Горман полярная форма - Gorman polar form

Горман полярная форма это функциональная форма для косвенные функции полезности в экономика. Навязывание этой формы полезность позволяет исследователю рассматривать общество максимизаторов полезности, как если бы оно состояло из единого "представительное" физическое лицо. Горман показал, что имея функция взять полярную форму Гормана - это оба необходимо и достаточно для выполнения этого условия.

Мотивация

Стандарт теория потребления разработан для одного потребителя. У потребителя есть функция полезности, по которой можно рассчитать его кривые спроса. Затем можно предсказать поведение потребителя в определенных условиях, изменение цен или доходов. Но на самом деле существует множество разных потребителей, каждый со своей функцией полезности и кривой спроса. Как мы можем использовать теорию потребителей, чтобы предсказать поведение всего общества? Один из вариантов - представить все общество в виде единого «мега-потребителя», который имеет функцию совокупной полезности и кривую совокупного спроса. Но в каких случаях действительно возможно представить все общество как единого потребителя?

Формально:^[1] рассмотреть экономику с ${\displaystyle n}$ потребителей, каждый из которых имеет функция спроса это зависит от его дохода ${\displaystyle m^{i}}$ и система цен:

${\displaystyle x^{i}(p,m^{i})}$

Совокупный спрос общества - это, как правило, функция системы цен и всего распределения доходов:

${\displaystyle X(p,m^{1},\dots ,m^{n})=\sum _{i=1}^{n}{x^{i}(p,m^{i})}}$

Чтобы представить все общество как единого потребителя, совокупный спрос должен быть функцией только цен и общий доход, независимо от его распределения:

${\displaystyle X(p,m^{1},\dots ,m^{n})=X(p,\sum _{i=1}^{n}{m^{i}})}$

При каких условиях можно таким образом представить совокупный спрос?

Ранние результаты Антонелли (1886) и Натаф (1953) показали, что, если предположить, что все люди сталкиваются с одинаковыми ценами на рынке, их кривые доходов и потребления Кривые Энгеля (расходы как функция доходов) должны быть параллельными прямыми линиями. Это означает, что мы можем рассчитать кривую дохода-потребления для всего общества, просто суммируя кривые потребителей. Другими словами, предположим, что все общество получает определенный доход. Этот доход каким-то образом распределяется между членами общества, затем каждый член выбирает свое потребление в соответствии со своей кривой дохода-потребления. Если все кривые представляют собой параллельные прямые линии, совокупный спрос общества будет независимо от распределения доходов между агентами.

Форма Гормана функции расходов

В первой опубликованной в 1953 году статье Гормана эти идеи были развиты, чтобы ответить на вопрос о представлении общества одним человеком. В 1961 году Горман опубликовал короткую четырехстраничную статью в Метроэкономика которые получили явное выражение для функциональной формы предпочтений, приводящих к линейным кривым Энгеля. В расходная функция каждого потребителя ${\displaystyle i}$ (сумма денег, необходимая для достижения определенного уровня полезности в определенной системе цен) должна быть линейной по полезности:

${\displaystyle e^{i}\left(p,u^{i}\right)=f^{i}(p)+g(p)\cdot u^{i}}$,

где оба ${\displaystyle f^{i}\left(p\right)}$ и ${\displaystyle g\left(p\right)}$ находятся однородный первой ступени в ценах (${\displaystyle p}$, вектор). Это условие однородности гарантирует, что ${\displaystyle e^{i}\left(p,u\right)}$ дает линейные кривые Энгеля.

${\displaystyle f^{i}\left(p\right)}$ и ${\displaystyle g\left(p\right)}$ есть хорошие интерпретации: ${\displaystyle f^{i}\left(p\right)}$ расходы, необходимые для достижения нулевого эталонного уровня полезности для каждого человека (${\displaystyle i}$), пока ${\displaystyle g\left(p\right)}$ это индекс цен, который дефлирует избыточный денежный доход ${\displaystyle e^{i}\left(p,u\right)-f^{i}(p)}$ необходимо для достижения уровня полезности ${\displaystyle {\bar {u}}}$. Важно отметить, что ${\displaystyle g\left(p\right)}$ одинакова для каждого человека в обществе, поэтому кривые Энгеля для всех потребителей параллельны.

Форма Гормана косвенной функции полезности

Обращение этой формулы дает косвенная функция полезности (полезность как функция цены и дохода):

${\displaystyle v^{i}\left(p,m^{i}\right)={\frac {m^{i}-f^{i}(p)}{g(p)}}}$,

куда ${\displaystyle m}$ - сумма дохода, доступная физическому лицу, и эквивалентна расходам (${\displaystyle e^{i}\left(p,u^{i}\right)}$) в предыдущем уравнении. Это то, что Горман назвал «полярной формой лежащей в основе функции полезности». Горман использует термин полярный была ссылка на идею о том, что косвенная функция полезности может рассматриваться как использующая полярные, а не декартовы (как в прямых функциях полезности) координаты для описания кривой безразличия. Здесь доход (${\displaystyle m^{i}}$) аналогичен радиусу и ценам (${\displaystyle p}$) под углом.

Примеры

Два типа предпочтений, имеющих полярную форму Гормана:^[2]:154

Квазилинейные утилиты

Когда функция полезности агента ${\displaystyle i}$ имеет вид:

${\displaystyle u_{i}(x,m)=u_{i}(x)+m}$

косвенная функция полезности имеет (в предположении внутреннего решения) форму:

${\displaystyle v_{i}(p,m)=v_{i}(p)+m}$

который является частным случаем формы Гормана.

Действительно, маршаллианская функция спроса на нелинейный товар потребителей с квазилинейными коммунальными услугами вообще не зависит от дохода (в этом квазилинейном случае спрос на линейный товар линейен по доходу):

${\displaystyle x_{i}(p,m)=(-dv(p)/dm)/(v(p)/dp_{i})=-1/(dv(p)/dp_{i})=(v_{i}')^{-1}(p)=v_{i}'(p)^{-1}}$

Следовательно, функция совокупного спроса на нелинейный товар также не зависит от дохода:

${\displaystyle X(p,M)=\sum _{i=1}^{n}{(v_{i}')^{-1}(p)}}$

Все общество может быть представлено одним репрезентативным агентом с квазилинейной функцией полезности:

${\displaystyle U(x,m)=U(x)+m}$

где функция ${\displaystyle U}$ удовлетворяет равенству:

${\displaystyle (U')^{-1}(p)=\sum _{i=1}^{n}{(v_{i}')^{-1}(p)}}$

В особом случае, когда все агенты имеют одинаковую функцию полезности ${\displaystyle u(x,m)=u(x)+m}$, функция совокупной полезности:

${\displaystyle U(x,M)=n\cdot u({x \over n})+M}$

Гомотетические предпочтения

Косвенная функция полезности имеет вид:

${\displaystyle v(p,m_{i})=v(p)\cdot m}$

который также является частным случаем формы Гормана.

В частности: линейные утилиты Леонтьева и Кобба-Дугласа гомотетичны и, следовательно, имеют форму Гормана.

Доказательство линейности и равенства наклона кривых Энгеля.

Чтобы доказать, что Кривые Энгеля функции в полярной форме Гормана равны линейный, подать заявление Личность Роя к косвенная функция полезности чтобы получить Маршаллианская функция спроса для физического лица (${\displaystyle i}$) и хороший (${\displaystyle n}$):

${\displaystyle x_{n}^{i}(p,m^{i})=-{\frac {\frac {\partial v^{i}(p,m^{i})}{\partial p_{n}}}{\frac {\partial v^{i}(p,m^{i})}{\partial m^{i}}}}={\frac {\partial f^{i}(p)}{\partial p_{n}}}+{\frac {\partial g(p)}{\partial p_{n}}}\cdot {\frac {m-f^{i}(p)}{g(p)}}}$

Это линейно по доходу (${\displaystyle m}$), поэтому изменение индивидуального спроса на какой-либо товар по сравнению с изменением дохода этого человека,${\displaystyle {\frac {\partial x_{n}^{i}(p,m^{i})}{\partial m}}={\frac {\frac {\partial g(p)}{\partial p_{n}}}{g(p)}}}$, не зависит от дохода, поэтому кривые Энгеля линейны.

Кроме того, поскольку это изменение не зависит от переменные Для каждого индивидуума наклоны кривых Энгеля у разных индивидуумов равны.

Заявление

Многие применения полярной формы Гормана резюмируются в различных текстах и ​​в статье Хонохана и Нири.^[3] Эти приложения включают простоту оценки ${\displaystyle f^{i}(p)}$ и ${\displaystyle g(p)}$ в некоторых случаях. Но наиболее важное приложение предназначено для теоретиков экономики, поскольку оно позволяет исследователю рассматривать общество максимизирующих полезность индивидов как отдельную личность. Другими словами, в этих условиях сообщество отображение безразличия существует гарантированно.

Смотрите также

• Совокупный спрос
• Представитель агента

Рекомендации

1. Симсек, Альп (2009). "Теорема Гормана об агрегировании" (PDF). Получено 2 декабря 2015.
2. Вариан, Хэл (1992). Микроэкономический анализ (Третье изд.). Нью-Йорк: Нортон. ISBN  0-393-95735-7.
3. Хонохан, Патрик; Нари, Дж. Питер (2003). "В. М. Горман (1923–2003)" (PDF). Экономический и социальный обзор. 34 (2): 195–209. Архивировано из оригинал (PDF) на 2005-01-10.

• Антонелли, Г. Б. (1886). Sulla Teoria Matematica dell'Economia Politica. Пиза. Английский перевод в Chipman, J. S .; Hurwicz, L .; Рихтер, М. К .; и др., ред. (1971). Предпочтения, полезность и спрос: симпозиум в Миннесоте. Нью-Йорк: Харкорт Брейс Йованович. С. 333–360.
• Горман, В. М. (1961). «О классе полей предпочтений». Метроэкономика. 13 (2): 53–56. Дои:10.1111 / j.1467-999X.1961.tb00819.x.
• Натаф, А. (1953). "Sur des questions d'agrégation en économétrie". Publications de l'Institut de Statistique de l'Université de Paris. 2, фас. Vol. 4: 5–61.