Инвариантный расширенный фильтр Калмана - Invariant extended Kalman filter

В инвариантный расширенный фильтр Калмана (IEKF)^[1] (не путать с повторным расширенным фильтром Калмана) является версией расширенный фильтр Калмана (EKF) для нелинейных систем, обладающих симметриями (или инварианты). Он сочетает в себе преимущества EKF и фильтры, сохраняющие симметрию. Вместо использования линейного поправочного члена, основанного на линейной выходной ошибке, IEKF использует геометрически адаптированный поправочный член, основанный на инвариантной выходной ошибке; точно так же матрица усиления обновляется не из линейной ошибки состояния, а из инвариантной ошибки состояния. Основное преимущество состоит в том, что уравнения усиления и ковариации сходятся к постоянным значениям на гораздо большем наборе траекторий, чем точки равновесия, как в случае EKF, что приводит к лучшей сходимости оценки.

Мотивация

Большинство физических систем обладают естественной симметрией (или инвариантностью), то есть существуют преобразования (например, вращения, трансляции, масштабирования), которые оставляют систему без изменений. С математической и инженерной точки зрения имеет смысл, что фильтр, хорошо разработанный для рассматриваемой системы, должен сохранять те же свойства инвариантности. Идея IEKF - это модификация уравнений EKF для использования преимуществ симметрии системы.

Определение

Рассмотрим систему

${\displaystyle {\dot {x}}{=}f(x,u)+M(x)w}$

${\displaystyle y{=}h(x,u)+N(x)v}$

куда ${\displaystyle w,v}$ независимы белые гауссовские шумы.Учитывать ${\displaystyle G}$ а Группа Ли с личностью ${\displaystyle e}$, и (местный) группы трансформации ${\displaystyle \varphi _{g},\psi _{g},\rho _{g}}$ (${\displaystyle g\in G}$) такие, что ${\displaystyle (X,U,Y)=(\varphi _{g}(x),\psi _{g}(u),\rho _{g}(y))}$. Предыдущая система с шумом называется инвариантный если оно не изменится действием, группы преобразований ${\displaystyle \varphi _{g},\psi _{g},\rho _{g}}$; то есть, если

${\displaystyle {\dot {X}}{=}f(X,U)+M(X)w}$.

${\displaystyle Y{=}h(X,U)+N(X)v}$

Уравнения фильтра и основной результат

Поскольку это фильтр, сохраняющий симметрию, общая форма IEKF выглядит так: ^[2]

${\displaystyle {\dot {\hat {x}}}=f({\hat {x}},u)+W({\hat {x}})L{\Bigl (}I({\hat {x}},u),E({\hat {x}},u,y){\Bigr )}E({\hat {x}},u,y)}$

куда

• ${\displaystyle E({\hat {x}},u,y)}$ инвариантная ошибка вывода, которая отличается от обычной ошибки вывода ${\displaystyle {\hat {y}}-y}$
• ${\displaystyle W({\hat {x}})={\bigl (}w_{1}({\hat {x}}),..,w_{n}({\hat {x}}){\bigr )}}$ инвариантный фрейм
• ${\displaystyle I({\hat {x}},u)}$ инвариантный вектор
• ${\displaystyle L(I,E)}$ - свободно выбираемая матрица усиления.

Для анализа сходимости ошибок инвариантное состояние ошибки ${\displaystyle \eta ({\hat {x}},x)}$ определена, что отличается от ошибки стандартного вывода ${\displaystyle {\hat {x}}-x}$, поскольку стандартная ошибка вывода обычно не сохраняет симметрии системы.

Для рассматриваемой системы и связанной с ней группы преобразований существует конструктивный метод определения ${\displaystyle E({\hat {x}},u,y),W({\hat {x}}),I({\hat {x}},u),\eta ({\hat {x}},x)}$, основанный на методе подвижного фрейма.

Аналогично EKF матрица усиления ${\displaystyle L(I,E)}$ определяется из уравнений^[1]

${\displaystyle L{=}PC^{T}{\bigl (}N(e)N^{T}(e){\bigr )}^{-1}}$,

${\displaystyle {\dot {P}}{=}AP+PA^{T}+M(e)M^{T}(e)-PC^{T}{\bigl (}N(e)N^{T}(e){\bigr )}^{-1}CP}$,

где матрицы ${\displaystyle A,C}$ здесь зависят только от известного инвариантного вектора ${\displaystyle I({\hat {x}},u)}$, а не на ${\displaystyle ({\hat {x}},u)}$ как в стандартном EKF. Эта гораздо более простая зависимость и ее последствия являются основными интересами IEKF. Действительно, матрицы ${\displaystyle A,C}$ тогда постоянны на гораздо большем наборе траекторий (так называемые постоянные траектории), чем точки равновесия, как в случае EKF. Вблизи таких траекторий мы возвращаемся к «истинному», то есть линейному фильтру Калмана, где сходимость гарантирована. Неформально это означает, что IEKF в целом сходится, по крайней мере, вокруг любой медленно меняющейся постоянной траектории, а не просто вокруг любой медленно меняющейся точки равновесия для EKF.

Пример применения в аэрокосмической технике

Инвариантные расширенные фильтры Калмана используются, например, в системы ориентации и курса. В таких системах ориентация, скорость и / или положение движущегося твердого тела, например. самолета, оцениваются с помощью различных встроенных датчиков, таких как инерциальные датчики, магнитометры, GPS или сонары. Использование IEKF естественно ведет^[1] рассмотреть кватернион ошибка ${\displaystyle {\hat {q}}q^{-1}}$, который часто используется как для этого случая уловка, чтобы сохранить ограничения группы кватернионов. Преимущества IEKF по сравнению с EKF экспериментально показаны для большого набора траекторий.^[3]

Рекомендации

1. С. Боннабель, доктор философии Мартин и Э. Салаун, «Инвариантный расширенный фильтр Калмана: теория и приложение к задаче оценки отношения с помощью скорости», 48-я конференция IEEE по решениям и контролю, стр. 1297–1304, 2009.
2. С. Боннабель, Ф. Мартин и П. Рушон, «Наблюдатели, сохраняющие симметрию».Транзакции IEEE по автоматике и контролю, т. 53, нет. 11. С. 2514–2526, 2008.
3. Ф. Мартин и Э. Салаун, «Обобщенный мультипликативный расширенный фильтр Калмана для вспомогательной системы определения координат и курса», Конференция AIAA по руководству, навигации и управлению, 2010 г.