Уравнение Риккати - Riccati equation

В математика, а Уравнение Риккати в самом узком смысле - это любой обыкновенное дифференциальное уравнение то есть квадратичный в неизвестной функции. Другими словами, это уравнение вида

${\displaystyle y'(x)=q_{0}(x)+q_{1}(x)\,y(x)+q_{2}(x)\,y^{2}(x)}$

куда ${\displaystyle q_{0}(x)\neq 0}$ и ${\displaystyle q_{2}(x)\neq 0}$. Если ${\displaystyle q_{0}(x)=0}$ уравнение сводится к Уравнение Бернулли, а если ${\displaystyle q_{2}(x)=0}$ уравнение становится первого порядка линейное обыкновенное дифференциальное уравнение.

Уравнение названо в честь Якопо Риккати (1676–1754).^[1]

В более общем смысле термин Уравнение Риккати используется для обозначения матричные уравнения с аналогичным квадратичным членом, которые встречаются в обоих непрерывное время и дискретное время линейно-квадратично-гауссовское управление. Их стационарная (нединамическая) версия называется алгебраическое уравнение Риккати.

Приведение к линейному уравнению второго порядка

В нелинейный Уравнение Риккати всегда можно привести ко второму порядку линейное обыкновенное дифференциальное уравнение (ODE):^[2]Если

${\displaystyle y'=q_{0}(x)+q_{1}(x)y+q_{2}(x)y^{2}\!}$

затем, где бы ${\displaystyle q_{2}}$ отлична от нуля и дифференцируема, ${\displaystyle v=yq_{2}}$ удовлетворяет уравнению Риккати вида

${\displaystyle v'=v^{2}+R(x)v+S(x),\!}$

куда ${\displaystyle S=q_{2}q_{0}}$ и ${\displaystyle R=q_{1}+{\frac {q_{2}'}{q_{2}}}}$, потому что

${\displaystyle v'=(yq_{2})'=y'q_{2}+yq_{2}'=(q_{0}+q_{1}y+q_{2}y^{2})q_{2}+v{\frac {q_{2}'}{q_{2}}}=q_{0}q_{2}+\left(q_{1}+{\frac {q_{2}'}{q_{2}}}\right)v+v^{2}.\!}$

Подстановка ${\displaystyle v=-u'/u}$, следует, что ${\displaystyle u}$ удовлетворяет линейному ОДУ 2-го порядка

${\displaystyle u''-R(x)u'+S(x)u=0\!}$

поскольку

${\displaystyle v'=-(u'/u)'=-(u''/u)+(u'/u)^{2}=-(u''/u)+v^{2}\!}$

так что

${\displaystyle u''/u=v^{2}-v'=-S-Rv=-S+Ru'/u\!}$

и поэтому

${\displaystyle u''-Ru'+Su=0.\!}$

Решение этого уравнения приведет к решению ${\displaystyle y=-u'/(q_{2}u)}$ исходного уравнения Риккати.

Приложение к уравнению Шварца

Важным приложением уравнения Риккати является третий порядок Шварцево дифференциальное уравнение

${\displaystyle S(w):=(w''/w')'-(w''/w')^{2}/2=f}$

которое встречается в теории конформных отображений и однолистные функции. В этом случае ОДУ находятся в комплексной области, а дифференцирование осуществляется по комплексной переменной. (The Производная Шварца ${\displaystyle S(w)}$ обладает замечательным свойством инвариантности относительно преобразований Мёбиуса, т. е. ${\displaystyle S((aw+b)/(cw+d))=S(w)}$ в любое время ${\displaystyle ad-bc}$ не равно нулю.) Функция ${\displaystyle y=w''/w'}$удовлетворяет уравнению Риккати

${\displaystyle y'=y^{2}/2+f.}$

По вышеизложенному ${\displaystyle y=-2u'/u}$ куда ${\displaystyle u}$ является решением линейного ОДУ

${\displaystyle u''+(1/2)fu=0.}$

С ${\displaystyle w''/w'=-2u'/u}$, интеграция дает ${\displaystyle w'=C/u^{2}}$для некоторой постоянной ${\displaystyle C}$. С другой стороны, любое другое независимое решение ${\displaystyle U}$ линейного ОДУ имеет постоянный ненулевой вронскиан ${\displaystyle U'u-Uu'}$ что можно считать ${\displaystyle C}$ после масштабирования.

${\displaystyle w'=(U'u-Uu')/u^{2}=(U/u)'}$

так что уравнение Шварца имеет решение ${\displaystyle w=U/u.}$

Получение решений по квадратуре

Соответствие между уравнениями Риккати и линейными ОДУ второго порядка имеет и другие последствия. Например, если известно одно решение ОДУ 2-го порядка, то известно, что другое решение может быть получено с помощью квадратуры, то есть простого интегрирования. То же верно и для уравнения Риккати. Фактически, если одно конкретное решение ${\displaystyle y_{1}}$ можно найти, общее решение получается как

${\displaystyle y=y_{1}+u}$

Подстановка

${\displaystyle y_{1}+u}$

в уравнении Риккати дает

${\displaystyle y_{1}'+u'=q_{0}+q_{1}\cdot (y_{1}+u)+q_{2}\cdot (y_{1}+u)^{2},}$

и с тех пор

${\displaystyle y_{1}'=q_{0}+q_{1}\,y_{1}+q_{2}\,y_{1}^{2},}$

следует, что

${\displaystyle u'=q_{1}\,u+2\,q_{2}\,y_{1}\,u+q_{2}\,u^{2}}$

или же

${\displaystyle u'-(q_{1}+2\,q_{2}\,y_{1})\,u=q_{2}\,u^{2},}$

который является Уравнение Бернулли. Для решения этого уравнения Бернулли необходима подстановка:

${\displaystyle z={\frac {1}{u}}}$

Подстановка

${\displaystyle y=y_{1}+{\frac {1}{z}}}$

непосредственно в уравнение Риккати дает линейное уравнение

${\displaystyle z'+(q_{1}+2\,q_{2}\,y_{1})\,z=-q_{2}}$

Тогда набор решений уравнения Риккати определяется выражением

${\displaystyle y=y_{1}+{\frac {1}{z}}}$

где z - общее решение упомянутого выше линейного уравнения.

Смотрите также

• Линейно-квадратичный регулятор
• Алгебраическое уравнение Риккати
• Линейно-квадратично-гауссовское управление

Рекомендации

1. Риккати, Якопо (1724) "Animadversiones in aequationes Differentiales secundi gradus" (Наблюдения относительно дифференциальных уравнений второго порядка), Actorum Eruditorum, quae Lipsiae publicantur, Дополнение, 8 : 66-73. Перевод оригинальной латыни на английский язык пользователя Ian Bruce.
2. Инс, Э. Л. (1956) [1926], Обыкновенные дифференциальные уравнения., Нью-Йорк: Dover Publications, стр. 23–25.

дальнейшее чтение

• Хилле, Эйнар (1997) [1976], Обыкновенные дифференциальные уравнения в комплексной области., Нью-Йорк: Dover Publications, ISBN  0-486-69620-0
• Нехари, Зеев (1975) [1952], Конформное отображение, Нью-Йорк: Dover Publications, ISBN  0-486-61137-X
• Полянин, Андрей Д .; Зайцев, Валентин Ф. (2003), Справочник по точным решениям обыкновенных дифференциальных уравнений (2-е изд.), Бока-Ратон, Флорида: Chapman & Hall / CRC, ISBN  1-58488-297-2
• Зеликин, Михаил Иванович (2000), Однородные пространства и уравнение Риккати в вариационном исчислении, Берлин: Springer-Verlag
• Рид, Уильям Т. (1972), Дифференциальные уравнения Риккати, Лондон: Academic Press

внешняя ссылка

• «Уравнение Риккати», Энциклопедия математики, EMS Press, 2001 [1994]
• Уравнение Риккати в EqWorld: мир математических уравнений.
• Дифференциальное уравнение Риккати в Mathworld
• Функция MATLAB для решения алгебраического уравнения Риккати с непрерывным временем.
• SciPy имеет функции для решения непрерывное алгебраическое уравнение Риккати и дискретное алгебраическое уравнение Риккати.