Матричное разностное уравнение - Matrix difference equation - Wikipedia

А матричное разностное уравнение это разностное уравнение в котором значение a вектор (или иногда матрица) переменных в один момент времени связана со своим собственным значением в один или несколько предыдущих моментов времени, используя матрицы.^[1][2] В порядок уравнения - максимальный временной интервал между любыми двумя указанными значениями вектора переменной. Например,

${\displaystyle \mathbf {x} _{t}=\mathbf {A} \mathbf {x} _{t-1}+\mathbf {B} \mathbf {x} _{t-2}}$

является примером матричного разностного уравнения второго порядка, в котором Икс является п × 1 вектор переменных и А и B находятся п × п матрицы. Это уравнение является однородным, потому что в конец уравнения не добавляется член-константа вектора. То же уравнение можно записать как

${\displaystyle \mathbf {x} _{t+2}=\mathbf {A} \mathbf {x} _{t+1}+\mathbf {B} \mathbf {x} _{t}}$

или как

${\displaystyle \mathbf {x} _{n}=\mathbf {A} \mathbf {x} _{n-1}+\mathbf {B} \mathbf {x} _{n-2}}$

Наиболее часто встречаются матричные разностные уравнения первого порядка.

Неоднородный случай первого порядка и установившееся состояние

Примером неоднородного матричного разностного уравнения первого порядка является

${\displaystyle \mathbf {x} _{t}=\mathbf {A} \mathbf {x} _{t-1}+\mathbf {b} }$

с аддитивным постоянным вектором б. Устойчивое состояние этой системы - это величина Икс* вектора Икс от которой, если она будет достигнута, не отклонятся впоследствии. Икс* находится путем установки Икс_т = Икс_т−1 = Икс* в разностном уравнении и решение для Икс* чтобы получить

${\displaystyle \mathbf {x} ^{*}=[\mathbf {I} -\mathbf {A} ]^{-1}\mathbf {b} }$

куда я это п × п единичная матрица, и где предполагается, что [я − А] является обратимый. Тогда неоднородное уравнение можно переписать в однородном виде в терминах отклонений от стационарного состояния:

${\displaystyle \left[\mathbf {x} _{t}-\mathbf {x} ^{*}\right]=\mathbf {A} \left[\mathbf {x} _{t-1}-\mathbf {x} ^{*}\right]}$

Устойчивость случая первого порядка.

Матричное разностное уравнение первого порядка [Икс_т − Икс*] = А[Икс_т−1 − Икс*] является стабильный -то есть, Икс_т асимптотически сходится к установившемуся состоянию Икс*- если и только если все собственные значения матрицы перехода А (реальный или сложный) иметь абсолютная величина что меньше 1.

Решение случая первого порядка

Предположим, что уравнение записано в однородном виде у_т = Ау_т−1. Затем мы можем повторять и заменять несколько раз из начальное состояние у₀, являющееся начальным значением вектора у и которые необходимо знать, чтобы найти решение:

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {y} _{1}&=\mathbf {A} \mathbf {y} _{0}\\\mathbf {y} _{2}&=\mathbf {A} \mathbf {y} _{1}=\mathbf {A} ^{2}\mathbf {y} _{0}\\\mathbf {y} _{3}&=\mathbf {A} \mathbf {y} _{2}=\mathbf {A} ^{3}\mathbf {y} _{0}\end{aligned}}}$

и так далее, чтобы математическая индукция решение с точки зрения т является

${\displaystyle \mathbf {y} _{t}=\mathbf {A} ^{t}\mathbf {y} _{0}}$

Далее, если А диагонализируется, мы можем переписать А с точки зрения его собственные значения и собственные векторы, давая решение как

${\displaystyle \mathbf {y} _{t}=\mathbf {P} \mathbf {D} ^{t}\mathbf {P} ^{-1}\mathbf {y} _{0},}$

куда п является п × п матрица, столбцы которой являются собственные векторы из А (предполагая, что все собственные значения различны) и D является п × п диагональная матрица диагональные элементы которого являются собственными значениями А. Это решение мотивирует вышеуказанный результат стабильности: А^т сжимается до нулевой матрицы со временем тогда и только тогда, когда собственные значения А все меньше единицы по абсолютной величине.

Извлечение динамики одной скалярной переменной из матричной системы первого порядка

Начиная с п-мерная система у_т = Ау_т−1, мы можем извлечь динамику одной из переменных состояния, скажем у₁. Приведенное выше уравнение решения для у_т показывает, что решение для у_1,т с точки зрения п собственные значения А. Следовательно, уравнение, описывающее эволюцию у₁ само по себе должно иметь решение, включающее те же самые собственные значения. Это описание интуитивно мотивирует уравнение эволюции у₁, который

${\displaystyle y_{1,t}=a_{1}y_{1,t-1}+a_{2}y_{1,t-2}+\dots +a_{n}y_{1,t-n}}$

где параметры а_я из характеристическое уравнение матрицы А:

${\displaystyle \lambda ^{n}-a_{1}\lambda ^{n-1}-a_{2}\lambda ^{n-2}-\dots -a_{n}\lambda ^{0}=0.}$

Таким образом, каждая отдельная скалярная переменная п-мерная линейная система первого порядка эволюционирует по одномерному празностное уравнение th степени, которое имеет такое же свойство устойчивости (стабильное или нестабильное), что и матричное разностное уравнение.

Решение и устойчивость случаев высшего порядка

Матричные разностные уравнения более высокого порядка, то есть с запаздыванием более одного периода, могут быть решены, а их устойчивость проанализирована путем преобразования их в форму первого порядка с использованием блочная матрица (матрица матриц). Например, предположим, что у нас есть уравнение второго порядка

${\displaystyle \mathbf {x} _{t}=\mathbf {A} \mathbf {x} _{t-1}+\mathbf {B} \mathbf {x} _{t-2}}$

с переменным вектором Икс существование п × 1 и А и B существование п × п. Его можно сложить в виде

${\displaystyle {\begin{bmatrix}\mathbf {x} _{t}\\\mathbf {x} _{t-1}\\\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}\mathbf {A} &\mathbf {B} \\\mathbf {I} &\mathbf {0} \\\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\mathbf {x} _{t-1}\\\mathbf {x} _{t-2}\end{bmatrix}}}$

куда я это п × п единичная матрица и 0 это п × п нулевая матрица. Затем обозначая 2п × 1 сложенный вектор текущих и однократно запаздывающих переменных как z_т и 2п × 2п блочная матрица как L, по-прежнему имеем решение

${\displaystyle \mathbf {z} _{t}=\mathbf {L} ^{t}\mathbf {z} _{0}}$

Как и раньше, это комплексное уравнение и, следовательно, исходное уравнение второго порядка устойчивы тогда и только тогда, когда все собственные значения матрицы L меньше единицы по модулю.

Нелинейные матричные разностные уравнения: уравнения Риккати

В линейно-квадратично-гауссовское управление, возникает нелинейное матричное уравнение для обратной эволюции текущих и будущих затрат матрица, обозначаемый ниже как ЧАС. Это уравнение называется дискретным динамическим Уравнение Риккати, и он возникает, когда переменный вектор, эволюционирующий в соответствии с линейным матричным разностным уравнением, управляется путем манипулирования экзогенный вектор для оптимизации квадратичный функция стоимости. Это уравнение Риккати принимает следующий или аналогичный вид:

${\displaystyle \mathbf {H} _{t-1}=\mathbf {K} +\mathbf {A} '\mathbf {H} _{t}\mathbf {A} -\mathbf {A} '\mathbf {H} _{t}\mathbf {C} \left[\mathbf {C} '\mathbf {H} _{t}\mathbf {C} +\mathbf {R} \right]^{-1}\mathbf {C} '\mathbf {H} _{t}\mathbf {A} }$

куда ЧАС, K, и А находятся п × п, C является п × k, р является k × k, п - количество элементов в векторе, которым нужно управлять, и k - количество элементов в векторе управления. Матрицы параметров А и C из линейного уравнения, а матрицы параметров K и р являются от квадратичной функции стоимости. Видеть здесь для подробностей.

Как правило, это уравнение не может быть решено аналитически для ЧАС_т с точки зрения т; скорее, последовательность значений для ЧАС_т находится путем повторения уравнения Риккати. Однако было показано^[3] что это уравнение Риккати можно решить аналитически, если р = 0 и п = k + 1, сведя его к скаляру рациональное разностное уравнение; кроме того, для любого k и п если матрица перехода А является невырожденным, то уравнение Риккати может быть решено аналитически в терминах собственных значений матрицы, хотя их, возможно, придется находить численно.^[4]

В большинстве случаев эволюция ЧАС назад во времени стабильно, что означает, что ЧАС сходится к определенной фиксированной матрице ЧАС* что может быть иррациональным, даже если все остальные матрицы рациональны. Смотрите также Стохастическое управление § Дискретное время.

Связанное уравнение Риккати^[5] является

${\displaystyle \mathbf {X} _{t+1}=-\left[\mathbf {E} +\mathbf {B} \mathbf {X} _{t}\right]\left[\mathbf {C} +\mathbf {A} \mathbf {X} _{t}\right]^{-1}}$

в котором матрицы Икс, А, B, C, и E все п × п. Это уравнение можно решить явно. Предполагать Икс_т = N_тD⁻¹
_т, что, безусловно, верно для т = 0 с N₀ = Икс₀ и с D₀ = я. Затем, используя это в разностном уравнении, получаем

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {X} _{t+1}&=-\left[\mathbf {E} +\mathbf {B} \mathbf {N} _{t}\mathbf {D} _{t}^{-1}\right]\mathbf {D} _{t}\mathbf {D} _{t}^{-1}\left[\mathbf {C} +\mathbf {A} \mathbf {N} _{t}\mathbf {D} _{t}^{-1}\right]^{-1}\\&=-\left[\mathbf {E} \mathbf {D} _{t}+\mathbf {B} \mathbf {N} _{t}\right]\left[\left[\mathbf {C} +\mathbf {A} \mathbf {N} _{t}\mathbf {D} _{t}^{-1}\right]\mathbf {D} _{t}\right]^{-1}\\&=-\left[\mathbf {E} \mathbf {D} _{t}+\mathbf {B} \mathbf {N} _{t}\right]\left[\mathbf {C} \mathbf {D} _{t}+\mathbf {A} \mathbf {N} _{t}\right]^{-1}\\&=\mathbf {N} _{t+1}\mathbf {D} _{t+1}^{-1}\end{aligned}}}$

поэтому по индукции форма Икс_т = N_тD⁻¹
_т относится ко всем т. Затем эволюция N и D можно записать как

${\displaystyle {\begin{bmatrix}\mathbf {N} _{t+1}\\\mathbf {D} _{t+1}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}-\mathbf {B} &-\mathbf {E} \\\mathbf {A} &\mathbf {C} \end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\mathbf {N} _{t}\\\mathbf {D} _{t}\end{bmatrix}}\equiv \mathbf {J} {\begin{bmatrix}\mathbf {N} _{t}\\\mathbf {D} _{t}\end{bmatrix}}}$

Таким образом, по индукции

${\displaystyle {\begin{bmatrix}\mathbf {N} _{t}\\\mathbf {D} _{t}\end{bmatrix}}=\mathbf {J} ^{t}{\begin{bmatrix}\mathbf {N} _{0}\\\mathbf {D} _{0}\end{bmatrix}}}$

Смотрите также

• Матричное дифференциальное уравнение
• Уравнение разницы
• Линейное разностное уравнение
• Динамическая система
• Матричное уравнение Риккати # Математическое описание задачи и решения

Рекомендации

1. Калл, Пол; Флайв, Мэри; Робсон, Робби (2005). Разностные уравнения: от кроликов к хаосу. Springer. гл. 7. ISBN  0-387-23234-6.
2. Чан, Альфа К. (1984). Фундаментальные методы математической экономики (3-е изд.). Макгроу-Хилл. стр.608–612.
3. Balvers, Рональд Дж .; Митчелл, Дуглас В. (2007). «Снижение размерности линейно-квадратичных задач управления» (PDF). Журнал экономической динамики и управления. 31 (1): 141–159. Дои:10.1016 / j.jedc.2005.09.013.
4. Воан, Д. Р. (1970). «Нерекурсивное алгебраическое решение дискретного уравнения Риккати». IEEE Transactions по автоматическому контролю. 15 (5): 597–599. Дои:10.1109 / TAC.1970.1099549.
5. Martin, C.F .; Аммар, Г. (1991). «Геометрия матричного уравнения Риккати и связанный с ним метод собственных значений». В Биттани; Лауб; Виллемс (ред.). Уравнение Риккати. Springer-Verlag. Дои:10.1007/978-3-642-58223-3_5. ISBN  978-3-642-63508-3.