Теоремы Дебре - Debreu theorems - Wikipedia

Не путать с Теорема Зонненшайна – Мантеля – Дебре или же Модель Эрроу – Дебре.

В экономика, то Теоремы Дебре несколько утверждений о представлении предпочтительный заказ действительной функцией. Теоремы были доказаны Жерар Дебре в течение 1950-х гг.

Фон

Предположим, человеку задают вопросы вида «Вы предпочитаете А или Б?» (когда A и B могут быть вариантами, действиями, которые нужно предпринять, состояниями мира, пакетами потребления и т. д.). Все ответы записываются. Затем предпочтения этого человека представлены числовым вспомогательная функция, так что полезность варианта A больше, чем вариант B тогда и только тогда, когда агент предпочитает A вместо B.

Теоремы Дебре дают ответ на следующий основной вопрос: какие условия отношения предпочтения агента гарантируют, что такая репрезентативная функция полезности может быть найдена?

Существование порядковой функции полезности

Теоремы 1954 года^[1] скажем, грубо говоря, что каждое отношение предпочтения, которое является полным, транзитивным и непрерывным, может быть представлено непрерывная порядковая функция полезности.

Заявление

Эти теоремы обычно применяются к пространствам конечных товаров. Однако они применимы в гораздо более общих условиях. Это общие предположения:

• X - это топологическое пространство.
• ${\displaystyle \preceq }$ есть отношение на X, которое общий (все предметы сопоставимы) и переходный.
• ${\displaystyle \preceq }$ является непрерывный. Это означает, что выполняются следующие эквивалентные условия:
  1. Для каждого ${\displaystyle x\in X}$, наборы ${\displaystyle \{y|y\preceq x\}}$ и ${\displaystyle \{y|y\succeq x\}}$ находятся топологически замкнутый в ${\displaystyle X}$.
  2. Для каждой последовательности ${\displaystyle (x_{i})}$ такой, что ${\displaystyle x_{i}\to x_{\infty }}$, если для всех я ${\displaystyle x_{i}\preceq y}$ тогда ${\displaystyle x_{\infty }\preceq y}$, а если для всех я ${\displaystyle x_{i}\succeq y}$ тогда ${\displaystyle x_{\infty }\succeq y}$

Каждое из следующих условий гарантирует существование действительной непрерывной функции, которая представляет отношение предпочтения ${\displaystyle \preceq }$:

1. Набор классы эквивалентности отношения ${\displaystyle \sim }$ (определяется: ${\displaystyle x\sim y}$ если только ${\displaystyle x\preceq y}$ и ${\displaystyle x\succeq y}$) площадь счетный набор.

2. Существует счетное подмножество X, ${\displaystyle Z=\{z_{0},z_{1},...\}}$, такое, что для каждой пары неэквивалентных элементов ${\displaystyle x\prec y}$, есть элемент ${\displaystyle z_{i}\in Z}$ что их разделяет (${\displaystyle x\preceq z_{i}\preceq y}$).

3. X есть отделяемый и связаны.

4. X есть второй счетный. Это означает, что есть счетный набор S открытых множеств, такое что каждое открытое множество в X является объединением множеств класса S.

В доказательстве четвертого результата был пробел, который позже Дебре исправил.^[2]

Примеры

А. Пусть ${\displaystyle X=\mathbb {R} ^{2}}$ с стандартная топология (евклидова топология). Определите следующее отношение предпочтения: ${\displaystyle (x,y)\preceq (x',y')}$ если только ${\displaystyle x+y\leq x'+y'}$. Это непрерывно, потому что для каждого ${\displaystyle (x,y)}$, наборы ${\displaystyle \{(x',y')|x'+y'\leq x+y\}}$ и ${\displaystyle \{(x',y')|x'+y'\geq x+y\}}$ закрытые полуплоскости. Условие 1 нарушается, так как множество классов эквивалентности несчетно. Однако условию 2 удовлетворяет Z как множество пар с рациональными координатами. Условие 3 также выполняется, поскольку X отделимо и связно. Следовательно, существует непрерывная функция, представляющая ${\displaystyle \preceq }$. Пример такой функции: ${\displaystyle u(x,y)=x+y}$.

Б. Пусть ${\displaystyle X=\mathbb {R} ^{2}}$ со стандартной топологией, как указано выше. В лексикографические предпочтения отношение не является непрерывным в этой топологии. Например, ${\displaystyle (5,1)\succ (5,0)}$, но в каждом шаре вокруг (5,1) есть точки с ${\displaystyle x<5}$ и эти баллы уступают ${\displaystyle (5,0)}$. В самом деле, это отношение не может быть представлено непрерывной действительной функцией.

Расширение

Алмаз^[3] применил теорему Дебре к пространству ${\displaystyle X=\ell ^{\infty }}$, множество всех ограниченных вещественнозначных последовательностей с топологией, индуцированной метрикой супремума (см. L-бесконечность ). X представляет собой набор всех потоков коммунальных услуг с бесконечным горизонтом.

В дополнение к требованию, чтобы ${\displaystyle \preceq }$ быть полным, переходным и непрерывным, Он добавил чувствительность требование:

• Если поток ${\displaystyle x}$ меньше ручья ${\displaystyle y}$ в каждый период времени, то ${\displaystyle x\prec y}$.
• Если поток ${\displaystyle x}$ меньше или равно потоку ${\displaystyle y}$ в каждый период времени, то ${\displaystyle x\preceq y}$.

Согласно этим требованиям каждый поток ${\displaystyle x}$ эквивалентно потоку постоянной полезности, и каждые два потока постоянной полезности разделяются потоком постоянной полезности с рациональной полезностью, поэтому условие № 2 Дебре выполняется, и отношение предпочтений может быть представлено вещественным функция.

Результат существования действителен, даже если топология X изменяется на топологию, индуцированную дисконтированной метрикой: ${\displaystyle d(x,y)=\sum _{t=1}^{\infty }{2^{-t}|x_{t}-y_{t}|}}$

Аддитивность порядковой функции полезности

Теорема 3 1960 г.^[4] грубо говоря, если товарное пространство содержит 3 или более компонентов, и каждое подмножество компонентов предпочтительно не зависит от других компонентов, то отношение предпочтений может быть представлено как добавка функция значения.

Заявление

Это общие предположения:

• X, пространство всех связок, является декартовым произведением п товарные площади: ${\displaystyle X=\times _{i=1}^{n}{X_{i}}}$ (т.е. пространство пучков - это набор п-наборы товаров).
• ${\displaystyle \preceq }$ есть отношение на X, которое общий (все предметы сопоставимы) и переходный.
• ${\displaystyle \preceq }$ непрерывно (см. выше).
• Существует порядковая полезность функция ${\displaystyle v}$, представляющий ${\displaystyle \preceq }$.

Функция ${\displaystyle v}$ называется добавка если это можно записать как сумму п порядковые функции полезности на п факторы:

${\displaystyle v(x_{1},...,x_{n})=\sum _{i=1}^{n}{k_{i}v_{i}(x_{i})}}$

где ${\displaystyle k_{i}}$ являются константами.

Учитывая набор индексов ${\displaystyle I}$, набор товаров ${\displaystyle (X_{i})_{i\in I}}$ называется преимущественно независимый если отношение предпочтения ${\displaystyle \preceq }$ наведен на ${\displaystyle (X_{i})_{i\in I}}$при постоянных количествах других товаров ${\displaystyle (X_{i})_{i\notin I}}$, не зависит от этих постоянных величин.

Если ${\displaystyle v}$ аддитивно, то очевидно, что все подмножества товаров предпочтительно независимы.

Если все подмножества товаров являются преимущественно независимыми И по крайней мере три товара являются существенными (это означает, что их количества имеют влияние на отношение предпочтения ${\displaystyle \preceq }$), тогда ${\displaystyle v}$ аддитивный.

Более того, в этом случае ${\displaystyle v}$ уникальна до возрастающей линейный трансформация.

Интуитивно понятное конструктивное доказательство см. Обычная полезность - Аддитивность с тремя или более товарами.

Теоремы о кардинальной полезности

Теорема 1 1960 г.^[4] занимается преференциями по лотереям. Это можно рассматривать как улучшение Теорема фон Неймана – Моргенштерна о полезности 1947 года. В более ранней теореме предполагается, что агенты имеют предпочтения в лотереях с произвольными вероятностями. Теорема Дебре ослабляет это предположение и предполагает только то, что агенты имеют предпочтения в отношении лотерей с равными шансами (т. Е. Они могут отвечать только на вопросы вида: «Вы предпочитаете A лотерее с равными шансами между B и C?»).

Формально есть набор ${\displaystyle S}$ верного выбора. Набор лотерей есть ${\displaystyle S\times S}$. Теорема Дебре утверждает, что если:

1. Набор всех верных вариантов ${\displaystyle S}$ это связаны и отделяемое пространство;
2. Отношение предпочтений на множестве лотерей ${\displaystyle S\times S}$ непрерывно - множества ${\displaystyle \{(A,B)\in S\times S|(A,B)\preceq (A',B')\}}$ и ${\displaystyle \{(A,B)\in S\times S|(A,B)\succeq (A',B')\}}$ находятся топологически замкнутый для всех ${\displaystyle (A,B)\in S}$;
3. ${\displaystyle (A_{1},B_{2})\preceq (A_{2},B_{1})}$ и ${\displaystyle (A_{2},B_{3})\preceq (A_{3},B_{2})}$ подразумевает ${\displaystyle (A_{1},B_{3})\preceq (A_{3},B_{1})}$

Тогда существует кардинальная полезность функция ты который представляет отношение предпочтений в наборе лотерей, то есть:

${\displaystyle u(A,B)=(u(A,A)+u(B,B))/2}$

Теорема 2 1960 г.^[4] имеет дело с агентами, чьи предпочтения представлены частотой выбора. Когда они могут выбирать между А и B, они выбирают А с частотой ${\displaystyle p(A,B)}$ и B с частотой ${\displaystyle p(B,A)=1-p(A,B)}$. Значение ${\displaystyle p(A,B)}$ можно интерпретировать как измерение сколько агент предпочитает А над B.

Теорема Дебре утверждает, что если функция агента п удовлетворяет следующим условиям:

1. Полнота: ${\displaystyle p(A,B)+p(B,A)=1}$
2. Четверное состояние: ${\displaystyle p(A,B)\leq p(C,D)\iff p(A,C)\leq p(B,D)}$
3. Преемственность: если ${\displaystyle p(A,B)\leq q\leq p(A,D)}$, то существует C такой, что: ${\displaystyle p(A,C)=q}$.

Тогда существует кардинальная функция полезности ты что представляет п, то есть:

${\displaystyle p(A,B)\leq p(C,D)\iff u(A)-u(B)\leq u(C)-u(D)}$.

Смотрите также

• Теорема о полезности фон Неймана – Моргенштерна

Рекомендации

1. Дебре, Жерар (1954). Представление порядка предпочтений числовой функцией (PDF).^{[постоянная мертвая ссылка ]}
2. Дебре, Жерар (1964). «Свойства непрерывности паретианской полезности». Международное экономическое обозрение. 5 (3): 285–293. Дои:10.2307/2525513.
3. Даймонд, Питер А. (1965). «Оценка бесконечных потоков коммунальных услуг». Econometrica. 33: 170. Дои:10.2307/1911893. JSTOR  1911893.
4. Дебре, Жерар. Топологические методы в теории кардинальной полезности (PDF).^{[постоянная мертвая ссылка ]}