Косвенная функция полезности - Indirect utility function

В экономика, потребительский косвенная функция полезности${\displaystyle v(p,w)}$ дает потребителю максимально достижимую полезность столкнувшись с вектором ${\displaystyle p}$ цен на товары и количество доход ${\displaystyle w}$. Он отражает как предпочтения потребителей, так и рыночные условия.

Эта функция называется косвенной, потому что потребители обычно думают о своих предпочтениях с точки зрения того, что они потребляют, а не цен. Косвенная полезность потребителя ${\displaystyle v(p,w)}$ может быть вычислен из его или ее функции полезности ${\displaystyle u(x),}$ определены над векторами ${\displaystyle x}$ количества потребляемых товаров, сначала вычислив наиболее предпочтительный доступный набор, представленный вектором ${\displaystyle x(p,w)}$ путем решения проблема максимизации полезности и, во-вторых, вычисление полезности ${\displaystyle u(x(p,w))}$ потребитель происходит от этого пакета. Результирующая косвенная функция полезности

${\displaystyle v(p,w)=u(x(p,w)).}$

Косвенная функция полезности:

• Постоянно включен р^п₊ × р₊ куда п количество товаров;
• Снижение цен;
• Строго возрастает доход;
• Однородный с нулевой степенью по ценам и доходам; если цены и доход умножаются на заданную константу, тот же самый набор потребления представляет собой максимум, поэтому оптимальная полезность не меняется;
• квазивыпуклый в (п,ш).

Более того, Личность Роя заявляет, что если v(п,ш) дифференцируема в ${\displaystyle (p^{0},w^{0})}$ и ${\displaystyle {\frac {\partial v(p,w)}{\partial w}}\neq 0}$, тогда

${\displaystyle -{\frac {\partial v(p^{0},w^{0})/(\partial p_{i})}{\partial v(p^{0},w^{0})/\partial w}}=x_{i}(p^{0},w^{0}),\quad i=1,\dots ,n.}$

Косвенные полезности и расходы

Косвенная функция полезности является обратной функцией расходная функция когда цены остаются неизменными. То есть для каждого вектора цен ${\displaystyle p}$ и уровень полезности ${\displaystyle u}$:^[1]:106

${\displaystyle v(p,e(p,u))\equiv u}$

Пример

Предположим, что функция полезности - это функция Кобба-Дугласа ${\displaystyle u(x_{1},x_{2})=x_{1}^{.6}x_{2}^{.4},}$ который имеет маршаллианские функции спроса^[2]

${\displaystyle x_{1}(p_{1},p_{2})={\frac {.6w}{p_{1}}}\;\;\;\;{\rm {and}}\;\;\;x_{2}(p_{1},p_{2})={\frac {.4w}{p_{2}}},}$

куда ${\displaystyle w}$ доход потребителя. Косвенная функция полезности ${\displaystyle v(p_{1},p_{2},w)}$ находится путем замены количеств в функции полезности функциями спроса следующим образом:

${\displaystyle v(p_{1},p_{2},w)=u(x_{1}^{*},x_{2}^{*})=(x_{1}^{*})^{.6}(x_{2}^{*})^{.4}=\left({\frac {.6w}{p_{1}}}\right)^{.6}\left({\frac {.4w}{p_{2}}}\right)^{.4}=(.6^{.6}+.4^{.4})w^{.6+.4}p_{1}^{-.6}p_{2}^{-.4}=Kp_{1}^{-.6}p_{2}^{-.4}w,}$

куда ${\displaystyle K=(.6^{.6}+.4^{.4}).}$ Обратите внимание, что функция полезности показывает полезность для любых величин, поддерживаемых ее аргументами, даже если они не оптимальны для потребителя и не решают его задачу максимизации полезности. Функция косвенной полезности, напротив, предполагает, что потребитель получил свои функции спроса оптимальным образом для данных цен и дохода.

Смотрите также

• Горман полярная форма
• Функция спроса Хикса
• Функция значения

Рекомендации

1. Вариан, Хэл (1992). Микроэкономический анализ (Третье изд.). Нью-Йорк: Нортон. ISBN  0-393-95735-7.
2. Вариан, Х. (1992). Микроэкономический анализ (3-е изд.). Нью-Йорк: У. В. Нортон., pp. 111, имеет общую формулу.

дальнейшее чтение

• Корнс, Ричард (1992). «Индивидуальное поведение потребителей: прямые и косвенные функции полезности». Двойственность и современная экономика. Нью-Йорк: Издательство Кембриджского университета. С. 31–62. ISBN  0-521-33601-5.
• Jehle, Г.А.; Рени, П. Дж. (2011). Продвинутая микроэкономическая теория (Третье изд.). Харлоу: Прентис Холл. С. 28–33. ISBN  978-0-273-73191-7.
• Люенбергер, Дэвид Г. (1995). Микроэкономическая теория. Нью-Йорк: Макгроу-Хилл. С. 103–107. ISBN  0-07-049313-8.
• Мас-Колелл, Андреу; Уинстон, Майкл Д.; Грин, Джерри Р. (1995). Микроэкономическая теория. Нью-Йорк: Издательство Оксфордского университета. С. 56–57. ISBN  0-19-507340-1.
• Николсон, Уолтер (1978). Микроэкономическая теория: основные принципы и расширения (Второе изд.). Хинсдейл: Драйден Пресс. С. 57–59. ISBN  0-03-020831-9.