Утилита с несколькими атрибутами - Multi-attribute utility

В теория принятия решений, а утилита с несколькими атрибутами Функция используется для представления предпочтений агента по отношению к группам товаров либо в условиях уверенности в результатах любого потенциального выбора, либо в условиях неопределенности.

Предварительные мероприятия

Человеку приходится выбирать между двумя или более вариантами. Решение основано на атрибуты из вариантов.

Самый простой случай - это когда есть только один атрибут, например: деньги. Обычно предполагается, что все люди предпочитают больше денег меньшим деньгам; следовательно, проблема в этом случае тривиальна: выберите вариант, который принесет вам больше денег.

На самом деле есть два или более атрибутов. Например, человек должен выбрать один из двух вариантов трудоустройства: вариант А дает ему 12 тысяч долларов в месяц и 20 дней отпуска, а вариант Б дает ему 15 тысяч долларов в месяц и только 10 дней отпуска. Человек должен выбрать между (12К, 20) и (15К, 10). У разных людей могут быть разные предпочтения. При определенных условиях предпочтения человека могут быть представлены числовой функцией. Статья порядковая полезность описывает некоторые свойства таких функций и способы их вычисления.

Еще одно соображение, которое может усложнить задачу принятия решения: неуверенность. Эта сложность существует даже тогда, когда есть единственный атрибут, например деньги. Например, вариант A может быть лотереей с 50% шансом выиграть 2 доллара, а вариант B - точно выиграть 1 доллар. Человеку предстоит сделать выбор между лотереей <2: 0,5> и лотереей <1: 1>. Опять же, у разных людей могут быть разные предпочтения. Опять же, при определенных условиях предпочтения могут быть представлены числовой функцией. Такие функции называются кардинальная полезность функции. Статья Теорема о полезности фон Неймана – Моргенштерна описывает некоторые способы их расчета.

Самая общая ситуация такова, что есть и то и другое несколько атрибутов и неопределенность. Например, вариант A может быть лотереей с 50% шансом выиграть два яблока и два банана, а вариант B - обязательно выиграть два банана. Решение находится между <(2,2) :( 0.5,0.5)> и <(2,0) :( 1,0)>. Предпочтения здесь могут быть представлены кардинальная полезность функции, которые принимают несколько переменных (атрибутов).^[1]^:26–27 Таким функциям и посвящена данная статья.

Цель - вычислить функцию полезности ${ displaystyle u (x_ {1}, ..., x_ {n})}$ который представляет предпочтения человека в лотереях пакетов. То есть лотерея A предпочтительнее лотереи B тогда и только тогда, когда ожидание функции ${ displaystyle u}$ выше под A, чем под B:

{ displaystyle E_ {A} [u (x_ {1}, ..., x_ {n})]> E_ {B} [u (x_ {1}, ..., x_ {n})]}

Оценка функции кардинальной полезности с несколькими атрибутами

Если количество возможных связок конечно, ты могут быть построены напрямую, как объясняется фон Нейман и Моргенштерн (VNM): упорядочьте пакеты от наименее предпочтительных к наиболее предпочтительным, назначьте полезность 0 первому и полезность 1 второму и назначьте каждому пакету между полезностью, равной вероятности эквивалентной лотереи.^[1]^:222–223

Если количество пакетов бесконечно, можно начать с игнорирования случайности и оценить порядковая полезность функция ${ displaystyle v (x_ {1}, ..., x_ {n})}$ который представляет полезность человека на конечно связки. То есть связка x предпочтительнее связки y тогда и только тогда, когда функция ${ displaystyle v}$ для x больше, чем для y:

{ Displaystyle v (x_ {1}, ..., x_ {n})> v (y_ {1}, ..., y_ {n})}

Эта функция, по сути, преобразует проблему с несколькими атрибутами в проблему с одним атрибутом: атрибут ${ displaystyle v}$ . Затем с помощью VNM можно построить функцию ${ displaystyle u}$ .^[1]^:219–220

Обратите внимание, что ты должно быть положительным монотонным преобразованием v. Это означает, что существует монотонно возрастающая функция ${ displaystyle r: mathbb {R} to mathbb {R}}$ , такое, что:

{ displaystyle u (x_ {1}, ..., x_ {n}) = r (v (x_ {1}, ..., x_ {n}))}

Проблема с этим подходом заключается в том, что нелегко оценить функцию р. При оценке функции кардинальной полезности с одним атрибутом с помощью VNM мы задаем такие вопросы, как: «Какая вероятность выиграть 2 доллара эквивалентна 1 доллару?». Итак, чтобы оценить функцию р, мы должны задать вопрос, например: «Какая вероятность выиграть 2 единицы стоимости эквивалентна 1 величине?». На последний вопрос ответить гораздо труднее, чем на первый, поскольку он включает в себя «ценность», которая является абстрактной величиной.

Возможное решение - вычислить п одномерные кардинальные функции полезности - по одной на каждый атрибут. Например, предположим, что есть два атрибута: яблоки ( ${ displaystyle x_ {1}}$ ) и бананы ( ${ displaystyle x_ {2}}$ ), оба диапазона находятся в диапазоне от 0 до 99. Используя VNM, мы можем вычислить следующие одномерные функции полезности:

${ displaystyle u (x_ {1}, 0)}$ - кардинальная полезность по яблокам при отсутствии бананов (южная граница домена);
${ displaystyle u (99, x_ {2})}$ - кардинальная полезность бананов, когда яблоки максимальны (восточная граница домена).

Используя линейные преобразования, масштабируйте функции так, чтобы они имели одинаковое значение на (99,0).

Тогда для каждого пакета ${ displaystyle (x_ {1} ', x_ {2}')}$ , найдите эквивалентную связку (связку с тем же v) которая имеет вид ${ displaystyle (x_ {1}, 0)}$ или формы ${ displaystyle (99, x_ {2})}$ , и установите его полезность на тот же номер.^[1]^:221–222

Часто определенные независимость свойства между атрибутами можно использовать для упрощения построения служебной функции.

Аддитивная независимость

Сильнейшее свойство независимости называется аддитивная независимость. Два атрибута, 1 и 2, называются аддитивно независимый, если предпочтение между двумя лотереями (определенное как совместное распределение вероятностей двух атрибутов) зависит только от их распределения предельной вероятности (маргинальная PD атрибута 1 и маргинальная PD атрибута 2).

Это означает, например, что следующие две лотереи эквивалентны:

${ displaystyle L}$ : Лотерея с равными шансами между ${ displaystyle (x_ {1}, x_ {2})}$ и ${ displaystyle (y_ {1}, y_ {2})}$ ;
${ displaystyle M}$ : Лотерея с равными шансами между ${ displaystyle (x_ {1}, y_ {2})}$ и ${ displaystyle (y_ {1}, x_ {2})}$ .

В обеих этих лотереях предельное PD по атрибуту 1 составляет 50% для ${ displaystyle x_ {1}}$ и 50% для ${ displaystyle y_ {1}}$ . Точно так же предельное PD по атрибуту 2 составляет 50% для ${ displaystyle x_ {2}}$ и 50% для ${ displaystyle y_ {2}}$ . Следовательно, если у агента есть независимые от аддитивов полезности, ему должно быть безразлично эти две лотереи.^[1]^:229–232

Фундаментальный результат теории полезности состоит в том, что два атрибута аддитивно независимы, если и только если их функция полезности с двумя атрибутами является аддитивной и имеет форму:

{ displaystyle u (x_ {1}, x_ {2}) = u_ {1} (x_ {1}) + u_ {2} (x_ {2})}

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО:

${ displaystyle longrightarrow}$

Если атрибуты не зависят от аддитивности, то лотереи ${ displaystyle L}$ и ${ displaystyle M}$ , определенные выше, эквивалентны. Это означает, что их ожидаемая полезность такая же, то есть: ${ Displaystyle E_ {L} [u] = E_ {M} [u]}$ . Умножение на 2 дает:

{ displaystyle u (x_ {1}, x_ {2}) + u (y_ {1}, y_ {2}) = u (x_ {1}, y_ {2}) + u (y_ {1}, x_ {2})}

Это верно для Любые выбор ${ displaystyle x_ {i}}$ и ${ displaystyle y_ {i}}$ . Предположим теперь, что ${ displaystyle y_ {1}}$ и ${ displaystyle y_ {2}}$ фиксируются. Произвольно установлено ${ displaystyle u (y_ {1}, y_ {2}) = 0}$ . Написать: ${ displaystyle u_ {1} (x_ {1}) = u (x_ {1}, y_ {2})}$ и ${ displaystyle u_ {2} (x_ {2}) = u (y_ {1}, x_ {2})}$ Приведенное выше уравнение принимает следующий вид:

{ displaystyle u (x_ {1}, x_ {2}) = u_ {1} (x_ {1}) + u_ {2} (x_ {2})}

${ displaystyle longleftarrow}$

Если функция ты складывается, то по правилам ожидания для каждой лотереи ${ displaystyle L}$ :

{ displaystyle E_ {L} [u (x_ {1}, x_ {2})] = E_ {L} [u_ {1} (x_ {1})] + E_ {L} [u_ {2} (x_ {2})]}

Это выражение зависит только от предельных распределений вероятностей ${ displaystyle L}$ по двум атрибутам.

Этот результат можно обобщить на любое количество атрибутов: если предпочтения перед лотереями по атрибутам 1, ...,п зависят только от их предельных распределений вероятностей, то п-атрибутная функция полезности аддитивна:^[1]^:295

{ displaystyle u (x_ {1}, dots, x_ {n}) = sum _ {i = 1} ^ {n} {k_ {i} u_ {i} (x_ {i})}}

где ${ displaystyle u}$ и ${ displaystyle u_ {i}}$ нормализованы к диапазону ${ displaystyle [0,1]}$ , а ${ displaystyle k_ {i}}$ - константы нормализации.

Большая часть работы по аддитивной теории полезности была проделана Питер С. Фишберн.

Коммунальная независимость

Немного более слабое свойство независимости независимость от полезности. Атрибут 1 независимый от полезности атрибута 2, если условные предпочтения в лотереях по атрибуту 1 при постоянном значении атрибута 2 не зависят от этого постоянного значения.

Это означает, например, что предпочтение между лотереей ${ displaystyle <(x_ {1}, x_ {2}) :( y_ {1}, x_ {2})>}$ и лотерея ${ displaystyle <(x '_ {1}, x_ {2}) :( y' _ {1}, x_ {2})>}$ одинаково, независимо от значения ${ displaystyle x_ {2}}$ .

Обратите внимание, что независимость полезности (в отличие от аддитивной независимости) не симметричный: возможно, что атрибут 1 не зависит от полезности атрибута 2, а не наоборот.^[1]^:224–229

Если атрибут 1 не зависит от полезности атрибута 2, то функция полезности для каждого значения атрибута 2 является линейным преобразованием функции полезности для любого другого значения атрибута 2. Следовательно, это можно записать как:

{ displaystyle u (x_ {1}, x_ {2}) = c_ {1} (x_ {2}) + c_ {2} (x_ {2}) cdot u (x_ {1}, x_ {2} ^ {0})}

когда ${ displaystyle x_ {2} ^ {0}}$ - постоянное значение для атрибута 2. Аналогично, если атрибут 2 не зависит от полезности атрибута 1:

{ displaystyle u (x_ {1}, x_ {2}) = d_ {1} (x_ {1}) + d_ {2} (x_ {1}) cdot u (x_ {1} ^ {0}, x_ {2})}

Если атрибуты взаимно независимый, то функция полезности ты имеет следующие полилинейная форма:^[1]^:233–235

{ displaystyle u (x_ {1}, x_ {2}) = u_ {1} (x_ {1}) + u_ {2} (x_ {2}) + k cdot u_ {1} (x_ {1} ) cdot u_ {2} (x_ {2})}

куда ${ displaystyle k}$ - константа, которая может быть положительной, отрицательной или 0.

Когда ${ displaystyle k = 0}$ , функция ты является аддитивным, а атрибуты не зависят от аддитивности.
Когда ${ Displaystyle к neq 0}$ , функция полезности мультипликативна, поскольку ее можно записать как:

{ Displaystyle [ку (x_ {1}, x_ {2}) + 1] = [ку_ {1} (x_ {1}) + 1] cdot [ку_ {2} (x_ {2}) + 1] }

где каждый член является линейным преобразованием

{ Displaystyle к cdot +1}

функции полезности.

Эти результаты можно обобщить на любое количество атрибутов. Учитывая атрибуты 1, ...,п, если какое-либо подмножество атрибутов не зависит от полезности от своего дополнения, то п-атрибутная функция полезности является полилинейной и имеет одну из следующих форм:

Добавка, или -
Мультипликативный:^[1]^:289–290

{ displaystyle 1 + ku (x_ {1}, dots, x_ {n}) = prod _ {i = 1} ^ {n} {1 + kk_ {i} u_ {i} (x_ {i}) }}

где:

В ${ displaystyle u}$ и ${ displaystyle u_ {i}}$ нормализованы к диапазону ${ displaystyle [0,1]}$ ;
В ${ displaystyle k_ {i}}$ константы в ${ displaystyle [0,1]}$ ;
${ displaystyle k}$ - константа, которая находится либо в ${ displaystyle (-1,0)}$ или в ${ displaystyle (0, infty)}$ (обратите внимание, что предел, когда ${ displaystyle k to 0}$ - аддитивная форма).

Сравнение концепций независимости

Полезно сравнить три различных концепции, связанных с независимостью атрибутов: независимость от аддитивов (AI), независимость от полезности (UI) и независимость от предпочтений (PI).^[1]^:344

И ИИ, и пользовательский интерфейс имеют отношение к настройкам лотереи и объяснены выше. PI касается предпочтений по верные результаты и объясняется в статье о порядковая полезность.

Их порядок следования следующий:

AI ⇒ UI ⇒ PI

AI является симметричным отношением (если атрибут 1 является AI атрибута 2, тогда атрибут 2 является AI атрибута 1), а UI и PI - нет.

AI подразумевает взаимный интерфейс. Обратное, как правило, неверно; это правда, только если ${ displaystyle k = 0}$ в мультилинейной формуле для атрибутов пользовательского интерфейса. Но если, помимо взаимного UI, существуют ${ displaystyle x_ {1}, x_ {2}, y_ {1}, y_ {2}}$ для чего две лотереи ${ displaystyle L}$ и ${ displaystyle M}$ , определенные выше, эквивалентны - тогда ${ displaystyle k}$ должно быть 0, а это означает, что отношение предпочтения должно быть ИИ.^[1]^:238–239

UI подразумевает PI. Обратное, как правило, неверно. Но если:

есть как минимум 3 обязательных атрибута и:
все пары атрибутов {1,я} являются ИП своего дополнения, и:
атрибут 1 - это UI его дополнения,

тогда все атрибуты взаимно являются UI. Более того, в этом случае существует простая связь между кардинальной функцией полезности ${ displaystyle u}$ представление предпочтений в лотереях и порядковая функция полезности ${ displaystyle v}$ представление предпочтений для определенных пакетов. Функция ${ displaystyle u}$ должен иметь одну из следующих форм:^[1]^:330–332^[2]

Добавка: ${ displaystyle u (x_ {1}, ..., x_ {n}) = v (x_ {1}, ..., x_ {n})}$
Мультипликативный: ${ displaystyle u (x_ {1}, ..., x_ {n}) = [exp (R cdot v (x_ {1}, ..., x_ {n})) - 1] / [exp ( R) -1]}$

где ${ Displaystyle R neq 0}$ .

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО: Достаточно доказать, что ты имеет постоянное абсолютное неприятие риска относительно стоимости v.

Предположение PI с ${ Displaystyle п geq 3}$ подразумевают, что функция цены аддитивна, то есть:

{ displaystyle v (x_ {1}, dots, x_ {n}) = sum _ {i = 1} ^ {n} { lambda _ {i} v_ {i} (x_ {i})}}

Позволять ${ displaystyle x_ {1}, z_ {1}}$ - два разных значения атрибута 1. Пусть ${ displaystyle y_ {1}}$ быть уверенным эквивалентом лотереи ${ displaystyle }$ . Предположение пользовательского интерфейса подразумевает, что для каждой комбинации ${ Displaystyle (ш_ {2}, точки, ш_ {п})}$ значений других атрибутов имеет место следующая эквивалентность:

{ displaystyle (y_ {1}, w) sim <(x_ {1}, w) :( z_ {1}, w)>}

Два предыдущих утверждения подразумевают, что для каждого ш, в пространстве значений имеет место эквивалентность:

{ displaystyle lambda _ {1} v_ {1} (y_ {1}) + sum _ {i = 2} ^ {n} { lambda _ {i} v_ {i} (w_ {i})} sim < lambda _ {1} v_ {1} (x_ {1}) + sum _ {i = 2} ^ {n} { lambda _ {i} v_ {i} (w_ {i})} : lambda _ {1} v_ {1} (z_ {1}) + sum _ {i = 2} ^ {n} { lambda _ {i} v_ {i} (w_ {i})}>}

Это означает, что добавление любого количества к обеим сторонам лотереи (через термин ${ Displaystyle сумма _ {я = 2} ^ {п} { лямбда _ {я} v_ {я} (ш_ {я})}}$ ), увеличивает достоверность лотереи на ту же величину.
Последнее означает постоянное неприятие риска.

Смотрите также

использованная литература

^ ^а ^б ^c ^d ^е ^ж ^г ^час ^я ^j ^k ^л Кини, Ральф Л .; Райффа, Ховард (1993). Решения с несколькими целями. ISBN 0-521-44185-4.CS1 maint: ref = harv (ссылка на сайт)
^ Эту идею приписывают Ричард Ф. Мейер и Джон В. Пратт.

[KR-1] а ^б ^c ^d ^е ^ж ^г ^час ^я ^j ^k ^л Кини, Ральф Л .; Райффа, Ховард (1993). Решения с несколькими целями. ISBN 0-521-44185-4.CS1 maint: ref = harv (ссылка на сайт)

[2] Эту идею приписывают Ричард Ф. Мейер и Джон В. Пратт.

[1]

[2]