Полезность - Utility

Эта статья об экономической концепции. Для использования в других целях см. Утилита (значения).

В пределах экономика, Концепция чего-либо полезность используется для моделирования ценности или ценности. Его использование со временем значительно изменилось. Этот термин был первоначально введен как мера удовольствия или удовлетворения в рамках теории утилитаризм философами-моралистами, такими как Джереми Бентам и Джон Стюарт Милл. Термин был адаптирован и повторно применен в неоклассическая экономика, которая доминирует в современной экономической теории, как вспомогательная функция который представляет собой упорядочивание предпочтений потребителя над набором выбора. Таким образом, полезность стала более абстрактным понятием, которое не обязательно основано исключительно на полученном удовлетворении или удовольствии.

Вспомогательная функция

Рассмотрим набор альтернатив, с которыми сталкивается человек, и в отношении которых у него есть предпочтения. А вспомогательная функция может представлять эти предпочтения, если можно назначить настоящий номер к каждой альтернативе таким образом, чтобы альтернатива присваивается номер больше, чем альтернатива b если и только если человек предпочитает альтернатива к альтернатива b. В этой ситуации человек, который выбирает наиболее предпочтительную доступную альтернативу, обязательно также выбирает альтернативу, которая максимизирует связанную функцию полезности. В общих экономических терминах функция полезности измеряет предпочтения в отношении набора товаров и услуг. Часто полезность соотносится с такими словами, как счастье, удовлетворение и благополучие, и их трудно измерить математически. Таким образом, экономисты используют потребительские корзины предпочтений для измерения этих абстрактных, не поддающихся количественной оценке идей.

Жерар Дебре точно определены условия, необходимые для представления порядка предпочтений функцией полезности.^[1] Для конечного набора альтернатив они требуют только того, чтобы порядок предпочтений был полным (чтобы человек мог определить, какая из любых двух альтернатив предпочтительнее или они одинаково предпочтительны), и чтобы порядок предпочтений был переходный.

В некоторых специальных приложениях, таких как общепринятая теория потребительского выбора, набор выбора обычно не является конечным. Фактически, обычно указываемый набор вариантов выбора в разделе «Выбор потребителя» - ${\displaystyle R_{+}^{n}}$, где ${\displaystyle n}$ это количество товаров на рассматриваемом рынке. В этом случае существует непрерывная функция полезности для представления предпочтений потребителя тогда и только тогда, когда предпочтения потребителя являются полными, транзитивными и непрерывными.^[2]

Приложения

Утилита обычно применяется экономисты в таких конструкциях, как кривая безразличия, которые отображают комбинацию товаров, которую человек или общество приняли бы для поддержания заданного уровня удовлетворения. Кривые полезности и безразличия используются экономистами для понимания основ кривые спроса, которые составляют половину спрос и предложение анализ, который используется для анализа работы товар рынки.

Индивидуальная полезность и социальная полезность могут быть истолкованы как значение функции полезности и функция социального обеспечения соответственно. В сочетании с производственными или товарными ограничениями при некоторых предположениях эти функции могут использоваться для анализа Парето эффективность, например, как показано Коробки Эджворта в кривые контрактов. Такая эффективность - центральное понятие в экономика благосостояния.

В финансы, полезность применяется для определения индивидуальной цены на актив называется цена безразличия. Служебные функции также связаны с меры риска, наиболее распространенным примером является мера энтропийного риска.

В области искусственный интеллект, функции полезности используются для передачи ценности различных результатов интеллектуальные агенты. Это позволяет агентам планировать действия с целью максимизировать полезность (или «ценность») доступных вариантов.

Выявленное предпочтение

Было признано, что полезность нельзя измерить или наблюдать напрямую, поэтому вместо этого экономисты разработали способ сделать вывод об относительной полезности на основе наблюдаемого выбора. Эти «выявленные предпочтения», как Пол Самуэльсон, были обнаружены, например, в готовности людей платить:

Считается, что полезность соотносится с желанием или желанием. Уже утверждалось, что желания нельзя измерить прямо, а только косвенно, внешними явлениями, которые они вызывают: и что в тех случаях, которые в основном имеют отношение к экономике, мера находится в цене, которую человек готов заплатить. заплатить за исполнение или удовлетворение своего желания.^[3]:78

Функции

По поводу того, насколько полезна товар можно измерить или нет. Одно время предполагалось, что потребитель может точно сказать, сколько полезности он получает от товара. Экономисты, которые сделали это предположение, принадлежали к «кардиналистской школе» экономики. сегодня служебные функции, выражающие полезность как функцию количества различных потребляемых товаров, рассматриваются как кардинал или порядковый, в зависимости от того, интерпретируются они или нет как предоставляющие больше информации, чем просто ранжирование предпочтений по сравнению с пакетами товаров, например информацию о силе предпочтений.

Кардинал

Основная статья: Кардинальная полезность

Когда используется кардинальная полезность, величина различий в полезности рассматривается как этически или поведенчески значимая величина. Например, предположим, что чашка апельсинового сока имеет полезность 120 единиц, чашка чая имеет полезность 80 единиц, а чашка воды имеет полезность 40 единиц. С кардинальной полезностью можно сделать вывод, что чашка апельсинового сока лучше чашки чая ровно на то же количество, на которое чашка чая лучше чашки воды. Формально говоря, это означает, что если кто-то выпьет чашку чая, он будет готов принять любую ставку с вероятностью p, большей 0,5, получить чашку сока, с риском получить чашку воды, равную 1-стр. Однако нельзя сделать вывод, что чашка чая - это две трети качества чашки сока, потому что этот вывод будет зависеть не только от величин разницы в полезности, но и от «нуля» полезности. Например, если «ноль» полезности находится на -40, то чашка апельсинового сока будет на 160 утилит больше нуля, чашка чая 120 утилит больше нуля. Кардинальную полезность для экономики можно рассматривать как допущение, что полезность можно измерить с помощью количественных характеристик, таких как рост, вес, температура и т. Д.

Неоклассическая экономика в значительной степени отказался от использования функций кардинальной полезности в качестве основы экономического поведения. Заметное исключение - в контексте анализа выбора в условиях риска (см. ниже ).

Иногда кардинальная полезность используется для агрегирования полезностей между людьми, чтобы создать функция социального обеспечения.

Порядковый

Основная статья: Обычная полезность

Когда используются порядковые утилиты, различия в утилитах (значениях, принимаемых функцией полезности) рассматриваются как этически или поведенчески бессмысленные: индекс полезности кодирует полное поведенческое упорядочение между членами набора выбора, но ничего не говорит о связанных сила предпочтений. В приведенном выше примере можно было бы только сказать, что сок предпочтительнее чая, чем воды, но не более того. Таким образом, порядковая полезность использует сравнения, такие как «предпочтительнее», «не больше», «меньше чем» и т. Д.

Порядковые функции полезности уникальны вплоть до увеличение монотонные (или монотонные) преобразования. Например, если функция ${\displaystyle u(x)}$ за порядковый номер, он эквивалентен функции ${\displaystyle u(x)^{3}}$, потому что взятие 3-й степени - это возрастающее монотонное преобразование (или монотонное преобразование). Это означает, что порядковые предпочтения, вызванные этими функциями, одинаковы (хотя это две разные функции). Напротив, кардинальные полезности уникальны только с точностью до возрастающих линейных преобразований, поэтому, если ${\displaystyle u(x)}$ принято как кардинальное, не эквивалентно ${\displaystyle u(x)^{3}}$.

Предпочтения

Несмотря на то что предпочтения являются традиционной основой микроэкономика, часто удобно представлять предпочтения с помощью утилиты функция и косвенно анализировать человеческое поведение с помощью функций полезности. Позволять Икс быть набор потребления, набор всех взаимоисключающих корзин, которые потребитель предположительно может потреблять. Потребительский вспомогательная функция ${\displaystyle u\colon X\to \mathbb {R} }$ оценивает каждую упаковку в наборе потребления. Если потребитель строго предпочитает Икс к у или безразлично между ними, то ${\displaystyle u(x)\geq u(y)}$.

Например, предположим, что набор потребления потребителя Икс = {ничего, 1 яблоко, 1 апельсин, 1 яблоко и 1 апельсин, 2 яблока, 2 апельсина}, а его функция полезности ты(ничего) = 0, ты(1 яблоко) = 1, ты(1 апельсин) = 2, ты(1 яблоко и 1 апельсин) = 5, ты(2 яблока) = 2 и ты(2 апельсина) = 4. Тогда этот потребитель предпочитает 1 апельсин 1 яблоку, но по одному апельсину 2 апельсина.

В микроэкономических моделях обычно имеется конечный набор L товаров, и потребитель может потреблять произвольное количество каждого товара. Это дает набор потребления ${\displaystyle \mathbb {R} _{+}^{L}}$, и каждый пакет ${\displaystyle x\in \mathbb {R} _{+}^{L}}$ - вектор, содержащий количество каждого товара. В этом примере есть два товара: яблоки и апельсины. Если мы говорим, что яблоки являются первым товаром, а апельсины вторым, то набор потребления равен ${\displaystyle X=\mathbb {R} _{+}^{2}}$ и ты(0, 0) = 0, ты(1, 0) = 1, ты(0, 1) = 2, ты(1, 1) = 5, ты(2, 0) = 2, ты(0, 2) = 4, как и раньше. Обратите внимание, что для ты быть полезной функцией наИксоднако он должен быть определен для каждого пакета вИкс, поэтому теперь функцию необходимо определить и для дробных яблок и апельсинов. Одна функция, которая соответствовала бы этим числам: ${\displaystyle u(x_{apples},x_{oranges})=x_{apples}+2x_{oranges}+2x_{apples}x_{oranges}.}$

Функция полезности ${\displaystyle u\colon X\to \mathbb {R} }$ представляет собой отношение предпочтений ${\displaystyle \preceq }$ на X если только для каждого ${\displaystyle x,y\in X}$, ${\displaystyle u(x)\leq u(y)}$ подразумевает ${\displaystyle x\preceq y}$. Если u представляет ${\displaystyle \preceq }$, то отсюда следует ${\displaystyle \preceq }$ является полным и транзитивным, а значит, и рациональным.

Выявленные предпочтения в финансах

В финансовых приложениях, например оптимизация портфеля, инвестор выбирает финансовый портфель, который максимизирует его / ее собственную функцию полезности или, что то же самое, минимизирует его / ее мера риска. Например, современная теория портфолио выбирает дисперсию в качестве меры риска; другие популярные теории теория ожидаемой полезности,^[4] и теория перспектив.^[5] Чтобы определить конкретную функцию полезности для любого конкретного инвестора, можно разработать процедуру анкеты с вопросами в форме: Сколько вы бы заплатили за Икс% шанс получить у? Теория выявленных предпочтений предлагает более прямой подход: наблюдать за портфелем. ИКС* которой инвестор в настоящее время владеет, а затем найдите такую ​​функцию полезности / меру риска, что ИКС* становится оптимальным портфолио.^[6]

Примеры

Чтобы упростить вычисления, были сделаны различные альтернативные предположения относительно деталей предпочтений человека, которые предполагают различные альтернативные функции полезности, такие как:

• CES (постоянная эластичность замещения, или изоупругий ) полезность
• Изоупругая утилита
• Экспоненциальная полезность
• Квазилинейная утилита
• Гомотетические предпочтения
• Полезная функция Стоуна – Гири
• Горман полярная форма
  • Предпочтения Гринвуда – Герковица – Хаффмана
  • Предпочтения Кинга – Плоссера – Ребело
• Гиперболическое абсолютное неприятие риска

Большинство полезных функций, используемых в моделировании или теории, являются хорошо себя ведет. Обычно они монотонны и квазивогнуты. Однако возможно, что предпочтения не будут представлены функцией полезности. Примером является лексикографические предпочтения которые не являются непрерывными и не могут быть представлены непрерывной функцией полезности.^[7]

Ожидаемая полезность

Основная статья: Гипотеза ожидаемой полезности

Теория ожидаемой полезности занимается анализом выбора между рискованно проекты с множественными (возможно, многомерными) результатами.

В Петербургский парадокс был впервые предложен Николас Бернулли в 1713 г. и решена Даниэль Бернулли в 1738 г. Д. Бернулли утверждал, что парадокс может быть разрешен, если лица, принимающие решения, проявят предотвращение риска и выступал за логарифмическую кардинальную функцию полезности. (Анализ данных международных опросов в 21 веке показал, что, поскольку полезность представляет счастье, как утилитаризм, это действительно пропорционально доходу журнала.)

Первым важным применением теории ожидаемой полезности было использование Джон фон Нейман и Оскар Моргенштерн, которые использовали предположение о максимизации ожидаемой полезности при формулировании теория игры.

фон Нейман-Моргенштерн

Основная статья: Теорема о полезности фон Неймана – Моргенштерна

Фон Нейман и Моргенштерн рассматривали ситуации, в которых результаты выбора неизвестны с уверенностью, но имеют привязанные к ним вероятности.

Обозначение для лотерея выглядит следующим образом: если варианты A и B имеют вероятность п и 1 -п в лотерее мы записываем это как линейную комбинацию:

${\displaystyle L=pA+(1-p)B}$

В общем, для лотереи с множеством возможных вариантов:

${\displaystyle L=\sum _{i}p_{i}A_{i},}$

где ${\displaystyle \sum _{i}p_{i}=1}$.

Сделав некоторые разумные предположения о поведении выбора, фон Нейман и Моргенштерн показали, что если агент может выбирать между лотереями, то у этого агента есть такая функция полезности, что желательность произвольной лотереи может быть рассчитана как линейная комбинация полезности его частей, с весом, являющимся вероятностью их появления.

Это называется теорема ожидаемой полезности. Требуемые предположения - это четыре аксиомы о свойствах агента. отношение предпочтений по сравнению с «простыми лотереями», которые представляют собой лотереи с двумя вариантами. Письмо ${\displaystyle B\preceq A}$ чтобы означать, что «A слабо предпочтительнее B» («A предпочтительнее, по крайней мере, так же, как B»), аксиомы следующие:

1. полнота: Для любых двух простых лотерей ${\displaystyle L}$ и ${\displaystyle M}$, либо ${\displaystyle L\preceq M}$ или ${\displaystyle M\preceq L}$ (или оба, и в этом случае они считаются одинаково желательными).
2. транзитивность: для любых трех лотерей ${\displaystyle L,M,N}$, если ${\displaystyle L\preceq M}$ и ${\displaystyle M\preceq N}$, тогда ${\displaystyle L\preceq N}$.
3. выпуклость / непрерывность (свойство Архимеда): если ${\displaystyle L\preceq M\preceq N}$, то есть ${\displaystyle p}$ от 0 до 1, так что лотерея ${\displaystyle pL+(1-p)N}$ столь же желательно, как ${\displaystyle M}$.
4. независимость: для любых трех лотерей ${\displaystyle L,M,N}$ и любая вероятность п, ${\displaystyle L\preceq M}$ если и только если ${\displaystyle pL+(1-p)N\preceq pM+(1-p)N}$. Интуитивно, если лотерея образована вероятностной комбинацией ${\displaystyle L}$ и ${\displaystyle N}$ не более предпочтительна, чем лотерея, образованная той же вероятностной комбинацией ${\displaystyle M}$ и ${\displaystyle N,}$ тогда и только тогда ${\displaystyle L\preceq M}$.

Аксиомы 3 и 4 позволяют нам решить, какова относительная полезность двух активов или лотерей.

Выражаясь более формальным языком: функция полезности фон Неймана – Моргенштерна - это функция от вариантов выбора до действительных чисел:

${\displaystyle u\colon X\to \mathbb {R} }$

который присваивает каждому результату действительное число таким образом, чтобы отражать предпочтения агента по сравнению с простыми лотереями. При четырех предположениях, упомянутых выше, агент предпочтет лотерею. ${\displaystyle L_{2}}$ в лотерею ${\displaystyle L_{1}}$ тогда и только тогда, когда для функции полезности, характеризующей этого агента, ожидаемая полезность ${\displaystyle L_{2}}$ больше, чем ожидаемая полезность ${\displaystyle L_{1}}$:

${\displaystyle L_{1}\preceq L_{2}{\text{ iff }}u(L_{1})\leq u(L_{2})}$.

Из всех аксиом чаще всего отказываются от независимости. Разнообразие обобщенная ожидаемая полезность Возникли теории, большинство из которых опускают или ослабляют аксиому независимости.

Как вероятность успеха

Кастаньоли и ЛиКалци (1996) и Бордли и ЛиКальци (2000) предоставили другую интерпретацию теории фон Неймана и Моргенштерна. В частности, для любой функции полезности существует гипотетическая эталонная лотерея, в которой ожидаемая полезность произвольной лотереи представляет собой вероятность того, что она будет не хуже, чем эталонная лотерея. Предположим, успех определяется как получение результата не хуже, чем результат справочной лотереи. Тогда эта математическая эквивалентность означает, что максимизация ожидаемой полезности эквивалентна максимизации вероятности успеха. Во многих контекстах это упрощает обоснование и применение концепции полезности. Например, полезность фирмы может быть вероятностью удовлетворения неопределенных ожиданий потребителей в будущем.^{[8][9][10][11]}

Косвенная полезность

Основная статья: Косвенная полезность

Косвенная функция полезности дает оптимально достижимая стоимость данной функции полезности, которая зависит от цен на товары и уровня дохода или богатства, которым обладает человек.

Деньги

Одно из применений концепции косвенной полезности - понятие полезности денег. Функция (косвенной) полезности для денег - это нелинейная функция, которая ограниченный и асимметричный относительно происхождения. Функция полезности вогнутый в положительной области, отражая феномен убывающая предельная полезность. Ограниченность отражает тот факт, что после определенного момента деньги вообще перестают быть полезными, поскольку размер любой экономики в любой момент времени сам по себе ограничен. Асимметрия происхождения отражает тот факт, что получение и потеря денег могут иметь совершенно разные последствия как для частных лиц, так и для предприятий. Нелинейность функции полезности для денег имеет глубокие последствия в процессах принятия решений: в ситуациях, когда результаты выбора влияют на полезность через денежные выигрыши или потери, которые являются нормой в большинстве бизнес-условий, оптимальный выбор для данного решения зависит от о возможных результатах всех других решений в тот же период времени.^[12]

Обсуждение и критика

Кембриджский экономист Джоан Робинсон широко критикуется за то, что это круговая концепция: «Полезность - это качество в товары это заставляет людей хотеть их покупать, а тот факт, что люди хотят покупать товары, показывает их полезность ".^[13]:48 Робинсон также указал, что, поскольку теория предполагает, что предпочтения фиксированы, это означает, что полезность не является проверяемый предположение. Это так, потому что, если мы возьмем изменения в поведении людей в отношении изменения цен или изменения базового бюджетного ограничения, мы никогда не сможем быть уверенными, в какой степени изменение поведения было вызвано изменением цены или бюджетного ограничения и сколько было связано с изменением предпочтений.^[14] Эта критика похожа на критику философа Ганс Альберт кто утверждал, что при прочих равных условиях условия, на которых маржиналист Теория спроса осталась в покое, сама теория превратилась в тавтология и полностью закрыт для экспериментального тестирования.^[15] По сути, кривая спроса и предложения (теоретическая линия количества продукта, которое было бы предложено или запрошено по заданной цене) является чисто онтологический и никогда не могло быть продемонстрировано эмпирически.

Другая критика исходит из утверждения, что ни кардинал ни порядковый полезность эмпирически наблюдаются в реальном мире. В случае кардинальной полезности невозможно «количественно» измерить уровень удовлетворения, когда кто-то потребляет или покупает яблоко. В случае обычной полезности невозможно определить, какой выбор был сделан, когда кто-то покупает, например, апельсин. Любой поступок будет иметь предпочтение перед огромным набор выбора (например, яблоко, апельсиновый сок, другие овощи, таблетки витамина С, упражнения, отказ от покупок и т. д.).^[16][17]

На другие вопросы о том, какие аргументы следует вводить в функцию полезности, трудно ответить, но они кажутся необходимыми для понимания полезности. Получат ли люди пользу от согласованности хочет, верования или чувство долг ключ к пониманию их поведения в утилите органон.^[18] Точно так же выбор между альтернативами сам по себе является процессом определения того, что рассматривать как альтернативы, вопросом выбора в условиях неопределенности.^[19]

An эволюционная психология перспектива состоит в том, что полезность можно лучше рассматривать как обусловленную предпочтениями, максимизирующими эволюционный фитнес в среде предков, но не обязательно в нынешней.^[20]

Смотрите также

• Деловой и экономический портал

• Закон спроса
• Предельная полезность
• Проблема максимизации полезности
• ПО для принятия решений

использованная литература

1. Дебре, Жерар (1954), «Представление упорядочения предпочтений числовой функцией», в Thrall, Robert M .; Кумбс, Клайд Х.; Райффа, Ховард (ред.), Процессы принятия решений, New York: Wiley, pp. 159–167, OCLC  639321.
2. Jehle, Джеффри; Рени, Филипп (2011), Продвинутая микроэкономическая теория, Прентис Холл, Financial Times, стр. 13–16, ISBN  978-0-273-73191-7.
3. Маршалл, Альфред (1920). Принципы экономики. Вступительный том (8-е изд.). Лондон: Макмиллан.
4. Von Neumann, J .; Моргенштерн, О. (1953). Теория игр и экономического поведения (3-е изд.). Издательство Принстонского университета.
5. Канеман, Д.; Тверски, А. (1979). «Теория перспективы: анализ принятия решений в условиях риска» (PDF). Econometrica. 47 (2): 263–292. Дои:10.2307/1914185. JSTOR  1914185.
6. Гречук, Б .; Забаранкин, М. (2016). «Проблема обратного портфеля с согласованными мерами риска». Европейский журнал операционных исследований. 249 (2): 740–750. Дои:10.1016 / j.ejor.2015.09.050. HDL:2381/36136.
7. Ингерсолл, Джонатан Э. младший (1987). Теория принятия финансовых решений. Тотова: Роуман и Литтлфилд. п.21. ISBN  0-8476-7359-6.
8. Castagnoli, E .; ЛиКалзи, М. (1996). «Ожидаемая полезность без полезности» (PDF). Теория и решение. 41 (3): 281–301. Дои:10.1007 / BF00136129. HDL:10278/4143.
9. Bordley, R .; ЛиКалзи, М. (2000). «Анализ решений с использованием целей вместо служебных функций». Решения по экономике и финансам. 23 (1): 53–74. Дои:10.1007 / с102030050005. HDL:10278/3610.
10. Bordley, R .; Кирквуд, К. (2004). «Анализ предпочтений по множеству атрибутов с целевыми показателями производительности». Исследование операций. 52 (6): 823–835. Дои:10.1287 / opre.1030.0093.
11. Bordley, R .; Поллок, С. (2009). «Аналитический подход к оптимизации проектирования на основе надежности». Исследование операций. 57 (5): 1262–1270. Дои:10.1287 / opre.1080.0661.
12. Бергер, Дж. О. (1985). «Полезность и убытки». Статистическая теория принятия решений и байесовский анализ (2-е изд.). Берлин: Springer-Verlag. ISBN  3-540-96098-8.
13. Робинсон, Джоан (1962). Экономическая философия. Хармондсворт, средний пол, Великобритания: Penguin Books.
14. Пилкингтон, Филипп (17 февраля 2014 г.). "Критика теории предельной полезности Джоан Робинсон". Исправляем экономистов. В архиве из оригинала от 13 июля 2015 г.
15. Пилкингтон, Филипп (27 февраля 2014 г.). "Полезность Ганс Альберт расширяет критику теории предельной полезности Робинсоном до закона спроса". Исправляем экономистов. В архиве из оригинала от 19 июля 2015 г.
16. «Выявленная теория предпочтений». Архивировано из оригинал 16 июля 2011 г.. Получено 11 декабря 2009.
17. «Архивная копия» (PDF). Архивировано из оригинал (PDF) 15 октября 2008 г.. Получено 9 августа 2008.
18. Кляйн, Дэниел (май 2014 г.). "Профессор" (PDF). Econ Journal Watch. 11 (2): 97–105. В архиве (PDF) из оригинала 5 октября 2014 г.. Получено 15 ноября 2014.
19. Берк, Кеннет (1932). К лучшей жизни. Беркли, Калифорния: Калифорнийский университет Press.
20. Капра, К. Моника; Рубин, Пол Х. (2011). «Эволюционная психология экономики». Прикладная эволюционная психология. Издательство Оксфордского университета. Дои:10.1093 / acprof: oso / 9780199586073.003.0002. ISBN  9780191731358.

дальнейшее чтение

• Ананд, Пол (1993). Основы рационального выбора в условиях риска. Оксфорд: Издательство Оксфордского университета. ISBN  0-19-823303-5.
• Фишберн, Питер С. (1970). Теория полезности для принятия решений. Хантингтон, Нью-Йорк: Роберт Э. Кригер. ISBN  0-88275-736-9.
• Георгеску-Роген, Николас (август 1936 г.). «Чистая теория поведения потребителей». Ежеквартальный журнал экономики. 50 (4): 545–593. Дои:10.2307/1891094. JSTOR  1891094.
• Гильбоа, Ицхак (2009). Теория принятия решения в условиях неопределенности. Кембридж: Издательство Кембриджского университета. ISBN  978-0-521-74123-1.
• Крепс, Дэвид М. (1988). Заметки о теории выбора. Боулдер, Колорадо: West-view Press. ISBN  0-8133-7553-3.
• Нэш, Джон Ф. (1950). «Проблема торга». Econometrica. 18 (2): 155–162. Дои:10.2307/1907266. JSTOR  1907266.
• Нойман, Джон фон & Моргенштерн, Оскар (1944). Теория игр и экономического поведения. Принстон, Нью-Джерси: Издательство Принстонского университета.
• Николсон, Уолтер (1978). Микроэкономическая теория (Второе изд.). Хинсдейл: Драйден Пресс. С. 53–87. ISBN  0-03-020831-9.
• Плюс, С. (1993). Психология суждения и принятия решений. Нью-Йорк: Макгроу-Хилл. ISBN  0-07-050477-6.

внешние ссылки

• Определение полезности от Investopedia
• Анатомия служебных функций типа Кобба-Дугласа в 3D
• Анатомия служебных функций типа CES в 3D
• Более простое определение на примере из Investopedia
• Максимизация оригинальности - новое определение классической полезности
• Полезная модель Маркетинг - Форма, Место, Время, Владение и возможно также Задача