathbf {x} }}_{k-1\mid k-1}+{\sqrt {\frac {L}{1-W_{0}}}}\mathbf {A} _{j},\quad j=1,\dots ,L\\\mathbf {s} _{L+j}&={\hat {\mathbf {x} }}_{k-1\mid k-1}-{\sqrt {\frac {L}{1-W_{0}}}}\mathbf {A} _{j},\quad j=1,\dots ,L\\W_{j}^{a}&=W_{j}^{c}={\frac {1-W_{0}}{2L}},\quad j=1,\dots ,2L\end{aligned}}}$

где ${\displaystyle {\hat {\mathbf {x} }}_{k-1\mid k-1}}$ средняя оценка ${\displaystyle \mathbf {x} _{k-1\mid k-1}}$. Вектор ${\displaystyle \mathbf {A} _{j}}$ это j-й столбец ${\displaystyle \mathbf {A} }$ где ${\displaystyle \mathbf {P} _{k-1\mid k-1}=\mathbf {AA} ^{\textsf {T}}}$. Матрица ${\displaystyle \mathbf {A} }$ должны быть рассчитаны с использованием численно эффективных и стабильных методов, таких как Разложение Холецкого. Вес среднего значения, ${\displaystyle W_{0}}$, можно выбрать произвольно.

Другой популярной параметризацией (которая обобщает сказанное выше) является

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {s} _{0}&={\hat {\mathbf {x} }}_{k-1\mid k-1}\\W_{0}^{a}&={\frac {\alpha ^{2}\kappa -L}{\alpha ^{2}\kappa }}\\W_{0}^{c}&=W_{0}^{a}+1-\alpha ^{2}+\beta \\\mathbf {s} _{j}&={\hat {\mathbf {x} }}_{k-1\mid k-1}+\alpha {\sqrt {\kappa }}\mathbf {A} _{j},\quad j=1,\dots ,L\\\mathbf {s} _{L+j}&={\hat {\mathbf {x} }}_{k-1\mid k-1}-\alpha {\sqrt {\kappa }}\mathbf {A} _{j},\quad j=1,\dots ,L\\W_{j}^{a}&=W_{j}^{c}={\frac {1}{2\alpha ^{2}\kappa }},\quad j=1,\dots ,2L.\end{aligned}}}$

${\displaystyle \alpha }$ и ${\displaystyle \kappa }$ контролировать разброс сигма-точек. ${\displaystyle \beta }$ связано с распределением ${\displaystyle x}$.

Подходящие значения зависят от решаемой проблемы, но типичная рекомендация ${\displaystyle \alpha =10^{-3}}$, ${\displaystyle \kappa =1}$, и ${\displaystyle \beta =2}$. Однако большее значение ${\displaystyle \alpha }$ (например., ${\displaystyle \alpha =1}$) может быть полезным для лучшего улавливания разброса распределения и возможных нелинейностей.^[54] Если истинное распределение ${\displaystyle x}$ гауссово, ${\displaystyle \beta =2}$ оптимально.^[55]

Предсказывать

Как и в случае с EKF, прогноз UKF может использоваться независимо от обновления UKF, в сочетании с линейным (или даже EKF) обновлением, или наоборот.

Учитывая оценки среднего и ковариации, ${\displaystyle {\hat {\mathbf {x} }}_{k-1\mid k-1}}$ и ${\displaystyle \mathbf {P} _{k-1\mid k-1}}$, получается ${\displaystyle N=2L+1}$ сигма указывает, как описано в разделе выше. Сигма-точки распространяются через функцию перехода ж.

${\displaystyle \mathbf {x} _{j}=f\left(\mathbf {s} _{j}\right)\quad j=0,\dots ,2L}$.

Распространенные сигма-точки взвешиваются для получения прогнозируемого среднего значения и ковариации.

${\displaystyle {\begin{aligned}{\hat {\mathbf {x} }}_{k\mid k-1}&=\sum _{j=0}^{2L}W_{j}^{a}\mathbf {x} _{j}\\\mathbf {P} _{k\mid k-1}&=\sum _{j=0}^{2L}W_{j}^{c}\left(\mathbf {x} _{j}-{\hat {\mathbf {x} }}_{k\mid k-1}\right)\left(\mathbf {x} _{j}-{\hat {\mathbf {x} }}_{k\mid k-1}\right)^{\textsf {T}}+\mathbf {Q} _{k}\end{aligned}}}$

где ${\displaystyle W_{j}^{a}}$ - веса первого порядка исходных сигма-точек, и ${\displaystyle W_{j}^{c}}$ - веса второго порядка. Матрица ${\displaystyle \mathbf {Q} _{k}}$ - ковариация шума перехода, ${\displaystyle \mathbf {w} _{k}}$.

Обновлять

Учитывая прогнозные оценки ${\displaystyle {\hat {\mathbf {x} }}_{k\mid k-1}}$ и ${\displaystyle \mathbf {P} _{k\mid k-1}}$, новый набор ${\displaystyle N=2L+1}$ сигма точки ${\displaystyle \mathbf {s} _{0},\dots ,\mathbf {s} _{2L}}$ с соответствующими весами первого порядка ${\displaystyle W_{0}^{a},\dots W_{2L}^{a}}$ и веса второго порядка ${\displaystyle W_{0}^{c},\dots ,W_{2L}^{c}}$ рассчитывается.^[56] Эти сигма-точки преобразуются через ${\displaystyle h}$.

${\displaystyle \mathbf {z} _{j}=h(\mathbf {s} _{j}),\,\,j=0,1,\dots ,2L}$.

Затем вычисляются эмпирическое среднее и ковариация преобразованных точек.

${\displaystyle {\begin{aligned}{\hat {\mathbf {z} }}&=\sum _{j=0}^{2L}W_{j}^{a}\mathbf {z} _{j}\\[6pt]{\hat {\mathbf {S} }}_{k}&=\sum _{j=0}^{2L}W_{j}^{c}(\mathbf {z} _{j}-{\hat {\mathbf {z} }})(\mathbf {z} _{j}-{\hat {\mathbf {z} }})^{\textsf {T}}+\mathbf {R} _{k}\end{aligned}}}$

где ${\displaystyle \mathbf {R} _{k}}$ - ковариационная матрица шума наблюдения, ${\displaystyle \mathbf {v} _{k}}$. Кроме того, также необходима матрица кросс-ковариаций.

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {C_{sz}} &=\sum _{j=0}^{2L}W_{j}^{c}(\mathbf {s} _{j}-{\hat {\mathbf {x} }}_{k|k-1})(\mathbf {z} _{j}-{\hat {\mathbf {z} }})^{\textsf {T}}\end{aligned}}}$

где ${\displaystyle \mathbf {s} _{j}}$ непреобразованные сигма-точки, созданные из ${\displaystyle {\hat {\mathbf {x} }}_{k\mid k-1}}$ и ${\displaystyle \mathbf {P} _{k\mid k-1}}$.

Прирост Калмана составляет

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {K} _{k}=\mathbf {C_{sz}} {\hat {\mathbf {S} }}_{k}^{-1}.\end{aligned}}}$

Обновленные оценки среднего и ковариации:

${\displaystyle {\begin{aligned}{\hat {\mathbf {x} }}_{k\mid k}&={\hat {\mathbf {x} }}_{k|k-1}+\mathbf {K} _{k}(\mathbf {z} _{k}-{\hat {\mathbf {z} }})\\\mathbf {P} _{k\mid k}&=\mathbf {P} _{k\mid k-1}-\mathbf {K} _{k}{\hat {\mathbf {S} }}_{k}\mathbf {K} _{k}^{\textsf {T}}.\end{aligned}}}$

Фильтр Калмана – Бьюси

Фильтр Калмана – Бьюси (названный в честь Ричарда Сноудена Бьюси) представляет собой непрерывную временную версию фильтра Калмана.^[57][58]

Он основан на модели пространства состояний

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {d}{dt}}\mathbf {x} (t)&=\mathbf {F} (t)\mathbf {x} (t)+\mathbf {B} (t)\mathbf {u} (t)+\mathbf {w} (t)\\\mathbf {z} (t)&=\mathbf {H} (t)\mathbf {x} (t)+\mathbf {v} (t)\end{aligned}}}$

где ${\displaystyle \mathbf {Q} (t)}$ и ${\displaystyle \mathbf {R} (t)}$ представляют собой интенсивности (или, точнее: матрицы спектральной плотности мощности - PSD) двух членов белого шума ${\displaystyle \mathbf {w} (t)}$ и ${\displaystyle \mathbf {v} (t)}$, соответственно.

Фильтр состоит из двух дифференциальных уравнений, одного для оценки состояния и одного для ковариации:

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {d}{dt}}{\hat {\mathbf {x} }}(t)&=\mathbf {F} (t){\hat {\mathbf {x} }}(t)+\mathbf {B} (t)\mathbf {u} (t)+\mathbf {K} (t)\left(\mathbf {z} (t)-\mathbf {H} (t){\hat {\mathbf {x} }}(t)\right)\\{\frac {d}{dt}}\mathbf {P} (t)&=\mathbf {F} (t)\mathbf {P} (t)+\mathbf {P} (t)\mathbf {F} ^{\textsf {T}}(t)+\mathbf {Q} (t)-\mathbf {K} (t)\mathbf {R} (t)\mathbf {K} ^{\textsf {T}}(t)\end{aligned}}}$

где коэффициент Калмана определяется выражением

${\displaystyle \mathbf {K} (t)=\mathbf {P} (t)\mathbf {H} ^{\textsf {T}}(t)\mathbf {R} ^{-1}(t)}$

Обратите внимание, что в этом выражении для ${\displaystyle \mathbf {K} (t)}$ ковариация шума наблюдения ${\displaystyle \mathbf {R} (t)}$ представляет собой в то же время ковариацию ошибки предсказания (или инновации) ${\displaystyle {\tilde {\mathbf {y} }}(t)=\mathbf {z} (t)-\mathbf {H} (t){\hat {\mathbf {x} }}(t)}$; эти ковариации равны только в случае непрерывного времени.^[59]

Различия между этапами прогнозирования и обновления фильтрации Калмана в дискретном времени не существует в непрерывном времени.

Второе дифференциальное уравнение для ковариации является примером Уравнение Риккати. Нелинейные обобщения фильтров Калмана – Бьюси включают непрерывный расширенный фильтр Калмана и кубический фильтр Калмана.^[60]

Гибридный фильтр Калмана

Большинство физических систем представлены в виде моделей с непрерывным временем, в то время как измерения с дискретным временем часто проводятся для оценки состояния с помощью цифрового процессора. Следовательно, модель системы и модель измерения даются

${\displaystyle {\begin{aligned}{\dot {\mathbf {x} }}(t)&=\mathbf {F} (t)\mathbf {x} (t)+\mathbf {B} (t)\mathbf {u} (t)+\mathbf {w} (t),&\mathbf {w} (t)&\sim N\left(\mathbf {0} ,\mathbf {Q} (t)\right)\\\mathbf {z} _{k}&=\mathbf {H} _{k}\mathbf {x} _{k}+\mathbf {v} _{k},&\mathbf {v} _{k}&\sim N(\mathbf {0} ,\mathbf {R} _{k})\end{aligned}}}$

где

${\displaystyle \mathbf {x} _{k}=\mathbf {x} (t_{k})}$.

Инициализировать

${\displaystyle {\hat {\mathbf {x} }}_{0\mid 0}=E\left[\mathbf {x} (t_{0})\right],\mathbf {P} _{0\mid 0}=\operatorname {Var} \left[\mathbf {x} \left(t_{0}\right)\right]}$

Предсказывать

${\displaystyle {\begin{aligned}{\dot {\hat {\mathbf {x} }}}(t)&=\mathbf {F} (t){\hat {\mathbf {x} }}(t)+\mathbf {B} (t)\mathbf {u} (t){\text{, with }}{\hat {\mathbf {x} }}\left(t_{k-1}\right)={\hat {\mathbf {x} }}_{k-1\mid k-1}\\\Rightarrow {\hat {\mathbf {x} }}_{k\mid k-1}&={\hat {\mathbf {x} }}\left(t_{k}\right)\\{\dot {\mathbf {P} }}(t)&=\mathbf {F} (t)\mathbf {P} (t)+\mathbf {P} (t)\mathbf {F} (t)^{\textsf {T}}+\mathbf {Q} (t){\text{, with }}\mathbf {P} \left(t_{k-1}\right)=\mathbf {P} _{k-1\mid k-1}\\\Rightarrow \mathbf {P} _{k\mid k-1}&=\mathbf {P} \left(t_{k}\right)\end{aligned}}}$

Уравнения прогноза выводятся из уравнений фильтра Калмана с непрерывным временем без обновления результатов измерений, т. Е. ${\displaystyle \mathbf {K} (t)=0}$. Прогнозируемое состояние и ковариация вычисляются соответственно путем решения набора дифференциальных уравнений с начальным значением, равным оценке на предыдущем шаге.

На случай, если линейный инвариант во времени систем, динамика непрерывного времени может быть точно дискретизированный в систему с дискретным временем, используя матричные экспоненты.

Обновлять

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {K} _{k}&=\mathbf {P} _{k\mid k-1}\mathbf {H} _{k}^{\textsf {T}}\left(\mathbf {H} _{k}\mathbf {P} _{k\mid k-1}\mathbf {H} _{k}^{\textsf {T}}+\mathbf {R} _{k}\right)^{-1}\\{\hat {\mathbf {x} }}_{k\mid k}&={\hat {\mathbf {x} }}_{k\mid k-1}+\mathbf {K} _{k}\left(\mathbf {z} _{k}-\mathbf {H} _{k}{\hat {\mathbf {x} }}_{k\mid k-1}\right)\\\mathbf {P} _{k\mid k}&=\left(\mathbf {I} -\mathbf {K} _{k}\mathbf {H} _{k}\right)\mathbf {P} _{k\mid k-1}\end{aligned}}}$

Уравнения обновления идентичны уравнениям дискретного фильтра Калмана.

Варианты восстановления разреженных сигналов

Традиционный фильтр Калмана также использовался для извлечения редкий возможно динамические сигналы от зашумленных наблюдений. Последние работы^[61][62][63] использовать понятия теории сжатое зондирование / sampling, например свойство ограниченной изометрии и связанные аргументы вероятностного восстановления, для последовательной оценки разреженного состояния в изначально низкоразмерных системах.

Приложения

• Системы ориентации и заголовка
• Автопилот
• Оценка состояния заряда батареи (SoC)^[64][65]
• Интерфейсы мозг-компьютер^[66]
• Хаотические сигналы
• Отслеживание и вершинная аппроксимация заряженные частицы в детекторы частиц^[67]
• Отслеживание объектов в компьютерное зрение
• Динамическое позиционирование в доставке
• Экономика, особенно макроэкономика, анализ временных рядов, и эконометрика^[68]
• Инерционная система наведения
• Ядерная медицина - восстановление изображения однофотонной эмиссионной компьютерной томографии^[69]
• Определение орбиты
• Оценка состояния энергосистемы
• Радар-трекер
• Системы спутниковой навигации
• Сейсмология^[70]
• Бездатчиковое управление двигателем переменного тока частотно-регулируемые приводы
• Одновременная локализация и отображение
• Улучшение речи
• Визуальная одометрия
• Прогноз погоды
• Навигационная система
• 3D моделирование
• Структурный мониторинг здоровья
• Сенсомоторная обработка человека^[71]

Смотрите также

• Альфа-бета-фильтр
• Ковариация пересечения
• Ансамблевый фильтр Калмана
• Быстрый фильтр Калмана
• Проблема фильтрации (случайные процессы)
• Обобщенная фильтрация
• Инвариантный расширенный фильтр Калмана
• Адаптивный фильтр ядра
• Теорема Масрелица
• Оценка подвижного горизонта
• Фильтр твердых частиц оценщик
• ПИД-регулятор
• Метод предиктора – корректора
• Рекурсивный фильтр наименьших квадратов
• Фильтр Шмидта – Калмана
• Принцип разделения
• Управление скользящим режимом
• Матрица перехода состояний
• Стохастические дифференциальные уравнения
• Переключение фильтра Калмана

Рекомендации

1. Пол Зарчан; Говард Мусофф (2000). Основы фильтрации Калмана: практический подход. Американский институт аэронавтики и астронавтики, Incorporated. ISBN  978-1-56347-455-2.
2. Гизель, Эрик; Марчеллино, Массимилиано (2018). Прикладное экономическое прогнозирование с использованием методов временных рядов. Нью-Йорк, Нью-Йорк: Издательство Оксфордского университета. п. 419. ISBN  978-0-19-062201-5. OCLC  1010658777.
3. Вольперт, Дэниел; Гахрамани, Зубин (2000). «Вычислительные принципы нейробиологии движения». Природа Неврология. 3: 1212–7. Дои:10.1038/81497. PMID  11127840. S2CID  736756.
4. Кальман, Р. Э. (1960). «Новый подход к задачам линейной фильтрации и прогнозирования». Журнал фундаментальной инженерии. 82: 35–45. Дои:10.1115/1.3662552. S2CID  1242324.
5. Хамферис, Джеффри (2012). «Свежий взгляд на фильтр Кальмана». Общество промышленной и прикладной математики. 54 (4): 801–823. Дои:10.1137/100799666.
6. Ли, Ванянь; Ван, Цзидун; Вэй, Гуолян; Ма, Лифенг; Ху, Цзюнь; Дин, Деруи (2015). "Обзор мультисенсорного слияния и согласованной фильтрации для сенсорных сетей". Дискретная динамика в природе и обществе. 2015: 1–12. Дои:10.1155/2015/683701. ISSN  1026-0226.
7. Ли, Ванянь; Ван, Цзидун; Ho, Daniel W. C .; Вэй, Гуолян (2019). "Об ограниченности ковариаций ошибок для задач фильтрации консенсуса Калмана". IEEE Transactions по автоматическому контролю. 65 (6): 2654–2661. Дои:10.1109 / TAC.2019.2942826. ISSN  0018-9286. S2CID  204196474.
8. Лауритцен, С. Л. (декабрь 1981 г.). «Анализ временных рядов в 1880 году. Обсуждение вклада Т.Н. Тиле». Международный статистический обзор. 49 (3): 319–331. Дои:10.2307/1402616. JSTOR  1402616. Он выводит рекурсивную процедуру для оценки компонента регрессии и предсказания броуновского движения. Эта процедура теперь известна как фильтрация Калмана.
9. Лауритцен, С.Л. (2002). Тиле: пионер в статистике. Нью-Йорк: Oxford University Press. п. 41. ISBN  978-0-19-850972-1. Он решает задачу оценки коэффициентов регрессии и предсказания значений броуновского движения методом наименьших квадратов и дает элегантную рекурсивную процедуру для проведения вычислений. В настоящее время процедура известна как Фильтрация Калмана.
10. Мохиндер С. Гревал и Ангус П. Эндрюс
11. Гейлор, Дэвид; Лайтси, Э. Гленн (2003). "Проект фильтра Калмана GPS / INS для космических аппаратов, работающих в непосредственной близости от Международной космической станции". Конференция и выставка AIAA по руководству, навигации и управлению. Дои:10.2514/6.2003-5445. ISBN  978-1-62410-090-1.
12. Стратонович, Р. Л. (1959). Оптимальные нелинейные системы, обеспечивающие отделение сигнала с постоянными параметрами от шума. Радиофизика, 2: 6, с. 892–901.
13. Стратонович, Р. Л. (1959). К теории оптимальной нелинейной фильтрации случайных функций. Теория вероятностей и ее приложения, 4, стр. 223–225.
14. Стратонович Р. Л. (1960) Применение теории марковских процессов к оптимальной фильтрации. Радиотехника и электронная физика, 5:11, с. 1–19.
15. Стратонович, Р. Л. (1960). Условные марковские процессы. Теория вероятностей и ее приложения, 5, стр. 156–178.
16. Степанов О.А. (15 мая 2011 г.). «Кальмановская фильтрация: прошлое и настоящее. Взгляд из России. (К 80-летию Рудольфа Эмиля Кальмана)». Гироскопия и навигация. 2 (2): 105. Дои:10.1134 / S2075108711020076. S2CID  53120402.
17. Ингвар Стрид; Карл Валентин (апрель 2009 г.). «Блочная фильтрация Калмана для крупномасштабных моделей DSGE». Вычислительная экономика. 33 (3): 277–304. CiteSeerX  10.1.1.232.3790. Дои:10.1007 / s10614-008-9160-4. S2CID  3042206.
18. Мартин Мёллер Андреасен (2008). "Нелинейные модели DSGE, центральный разностный фильтр Калмана и фильтр средних смещенных частиц" (PDF).
19. Roweis, S; Гахрамани, Z (1999). «Объединительный обзор линейных гауссовских моделей» (PDF). Нейронные вычисления. 11 (2): 305–45. Дои:10.1162/089976699300016674. PMID  9950734. S2CID  2590898.
20. Гамильтон, Дж. (1994), Анализ временных рядов, Princeton University Press. Глава 13, "Фильтр Калмана"
21. Ishihara, J.Y .; Terra, M.H .; Кампос, J.C.T. (2006). «Робастный фильтр Калмана для дескрипторных систем». IEEE Transactions по автоматическому контролю. 51 (8): 1354. Дои:10.1109 / TAC.2006.878741. S2CID  12741796.
22. Terra, Marco H .; Cerri, Joao P .; Исихара, Жоао Ю. (2014). «Оптимальный робастный линейно-квадратичный регулятор для систем с неопределенностями». IEEE Transactions по автоматическому контролю. 59 (9): 2586–2591. Дои:10.1109 / TAC.2014.2309282. S2CID  8810105.
23. Келли, Алонзо (1994). «Формулировка в трехмерном пространстве состояний навигационного фильтра Калмана для автономных транспортных средств» (PDF). Документ DTIC: 13. Исправленная версия 2006 г. В архиве 2017-01-10 в Wayback Machine
24. Рид, Ян; Срок, Хилари. «Оценка II» (PDF). www.robots.ox.ac.uk. Оксфордский университет. Получено 6 августа 2014.
25. Раджамани, Мурали (октябрь 2007 г.). Методы, основанные на данных, для улучшения оценки состояния при прогнозном управлении моделью (PDF) (Кандидатская диссертация). Университет Висконсина-Мэдисона. Архивировано из оригинал (PDF) на 2016-03-04. Получено 2011-04-04.
26. Rajamani, Murali R .; Роулингс, Джеймс Б. (2009). «Оценка структуры возмущений по данным с использованием полуопределенного программирования и оптимального взвешивания». Automatica. 45 (1): 142–148. Дои:10.1016 / j.automatica.2008.05.032.
27. "Набор инструментов метода наименьших квадратов автоковариации". Jbrwww.che.wisc.edu. Архивировано из оригинал на 2016-11-28. Получено 2014-06-02.
28. Bania, P .; Барановский, Дж. (12 декабря 2016 г.). Полевой фильтр Калмана и его приближение. 55-я конференция IEEE по решениям и контролю (CDC). Лас-Вегас, Невада, США: IEEE. С. 2875–2880.
29. Три теста оптимальности с численными примерами описаны в Питер, Матиско (2012). «Тесты оптимальности и адаптивный фильтр Калмана». 16-й симпозиум МФБ по идентификации систем. Объемы разбирательств МФБ. 16-й Симпозиум МФБ по идентификации систем. 45. С. 1523–1528. Дои:10.3182 / 20120711-3-BE-2027.00011. ISBN  978-3-902823-06-9.
30. Сполл, Джеймс С. (1995). «Неравенство Канторовича для анализа ошибок фильтра Калмана с неизвестными распределениями шума». Automatica. 31 (10): 1513–1517. Дои:10.1016/0005-1098(95)00069-9.
31. Марьяк, J.L .; Spall, J.C .; Heydon, B.D. (2004). «Использование фильтра Калмана для вывода в моделях пространства состояний с неизвестным распределением шума». IEEE Transactions по автоматическому контролю. 49: 87–90. Дои:10.1109 / TAC.2003.821415. S2CID  21143516.
32. Уолранд, Жан; Димакис, Антонис (август 2006 г.). Случайные процессы в системах - Конспект лекций (PDF). С. 69–70.
33. Андерсон, Брайан Д. О .; Мур, Джон Б. (1979). Оптимальная фильтрация. Нью-Йорк: Prentice Hall. С. 129–133. ISBN  978-0-13-638122-8.
34. Цзинъян Лу. «Атака с использованием ложной информации для оценки динамического состояния в многосенсорных системах», Fusion 2014
35. Торнтон, Кэтрин Л. (15 октября 1976 г.). Факторизации треугольной ковариации для фильтрации Калмана (PDF) (Кандидат наук). НАСА. Технический меморандум НАСА 33-798.
36. Бирман, Г.Дж. (1977). «Методы факторизации для дискретного последовательного оценивания». Методы факторизации для дискретного последовательного оценивания. Bibcode:1977fmds.book ..... B.
37. Бар-Шалом, Яаков; Ли, X. Ронг; Кирубараджан, Тиагалингам (июль 2001 г.). Оценка с помощью приложений для отслеживания и навигации. Нью-Йорк: Джон Уайли и сыновья. С. 308–317. ISBN  978-0-471-41655-5.
38. Golub, Gene H .; Ван Лоан, Чарльз Ф. (1996). Матричные вычисления. Исследования Джона Хопкинса в области математических наук (Третье изд.). Балтимор, Мэриленд: Университет Джона Хопкинса. п. 139. ISBN  978-0-8018-5414-9.
39. Хайэм, Николас Дж. (2002). Точность и стабильность численных алгоритмов. (Второе изд.). Филадельфия, Пенсильвания: Общество промышленной и прикладной математики. п. 680. ISBN  978-0-89871-521-7.
40. Масрелиес, К. Йохан; Мартин, Р. Д. (1977). «Робастная байесовская оценка для линейной модели и робастизация фильтра Калмана». IEEE Transactions по автоматическому контролю. 22 (3): 361–371. Дои:10.1109 / TAC.1977.1101538.
41. Lütkepohl, Гельмут (1991). Введение в анализ множественных временных рядов. Гейдельберг: Springer-Verlag Berlin. п. 435.
42. Габриэль Т. Тережану (2012-08-04). "Учебное пособие по дискретному фильтру Калмана" (PDF). Получено 2016-04-13.
43. Андерсон, Брайан Д. О .; Мур, Джон Б. (1979). Оптимальная фильтрация. Энглвуд Клиффс, Нью-Джерси: Prentice Hall, Inc., стр. 176–190. ISBN  978-0-13-638122-8.
44. Rauch, H.E .; Tung, F .; Стрибель, К. Т. (август 1965 г.). «Оценки максимального правдоподобия линейных динамических систем». Журнал AIAA. 3 (8): 1445–1450. Bibcode:1965AIAAJ ... 3.1445.. Дои:10.2514/3.3166.
45. Эйнике, Г.А. (Март 2006 г.). «Оптимальные и надежные составы беспричинных фильтров». Транзакции IEEE при обработке сигналов. 54 (3): 1069–1077. Bibcode:2006ITSP ... 54.1069E. Дои:10.1109 / TSP.2005.863042. S2CID  15376718.
46. Эйнике, Г.А. (Апрель 2007 г.). «Асимптотическая оптимальность сглаживания с минимальной дисперсией с фиксированным интервалом». Транзакции IEEE при обработке сигналов. 55 (4): 1543–1547. Bibcode:2007ITSP ... 55.1543E. Дои:10.1109 / TSP.2006.889402. S2CID  16218530.
47. Einicke, G.A .; Ralston, J.C .; Hargrave, C.O .; Рейд, округ Колумбия; Хейнсворт, Д.В. (Декабрь 2008 г.). "Автоматизация разработки длинных забоев. Применение сглаживания минимальной дисперсии". Журнал IEEE Control Systems. 28 (6): 28–37. Дои:10.1109 / MCS.2008.929281. S2CID  36072082.
48. Эйнике, Г.А. (Декабрь 2009 г.). «Асимптотическая оптимальность сглаживания с минимальной дисперсией с фиксированным интервалом». IEEE Transactions по автоматическому контролю. 54 (12): 2904–2908. Bibcode:2007ITSP ... 55.1543E. Дои:10.1109 / TSP.2006.889402. S2CID  16218530.
49. Эйнике, Г.А. (Декабрь 2014 г.). «Итерационные процедуры частотно-взвешенной фильтрации и сглаживания». Письма об обработке сигналов IEEE. 21 (12): 1467–1470. Bibcode:2014ISPL ... 21.1467E. Дои:10.1109 / LSP.2014.2341641. S2CID  13569109.
50. Biswas, Sanat K .; Цяо, Ли; Демпстер, Эндрю Г. (01.12.2020). «Количественный подход к прогнозированию пригодности использования фильтра Калмана без запаха в нелинейном приложении». Automatica. 122: 109241. Дои:10.1016 / j.automatica.2020.109241. ISSN  0005-1098.
51. Джульер, Саймон Дж .; Ульманн, Джеффри К. (1997). «Новое расширение фильтра Калмана на нелинейные системы» (PDF). В Кадаре, Иван (ред.). Обработка сигналов, объединение датчиков и распознавание целей VI. Труды SPIE. 3. С. 182–193. Bibcode:1997SPIE.3068..182J. CiteSeerX  10.1.1.5.2891. Дои:10.1117/12.280797. S2CID  7937456. Получено 2008-05-03.
52. Menegaz, H.M.T .; Ishihara, J. Y .; Borges, G.A .; Варгас, А. Н. (октябрь 2015 г.). "Систематизация теории фильтра Кальмана без запаха". IEEE Transactions по автоматическому контролю. 60 (10): 2583–2598. Дои:10.1109 / tac.2015.2404511. HDL:20.500.11824/251. ISSN  0018-9286. S2CID  12606055.
53. Густафссон, Фредрик; Хендеби, Густав (2012). «Некоторые отношения между расширенными фильтрами Кальмана и без запаха». Транзакции IEEE при обработке сигналов. 60 (2): 545–555. Bibcode:2012ITSP ... 60..545 г. Дои:10.1109 / чайная ложка.2011.2172431. S2CID  17876531.
54. Битцер, С. (2016). «UKF разоблачил: как это работает, когда работает и когда лучше пробовать». Дои:10.5281 / zenodo.44386.
55. Wan, E.A .; Ван Дер Мерве, Р. (2000). «Фильтр Калмана без запаха для нелинейного оценивания» (PDF). Труды симпозиума по адаптивным системам для обработки сигналов, связи и управления IEEE 2000 (кат. № 00EX373). п. 153. CiteSeerX  10.1.1.361.9373. Дои:10.1109 / ASSPCC.2000.882463. ISBN  978-0-7803-5800-3. S2CID  13992571.
56. Саркка, Симо (сентябрь 2007 г.). "О фильтрации Калмана без запаха для оценки состояния нелинейных систем с непрерывным временем". IEEE Transactions по автоматическому контролю. 52 (9): 1631–1641. Дои:10.1109 / TAC.2007.904453.
57. Бьюси, Р. и Джозеф, П.Д., Фильтрация случайных процессов с приложениями к навигации, Джон Вили и сыновья, 1968; 2-е издание, AMS Chelsea Publ., 2005. ISBN  0-8218-3782-6
58. Язвински, Эндрю Х., Стохастические процессы и теория фильтрации, Academic Press, Нью-Йорк, 1970. ISBN  0-12-381550-9
59. Кайлат, Т. (1968). «Инновационный подход к оценке методом наименьших квадратов - Часть I: Линейная фильтрация в аддитивном белом шуме». IEEE Transactions по автоматическому контролю. 13 (6): 646–655. Дои:10.1109 / TAC.1968.1099025.
60. Поделитесь Пасанд, Мохаммад Махди (2020-06-02). «Кубические наблюдатели типа Люенбергера для оценки состояния линейных систем». Международный журнал адаптивного управления и обработки сигналов. 34 (9): 1148–1161. arXiv:1909.11978. Дои:10.1002 / acs.3125. ISSN  0890-6327. S2CID  202888832.
61. Васвани, Намрата (2008). «Сжатое зондирование с фильтром Калмана». 2008 15-я Международная конференция IEEE по обработке изображений. С. 893–896. arXiv:0804.0819. Дои:10.1109 / ICIP.2008.4711899. ISBN  978-1-4244-1765-0. S2CID  9282476.
62. Карми, Авиши; Гурфил, Пини; Каневский, Дмитрий (2010). «Методы восстановления разреженных сигналов с использованием фильтрации Калмана со встроенными псевдоизмерительными нормами и квазинормами». Транзакции IEEE при обработке сигналов. 58 (4): 2405–2409. Bibcode:2010ITSP ... 58.2405C. Дои:10.1109 / TSP.2009.2038959. S2CID  10569233.
63. Захария, Дэйв; Чаттерджи, Сайкат; Янссон, Магнус (2012). «Динамическое итеративное преследование». Транзакции IEEE при обработке сигналов. 60 (9): 4967–4972. arXiv:1206.2496. Bibcode:2012ITSP ... 60.4967Z. Дои:10.1109 / TSP.2012.2203813. S2CID  18467024.
64. Васеби, Амир; Партовибахш, Марал; Батаи, С. Мохаммад Таги (2007). «Новая комбинированная модель аккумулятора для оценки состояния заряда свинцово-кислотных аккумуляторов на основе расширенного фильтра Калмана для гибридных электромобилей». Журнал источников энергии. 174 (1): 30–40. Bibcode:2007JPS ... 174 ... 30 В. Дои:10.1016 / j.jpowsour.2007.04.011.
65. Васеби, А .; Bathaee, S.M.T .; Партовибахш, М. (2008). «Прогнозирование состояния заряда свинцово-кислотных аккумуляторов для гибридных электромобилей с помощью расширенного фильтра Калмана». Преобразование энергии и управление. 49: 75–82. Дои:10.1016 / j.enconman.2007.05.017.
66. Беркхарт, Майкл С. (2019). Дискриминационный подход к байесовской фильтрации с приложениями к нейронному декодированию человека. Провиденс, Род-Айленд, США: Университет Брауна. Дои:10.26300 / nhfp-xv22.
67. Фрувирт Р. (1987). «Применение фильтрации Калмана для отслеживания и аппроксимации вершин». Ядерные приборы и методы в физических исследованиях Секция А. 262 (2–3): 444–450. Bibcode:1987NIMPA.262..444F. Дои:10.1016/0168-9002(87)90887-4.
68. Харви, Эндрю С. (1994). «Применение фильтра Калмана в эконометрике». В Бьюли, Трумэн (ред.). Достижения в эконометрике. Нью-Йорк: Издательство Кембриджского университета. стр.285f. ISBN  978-0-521-46726-1.
69. Boulfelfel, D .; Рангаян, Р.М .; Hahn, L.J .; Kloiber, R .; Кудувалли, Г. (1994). «Двумерное восстановление изображений однофотонной эмиссионной компьютерной томографии с использованием фильтра Калмана». IEEE Transactions по медицинской визуализации. 13 (1): 102–109. Дои:10.1109/42.276148. PMID  18218487.
70. Bock, Y .; Crowell, B .; Уэбб, Ф .; Kedar, S .; Clayton, R .; Мияхара, Б. (2008). "Слияние высокоскоростных GPS и сейсмических данных: приложения к системам раннего предупреждения для смягчения геологических опасностей". Тезисы осеннего собрания AGU. 43: G43B – 01. Bibcode:2008AGUFM.G43B..01B.
71. Wolpert, D.M .; Миалл Р. К. (1996). «Прямые модели для физиологического контроля моторики». Нейронные сети. 9 (8): 1265–1279. Дои:10.1016 / S0893-6080 (96) 00035-4. PMID  12662535.

дальнейшее чтение

• Эйнике, Г.А. (2019). Сглаживание, фильтрация и прогнозирование: оценка прошлого, настоящего и будущего (2-е изд.). Amazon Prime Publishing. ISBN  978-0-6485115-0-2.
• Джинья Су; Байбин Ли; Вэнь-Хуа Чен (2015). «О существовании, оптимальности и асимптотической устойчивости фильтра Калмана с частично наблюдаемыми входами». Automatica. 53: 149–154. Дои:10.1016 / j.automatica.2014.12.044.
• Гелб, А. (1974). Прикладная оптимальная оценка. MIT Press.
• Кальман, Р. (1960). «Новый подход к задачам линейной фильтрации и прогнозирования» (PDF). Журнал фундаментальной инженерии. 82 (1): 35–45. Дои:10.1115/1.3662552. Архивировано из оригинал (PDF) на 2008-05-29. Получено 2008-05-03.
• Kalman, R.E .; Бьюси, Р. (1961). «Новые результаты в теории линейной фильтрации и прогнозирования». Журнал фундаментальной инженерии. 83: 95–108. CiteSeerX  10.1.1.361.6851. Дои:10.1115/1.3658902.
• Харви, A.C. (1990). Прогнозирование, структурные модели временных рядов и фильтр Калмана. Издательство Кембриджского университета. ISBN  9780521405737.
• Roweis, S .; Гахрамани, З. (1999). «Объединительный обзор линейных гауссовских моделей» (PDF). Нейронные вычисления. 11 (2): 305–345. Дои:10.1162/089976699300016674. PMID  9950734. S2CID  2590898.
• Саймон, Д. (2006). Оценка оптимального состояния: подходы Калмана, H бесконечности и нелинейные подходы. Wiley-Interscience.
• Стенгель, Р.Ф. (1994). Оптимальное управление и оценка. Dover Publications. ISBN  978-0-486-68200-6.
• Warwick, K. (1987). «Оптимальные наблюдатели для моделей ARMA». Международный журнал контроля. 46 (5): 1493–1503. Дои:10.1080/00207178708933989.
• Бирман, Г.Дж. (1977). Методы факторизации для дискретного последовательного оценивания. Математика в науке и технике. 128. Минеола, Нью-Йорк: Dover Publications. ISBN  978-0-486-44981-4.
• Божич, С. (1994). Цифровая фильтрация и фильтрация Калмана. Баттерворт-Хайнеманн.
• Хайкин, С. (2002). Теория адаптивного фильтра. Прентис Холл.
• Liu, W .; Принсипи, Дж. К., Хайкин, С. (2010). Адаптивная фильтрация ядра: всестороннее введение. Джон Вили.
• Манолакис, Д. (1999). Статистическая и адаптивная обработка сигналов. Артек Хаус.
• Уэлч, Грег; Епископ, Гэри (1997). «SCAAT: добавочное отслеживание с неполной информацией» (PDF). SIGGRAPH '97 Материалы 24-й ежегодной конференции по компьютерной графике и интерактивным техникам. ACM Press / Addison-Wesley Publishing Co., стр. 333–344. Дои:10.1145/258734.258876. ISBN  978-0-89791-896-1. S2CID  1512754.
• Язвински, Эндрю Х. (1970). Случайные процессы и фильтрация. Математика в науке и технике. Нью-Йорк: Академическая пресса. п. 376. ISBN  978-0-12-381550-7.
• Можетек, Питер С. (1979). "Глава 1" (PDF). Стохастические модели, оценка и управление. Математика в науке и технике. 141-1. Нью-Йорк: Академическая пресса. ISBN  978-0-12-480701-3.
• Мория, Н. (2011). Учебник по фильтрации Калмана: взгляд физика. Нью-Йорк: Nova Science Publishers, Inc. ISBN  978-1-61668-311-5.
• Dunik, J .; Simandl M .; Страка О. (2009). «Методы оценки состояния и ковариационных матриц шума измерений: аспекты и сравнение». 15-й Симпозиум МФБ по идентификации систем, 2009 г.. 15-й Симпозиум МФБ по идентификации систем, 2009 г. Франция. С. 372–377. Дои:10.3182 / 20090706-3-FR-2004.00061. ISBN  978-3-902661-47-0.
• Чуй, Чарльз К .; Чен, Гуаньжун (2009). Фильтрация Калмана с приложениями реального времени. Серия Спрингера в области информационных наук. 17 (4-е изд.). Нью-Йорк: Springer. п. 229. ISBN  978-3-540-87848-3.
• Спайви, Бен; Хеденгрен, Дж. Д. и Эдгар, Т. Ф. (2010). «Ограниченная нелинейная оценка загрязнения промышленных процессов». Промышленные и инженерные химические исследования. 49 (17): 7824–7831. Дои:10.1021 / ie9018116.
• Томас Кайлат; Али Х. Сайед; Бабак Хассиби (2000). Линейная оценка. Нью-Джерси: Прентис – Холл. ISBN  978-0-13-022464-4.
• Али Х. Сайед (2008). Адаптивные фильтры. НД: Уайли. ISBN  978-0-470-25388-5.

внешняя ссылка

• Новый подход к задачам линейной фильтрации и прогнозирования, Р. Э. Кальмана, 1960
• Кальмановские и байесовские фильтры в Python. Учебник по фильтрации Калмана с открытым исходным кодом.
• Как работает фильтр Калмана, в картинках. Освещает фильтр Калмана изображениями и цветами
• Фильтр Калмана – Бьюси, вывод фильтра Калмана – Бьюси
• Видео-лекция MIT о фильтре Калмана на YouTube
• Фильтр Калмана в Javascript. Библиотека фильтров Калмана с открытым исходным кодом для node.js и веб-браузера.
• Введение в фильтр Калмана, Курс SIGGRAPH 2001, Грег Уэлч и Гэри Бишоп
• Фильтр Калмана веб-страница со множеством ссылок
• «Фильтры Калмана, используемые в погодных моделях» (PDF). Новости SIAM. 36 (8). Октябрь 2003 г. Архивировано с оригинал (PDF) на 2011-05-17. Получено 2007-01-27.
• Haseltine, Eric L .; Роулингс, Джеймс Б. (2005). "Критическая оценка расширенной фильтрации Калмана и оценки движущегося горизонта". Промышленные и инженерные химические исследования. 44 (8): 2451. Дои:10.1021 / ie034308l.
• Библиотека подпрограмм оценки Джеральда Дж. Бирмана: Соответствует коду в исследовательской монографии «Методы факторизации для дискретного последовательного оценивания», первоначально опубликованной Academic Press в 1977 г. Переиздано Dover.
• Matlab Toolbox, реализующий части библиотеки подпрограмм оценки Джеральда Дж. Бирмана: UD / UDU 'и LD / LDL' факторизация с соответствующими обновлениями времени и измерений, составляющих фильтр Калмана.
• Matlab Toolbox фильтрации Калмана, применяемый для одновременной локализации и сопоставления: Транспортное средство движется в 1D, 2D и 3D
• Фильтр Калмана в воспроизводящих гильбертовых пространствах ядра Всестороннее введение.
• Код Matlab для оценки модели процентных ставок Кокса – Ингерсолла – Росса с фильтром Калмана: Соответствует статье «Оценка и тестирование экспоненциально-аффинных моделей временной структуры с помощью фильтра Калмана», опубликованной в журнале «Обзор количественных финансов и бухгалтерского учета» в 1999 году.
• Онлайн-демонстрация фильтра Калмана. Демонстрация фильтра Калмана (и других методов усвоения данных) с использованием двойных экспериментов.
• Ботелла, Гильермо; Мартин Х., Хосе Антонио; Сантос, Матильда; Мейер-Бейз, Уве (2011). «Мультимодальная встроенная сенсорная система на основе ПЛИС, объединяющая зрение низкого и среднего уровня». Датчики. 11 (12): 1251–1259. Дои:10,3390 / с110808164. ЧВК  3231703. PMID  22164069.
• Примеры и инструкции по использованию фильтров Калмана с MATLAB Учебник по фильтрации и оценке
• Объяснение фильтрации (оценки) за один час, десять минут, одну минуту и ​​одно предложение Ю-Чи Хо