Обычная полезность - Ordinal utility

В экономика, порядковая полезность функция - это функция, представляющая предпочтения агента на порядковая шкала. Порядковый теория полезности утверждает, что имеет смысл только спросить, какой вариант лучше другого, но бессмысленно спрашивать сколько лучше или как хорошо. Вся теория принятие решений потребителем в условиях уверенность может выражаться и обычно выражается в терминах порядковой полезности.

Например, предположим, что Джордж говорит нам, что «Я предпочитаю A, а не B, и B, а не C». Предпочтения Джорджа могут быть представлены функцией ты такой, что:

{ Displaystyle и (А) = 9, и (В) = 8, и (С) = 1}

Но критики кардинальная полезность утверждают, что единственным значимым сообщением этой функции является порядок ${ Displaystyle и (А)> и (В)> и (С)}$ ; реальные цифры бессмысленны. Следовательно, предпочтения Джорджа также могут быть представлены следующей функцией v:

{ Displaystyle v (A) = 9, v (B) = 2, v (C) = 1}

Функции ты и v обычно эквивалентны - они одинаково хорошо отражают предпочтения Джорджа.

Обычная полезность контрастирует с кардинальная полезность теория: последняя предполагает, что различия между предпочтениями также важны. В ты разница между A и B намного меньше, чем между B и C, а в v наоборот. Следовательно, ты и v находятся нет кардинально эквивалентен.

Понятие порядковой полезности было впервые введено Парето в 1906 г.^[1]

Обозначение

Предположим, что множество всех состояний мира есть ${ displaystyle X}$ и агент имеет отношение предпочтения ${ displaystyle X}$ . Обычно слабое отношение предпочтения обозначают как ${ displaystyle prevq}$ , так что ${ Displaystyle A prevq B}$ читается «агент хочет B по крайней мере так же, как A».

Символ ${ displaystyle sim}$ используется как сокращение отношения безразличия: ${ Displaystyle А сим В iff (А prevq B land B prevq A)}$ , который гласит: «Агент безразличен между B и A».

Символ ${ Displaystyle Prec}$ используется как сокращение для сильного отношения предпочтения: ${ Displaystyle А пре В если и только если (А Preq B земля В not PreQ A)}$ , который гласит: «Агент строго предпочитает Б, а не А».

Функция ${ displaystyle u: X to mathbb {R}}$ говорят представлять Соотношение ${ displaystyle prevq}$ если:

{ Displaystyle А Preq В если и только если и (А) leq и (В)}

Связанные понятия

Отображение кривой безразличия

Вместо определения числовой функции отношение предпочтений агента может быть представлено графически с помощью кривых безразличия. Это особенно полезно, когда есть два вида товаров: Икс и у. Затем каждая кривая безразличия показывает набор точек ${ Displaystyle (х, у)}$ так что, если ${ displaystyle (x_ {1}, y_ {1})}$ и ${ displaystyle (x_ {2}, y_ {2})}$ находятся на одной кривой, то ${ Displaystyle (x_ {1}, y_ {1}) sim (x_ {2}, y_ {2})}$ .

Пример кривой безразличия показан ниже:

Каждая кривая безразличия представляет собой набор точек, каждая из которых представляет собой комбинацию количества двух товаров или услуг, каждая из которых одинаково удовлетворяет потребителя. Чем дальше кривая от начала координат, тем выше уровень полезности.

Наклон кривой (отрицательный предельная ставка замещения X на Y) в любой момент показывает скорость, с которой индивид готов обменять товар X на товар Y, сохраняя тот же уровень полезности. Кривая выпуклая к началу координат, как показано, при условии, что у потребителя уменьшается предельная норма замещения. Можно показать, что потребительский анализ с кривыми безразличия (порядковый подход) дает те же результаты, что и на основе кардинальная полезность Теория - то есть потребители будут потреблять в точке, где предельная норма замещения между любыми двумя товарами равна отношению цен этих товаров (принцип равноправной маржи).

Выявленное предпочтение

Выявленная теория предпочтений решает проблему того, как соблюдать порядковые отношения предпочтений в реальном мире. Задача теории выявленных предпочтений отчасти заключается в том, чтобы определить, от каких наборов товаров отказались на основании того, что они менее нравятся, когда люди наблюдают, выбирая определенные наборы товаров.^[2]^[3]

Необходимые условия существования порядковой функции полезности

Некоторые условия на ${ displaystyle prevq}$ необходимы для гарантии существования представляющей функции:

Транзитивность: если ${ Displaystyle A prevq B}$ и ${ Displaystyle B Preq C}$ тогда ${ Displaystyle A Preq C}$ .
Комплектность: для всех комплектов ${ displaystyle A, B in X}$ $А, В в X$ : либо ${ Displaystyle A prevq B}$ $A prevq B$ или же ${ Displaystyle B Preq A}$ $B prevq A$ или оба.
- Полнота предполагает и рефлексивность: для каждого ${ displaystyle A in X}$ : ${ Displaystyle A Preq A}$ .

Когда эти условия соблюдены и установлен ${ displaystyle X}$ конечно, легко создать функцию ${ displaystyle u}$ который представляет ${ Displaystyle Prec}$ просто присвоив соответствующий номер каждому элементу ${ displaystyle X}$ , как показано в первом абзаце. То же самое верно, когда X счетно бесконечный. Более того, можно индуктивно построить представляющую функцию полезности, значения которой находятся в диапазоне ${ displaystyle (-1,1)}$ .^[4]

Когда ${ displaystyle X}$ бесконечно, этих условий недостаточно. Например, лексикографические предпочтения транзитивны и полны, но они не могут быть представлены какой-либо функцией полезности.^[4] Требуется дополнительное условие: непрерывность.

Непрерывность

Отношение предпочтения называется непрерывный если, когда B предпочтительнее A, небольшие отклонения от B или A не изменят порядок между ними. Формально отношение предпочтения на множестве X называется непрерывным, если оно удовлетворяет одному из следующих эквивалентных условий:

Для каждого ${ displaystyle A in X}$ , набор ${ Displaystyle {(А, В) | А предшествующий В }}$ является топологически замкнутый в ${ Displaystyle X раз X}$ с топология продукта (это определение требует ${ displaystyle X}$ быть топологическое пространство ).
Для каждой последовательности ${ displaystyle (A_ {i}, B_ {i})}$ , если для всех я ${ displaystyle A_ {i} prevq B_ {i}}$ и ${ displaystyle A_ {i} to A}$ и ${ displaystyle B_ {i} to B}$ , тогда ${ Displaystyle A prevq B}$ .
Для каждого ${ displaystyle A, B in X}$ такой, что ${ Displaystyle A Prec B}$ , существует шар вокруг ${ displaystyle A}$ и мяч вокруг ${ displaystyle B}$ так что для каждого ${ displaystyle a}$ в шаре ${ displaystyle A}$ и каждый ${ displaystyle b}$ в шаре ${ displaystyle B}$ , ${ Displaystyle а пре б}$ (это определение требует ${ displaystyle X}$ быть метрическое пространство ).

Если отношение предпочтения представлено непрерывной функцией полезности, то оно явно непрерывно. По теоремам Дебре (1954), Обратное тоже верно:

Каждое непрерывное полное отношение предпочтения может быть представлено непрерывной порядковой функцией полезности.

Обратите внимание, что лексикографические предпочтения не являются непрерывными. Например, ${ Displaystyle (5,0) Prec (5,1)}$ , но в каждом шаре вокруг (5,1) есть точки с ${ displaystyle x <5}$ и эти баллы уступают ${ displaystyle (5,0)}$ . Это согласуется с указанным выше фактом, что эти предпочтения не могут быть представлены функцией полезности.

Уникальность

Для каждой полезной функции v, существует уникальное отношение предпочтения, представленное v. Однако обратное неверно: отношение предпочтения может быть представлено множеством различных функций полезности. Те же предпочтения можно выразить как любой функция полезности, которая является монотонно возрастающим преобразованием v. Например, если

{ Displaystyle v (A) Equiv f (v (A))}

куда ${ displaystyle f: mathbb {R} to mathbb {R}}$ является любой монотонно возрастающей функции, то функции v и v приводят к идентичным отображениям кривых безразличия.

Эта эквивалентность кратко описывается следующим образом:

Порядковая функция полезности уникальное вплоть до возрастающей монотонной трансформации.

Напротив, кардинальная полезность функция уникальна только до увеличения аффинное преобразование. Каждое аффинное преобразование монотонно; следовательно, если две функции кардинально эквивалентны, они также обычно эквивалентны, но не наоборот.

Монотонность

Предположим с этого момента, что множество ${ displaystyle X}$ - это множество всех неотрицательных вещественных двумерных векторов. Итак, элемент ${ displaystyle X}$ пара ${ Displaystyle (х, у)}$ который представляет собой количество, потребленное от двух продуктов, например, яблок и бананов.

Тогда при определенных обстоятельствах отношение предпочтения ${ displaystyle prevq}$ представлена функцией полезности ${ Displaystyle v (х, у)}$ .

Предположим, что отношение предпочтения монотонно возрастающий, что означает, что «чем больше, тем лучше»:

{ Displaystyle х <х ' подразумевает (х, у) пре (х', у)}

{ Displaystyle у <у ' подразумевает (х, у') пре (х, у ')}

Тогда обе частные производные, если они существуют, от v положительные. Короче:

Если функция полезности представляет собой монотонно возрастающее отношение предпочтения, то функция полезности монотонно возрастает.

Предельная ставка замещения

Допустим, у человека есть сверток ${ displaystyle (x_ {0}, y_ {0})}$ и утверждает, что ему безразлична эта связка и связка ${ displaystyle (x_ {0} - lambda cdot delta, y_ {0} + delta)}$ . Это означает, что он готов отдать ${ displaystyle lambda cdot delta}$ единиц x, чтобы получить ${ displaystyle delta}$ единиц у. Если это соотношение сохраняется как ${ displaystyle delta to 0}$ мы говорим, что ${ displaystyle lambda}$ это предельная ставка замещения (Г-ЖА) между Икс и у в момент ${ displaystyle (x_ {0}, y_ {0})}$ .^[5]^:82

Это определение MRS основано только на порядковом отношении предпочтения - оно не зависит от числовой функции полезности. Если отношение предпочтения представлено функцией полезности, а функция дифференцируема, то MRS можно вычислить на основе производных этой функции:

{ displaystyle MRS = { frac {v '_ {x}} {v' _ {y}}}.}

Например, если отношение предпочтения представлено ${ Displaystyle v (x, y) = x ^ {a} cdot y ^ {b}}$ тогда ${ displaystyle MRS = { frac {a cdot x ^ {a-1} cdot y ^ {b}} {b cdot y ^ {b-1} cdot x ^ {a}}} = { гидроразрыв {ay} {bx}}}$ . MRS такая же для функции ${ displaystyle v (x, y) = a cdot log {x} + b cdot log {y}}$ . Это не совпадение, поскольку эти две функции представляют одно и то же отношение предпочтений - каждая из них является увеличивающимся монотонным преобразованием другой.

В целом MRS может отличаться в разных точках ${ displaystyle (x_ {0}, y_ {0})}$ . Например, возможно, что при ${ Displaystyle (9,1)}$ MRS низкий, потому что у человека много Икс и только один у, но на ${ displaystyle (9,9)}$ или же ${ displaystyle (1,1)}$ MRS выше. Некоторые особые случаи описаны ниже.

Линейность

Когда MRS определенного отношения предпочтения не зависит от связки, т. Е. MRS одинакова для всех ${ displaystyle (x_ {0}, y_ {0})}$ , кривые безразличия линейные и имеют вид:

{ displaystyle x + lambda y = { text {const}},}

а отношение предпочтений можно представить линейной функцией:

{ displaystyle v (x, y) = x + lambda y.}

(Конечно, то же отношение может быть представлено многими другими нелинейными функциями, такими как ${ displaystyle { sqrt {x + lambda y}}}$ или же ${ Displaystyle (х + лямбда у) ^ {2}}$ , но линейная функция наиболее проста.)^[5]^:85

Квазилинейность

Когда MRS зависит от ${ displaystyle y_ {0}}$ но не на ${ displaystyle x_ {0}}$ , отношение предпочтения может быть представлено квазилинейная полезность функция формы

{ Displaystyle v (x, y) = x + gamma v_ {Y} (y)}

куда ${ displaystyle v_ {Y}}$ - некоторая монотонно возрастающая функция. Поскольку MRS - это функция ${ displaystyle lambda (y)}$ , возможная функция ${ displaystyle v_ {Y}}$ можно вычислить как интеграл от ${ displaystyle lambda (y)}$ :^[6]^[5]^:87

{ displaystyle v_ {Y} (y) = int _ {0} ^ {y} { lambda (y ') dy'}}

В этом случае все кривые безразличия параллельны - это горизонтальные переходы друг друга.

Аддитивность с двумя товарами

Более общий тип функции полезности - это аддитивная функция:

{ Displaystyle v (x, y) = v_ {X} (x) + v_ {Y} (y)}

Есть несколько способов проверить, можно ли представить данные предпочтения с помощью аддитивной функции полезности.

Свойство двойной отмены

Если предпочтения складываются, то простой арифметический расчет показывает, что

{ Displaystyle (x_ {1}, y_ {1}) successq (x_ {2}, y_ {2})}

и

{ Displaystyle (x_ {2}, y_ {3}) successq (x_ {3}, y_ {1})}

подразумевает

{ Displaystyle (x_ {1}, y_ {3}) successq (x_ {3}, y_ {2})}

так что это свойство "двойной отмены" является необходимым условием аддитивности.

Дебре (1960) показали, что этого свойства также достаточно: т.е. если отношение предпочтения удовлетворяет свойству двойного сокращения, то оно может быть представлено аддитивной функцией полезности.^[7]

Соответствующее свойство компромиссов

Если предпочтения представлены аддитивной функцией, то простой арифметический расчет показывает, что

{ displaystyle MRS (x_ {2}, y_ {2}) = { frac {MRS (x_ {1}, y_ {2}) cdot MRS (x_ {2}, y_ {1})} {MRS ( x_ {1}, y_ {1})}}}

так что это свойство «соответствующих компромиссов» является необходимым условием аддитивности. Этого условия тоже достаточно.^[8]^[5]^:91

Аддитивность с тремя и более товарами

Когда существует три или более товаров, условие аддитивности функции полезности неожиданно оказывается проще чем для двух товаров. Это результат Теорема 3 Дебре (1960).. Условие, необходимое для аддитивности: преимущественная независимость.^[5]^:104

Подмножество товаров A называется преимущественно независимый подмножества товаров B, если отношение предпочтений в подмножестве A при постоянных значениях для подмножества B не зависит от этих постоянных значений. Например, предположим, что есть три товара: Икс у и z. Подмножество {Икс,у} предпочтительно не зависит от подмножества {z}, если для всех ${ displaystyle x_ {i}, y_ {i}, z, z '}$ :

{ displaystyle (x_ {1}, y_ {1}, z) prevq (x_ {2}, y_ {2}, z) iff (x_ {1}, y_ {1}, z ') prevq ( x_ {2}, y_ {2}, z ')}

.

В этом случае мы можем просто сказать, что:

{ Displaystyle (x_ {1}, y_ {1}) prevq (x_ {2}, y_ {2})}

для постоянного z.

Преимущественная независимость имеет смысл в случае независимые товары. Например, предпочтения между связками яблок и бананов, вероятно, не зависят от количества обуви и носков, которые есть у агента, и наоборот.

По теореме Дебре, если все подмножества товаров предпочтительно независимы от их дополнений, то отношение предпочтения может быть представлено аддитивной функцией стоимости. Здесь мы предлагаем интуитивно понятное объяснение этого результата, показывая, как можно построить такую аддитивную функцию ценности.^[5] Доказательство предполагает три предмета: Икс, у, z. Мы покажем, как определить три точки для каждой из трех функций значения. ${ displaystyle v_ {x}, v_ {y}, v_ {z}}$ : 0 балл, 1 балл и 2 балла. Другие точки могут быть рассчитаны аналогичным образом, а затем можно использовать непрерывность, чтобы сделать вывод о том, что функции четко определены во всем диапазоне.

0 баллов: выбрать произвольно ${ displaystyle x_ {0}, y_ {0}, z_ {0}}$ и присвоить их нулю функции значения, то есть:

{ Displaystyle v_ {x} (x_ {0}) = v_ {y} (y_ {0}) = v_ {z} (z_ {0}) = 0}

1 балл: выбрать произвольно ${ displaystyle x_ {1}> x_ {0}}$ такой, что ${ displaystyle (x_ {1}, y_ {0}, z_ {0}) succ (x_ {0}, y_ {0}, z_ {0})}$ . Установите его как единицу стоимости, например:

{ displaystyle v_ {x} (x_ {1}) = 1}

выбирать ${ displaystyle y_ {1}}$ и ${ displaystyle z_ {1}}$ такие, что выполняются следующие отношения безразличия:

{ displaystyle (x_ {1}, y_ {0}, z_ {0}) sim (x_ {0}, y_ {1}, z_ {0}) sim (x_ {0}, y_ {0}, z_ {1})}

.

Это безразличие служит для масштабирования единиц у и z чтобы соответствовать тем из Икс. Значение в этих трех точках должно быть 1, поэтому мы присваиваем

{ Displaystyle v_ {y} (y_ {1}) = v_ {z} (z_ {1}) = 1}

2 балла: Теперь мы используем предположение о преимущественной независимости. Связь между ${ displaystyle (x_ {1}, y_ {0})}$ и ${ displaystyle (x_ {0}, y_ {1})}$ не зависит от z, и аналогично соотношение между ${ displaystyle (y_ {1}, z_ {0})}$ и ${ displaystyle (y_ {0}, z_ {1})}$ не зависит от Икс и связь между ${ displaystyle (z_ {1}, x_ {0})}$ и ${ displaystyle (z_ {0}, x_ {1})}$ не зависит от у. Следовательно

{ displaystyle (x_ {1}, y_ {0}, z_ {1}) sim (x_ {0}, y_ {1}, z_ {1}) sim (x_ {1}, y_ {1}, z_ {0}).}

Это полезно, потому что это означает, что функция v в этих трех точках может иметь одинаковое значение - 2. Выбирать ${ displaystyle x_ {2}, y_ {2}, z_ {2}}$ такой, что

{ displaystyle (x_ {2}, y_ {0}, z_ {0}) sim (x_ {0}, y_ {2}, z_ {0}) sim (x_ {0}, y_ {0}, z_ {2}) sim (x_ {1}, y_ {1}, z_ {0})}

и назначить

{ displaystyle v_ {x} (x_ {2}) = v_ {x} (y_ {2}) = v_ {x} (z_ {2}) = 2.}

3 балла: Чтобы показать, что наши назначения до сих пор последовательны, мы должны показать, что все баллы, получившие общую ценность 3, являются точками безразличия. Здесь снова используется предположение о преимущественной независимости, поскольку связь между ${ displaystyle (x_ {2}, y_ {0})}$ и ${ displaystyle (x_ {1}, y_ {1})}$ не зависит от z (и аналогично для остальных пар); следовательно

{ displaystyle (x_ {2}, y_ {0}, z_ {1}) sim (x_ {1}, y_ {1}, z_ {1})}

и аналогично для остальных пар. Следовательно, 3-я точка определяется последовательно.

Мы можем продолжить это по индукции и определить товарные функции во всех целых точках, а затем использовать непрерывность, чтобы определить ее во всех реальных точках.

Неявное предположение в пункте 1 приведенного выше доказательства состоит в том, что все три товара являются существенный или же соответствующие предпочтения.^[7]^:7 Это означает, что существует такой набор, что при увеличении количества определенного товара новый набор будет строго лучше.

Доказательство для более чем 3 товаров аналогично. Фактически, нам не нужно проверять, что все подмножества точек предпочтительно независимы; достаточно проверить линейное количество пар товаров. Например, если есть ${ displaystyle m}$ разные товары, ${ displaystyle j = 1, ..., m}$ , то достаточно проверить, что для всех ${ displaystyle j = 1, ..., m-1}$ , два товара ${ displaystyle {x_ {j}, x_ {j + 1} }}$ предпочтительно независимы от других ${ displaystyle m-2}$ товары.^[5]^:115

Единственность аддитивного представления

Аддитивное отношение предпочтения может быть представлено множеством различных аддитивных функций полезности. Однако все эти функции похожи: они не только увеличивают монотонное преобразование друг друга (как и все функции полезности, представляющие одно и то же отношение ); они увеличиваются линейные преобразования друг друга.^[7]^:9 Короче,

Аддитивная порядковая функция полезности уникальный с точностью до возрастающей линейной трансформации.

Сравнение порядковых и кардинальных функций полезности

В следующей таблице сравниваются два типа функций полезности, распространенных в экономике:

	Уровень измерения	Представляет предпочтения на	Уникальный до	Существование доказано	В основном используется в
Обычная полезность	Порядковая шкала	Уверенные результаты	Увеличение монотонное преобразование	Дебре (1954)	Теория потребления под уверенностью
Кардинальная полезность	Шкала интервалов	Случайные исходы (лотереи)	Увеличение монотонности линейное преобразование	Фон Нейман-Моргенштерн (1947)	Теория игры, выбор в условиях неопределенности

Смотрите также

внешняя ссылка

[1] Парето, Вильфредо (1906). "Manuale diconomia politica, con una Introduction alla scienza sociale". Societa Editrice Libraria.

[2] Чиаки Хара (6 июня 1998 г.). «Выявленная теория предпочтений». 7-е совещание Тойро-кай (1997/1998).

[3] Ботонд Кошеги; Мэтью Рабин (май 2007 г.). «Ошибки в анализе благосостояния на основе выбора» (PDF). American Economic Review: документы и материалы. 97 (2): 477–481. CiteSeerX 10.1.1.368.381. Дои:10.1257 / aer.97.2.477. Архивировано из оригинал (PDF) на 2008-10-15.

[Rubinstein-4] а ^б Ариэль Рубинштейн, Конспект лекций по микроэкономической теории, Лекция 2 - Утилита

[KeeneyRaiffa1993-5] а ^б ^c ^d ^е ^ж ^грамм Кини, Ральф Л .; Райффа, Ховард (1993). Решения с несколькими целями. ISBN 978-0-521-44185-8.

[PruzanJackson1963-6] Питер Марк Прузан и Дж. Т. Росс Джексон (1963). «О развитии подсобных помещений для многоцелевых систем». Ledelse og Erhvervsøkonomi / Handelsvidenskabeligt Tidsskrift / Erhvervsøkonomisk Tidsskrift.

[Ted-7] а ^б ^c Бергстром, Тед. «Конспект лекций по отделяемым предпочтениям» (PDF). UCSB Econ. Получено 18 августа 2015.

[LuceTukey1964-8] Люс, Р. Дункан; Тьюки, Джон У. (1964). «Одновременное совместное измерение: новый тип фундаментального измерения». Журнал математической психологии. 1: 1–27. CiteSeerX 10.1.1.334.5018. Дои:10.1016 / 0022-2496 (64) 90015-х.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]