Многоцелевая оптимизация - Multi-objective optimization

Смотрите также: Многокритериальный анализ решений и Векторная оптимизация

Многоцелевая оптимизация (также известен как многоцелевое программирование, векторная оптимизация, многокритериальная оптимизация, оптимизация нескольких атрибутов или же Оптимизация по Парето) - это площадь принятие решения по множеству критериев это связано с задачи математической оптимизации с участием более одного целевая функция быть оптимизированными одновременно. Многоцелевая оптимизация применялась во многих областях науки, в том числе в инженерии, экономике и логистике, где оптимальные решения необходимо принимать при наличии компромиссы между двумя или более конфликтующими целями. Сведение к минимуму затрат при максимальном комфорте при покупке автомобиля и максимизация производительности при минимизации расхода топлива и выбросов загрязняющих веществ транспортного средства являются примерами многоцелевых задач оптимизации, включающих две и три цели соответственно. В практических задачах может быть более трех целей.

Для нетривиальный многоцелевая задача оптимизации, не существует единого решения, которое одновременно оптимизирует каждую цель. В этом случае говорят, что целевые функции конфликтуют, и существует (возможно, бесконечное) количество оптимальных по Парето решений. Решение называется недоминированный, Оптимальный по Парето, Парето эффективный или не хуже, если ни одна из целевых функций не может быть улучшена по значению без ухудшения некоторых других целевых значений. Без дополнительных субъективный информации о предпочтениях, все оптимальные по Парето решения считаются одинаково хорошими. Исследователи изучают многокритериальные задачи оптимизации с разных точек зрения, поэтому при их постановке и решении существуют разные философии решения и цели. Целью может быть поиск репрезентативного набора оптимальных по Парето решений и / или количественная оценка компромиссов при достижении различных целей и / или поиск единого решения, которое удовлетворяет субъективные предпочтения человека, принимающего решения (DM).

Вступление

Задача многокритериальной оптимизации - это проблема оптимизации это включает в себя несколько целевых функций.^[1][2][3] С математической точки зрения задача многокритериальной оптимизации может быть сформулирована как

${displaystyle {egin{aligned}min &left(f_{1}({vec {x}}),f_{2}({vec {x}}),ldots ,f_{k}({vec {x}})ight){ ext{s.t. }}&{vec {x}}in X,end{aligned}}}$

где целое число ${displaystyle kgeq 2}$ количество целей и набор ${displaystyle X}$ это возможный набор векторов решений, которые обычно ${displaystyle Xin mathbb {R} ^{n}}$ но это зависит от ${displaystyle n}$-мерный домен приложения. Возможный набор обычно определяется некоторыми функциями ограничения. Кроме того, векторная целевая функция часто определяется как

${displaystyle {vec {f}}:X o mathbb {R} ^{k}, {vec {f}}({vec {x}})=(f_{1}({vec {x}}),ldots ,f_{k}({vec {x}}))^{intercal }}$. Если некоторая целевая функция должна быть максимизирована, это эквивалентно минимизации ее отрицательного значения. Образ ${displaystyle X}$ обозначается ${displaystyle Yin mathbb {R} ^{k}}$

Пример Граница Парето (красным) - множество оптимальных по Парето решений (тех, над которыми не доминируют другие допустимые решения). Пунктирные точки представляют возможные варианты, меньшие значения предпочтительнее, чем большие. Точка C не находится на границе Парето, потому что над ним доминируют обе точки А и указать B. Точки А и B не находятся под строгим контролем каких-либо других и, следовательно, находятся на границе.

Элемент ${displaystyle {vec {x}}^{*}in X}$ называется возможное решение или возможное решение. Вектор ${displaystyle {vec {z}}^{*}:={vec {f}}({vec {x}}^{*})in mathbb {R} ^{k}}$ для возможного решения ${displaystyle {vec {x}}^{*}}$ называется объективный вектор или исход. При многокритериальной оптимизации обычно не существует приемлемого решения, которое минимизировало бы все целевые функции одновременно. Поэтому обращаем внимание на Оптимальный по Парето решения; то есть решения, которые нельзя улучшить ни по одной из целей без ухудшения хотя бы одной из других целей. С математической точки зрения допустимое решение ${displaystyle {vec {x}}_{1}in X}$ говорят (Парето) доминировать другое решение ${displaystyle {vec {x}}_{2}in X}$, если

1. ${displaystyle f_{i}({vec {x}}_{1})leq f_{i}({vec {x}}_{2})}$, для всех индексов ${displaystyle iin left{{1,2,dots ,k}ight}}$, и
2. ${displaystyle f_{j}({vec {x}}_{1})<f_{j}({vec {x}}_{2})}$, хотя бы для одного индекса ${displaystyle jin left{{1,2,dots ,k}ight}}$.

Решение ${displaystyle {vec {x}}^{*}in X}$ (и соответствующий результат ${displaystyle {vec {f}}({vec {x}}^{*})}$) называется оптимальным по Парето, если не существует другого доминирующего над ним решения. Набор оптимальных по Парето исходов часто называют Фронт Парето, Граница Парето или граница Парето.

Фронт Парето многокритериальной задачи оптимизации ограничен так называемым вектор цели надир ${displaystyle {vec {z}}^{nad}}$ и идеальный объективный вектор ${displaystyle {vec {z}}^{ideal}}$, если они конечны. Целевой вектор надира определяется как

${displaystyle {vec {z}}^{nad}i {vec {z}}_{i}^{nad}={underset {xin X}{sup }}{f_{i}(x)}{ ext{ for all }}i=1,ldots ,k,}$

а идеальный целевой вектор как

${displaystyle {vec {z}}^{ideal}i {vec {z}}_{i}^{ideal}={underset {xin X}{inf }}{f_{i}(x)}{ ext{ for all }}i=1,ldots ,k.}$

Другими словами, компоненты надира и идеального целевого вектора определяют верхнюю и нижнюю границы значений целевой функции оптимальных по Парето решений, соответственно. На практике целевой вектор надира может быть только аппроксимирован, поскольку, как правило, все оптимальное по Парето множество неизвестно. Кроме того, утопический объективный вектор ${displaystyle {vec {z}}^{utopian}}$ с

${displaystyle {vec {z}}_{i}^{utopian}={vec {z}}_{i}^{ideal}-epsilon { ext{ for all }}i=1,ldots ,k,}$

куда ${displaystyle epsilon >0}$ - малая константа, часто определяется по числовым причинам.

Примеры приложений

Экономика

В экономика, многие проблемы включают в себя несколько целей наряду с ограничениями на то, какие комбинации этих целей достижимы. Например, потребительские требовать для различных товаров определяется процессом максимизации коммунальные услуги полученные из этих товаров, с учетом ограничений, основанных на том, какой доход можно потратить на эти товары, и от цен на эти товары. Это ограничение позволяет покупать больше одного товара только за счет меньшего потребления другого товара; следовательно, различные цели (желательно большее потребление каждого товара) противоречат друг другу. Распространенным методом анализа такой проблемы является использование графика кривые безразличия, представляющие предпочтения, и бюджетные ограничения, представляющие компромиссы, с которыми сталкивается потребитель.

Другой пример связан с граница производственных возможностей, который определяет, какие комбинации различных типов товаров могут быть произведены обществом с определенным количеством различных ресурсов. Граница определяет компромиссы, с которыми сталкивается общество: если общество полностью использует свои ресурсы, больше одного товара может быть произведено только за счет производства меньшего количества другого товара. Тогда общество должно использовать какой-то процесс, чтобы выбрать одну из возможностей на границе.

Макроэкономическая политика -создание - это контекст, требующий многокритериальной оптимизации. Обычно Центральный банк должен выбрать позицию для денежно-кредитная политика который уравновешивает конкурирующие цели - низкий инфляция, низкий безработица, низкий торговый баланс дефицит и т. д. Для этого центральный банк использует модель экономики это количественно описывает различные причинно-следственные связи в экономике; Это имитирует модель неоднократно при различных возможных позициях денежно-кредитной политики, чтобы получить меню возможных прогнозируемых результатов для различных переменных, представляющих интерес. Затем, в принципе, он может использовать агрегированную целевую функцию для оценки альтернативных наборов прогнозируемых результатов, хотя на практике центральные банки используют неколичественный, основанный на суждениях процесс для ранжирования альтернатив и выбора политики.

Финансы

В финансы, общая проблема - выбрать портфель, когда есть две конфликтующие цели - желание иметь ожидаемое значение доходности портфеля быть максимально высокой, а желание иметь рисковать часто измеряется стандартное отклонение доходности портфеля, быть как можно ниже. Эта проблема часто представлена ​​графиком, на котором Эффективная граница показывает наилучшие доступные комбинации риска и ожидаемой доходности, а кривые безразличия показывают предпочтения инвестора в отношении различных комбинаций риска и ожидаемой доходности. Проблема оптимизации функции математического ожидания (сначала момент ) и стандартное отклонение (квадратный корень из второго центрального момента) доходности портфеля называется двухмоментная модель решения.

Оптимальный контроль

Основные статьи: Оптимальный контроль, Динамическое программирование, и Линейно-квадратичный регулятор

В инженерное дело и экономика многие проблемы связаны с множеством целей, которые нельзя описать как «чем больше, тем лучше», так и «чем меньше лучше»; вместо этого существует идеальное целевое значение для каждой цели, и мы хотим максимально приблизиться к желаемому значению каждой цели. Например, энергетические системы обычно имеют компромисс между производительностью и стоимостью.^[4][5] или кто-то может захотеть отрегулировать расход топлива и ориентацию ракеты, чтобы она прибыла как в указанное место, так и в указанное время; или кто-то может захотеть провести операции на открытом рынке так что оба уровень инфляции и уровень безработицы максимально приближены к желаемым значениям.

Часто такие проблемы подчиняются ограничениям линейного равенства, которые препятствуют одновременному достижению всех целей, особенно когда количество контролируемых переменных меньше количества целей и когда наличие случайных шоков создает неопределенность. Обычно многоцелевой квадратичная целевая функция Стоимость, связанная с объективом, возрастает квадратично с расстоянием от него до идеального значения. Поскольку эти проблемы обычно включают корректировку контролируемых переменных в различные моменты времени и / или оценку целей в различные моменты времени, межвременная оптимизация методы используются.^[6]

Оптимальный дизайн

Дизайн продуктов и процессов можно значительно улучшить с помощью современных методов моделирования, симуляции и оптимизации.^{[нужна цитата ]} Ключевой вопрос в оптимальном дизайне - это мера того, что в дизайне хорошо или желательно. Перед поиском оптимального дизайна важно определить характеристики, которые больше всего влияют на общую ценность дизайна. Хороший дизайн обычно включает в себя несколько критериев / целей, таких как капитальные затраты / инвестиции, эксплуатационные расходы, прибыль, качество и / или восстановление продукта, эффективность, безопасность процесса, время работы и т. Д. Следовательно, в практических приложениях производительность процесса и Дизайн продукта часто измеряется с учетом нескольких целей. Эти цели обычно противоречат друг другу, то есть достижение оптимального значения для одной цели требует некоторого компромисса по одной или нескольким другим целям.

Например, при проектировании бумажной фабрики можно стремиться уменьшить объем капитала, вложенного в бумажную фабрику, и одновременно повысить качество бумаги. Если конструкция бумажной фабрики определяется большими объемами хранения, а качество бумаги определяется параметрами качества, тогда проблема оптимального проектирования бумажной фабрики может включать такие цели, как: i) минимизация ожидаемого отклонения этих параметров качества от их номинальные значения, ii) минимизация ожидаемого времени перерывов и iii) минимизация инвестиционных затрат на объемы хранения. Здесь максимальный объем башен - это переменные конструкции. Этот пример оптимальной конструкции бумажной фабрики является упрощением модели, использованной в.^[7] Многоцелевая оптимизация конструкции также реализована в инженерных системах в таких случаях, как оптимизация компоновки шкафов управления,^[8] оптимизация формы профиля с использованием научных рабочих процессов,^[9] дизайн нано-CMOS полупроводники,^[10] система на кристалле проектирование, проектирование ирригационных систем на солнечных батареях,^[11] оптимизация систем песчаных форм,^[12][13] конструкция двигателя,^[14][15] оптимальное размещение датчика^[16] и оптимальная конструкция контроллера.^[17][18]

Оптимизация процесса

Многоцелевая оптимизация все чаще используется в химическая инженерия и производство. В 2009 году Фиандака и Фрага использовали многоцелевой генетический алгоритм (MOGA) для оптимизации процесса адсорбции при переменном давлении (процесс циклического разделения). Проблема проектирования заключалась в двойном максимальном извлечении азота и чистоте азота. Результаты обеспечили хорошее приближение границы Парето с приемлемым компромиссом между целями.^[19]

В 2010 году Сендин и др. решила многоцелевую задачу термической обработки пищевых продуктов. Они рассмотрели два тематических исследования (задачи с двумя и тремя целями) с нелинейными динамическими моделями и использовали гибридный подход, состоящий из взвешенного подхода Чебычева и подхода нормального пересечения границ. Новый гибридный подход позволил создать оптимальный по Парето набор для термической обработки пищевых продуктов.^[20]

В 2013 году Ganesan et al. провели многоцелевую оптимизацию комбинированного риформинга диоксида углерода и частичного окисления метана. Целевыми функциями были конверсия метана, селективность по монооксиду углерода и отношение водорода к монооксиду углерода. Ganesan использовал метод нормального пересечения границ (NBI) в сочетании с двумя методами на основе роя (алгоритм гравитационного поиска (GSA) и оптимизация роя частиц (PSO)) для решения этой проблемы.^[21] Приложения, связанные с химической экстракцией^[22] и процессы производства биоэтанола^[23] поставили аналогичные многоцелевые проблемы.

В 2013 году Абакаров и др. Предложили альтернативный метод решения многоцелевых задач оптимизации, возникающих в пищевой инженерии.^[24] Подход агрегирующих функций, адаптивный алгоритм случайного поиска и подход штрафных функций использовались для вычисления начального набора недоминируемых или оптимальных по Парето решений. В Аналитическая иерархия процессов и Табличный метод использовались одновременно для выбора наилучшей альтернативы среди вычисленного подмножества недоминируемых растворов для процессов осмотической дегидратации.^[25]

В 2018 году Пирс и др. сформулировал распределение задач между людьми и роботами как многоцелевую задачу оптимизации, учитывая время производства и эргономическое воздействие на человека как две цели, рассматриваемые в формулировке. Их подход использовал Смешанная целочисленная линейная программа для решения задачи оптимизации взвешенной суммы двух целей для расчета набора Оптимальный по Парето решения. Применение подхода к нескольким производственным задачам показало улучшения по крайней мере в одной цели в большинстве задач и в обеих задачах в некоторых процессах.^[26]

Управление радиоресурсами

Цель управление радиоресурсами чтобы удовлетворить скорость передачи данных, запрашиваемую пользователями сотовой сети.^[27] Основные ресурсы - это временные интервалы, частотные блоки и мощности передачи. У каждого пользователя есть собственная целевая функция, которая, например, может представлять некоторую комбинацию скорости передачи данных, задержки и энергоэффективности. Эти цели противоречат друг другу, так как частотные ресурсы очень скудны, поэтому существует потребность в ограниченном пространственном повторное использование частоты что вызывает огромные межпользовательские помехи, если не контролируется должным образом. Многопользовательский MIMO в настоящее время используются методы уменьшения помех с помощью адаптивных предварительное кодирование. Оператор сети хотел бы обеспечить как широкое покрытие, так и высокие скорости передачи данных, поэтому оператор хотел бы найти оптимальное по Парето решение, которое уравновешивает общую пропускную способность сети и справедливость для пользователей соответствующим субъективным образом.

Управление радиоресурсами часто решается скаляризацией; то есть выбор функции сетевой полезности, которая пытается сбалансировать пропускную способность и справедливость для пользователей. Выбор функции полезности имеет большое влияние на вычислительную сложность получающейся задачи оптимизации с одной целью.^[27] Например, общая полезность взвешенной суммарной ставки дает NP-жесткий проблема со сложностью, которая экспоненциально масштабируется с количеством пользователей, в то время как взвешенная полезность max-min справедливости приводит к квазивыпуклой задаче оптимизации только с полиномиальным масштабированием с количеством пользователей.^[28]

Электроэнергетические системы

Реконфигурация путем обмена функциональными связями между элементами системы представляет собой одну из наиболее важных мер, которые могут улучшить эксплуатационные характеристики системы распределения. Проблема оптимизации посредством реконфигурации системы распределения электроэнергии, с точки зрения ее определения, является исторически единственной объективной проблемой с ограничениями. С 1975 года, когда Мерлин и обратно ^[29] представила идею реконфигурации системы распределения для снижения активных потерь мощности, до сих пор многие исследователи предлагали различные методы и алгоритмы для решения проблемы реконфигурации как единой объективной проблемы. Некоторые авторы предложили подходы, основанные на оптимальности по Парето (включая в качестве целей потери активной мощности и показатели надежности). Для этого использовались различные методы на основе искусственного интеллекта: микрогенетический,^[30] филиальная биржа,^[31] оптимизация роя частиц ^[32] и генетический алгоритм сортировки без доминирования.^[33]

Инспекция инфраструктуры

Автономная проверка инфраструктуры может снизить затраты, риски и воздействие на окружающую среду, а также обеспечить лучшее периодическое обслуживание проверяемых активов. Как правило, планирование таких миссий рассматривалось как задача оптимизации с единственной целью, когда одна цель - минимизировать энергию или время, затрачиваемое на осмотр всей целевой конструкции.^[34] Однако для сложных реальных конструкций охват 100% контрольной цели неосуществим, и создание плана проверки можно лучше рассматривать как многокритериальную задачу оптимизации, цель которой - как максимизировать охват проверками, так и минимизировать время и затраты. Недавнее исследование показало, что планирование многокритериальной проверки действительно может превзойти традиционные методы на сложных конструкциях.^[35]

Решение

Поскольку обычно существует несколько Оптимальный по Парето решения для многоцелевых задач оптимизации, то, что значит решить такую ​​проблему, не так просто, как для обычной задачи оптимизации с одной целью. Поэтому разные исследователи по-разному определяют термин «решение многоцелевой задачи оптимизации». В этом разделе кратко описаны некоторые из них и контексты, в которых они используются. Многие методы преобразуют исходную задачу с множеством целей в единственную. проблема оптимизации. Это называется скаляризованной проблемой. Если можно гарантировать оптимальность по Парето полученных одноцелевых решений, скаляризация будет охарактеризована как сделанная аккуратно.

Решение многокритериальной задачи оптимизации иногда понимается как аппроксимация или вычисление всех или репрезентативного набора оптимальных по Парето решений.^[36][37]

Когда принимать решение Подчеркивается, что цель решения многокритериальной задачи оптимизации состоит в том, чтобы помочь лицу, принимающему решение, найти наиболее предпочтительное оптимальное решение по Парето в соответствии с его / ее субъективными предпочтениями.^[1][38] Основное предположение состоит в том, что необходимо найти одно решение проблемы, которое будет реализовано на практике. Здесь человек принимающий решения (DM) играет важную роль. Ожидается, что DM будет экспертом в проблемной области.

Наиболее предпочтительные результаты можно найти, используя разные философии. Методы многокритериальной оптимизации можно разделить на четыре класса.^[2] В так называемых методах отсутствия предпочтений не ожидается, что DM будет доступен, но нейтральное компромиссное решение идентифицируется без информации о предпочтениях.^[1] Другие классы - это так называемые априорные, апостериорные и интерактивные методы, и все они по-разному задействуют информацию о предпочтениях от DM.

В априорных методах информация о предпочтениях сначала запрашивается у DM, а затем находится решение, наилучшим образом удовлетворяющее этим предпочтениям. В апостериорных методах сначала находится представительный набор оптимальных по Парето решений, а затем DM должен выбрать одно из них. В интерактивных методах лицо, принимающее решение, может итеративно искать наиболее предпочтительное решение. На каждой итерации интерактивного метода DM показывает оптимальное по Парето решение (я) и описывает, как это решение (я) можно улучшить. Информация, предоставленная лицом, принимающим решение, затем принимается во внимание при генерации нового оптимального по Парето решения (решений) для DM для изучения в следующей итерации. Таким образом, DM узнает о выполнимости своих желаний и может сосредоточиться на решениях, которые ему интересны. DM может остановить поиск, когда он / она захочет. Дополнительная информация и примеры различных методов в четырех классах приведены в следующих разделах.

Скаляризация

Масштабирование задачи многокритериальной оптимизации является априорным методом, что означает формулировку задачи оптимизации с одной целью, при которой оптимальные решения задачи оптимизации с одной целью являются оптимальными по Парето решениями задачи оптимизации с несколькими целями.^[2] Кроме того, часто требуется, чтобы любое оптимальное по Парето решение могло быть достигнуто с некоторыми параметрами скаляризации.^[2] С разными параметрами скаляризации получаются разные оптимальные по Парето решения. Таким образом, общая формулировка скаляризации многокритериальной оптимизации такова:

${displaystyle {egin{array}{ll}min &g(f_{1}(x),ldots ,f_{k}(x), heta ){ ext{s.t }}xin X_{ heta },end{array}}}$

куда ${displaystyle heta }$ - векторный параметр, множество ${displaystyle X_{ heta }subseteq X}$ набор в зависимости от параметра ${displaystyle heta }$ и ${displaystyle g:mathbb {R} ^{k+1}mapsto mathbb {R} }$ это функция.

Очень известные примеры - так называемые

• линейная скаляризация

${displaystyle min _{xin X}sum _{i=1}^{k}w_{i}f_{i}(x),}$

где веса целей ${displaystyle w_{i}>0}$ - параметры скаляризации, а

• ${displaystyle epsilon }$-ограничительный метод (см., например,^[1])

${displaystyle {egin{array}{ll}min &f_{j}(x){ ext{s.t. }}&xin X&f_{i}(x)leq epsilon _{i}{ ext{ for }}iin {1,ldots ,k}setminus {j},end{array}}}$

где верхние границы ${displaystyle epsilon _{j}}$ параметры, как указано выше и ${displaystyle f_{j}}$ это цель, которую нужно минимизировать.

Несколько более сложные примеры:

• достижение скаляризирующих задач Вежбицкого.^[39] Один из примеров задач масштабирования достижений можно сформулировать как

${displaystyle {egin{array}{ll}min &max _{i=1,ldots ,k}left[{frac {f_{i}(x)-{ar {z}}_{i}}{z_{i}^{ ext{nad}}-z_{i}^{ ext{utopian}}}}ight]+ho sum _{i=1}^{k}{frac {f_{i}(x)}{z_{i}^{nad}-z_{i}^{ ext{utopian}}}}{ ext{subject to }}&xin S,end{array}}}$

где термин ${displaystyle ho sum _{i=1}^{k}{frac {f_{i}(x)}{z_{i}^{nad}-z_{i}^{ ext{utopian}}}}}$ называется сроком увеличения, ${displaystyle ho >0}$ - малая константа, а ${displaystyle z^{ ext{nad}}}$ и ${displaystyle z^{ ext{utopian}}}$ являются надир и утопический векторов соответственно. В указанной выше задаче параметром является так называемый ориентир ${displaystyle {ar {z}}}$ который представляет собой значения целевой функции, предпочитаемые лицом, принимающим решения.

• Многоцелевое программирование Сена^[40]

$${displaystyle {egin{array}{ll}max &{frac {sum _{j=1}^{r}Z_{j}}{W_{j}}}-{frac {sum _{j=r+1}^{s}Z_{j}}{W_{r+1}}}{ ext{s.t. }}&AX=b&Xgeq 0,end{array}}}$$

куда ${displaystyle W_{j}}$ индивидуальный оптимум (Абсолют) для целей максимизации ${displaystyle r}$ и минимизация ${displaystyle r+1}$ к ${displaystyle s}$.

Например, оптимизация портфеля часто проводится с точки зрения анализ среднего отклонения. В этом контексте эффективный набор - это подмножество портфелей, параметризованное средней доходностью портфеля. ${displaystyle mu _{P}}$ в проблеме выбора акций портфеля, чтобы минимизировать дисперсию доходности портфеля ${displaystyle sigma _{P}}$ при заданной стоимости ${displaystyle mu _{P}}$; видеть Теорема о разделении паевого фонда для подробностей. В качестве альтернативы, эффективный набор можно указать, выбрав доли портфеля, чтобы максимизировать функцию ${displaystyle mu _{P}-bsigma _{P}}$; набор эффективных портфелей состоит из решений как б колеблется от нуля до бесконечности.

Методы без предпочтений

Когда лицо, принимающее решение, не формулирует явно какую-либо информацию о предпочтениях, метод многоцелевой оптимизации можно классифицировать как метод без предпочтений.^[2] Известный пример - метод глобального критерия,^[41] в котором скаляризованная задача вида

${displaystyle {egin{aligned}min &|f(x)-z^{ideal}|{ ext{s.t. }}&xin Xend{aligned}}}$

решено. В указанной выше проблеме ${displaystyle |cdot |}$ может быть любым ${displaystyle L_{p}}$ норма, с общим выбором, включая ${displaystyle L_{1}}$, ${displaystyle L_{2}}$ и ${displaystyle L_{infty }}$.^[1] Метод глобального критерия чувствителен к масштабированию целевых функций, поэтому рекомендуется, чтобы цели были нормализованы в единую безразмерную шкалу.^[1][38]

Априорные методы

Априорные методы требуют, чтобы перед процессом решения была выражена достаточная информация о предпочтениях.^[2] Хорошо известные примеры априорных методов включают метод полезной функции, лексикографический метод и целевое программирование.

В методе функции полезности предполагается, что лицо, принимающее решения вспомогательная функция доступен. Отображение ${displaystyle ucolon Yightarrow mathbb {R} }$ является функцией полезности, если для всех ${displaystyle mathbf {y} ^{1},mathbf {y} ^{2}in Y}$ если он держит это ${displaystyle u(mathbf {y} ^{1})>u(mathbf {y} ^{2})}$ если лицо, принимающее решение, предпочитает ${displaystyle mathbf {y} ^{1}}$ к ${displaystyle mathbf {y} ^{2}}$, и ${displaystyle u(mathbf {y} ^{1})=u(mathbf {y} ^{2})}$ если лицо, принимающее решение, безразлично ${displaystyle mathbf {y} ^{1}}$ и ${displaystyle mathbf {y} ^{2}}$. Функция полезности определяет порядок векторов решений (напомним, что векторы можно упорядочивать разными способами). Один раз ${displaystyle u}$ получается, достаточно решить

${displaystyle max ;u(mathbf {f} (mathbf {x} )){ ext{ subject to }}mathbf {x} in X,}$

но на практике очень сложно построить функцию полезности, которая точно отражала бы предпочтения лица, принимающего решения.^[1] - тем более, что фронт Парето неизвестен до начала оптимизации.

В лексикографический Метод предполагает, что цели могут быть ранжированы в порядке важности. Без ограничения общности можно предположить, что целевые функции расположены в порядке важности, так что ${displaystyle f_{1}}$ самый важный и ${displaystyle f_{k}}$ наименее важный для лица, принимающего решения. Лексикографический метод заключается в решении последовательности одноцелевых оптимизационных задач вида

${displaystyle {egin{aligned}min &f_{l}(mathbf {x} ){ ext{s.t. }}&f_{j}(mathbf {x} )leq mathbf {y} _{j}^{*},;j=1,dotsc ,l-1,&mathbf {x} in X,end{aligned}}}$

куда ${displaystyle mathbf {y} _{j}^{*}}$ оптимальное значение указанной выше задачи с ${displaystyle l=j}$. Таким образом, ${displaystyle mathbf {y} _{1}^{*}:=min{f_{1}(mathbf {x} )mid mathbf {x} in X}}$ и каждая новая задача формы в приведенной выше задаче в последовательности добавляет одно новое ограничение как ${displaystyle l}$ идет от ${displaystyle 1}$ к ${displaystyle k}$. Обратите внимание, что здесь не указана цель или целевое значение для какой-либо цели, что отличает ее от лексикографической Программирование целей метод.

Апостериорные методы

Апостериорные методы нацелены на получение всех оптимальных по Парето решений или репрезентативного подмножества оптимальных по Парето решений. Большинство апостериорных методов относятся к одному из следующих двух классов: математическое программирование -основанные апостериорные методы, в которых алгоритм повторяется, и каждый запуск алгоритма дает одно оптимальное решение по Парето, и эволюционные алгоритмы где один прогон алгоритма дает набор оптимальных по Парето решений.

Хорошо известными примерами апостериорных методов, основанных на математическом программировании, являются нормальное пересечение границ (NBI),^[42] Модифицированное пересечение нормальной границы (NBIm) ^[43] Нормальное ограничение (NC),^[44][45] Последовательная оптимизация по Парето (SPO)^[46] и домен направленного поиска (DSD)^[47] методы, которые решают задачу многокритериальной оптимизации путем построения нескольких скаляризаций. Решение каждой скаляризации дает оптимальное по Парето решение, локально или глобально. Скаляризации методов NBI, NBIm, NC и DSD построены с целью получения равномерно распределенных точек Парето, которые дают хорошее равномерно распределенное приближение реального набора точек Парето.

Эволюционные алгоритмы являются популярными подходами к генерированию оптимальных по Парето решений многокритериальной задачи оптимизации. В настоящее время в большинстве эволюционных алгоритмов многоцелевой оптимизации (EMO) применяются схемы ранжирования на основе Парето. Эволюционные алгоритмы, такие как Генетический алгоритм сортировки без доминирования-II (NSGA-II) ^[48] Эволюционный алгоритм 2 по Парето (SPEA-2)^[49] стали стандартными подходами, хотя некоторые схемы, основанные на оптимизация роя частиц и имитация отжига^[50] значительны. Основное преимущество эволюционных алгоритмов, когда они применяются для решения задач многокритериальной оптимизации, состоит в том, что они обычно генерируют наборы решений, позволяющие вычислить приближение всего фронта Парето. Основным недостатком эволюционных алгоритмов является их более низкая скорость, и оптимальность решений по Парето не может быть гарантирована. Известно лишь, что ни одно из сгенерированных решений не доминирует над другими.

Другая парадигма многокритериальной оптимизации, основанная на новизне с использованием эволюционных алгоритмов, была недавно улучшена.^[51] Эта парадигма ищет новые решения в объективном пространстве (т. Е. Поиск новизны^[52] на объективном пространстве) в дополнение к поиску недоминируемых решений. Поиск новинок подобен ступеням, ведущим поиск в ранее неизведанные места. Это особенно полезно для преодоления предвзятости и плато, а также для управления поиском в многоцелевых задачах оптимизации.

Ниже перечислены общеизвестные апостериорные методы:

• метод ε-ограничений ^[53][54]
• Многоцелевой переход и граница ^[55][56][57]
• Нормальное пересечение границы (NBI) ^[42]
• Модифицированное пересечение нормальной границы (NBIm) ^[43] Нормальное ограничение (NC),^[44][45]
• Последовательная оптимизация по Парето (SPO)^[46]
• Домен направленного поиска (DSD)^[47]
• NSGA-II ^[48]
• PGEN (создание поверхностей Парето для выпуклых многоцелевых экземпляров)^[58]
• IOSO (Косвенная оптимизация на основе самоорганизации)
• SMS-EMOA (эволюционный многоцелевой алгоритм выбора S-метрики)^[59]
• Эволюция, управляемая приближением (первый алгоритм, который напрямую реализует и оптимизирует формальную концепцию приближение из теоретической информатики)^[60]
• Реактивная поисковая оптимизация (с использованием машинного обучения для адаптации стратегий и целей),^[61][62] реализовано в LIONsolver
• Алгоритм Бенсона за многоцелевые линейные программы и для многоцелевых выпуклых программ
• Многоцелевая оптимизация роя частиц
• Алгоритм субпопуляции на основе новизны^[51]

Интерактивные методы

В интерактивных методах оптимизации множественных объективных проблем процесс решения является итеративным, и лицо, принимающее решение, постоянно взаимодействует с методом при поиске наиболее предпочтительного решения (см., Например, Miettinen 1999,^[1] Миеттинен 2008^[63]). Другими словами, лицо, принимающее решение, должно выражать предпочтения на каждой итерации, чтобы получить Оптимальные решения по Парето которые представляют интерес для лиц, принимающих решения, и узнают, какие решения достижимы.

В интерактивных методах оптимизации обычно присутствуют следующие шаги:^[63]

1. инициализировать (например, вычислить идеальные и приближенные целевые векторы надира и показать их лицу, принимающему решение)
2. создать оптимальную по Парето отправную точку (используя, например, какой-либо метод без предпочтений или решение, данное лицом, принимающим решение)
3. запросить информацию о предпочтениях у лица, принимающего решение (например, уровни стремления или количество новых решений, которые будут созданы)
4. сгенерировать новое оптимальное решение (решения) по Парето в соответствии с предпочтениями и показать его / их и, возможно, некоторую другую информацию о проблеме лицу, принимающему решение
5. если было сгенерировано несколько решений, попросите лицо, принимающее решения, выбрать лучшее решение на данный момент
6. остановитесь (если лицо, принимающее решение, желает; в противном случае перейдите к шагу 3).

Вышеуказанные уровни стремления относятся к желаемым значениям целевой функции, образующим контрольную точку. Вместо математической сходимости, которая часто используется в качестве критерия остановки в математическая оптимизация методы, психологическая конвергенция часто подчеркивается в интерактивных методах. Вообще говоря, метод прекращается, когда лицо, принимающее решение, уверено, что он / она нашел доступно наиболее предпочтительное решение.

Типы информации о предпочтениях

Существуют разные интерактивные методы, использующие разные типы информации о предпочтениях. Три из этих типов можно выделить на основе

1. информация о компромиссе,
2. ориентиры и
3. классификация целевых функций.^[63]

С другой стороны, включен четвертый тип генерации небольшой выборки решений:^[64][65] Примером интерактивного метода, использующего информацию о компромиссе, является Метод Зионца-Валлениуса,^[66] где лицу, принимающему решение, демонстрируется несколько объективных компромиссов на каждой итерации, и ожидается, что он скажет, нравится ли ему, не нравится или безразличен к каждому компромиссу. В методах на основе контрольных точек (см., Например,^[67][68]), лицо, принимающее решение, должно на каждой итерации указывать контрольную точку, состоящую из желаемых значений для каждой цели, а затем вычисляется соответствующее оптимальное решение (решения) по Парето и показывается ему / ей для анализа. В интерактивных методах, основанных на классификации, предполагается, что лицо, принимающее решение, дает предпочтения в форме классификации целей в текущем оптимальном по Парето решении по различным классам, указывая, как следует изменить значения целей, чтобы получить более предпочтительное решение. Затем данная классификационная информация принимается во внимание при вычислении нового (более предпочтительного) оптимального по Парето решения (решений). В методе удовлетворительного компромисса (STOM)^[69] Используются три класса: цели, значения которых 1) следует улучшить, 2) можно смягчить и 3) приемлемы как таковые. В методе НИМБУС^[70][71] Также используются два дополнительных класса: цели, значения которых 4) должны быть улучшены до заданной границы, а 5) могут быть ослаблены до заданной границы.

Гибридные методы

Разные гибридный методы существуют, но здесь мы рассматриваем гибридизацию MCDM (принятие многокритериальных решений ) и EMO (эволюционная многокритериальная оптимизация). Гибридный алгоритм в контексте многокритериальной оптимизации - это комбинация алгоритмов / подходов из этих двух областей (см., Например,^[63]). Гибридные алгоритмы EMO и MCDM в основном используются для преодоления недостатков за счет использования сильных сторон. В литературе было предложено несколько типов гибридных алгоритмов, например включение подходов MCDM в алгоритмы EMO в качестве оператора локального поиска и для ведения DM к наиболее предпочтительным решениям и т. д. Оператор локального поиска в основном используется для повышения скорости сходимости алгоритмов EMO.

Истоки гибридной многоцелевой оптимизации можно проследить до первого семинара в Дагштуле, организованного в ноябре 2004 г. (см. здесь ). Здесь одни из лучших умов^{[нужна цитата ]} в EMO (профессор Калянмой Деб, профессор Юрген Бранке и др.) и MCDM (профессор Кайса Миеттинен, профессор Ральф Э. Штойер и др.) осознали потенциал объединения идей и подходов полей MCDM и EMO для подготовки их гибридов. Впоследствии было организовано еще много семинаров в Дагштуле, чтобы способствовать сотрудничеству. В последнее время гибридная многоцелевая оптимизация стала важной темой на нескольких международных конференциях в области EMO и MCDM (см., Например,^[72][73])

Визуализация фронта Парето

Визуализация фронта Парето - один из методов апостериорного предпочтения многоцелевой оптимизации. Методы апостериорного предпочтения представляют собой важный класс методов многоцелевой оптимизации.^[1] Обычно методы апостериорного предпочтения включают четыре шага: (1) компьютер аппроксимирует фронт Парето, то есть оптимальное по Парето множество в целевом пространстве; (2) лицо, принимающее решение, изучает приближение фронта Парето; (3) лицо, принимающее решение, определяет предпочтительную точку на фронте Парето; (4) компьютер предоставляет оптимальное по Парето решение, результат которого совпадает с целевой точкой, определенной лицом, принимающим решение. С точки зрения лица, принимающего решения, второй этап методик апостериорного предпочтения является наиболее сложным. Есть два основных подхода к информированию лиц, принимающих решения. Во-первых, ряд пунктов фронта Парето можно представить в виде списка (интересные обсуждения и ссылки приведены в^[74]) или с помощью тепловых карт.^[75]

Визуализация в двухцелевых задачах: кривая компромисса

В случае двуцелевых задач информирование лица, принимающего решения о фронте Парето, обычно осуществляется путем его визуализации: фронт Парето, часто называемый в этом случае кривой компромисса, может быть проведен на плоскости цели. Кривая компромисса дает полную информацию об объективных значениях и об объективных компромиссах, которые показывают, как улучшение одной цели связано с ухудшением второй при движении по кривой компромисса. Лицо, принимающее решение, принимает эту информацию во внимание при указании предпочтительной целевой точки, оптимальной по Парето. Идея аппроксимации и визуализации фронта Парето была предложена для линейных двуцелевых задач принятия решений С.Гассом и Т. Саати.^[76] Эта идея была развита и применена в решении экологических проблем Дж. Л. Кохоном.^[77] Обзор методов аппроксимации фронта Парето для различных задач решения с небольшим количеством целей (в основном, двумя) представлен в.^[78]

Визуализация в многоцелевых задачах оптимизации высокого порядка

Есть две общие идеи о том, как визуализировать фронт Парето в многоцелевых задачах принятия решений высокого порядка (задачах с более чем двумя целями). Один из них, применимый в случае относительно небольшого количества объективных точек, представляющих фронт Парето, основан на использовании методов визуализации, разработанных в статистике (различные диаграммы и т. Д. - см. Соответствующий подраздел ниже). Вторая идея предлагает отображение двуцелевых сечений (срезов) фронта Парето. Он был введен W.S. Майзель в 1973 году^[79] кто утверждал, что такие срезы информируют лиц, принимающих решения, об объективных компромиссах. Рисунки, отображающие серию двуцелевых срезов фронта Парето для трехцелевых задач, известны как карты решений. Они дают ясную картину компромиссов между тремя критериями. Недостатки такого подхода связаны с двумя следующими фактами. Во-первых, вычислительные процедуры для построения двуцелевых срезов фронта Парето нестабильны, поскольку фронт Парето обычно нестабилен. Во-вторых, он применим только в случае трех целей. В 1980-х годах идея W.S. Meisel of реализован в ином виде - в виде Интерактивные карты решений (IDM) техника.^[80] Совсем недавно Н. Веснер^[81] предложили использовать комбинацию диаграммы Венна и множества диаграмм рассеяния целевого пространства для исследования границы Парето и выбора оптимальных решений.

Смотрите также

• Многокритериальный анализ решений
  • Принятие решений по множеству критериев
• Многоцелевое линейное программирование
• Междисциплинарная оптимизация дизайна
• Парето эффективность
• Программирование целей
• Параллельное программирование
• Векторная оптимизация
• Интерактивные карты решений
• Вспомогательная функция
• ПО для принятия решений

Рекомендации

1. Кайса Миеттинен (1999). Нелинейная многокритериальная оптимизация. Springer. ISBN  978-0-7923-8278-2. Получено 29 мая 2012.
2. Чинг-Лай Хван; Абу Сайед Мад Масуд (1979). Принятие решений с множественными объектами, методы и приложения: современный обзор. Springer-Verlag. ISBN  978-0-387-09111-2. Получено 29 мая 2012.
3. Хасанзаде, Хамидреза; Рухани, Моджтаба (2010). «Многоцелевой алгоритм гравитационного поиска». В области вычислительного интеллекта, коммуникационных систем и сетей (CICSyN): 7–12.
4. Ширази, Али; Наджафи, Бехзад; Аминьявари, Мехди; Ринальди, Фабио; Тейлор, Роберт А. (01.05.2014). «Тепло-экономико-экологический анализ и многоцелевая оптимизация системы хранения ледяной тепловой энергии для охлаждения входящего воздуха газотурбинного цикла». Энергия. 69: 212–226. Дои:10.1016 / j.energy.2014.02.071.
5. Наджафи, Бехзад; Ширази, Али; Аминьявари, Мехди; Ринальди, Фабио; Тейлор, Роберт А. (03.02.2014). «Эксергетический, экономический и экологический анализ и многоцелевая оптимизация гибридного цикла ТОТЭ-газовая турбина в сочетании с системой опреснения MSF». Опреснение. 334 (1): 46–59. Дои:10.1016 / j.desal.2013.11.039.
6. Rafiei, S.M.R .; Amirahmadi, A .; Грива, Г. (2009). «Подавление хаоса и оптимальная динамическая характеристика повышающего преобразователя с использованием многоцелевого подхода оптимизации SPEA». 2009 35-я ежегодная конференция IEEE Industrial Electronics. С. 3315–3322. Дои:10.1109 / IECON.2009.5415056. ISBN  978-1-4244-4648-3. S2CID  2539380.
7. Роппонен, А .; Ritala, R .; Пистикопулос, Э. Н. (2011). «Вопросы оптимизации системы управления браком в бумажном производстве». Компьютеры и химическая инженерия. 35 (11): 2510. Дои:10.1016 / j.compchemeng.2010.12.012.
8. Пллана, Сабри; Мемети, Суэйб; Колодзей, Иоанна (2019). «Настройка имитационного отжига по Парето для многоцелевой оптимизации компоновки шкафа управления». arXiv:1906.04825 [cs.OH ].
9. Нгуен, Хоанг Ань; ван Иперен, Зейн; Рагхунатх, Шрикант; Абрамсон, Дэвид; Кипурос, Тимолеон; Сомасекхаран, Сандип (2017). «Многоцелевая оптимизация в научном рабочем процессе». Процедуры информатики. 108: 1443–1452. Дои:10.1016 / j.procs.2017.05.213. HDL:1826/12173.
10. Ganesan, T .; Elamvazuthi, I .; Васант, П. (01.07.2015). «Оптимизация многокритериальной конструкции генератора с управляемым напряжением нано-КМОП с использованием теоретико-дифференциальной эволюции». Прикладные мягкие вычисления. 32: 293–299. Дои:10.1016 / j.asoc.2015.03.016.
11. Ganesan, T .; Elamvazuthi, I .; Шаари, Ку Зилати Ку; Васант, П. (01.01.2013). Зелинка, Иван; Чен, Гуаньжун; Rössler, Otto E .; Снасел, Вацлав; Авраам, Аджит (ред.). Гиперобъемное аналитическое программирование для оптимизации ирригационной системы на солнечной энергии. Достижения в интеллектуальных системах и вычислениях. Издательство Springer International. С. 147–154. Дои:10.1007/978-3-319-00542-3_15. ISBN  978-3-319-00541-6.
12. Ganesan, T .; Elamvazuthi, I .; Шаари, Ку Зилати Ку; Васант, П. (01.01.2013). Гаврилова, Марина Л .; Тан, К. Дж. Кеннет; Авраам, Аджит (ред.). Многокритериальная оптимизация системы плесени для зеленого песка с использованием хаотической дифференциальной эволюции. Конспект лекций по информатике. Springer Berlin Heidelberg. С. 145–163. Дои:10.1007/978-3-642-45318-2_6. ISBN  978-3-642-45317-5.
13. Суреха, Б .; Kaushik, Lalith K .; Пандуй, Абхишек К .; Vundavilli, Pandu R .; Параппагудар, Махеш Б. (07.05.2011). «Многоцелевая оптимизация системы зеленой песчаной плесени с использованием эволюционных алгоритмов». Международный журнал передовых производственных технологий. 58 (1–4): 9–17. Дои:10.1007 / s00170-011-3365-8. ISSN  0268-3768. S2CID  110315544.
14. «Многоцелевая оптимизация в конструкции двигателя с использованием генетических алгоритмов для повышения производительности двигателя | ESTECO». www.esteco.com. Получено 2015-12-01.
15. Courteille, E .; Мортье, Ф .; Leotoing, L .; Рагно, Э. (16 мая 2005 г.). «Многоцелевая оптимизация надежной конструкции системы крепления двигателя». Серия технических документов SAE (PDF). 1. Варрендейл, Пенсильвания. Дои:10.4271/2005-01-2412.
16. Доминго-Перес, Франсиско; Лазаро-Галилея, Хосе Луис; Визер, Андреас; Мартин-Горостиза, Эрнесто; Салидо-Монзу, Давид; Ллана, Альваро де ла (апрель 2016 г.). «Определение положения датчика для позиционирования с разницей в дальности с использованием эволюционной многоцелевой оптимизации». Экспертные системы с приложениями. 47: 95–105. Дои:10.1016 / j.eswa.2015.11.008.
17. Бемпорад, Альберто; Муньос де ла Пенья, Давид (01.12.2009). «Прогностический контроль многокритериальной модели». Automatica. 45 (12): 2823–2830. Дои:10.1016 / j.automatica.2009.09.032.
18. Панда, Сидхартха (01.06.2009). «Многоцелевой эволюционный алгоритм построения контроллера на основе SSSC». Исследование электроэнергетических систем. 79 (6): 937–944. Дои:10.1016 / j.epsr.2008.12.004.
19. Фиандака, Джованна; Fraga, Eric S .; Брандани, Стефано (2009). «Многоцелевой генетический алгоритм для разработки адсорбции при колебаниях давления». Инженерная оптимизация. 41 (9): 833–854. Дои:10.1080/03052150903074189. S2CID  120201436. Получено 2015-12-01.
20. Сендин, Хосе Оскар Х .; Алонсо, Антонио А .; Банга, Хулио Р. (01.06.2010). «Эффективная и надежная многоцелевая оптимизация обработки пищевых продуктов: новый подход к термической стерилизации». Журнал пищевой инженерии. 98 (3): 317–324. Дои:10.1016 / j.jfoodeng.2010.01.007. HDL:10261/48082.
21. Ganesan, T .; Elamvazuthi, I .; Ку Шаари, Ку Зилати; Васант, П. (2013-03-01). «Ройовой интеллект и алгоритм гравитационного поиска для многоцелевой оптимизации добычи синтез-газа». Прикладная энергия. 103: 368–374. Дои:10.1016 / j.apenergy.2012.09.059.
22. Ганесан, Тимофей; Эламвазути, Иррайван; Васант, Пандиан; Шаари, Ку Зилати Ку (2015-03-23). Нгуен, Нгок Тхань; Травинский, Богдан; Косала, Раймонд (ред.). Многоцелевая оптимизация процесса экстракции биоактивных соединений с помощью эволюционных стратегий. Конспект лекций по информатике. Издательство Springer International. С. 13–21. Дои:10.1007/978-3-319-15705-4_2. ISBN  978-3-319-15704-7.
23. Мехди, Хосров-Пур (30.06.2014). Современные достижения в развитии информационных технологий в динамических средах. IGI Global. ISBN  9781466662537.
24. Абакаров. А., Сушков. Ю., Маскерони. Р. Х. (2012). «Многокритериальная оптимизация и подход к принятию решений для улучшения процессов пищевой инженерии» (PDF). Международный журнал пищевых исследований. 2: 1–21. Дои:10.7455 / ijfs / 2.1.2013.a1.
25. Абакаров, А., Сушков, Ю., Альмонацид, С., Симпсон, Р. (2009). «Подход к многокритериальной оптимизации: термическая обработка пищевых продуктов». Журнал пищевой науки. 74 (9): E471 – E487. Дои:10.1111 / j.1750-3841.2009.01348.x. PMID  20492109.
26. Пирс, Маргарет; Мутлу, Бильге; Шах, Джули; Радвин, Роберт (2018). «Оптимизация рабочего времени и эргономики при интеграции совместных роботов в производственные процессы». IEEE Transactions по науке и технике автоматизации. 15 (4): 1772–1784. Дои:10.1109 / tase.2018.2789820. ISSN  1545-5955. S2CID  52927442.
27. Э. Бьёрнсон и Э. Йорсвик, Оптимальное распределение ресурсов в скоординированных многокамерных системах, Основы и тенденции в теории коммуникации и информации, т. 9, вып. 2-3, с. 113-381, 2013.
28. Z.-Q. Ло и С. Чжан, Управление динамическим спектром: сложность и двойственность, IEEE Journal of Selected Topics in Signal Processing, vol. 2, вып. 1. С. 57–73, 2008.
29. Merlin, A .; Бэк, Х. Поиск конфигурации связующего дерева с минимальными потерями в городской системе распределения электроэнергии. В Трудах Пятой компьютерной конференции по энергетическим системам (PSCC) 1975 г., Кембридж, Великобритания, 1–5 сентября 1975 г .; С. 1–18.
30. Mendoza, J.E .; Lopez, M.E .; Coello, CA; Лопес, Э.А. Алгоритм микрогенетической многокритериальной реконфигурации с учетом потерь мощности и показателей надежности распределительной сети среднего напряжения. IET Gener. Трансм. Дистриб. 2009, 3, 825–840.
31. Бернардон, Д.П .; Гарсия, В.Дж .; Ferreira, A.S.Q .; Канха, Л. Реконфигурация многокритериальной распределительной сети с учетом анализа субпередач. IEEE Trans. Power Deliv. 2010, 25, 2684–2691.
32. Аманулла, Б .; Chakrabarti, S .; Сингх, С. Реконфигурация систем распределения электроэнергии с учетом надежности и потерь мощности. IEEE Trans. Power Deliv. 2012, 27, 918–926.
33. Tomoiagă, B .; Chindriş, M .; Sumper, A .; Sudria-Andreu, A .; Виллафила-Роблес, Р. Оптимальная реконфигурация по Парето систем распределения энергии с использованием генетического алгоритма на основе NSGA-II. Энергия 2013, 6, 1439-1455.
34. Галсеран, Энрик; Каррерас, Марк (2013). «Обзор по планированию пути покрытия робототехники». Робототехника и автономные системы. 61 (12): 1258–1276. CiteSeerX  10.1.1.716.2556. Дои:10.1016 / j.robot.2013.09.004. ISSN  0921-8890.
35. Ellefsen, K.O .; Lepikson, H.A .; Альбиз, Дж. К. (2019). «Многобъективное планирование пути покрытия: обеспечение автоматизированной проверки сложных реальных структур». Прикладные мягкие вычисления. 61: 264–282. arXiv:1901.07272. Bibcode:2019arXiv190107272O. Дои:10.1016 / j.asoc.2017.07.051. HDL:10852/58883. ISSN  1568-4946. S2CID  6183350.
36. Матиас Эрготт (1 июня 2005 г.). Многокритериальная оптимизация. Birkhäuser. ISBN  978-3-540-21398-7. Получено 29 мая 2012.
37. Карлос А. Коэльо Коэльо; Гэри Б. Ламонт; Дэвид А. Ван Велдхейсен (2007). Эволюционные алгоритмы решения многоцелевых задач. Springer. ISBN  978-0-387-36797-2. Получено 1 ноября 2012.
38. Юрген Бранке; Калянмой Деб; Кайса Миеттинен; Роман Словинский (21 ноября 2008 г.). Многокритериальная оптимизация: интерактивный и эволюционный подходы. Springer. ISBN  978-3-540-88907-6. Получено 1 ноября 2012.
39. Вежбицкий, А. П. (1982). «Математическая основа для принятия удовлетворительных решений». Математическое моделирование. 3 (5): 391–405. Дои:10.1016/0270-0255(82)90038-0.
40. Сен, Чандра, (1983) Новый подход к многоцелевому планированию сельского развития, Индийский экономический журнал, том 30, (4), 91-96.
41. Зеленый, М. (1973), «Компромиссное программирование», в Cochrane, J.L .; Зеленый, М. (ред.), Принятие решений по множеству критериев, University of South Carolina Press, Колумбия, стр. 262–301.
42. Das, I .; Деннис, Дж. Э. (1998). «Нормально-граничное пересечение: новый метод построения поверхности Парето в нелинейных задачах многокритериальной оптимизации». SIAM Journal по оптимизации. 8 (3): 631. Дои:10.1137 / S1052623496307510. HDL:1911/101880.
43. С. Мотта, Ренато; Афонсу, Сильвана М.Б .; Лира, Пауло Р. М. (8 января 2012 г.).«Модифицированный метод NBI и NC для решения N-многокритериальных задач оптимизации». Структурная и междисциплинарная оптимизация. 46 (2): 239–259. Дои:10.1007 / s00158-011-0729-5. S2CID  121122414.
44. Мессак, А.; Исмаил-Яхая, А .; Маттсон, К.А. (2003). «Нормализованный нормальный метод ограничения для построения границы Парето». Структурная и междисциплинарная оптимизация. 25 (2): 86–98. Дои:10.1007 / s00158-002-0276-1. S2CID  58945431.
45. Messac, A .; Маттсон, К. А. (2004). «Метод нормальных ограничений с гарантией равномерного представления полной границы Парето». Журнал AIAA. 42 (10): 2101–2111. Bibcode:2004AIAAJ..42.2101M. Дои:10.2514/1.8977.
46. Мюллер-Гритшнедер, Даниэль; Греб, Гельмут; Шлихтманн, Ульф (2009). «Последовательный подход к вычислению ограниченного фронта Парето для практических задач многокритериальной оптимизации». SIAM Journal по оптимизации. 20 (2): 915–934. Дои:10.1137/080729013.
47. Эрфани, Тохид; Утюжников, Сергей В. (2011). «Область направленного поиска: метод равномерного создания границ Парето в многоцелевой оптимизации» (PDF). Журнал инженерной оптимизации. 43 (5): 1–18. Дои:10.1080 / 0305215X.2010.497185. S2CID  33631133. Получено 17 октября, 2011.
48. Deb, K .; Pratap, A .; Agarwal, S .; Меяриван, Т. (2002). «Быстрый и элитарный многокритериальный генетический алгоритм: NSGA-II». IEEE Transactions по эволюционным вычислениям. 6 (2): 182. CiteSeerX  10.1.1.17.7771. Дои:10.1109/4235.996017.
49. Цитцлер, Э., Лауманнс, М., Тиле, Л .: SPEA2: Повышение эффективности эволюционного алгоритма прочности Парето, Технический отчет 103, Лаборатория компьютерной инженерии и коммуникационных сетей (TIK), Швейцарский федеральный технологический институт (ETH), Цюрих (2001) [1]
50. Suman, B .; Кумар, П. (2006). «Обзор моделированного отжига как инструмента для одно- и многокритериальной оптимизации». Журнал Общества оперативных исследований. 57 (10): 1143–1160. Дои:10.1057 / palgrave.jors.2602068. S2CID  18916703.
51. Данило Васконселос Варгас, Юничи Мурата, Хиротака Такано, Александр Клаудио Ботаццо Дельбем (2015) "Общая структура субпопуляции и преодоление конфликта внутри населения ", Эволюционные вычисления 23 (1), 1-36.
52. Леман, Джоэл и Кеннет О. Стэнли. «Отказ от целей: эволюция только в поисках новизны». Эволюционные вычисления 19.2 (2011): 189-223.
53. Мавротас, Джордж (2009). «Эффективная реализация метода ε-ограничений в задачах многоцелевого математического программирования». Прикладная математика и вычисления. 213 (2): 455–465. Дои:10.1016 / j.amc.2009.03.037. ISSN  0096-3003.
54. Карвалью, Яго А .; Рибейро, Марко А. (2020). «Точный подход к проблеме дерева калибровки с ограниченными ошибками с минимальной стоимостью». Анналы исследований операций. 287 (1): 109–126. Дои:10.1007 / s10479-019-03443-4. ISSN  0254-5330. S2CID  209959109.
55. Mavrotas, G .; Диакулаки, Д. (2005). «Многокритериальное ветвление и граница: алгоритм максимизации вектора для смешанного 0-1 многоцелевого линейного программирования». Прикладная математика и вычисления. 171 (1): 53–71. Дои:10.1016 / j.amc.2005.01.038. ISSN  0096-3003.
56. Винсент, Томас; Зипп, Флориан; Рузика, Стефан; Пшибыльски, Энтони; Gandibleux, Ксавье (2013). «Многоцелевой ветвь и граница для смешанного линейного программирования 0-1: исправления и улучшения для биобъективного случая». Компьютеры и исследования операций. 40 (1): 498–509. Дои:10.1016 / j.cor.2012.08.003. ISSN  0305-0548.
57. Пшибыльски, Энтони; Гандибле, Ксавье (2017). «Многоцелевой филиал и граница». Европейский журнал операционных исследований. 260 (3): 856–872. Дои:10.1016 / j.ejor.2017.01.032. ISSN  0377-2217.
58. Ремесло, Д .; Halabi, T .; Shih, H .; Бортфельд, Т. (2006). «Аппроксимация выпуклых поверхностей Парето в многокритериальном планировании лучевой терапии». Медицинская физика. 33 (9): 3399–3407. Bibcode:2006МедФ..33.3399С. Дои:10.1118/1.2335486. PMID  17022236.
59. Beume, N .; Naujoks, B .; Эммерих, М. (2007). «SMS-EMOA: многокритериальный отбор на основе доминирующего гиперобъема». Европейский журнал операционных исследований. 181 (3): 1653. Дои:10.1016 / j.ejor.2006.08.008.
60. Брингманн, Карл; Фридрих, Тобиас; Нойман, Франк; Вагнер, Маркус (2011). «Эволюционная многоцелевая оптимизация на основе приближений». IJCAI. Дои:10.5591 / 978-1-57735-516-8 / IJCAI11-204.
61. Баттити, Роберто; Мауро Брунато; Франко Маскиа (2008). Реактивный поиск и интеллектуальная оптимизация. Springer Verlag. ISBN  978-0-387-09623-0.
62. Баттити, Роберто; Мауро Брунато (2011). Реактивная бизнес-аналитика. От данных к моделям и пониманию. Тренто, Италия: Reactive Search Srl. ISBN  978-88-905795-0-9.
63. Miettinen, K .; Руис, Ф .; Вежбицкий, А. П. (2008). «Введение в многокритериальную оптимизацию: интерактивные подходы». Многокритериальная оптимизация. Конспект лекций по информатике. 5252. п. 27. CiteSeerX  10.1.1.475.465. Дои:10.1007/978-3-540-88908-3_2. ISBN  978-3-540-88907-6.
64. Luque, M .; Руис, Ф .; Миеттинен, К. (2008). «Глобальная формулировка интерактивной многокритериальной оптимизации». ИЛИ Спектр. 33: 27–48. Дои:10.1007 / s00291-008-0154-3. S2CID  15050545.
65. Руис, Ф .; Luque, M .; Миеттинен, К. (2011). «Повышение вычислительной эффективности в глобальной постановке (GLIDE) для интерактивной многокритериальной оптимизации». Анналы исследований операций. 197: 47–70. Дои:10.1007 / s10479-010-0831-х. S2CID  14947919.
66. Zionts, S .; Валлениус Дж. (1976). «Интерактивный метод программирования для решения проблемы множественных критериев». Наука управления. 22 (6): 652. Дои:10.1287 / mnsc.22.6.652.
67. Вежбицкий, А. П. (1986). «О полноте и конструктивности параметрических характеристик задач векторной оптимизации». ИЛИ Спектрум. 8 (2): 73–78. Дои:10.1007 / BF01719738. S2CID  121771992.
68. Анджей П. Вежбицки; Марек Маковски; Яап Вессельс (31 мая 2000 г.). Методология поддержки принятия решений на основе моделей с экологическими приложениями. Springer. ISBN  978-0-7923-6327-9. Получено 17 сентября 2012.
69. Nakayama, H .; Sawaragi, Y. (1984), "Удовлетворительный метод компромисса для многоцелевого программирования", в Grauer, M .; Вежбицкий, А. П. (ред.), Интерактивный анализ решений, Springer-Verlag Berlin, Heidelberg, стр. 113–122.
70. Miettinen, K .; Мякеля, М. М. (1995). «Интерактивный связный метод недифференцируемой многокритериальной оптимизации: Nimbus§». Оптимизация. 34 (3): 231. Дои:10.1080/02331939508844109.
71. Miettinen, K .; Мякеля, М. М. (2006). «Синхронный подход в интерактивной многокритериальной оптимизации». Европейский журнал операционных исследований. 170 (3): 909. Дои:10.1016 / j.ejor.2004.07.052.
72. Синдхья, К .; Ruiz, A. B .; Миеттинен, К. (2011). «Интерактивный эволюционный алгоритм на основе предпочтений для многоцелевой оптимизации: PIE». Эволюционная многокритериальная оптимизация. Конспект лекций по информатике. 6576. п. 212. Дои:10.1007/978-3-642-19893-9_15. ISBN  978-3-642-19892-2.
73. Синдхья, К .; Deb, K .; Миеттинен, К. (2008). «Эволюционный многоцелевой подход к оптимизации на основе локального поиска для быстрой и точной конвергенции». Параллельное решение проблем от природы - PPSN X. Конспект лекций по информатике. 5199. п. 815. Дои:10.1007/978-3-540-87700-4_81. ISBN  978-3-540-87699-1.
74. Бенсон, Гарольд П .; Сайин, Серпил (1997). «К поиску глобальных представлений эффективного множества в многоцелевом математическом программировании» (PDF). Логистика военно-морских исследований. 44 (1): 47–67. Дои:10.1002 / (SICI) 1520-6750 (199702) 44: 1 <47 :: AID-NAV3> 3.0.CO; 2-M. HDL:11693/25666. ISSN  0894-069X.
75. Прайк, Энди; Саназ Мостагим; Алиреза Наземи (2007). Визуализация тепловой карты для многоцелевых алгоритмов на основе населения. Эволюционная многокритериальная оптимизация. Конспект лекций по информатике. 4403. С. 361–375. Дои:10.1007/978-3-540-70928-2_29. ISBN  978-3-540-70927-5.
76. Гасс, Саул; Саати, Томас (1955). «Вычислительный алгоритм для параметрической целевой функции». Ежеквартально по логистике военно-морских исследований. 2 (1–2): 39–45. Дои:10.1002 / nav.3800020106. ISSN  0028-1441.
77. Джаред Л. Кохон (13 января 2004 г.). Многоцелевое программирование и планирование. Courier Dover Publications. ISBN  978-0-486-43263-2. Получено 29 мая 2012.
78. Рузика, С .; Вецек, М.М. (2005). «Аппроксимационные методы в многокритериальном программировании». Журнал теории оптимизации и приложений. 126 (3): 473–501. Дои:10.1007 / s10957-005-5494-4. ISSN  0022-3239. S2CID  122221156.
79. Мейзел, В. Л. (1973), Дж. Л. Кокрейн; М. Зеленый (ред.), «Компромиссное решение при принятии решений по множеству критериев», Принятие решений по множеству критериев: 461–476
80. А. В. Лотов; Бушенков В.А.; Каменев Г.К. (29 февраля 2004 г.). Интерактивные карты принятия решений: аппроксимация и визуализация границы Парето. Springer. ISBN  978-1-4020-7631-2. Получено 29 мая 2012.
81. Веснер, Н. (2017), «Многоцелевая оптимизация с помощью визуализации», Бюллетень экономики, 37 (2): 1226–1233

внешняя ссылка

• Международное общество принятия решений по множественным критериям
• Эволюционная многокритериальная оптимизация, Демонстрационный проект Wolfram
• Учебное пособие по многокритериальной оптимизации и генетическим алгоритмам, Scilab Профессиональный партнер
• Томоягэ, Богдан; Чиндриш, Мирча; Сампер, Андреас; Судрия-Андреу, Антони; Виллафила-Роблес, Роберто. 2013. «Оптимальная по Парето реконфигурация систем распределения электроэнергии с использованием генетического алгоритма на основе NSGA-II». Энергии 6, вып. 3: 1439-1455.
• Список литературы по эволюционной многокритериальной оптимизации