Расширенный фильтр Калмана - Extended Kalman filter

В теория оценки, то расширенный фильтр Калмана (EKF) это нелинейный версия Фильтр Калмана который линеаризует оценку текущего среднего и ковариация. В случае четко определенных моделей перехода EKF рассматривался^[1] в де-факто стандарт в теории нелинейного оценивания состояния, системы навигации и GPS.^[2]

История

Работы, устанавливающие математические основы фильтров типа Калмана, были опубликованы между 1959 и 1961 годами.^[3][4][5] В Фильтр Калмана оптимальная линейная оценка для линейныймодели систем с аддитивным независимым белым шумом как в переходных, так и в измерительных системах. нелинейный, поэтому были предприняты попытки применить этот метод фильтрации к нелинейным системам; Большая часть этой работы была выполнена на НАСА Эймс.^[6][7] EKF адаптировал методы из исчисление, а именно многомерный Серия Тейлор расширения, чтобы линеаризовать модель относительно рабочей точки. Если модель системы (как описано ниже) малоизвестна или неточна, тогда Методы Монте-Карло, особенно фильтры твердых частиц, используются для оценки. Методы Монте-Карло предшествовали существованию EKF, но требуют больших вычислительных затрат для любых среднеразмерных пространство состояний.

Формулировка

В расширенном фильтре Калмана модели перехода состояний и наблюдения не обязательно должны быть линейными функциями состояния, но вместо этого могут быть дифференцируемый функции.

${displaystyle {oldsymbol {x}}_{k}=f({oldsymbol {x}}_{k-1},{oldsymbol {u}}_{k})+{oldsymbol {w}}_{k}}$

${displaystyle {oldsymbol {z}}_{k}=h({oldsymbol {x}}_{k})+{oldsymbol {v}}_{k}}$

Здесь ш_k и v_k шум процесса и шума наблюдения, которые считаются равными нулевому среднему многомерный гауссовский шумы с ковариация Q_k и р_k соответственно. ты_k - вектор управления.

Функция ж может использоваться для вычисления прогнозируемого состояния из предыдущей оценки и аналогично функции час может использоваться для вычисления прогнозируемого измерения из прогнозируемого состояния. Тем не мение, ж и час не может быть применен к ковариации напрямую. Вместо этого матрица частных производных ( Якобиан ) вычисляется.

На каждом временном шаге якобиан оценивается с учетом текущих предсказанных состояний. Эти матрицы могут использоваться в уравнениях фильтра Калмана. Этот процесс существенно линеаризует нелинейную функцию относительно текущей оценки.

Увидеть Фильтр Калмана статья для условных обозначений.

Уравнения прогнозирования и обновления в дискретном времени

Обозначение ${displaystyle {hat {mathbf {x} }}_{nmid m}}$ представляет собой оценку ${displaystyle mathbf {x} }$ вовремя п данные наблюдения до времени включительно м ≤ п.

Предсказывать

Прогнозируемая оценка состояния	${displaystyle {hat {oldsymbol {x}}}_{k|k-1}=f({hat {oldsymbol {x}}}_{k-1|k-1},{oldsymbol {u}}_{k})}$
Прогнозируемая оценка ковариации	${displaystyle {oldsymbol {P}}_{k|k-1}={{oldsymbol {F}}_{k}}{oldsymbol {P}}_{k-1|k-1}{{oldsymbol {F}}_{k}^{ op }}+{oldsymbol {Q}}_{k}}$

Обновлять

Нововведение или остаток измерения	${displaystyle { ilde {oldsymbol {y}}}_{k}={oldsymbol {z}}_{k}-h({hat {oldsymbol {x}}}_{k|k-1})}$
Инновационная (или остаточная) ковариация	${displaystyle {oldsymbol {S}}_{k}={{oldsymbol {H}}_{k}}{oldsymbol {P}}_{k|k-1}{{oldsymbol {H}}_{k}^{ op }}+{oldsymbol {R}}_{k}}$
Почти оптимальный Кальман усиление	${displaystyle {oldsymbol {K}}_{k}={oldsymbol {P}}_{k|k-1}{{oldsymbol {H}}_{k}^{ op }}{oldsymbol {S}}_{k}^{-1}}$
Обновленная государственная оценка	${displaystyle {hat {oldsymbol {x}}}_{k|k}={hat {oldsymbol {x}}}_{k|k-1}+{oldsymbol {K}}_{k}{ ilde {oldsymbol {y}}}_{k}}$
Обновленная оценка ковариации	${displaystyle {oldsymbol {P}}_{k|k}=({oldsymbol {I}}-{oldsymbol {K}}_{k}{{oldsymbol {H}}_{k}}){oldsymbol {P}}_{k|k-1}}$

где матрицы перехода состояний и наблюдения определены как следующие якобианы

${displaystyle {{oldsymbol {F}}_{k}}=left.{frac {partial f}{partial {oldsymbol {x}}}}ightvert _{{hat {oldsymbol {x}}}_{k-1|k-1},{oldsymbol {u}}_{k}}}$

${displaystyle {{oldsymbol {H}}_{k}}=left.{frac {partial h}{partial {oldsymbol {x}}}}ightvert _{{hat {oldsymbol {x}}}_{k|k-1}}}$

Недостатки

В отличие от своего линейного аналога, расширенный фильтр Калмана в целом имеет вид нет оптимальная оценка (оптимально, если измерение и модель перехода состояний являются линейными, поскольку в этом случае расширенный фильтр Калмана идентичен обычному фильтру). Кроме того, если первоначальная оценка состояния неверна или если процесс моделируется неправильно, фильтр может быстро расходиться из-за его линеаризации. Другая проблема с расширенным фильтром Калмана заключается в том, что оцененная матрица ковариаций имеет тенденцию занижать истинную матрицу ковариации и, следовательно, рискует стать непоследовательный в статистическом смысле без добавления «стабилизирующего шума»^[8].

Сказав это, расширенный фильтр Калмана может дать разумную производительность и, возможно, стандарт де-факто в навигационных системах и GPS.

Обобщения

Расширенный фильтр Калмана с непрерывным временем

Модель

${displaystyle {egin{aligned}{dot {mathbf {x} }}(t)&=f{igl (}mathbf {x} (t),mathbf {u} (t){igr )}+mathbf {w} (t)&mathbf {w} (t)&sim {mathcal {N}}{igl (}mathbf {0} ,mathbf {Q} (t){igr )}mathbf {z} (t)&=h{igl (}mathbf {x} (t){igr )}+mathbf {v} (t)&mathbf {v} (t)&sim {mathcal {N}}{igl (}mathbf {0} ,mathbf {R} (t){igr )}end{aligned}}}$

Инициализировать

${displaystyle {hat {mathbf {x} }}(t_{0})=E{igl [}mathbf {x} (t_{0}){igr ]}{ ext{, }}mathbf {P} (t_{0})=Var{igl [}mathbf {x} (t_{0}){igr ]}}$

Прогнозировать-Обновление

${displaystyle {egin{aligned}{dot {hat {mathbf {x} }}}(t)&=f{igl (}{hat {mathbf {x} }}(t),mathbf {u} (t){igr )}+mathbf {K} (t){Bigl (}mathbf {z} (t)-h{igl (}{hat {mathbf {x} }}(t){igr )}{Bigr )}{dot {mathbf {P} }}(t)&=mathbf {F} (t)mathbf {P} (t)+mathbf {P} (t)mathbf {F} (t)^{ op }-mathbf {K} (t)mathbf {H} (t)mathbf {P} (t)+mathbf {Q} (t)mathbf {K} (t)&=mathbf {P} (t)mathbf {H} (t)^{ op }mathbf {R} (t)^{-1}mathbf {F} (t)&=left.{frac {partial f}{partial mathbf {x} }}ightvert _{{hat {mathbf {x} }}(t),mathbf {u} (t)}mathbf {H} (t)&=left.{frac {partial h}{partial mathbf {x} }}ightvert _{{hat {mathbf {x} }}(t)}end{aligned}}}$

В отличие от расширенного фильтра Калмана с дискретным временем, шаги прогнозирования и обновления связаны в расширенном фильтре Калмана с непрерывным временем.^[9]

Дискретно-временные измерения

Большинство физических систем представлены в виде моделей с непрерывным временем, в то время как измерения с дискретным временем часто проводятся для оценки состояния с помощью цифрового процессора. Следовательно, модель системы и модель измерения даются

${displaystyle {egin{aligned}{dot {mathbf {x} }}(t)&=f{igl (}mathbf {x} (t),mathbf {u} (t){igr )}+mathbf {w} (t)&mathbf {w} (t)&sim {mathcal {N}}{igl (}mathbf {0} ,mathbf {Q} (t){igr )}mathbf {z} _{k}&=h(mathbf {x} _{k})+mathbf {v} _{k}&mathbf {v} _{k}&sim {mathcal {N}}(mathbf {0} ,mathbf {R} _{k})end{aligned}}}$

куда ${displaystyle mathbf {x} _{k}=mathbf {x} (t_{k})}$.

Инициализировать

${displaystyle {hat {mathbf {x} }}_{0|0}=E{igl [}mathbf {x} (t_{0}){igr ]},mathbf {P} _{0|0}=E{igl [}left(mathbf {x} (t_{0})-{hat {mathbf {x} }}(t_{0})ight)left(mathbf {x} (t_{0})-{hat {mathbf {x} }}(t_{0})ight)^{T}{igr ]}}$

Предсказывать

${displaystyle {egin{aligned}{ ext{solve }}&{egin{cases}{dot {hat {mathbf {x} }}}(t)=f{igl (}{hat {mathbf {x} }}(t),mathbf {u} (t){igr )}{dot {mathbf {P} }}(t)=mathbf {F} (t)mathbf {P} (t)+mathbf {P} (t)mathbf {F} (t)^{ op }+mathbf {Q} (t)end{cases}}qquad { ext{with }}{egin{cases}{hat {mathbf {x} }}(t_{k-1})={hat {mathbf {x} }}_{k-1|k-1}mathbf {P} (t_{k-1})=mathbf {P} _{k-1|k-1}end{cases}}Rightarrow &{egin{cases}{hat {mathbf {x} }}_{k|k-1}={hat {mathbf {x} }}(t_{k})mathbf {P} _{k|k-1}=mathbf {P} (t_{k})end{cases}}end{aligned}}}$

куда

${displaystyle mathbf {F} (t)=left.{frac {partial f}{partial mathbf {x} }}ightvert _{{hat {mathbf {x} }}(t),mathbf {u} (t)}}$

Обновлять

${displaystyle mathbf {K} _{k}=mathbf {P} _{k|k-1}mathbf {H} _{k}^{ op }{igl (}mathbf {H} _{k}mathbf {P} _{k|k-1}mathbf {H} _{k}^{ op }+mathbf {R} _{k}{igr )}^{-1}}$

${displaystyle {hat {mathbf {x} }}_{k|k}={hat {mathbf {x} }}_{k|k-1}+mathbf {K} _{k}{igl (}mathbf {z} _{k}-h({hat {mathbf {x} }}_{k|k-1}){igr )}}$

${displaystyle mathbf {P} _{k|k}=(mathbf {I} -mathbf {K} _{k}mathbf {H} _{k})mathbf {P} _{k|k-1}}$

куда

${displaystyle { extbf {H}}_{k}=left.{frac {partial h}{partial { extbf {x}}}}ightvert _{{hat { extbf {x}}}_{k|k-1}}}$

Уравнения обновления идентичны уравнениям расширенного фильтра Калмана с дискретным временем.

Расширенные фильтры Калмана высшего порядка

Вышеупомянутая рекурсия представляет собой расширенный фильтр Калмана первого порядка (EKF). EKF более высокого порядка могут быть получены путем сохранения большего количества членов разложений в ряд Тейлора. Например, были описаны EKF второго и третьего порядка.^[10] Однако EKF более высокого порядка, как правило, дают преимущества в производительности только тогда, когда шум измерения невелик.

Формулировка и уравнения неаддитивного шума

Типичная формулировка EKF предполагает допущение об аддитивности процесса и шума измерений. Однако это предположение не является необходимым для EKF выполнение.^[11] Вместо этого рассмотрите более общую систему формы:

${displaystyle {oldsymbol {x}}_{k}=f({oldsymbol {x}}_{k-1},{oldsymbol {u}}_{k-1},{oldsymbol {w}}_{k-1})}$

${displaystyle {oldsymbol {z}}_{k}=h({oldsymbol {x}}_{k},{oldsymbol {v}}_{k})}$

Здесь ш_k и v_k шум процесса и шума наблюдения, которые считаются равными нулевому среднему многомерный гауссовский шумы с ковариация Q_k и р_k соответственно. Тогда ковариация уравнения прогнозирования и инноваций становятся

${displaystyle {oldsymbol {P}}_{k|k-1}={{oldsymbol {F}}_{k-1}}{{oldsymbol {P}}_{k-1|k-1}}{{oldsymbol {F}}_{k-1}^{ op }}{+}{{oldsymbol {L}}_{k-1}}{{oldsymbol {Q}}_{k-1}}{{oldsymbol {L}}_{k-1}^{T}}}$

${displaystyle {oldsymbol {S}}_{k}={{oldsymbol {H}}_{k}}{{oldsymbol {P}}_{k|k-1}}{{oldsymbol {H}}_{k}^{ op }}{+}{{oldsymbol {M}}_{k}}{{oldsymbol {R}}_{k}}{{oldsymbol {M}}_{k}^{T}}}$

где матрицы ${displaystyle {oldsymbol {L}}_{k-1}}$ и ${displaystyle {oldsymbol {M}}_{k}}$ - матрицы Якоби:

${displaystyle {{oldsymbol {L}}_{k-1}}=left.{frac {partial f}{partial {oldsymbol {w}}}}ightvert _{{hat {oldsymbol {x}}}_{k-1|k-1},{oldsymbol {u}}_{k-1}}}$

${displaystyle {{oldsymbol {M}}_{k}}=left.{frac {partial h}{partial {oldsymbol {v}}}}ightvert _{{hat {oldsymbol {x}}}_{k|k-1}}}$

Прогнозируемая оценка состояния и остаток измерения оцениваются как среднее значение шума процесса и измерения, которое предполагается равным нулю. В противном случае формулировка неаддитивного шума реализуется так же, как и аддитивный шум. EKF.

Неявный расширенный фильтр Калмана

В некоторых случаях модель наблюдения нелинейной системы не может быть решена для ${displaystyle {oldsymbol {z}}_{k}}$, но может быть выражена неявная функция:

${displaystyle h({oldsymbol {x}}_{k},{oldsymbol {z'}}_{k})={oldsymbol {0}}}$

куда ${displaystyle {oldsymbol {z}}_{k}={oldsymbol {z'}}_{k}+{oldsymbol {v}}_{k}}$ зашумленные наблюдения.

Обычный расширенный фильтр Калмана может применяться со следующими заменами:^[12][13]

${displaystyle {{oldsymbol {R}}_{k}}leftarrow {{oldsymbol {J}}_{k}}{{oldsymbol {R}}_{k}}{{oldsymbol {J}}_{k}^{T}}}$

${displaystyle { ilde {oldsymbol {y}}}_{k}leftarrow -h({hat {oldsymbol {x}}}_{k|k-1},{oldsymbol {z}}_{k})}$

куда:

${displaystyle {{oldsymbol {J}}_{k}}=left.{frac {partial h}{partial {oldsymbol {z}}}}ightvert _{{hat {oldsymbol {x}}}_{k|k-1},{hat {oldsymbol {z}}}_{k}}}$

Здесь исходная ковариационная матрица наблюдения ${displaystyle {{oldsymbol {R}}_{k}}}$ трансформируется, а инновации ${displaystyle { ilde {oldsymbol {y}}}_{k}}$ определяется иначе. Матрица Якоби ${displaystyle {{oldsymbol {H}}_{k}}}$ определяется, как и раньше, но определяется из модели неявного наблюдения ${displaystyle h({oldsymbol {x}}_{k},{oldsymbol {z}}_{k})}$.

Модификации

Итерированный расширенный фильтр Калмана

Повторяемый расширенный фильтр Калмана улучшает линеаризацию расширенного фильтра Калмана путем рекурсивного изменения центральной точки разложения Тейлора. Это уменьшает ошибку линеаризации за счет увеличения вычислительных требований.^[13]

Надежный расширенный фильтр Калмана

Расширенный фильтр Калмана возникает путем линеаризации модели сигнала относительно оценки текущего состояния и использования линейного Фильтр Калмана чтобы предсказать следующую оценку. Это пытается создать локально оптимальный фильтр, однако он не обязательно стабильный, потому что решения лежащего в основе Уравнение Риккати не гарантируется, что они будут положительно определенными. Один из способов повышения производительности - это искусственная алгебраическая техника Риккати. ^[14] что жертвует оптимальностью в пользу стабильности. Знакомая структура расширенного фильтра Калмана сохраняется, но стабильность достигается путем выбора положительно определенного решения псевдоалгебраического уравнения Риккати для схемы усиления.

Другой способ улучшить характеристики расширенного фильтра Калмана - это использовать результаты H-бесконечности из робастного управления. Надежные фильтры получаются добавлением положительно определенного члена к расчетному уравнению Риккати.^[15] Дополнительный член параметризуется скаляром, который разработчик может настроить, чтобы достичь компромисса между критериями эффективности среднеквадратичной ошибки и максимальной ошибки.

Инвариантный расширенный фильтр Калмана

Основная статья: Инвариантный расширенный фильтр Калмана

Инвариантный расширенный фильтр Калмана (IEKF) - это модифицированная версия EKF для нелинейных систем, обладающих симметриями (или инварианты). Он сочетает в себе преимущества как EKF, так и недавно представленного фильтры, сохраняющие симметрию. Вместо использования линейного поправочного члена, основанного на линейной выходной ошибке, IEKF использует геометрически адаптированный поправочный член, основанный на инвариантной выходной ошибке; точно так же матрица усиления обновляется не из линейной ошибки состояния, а из инвариантной ошибки состояния. Основное преимущество состоит в том, что уравнения усиления и ковариации сходятся к постоянным значениям на гораздо большем наборе траекторий, чем точки равновесия, как это имеет место для EKF, что приводит к лучшей сходимости оценки.

Фильтры Калмана без запаха

Нелинейный фильтр Калмана, который является многообещающим улучшением по сравнению с EKF, - это фильтр Калмана без запаха (UKF). В UKF плотность вероятности аппроксимируется детерминированной выборкой точек, которые представляют лежащее в основе распределение как Гауссовский. Нелинейное преобразование этих точек предназначено для оценки апостериорного распределения, моменты из которых затем можно получить из преобразованных выборок. Преобразование известно как преобразование без запаха. UKF имеет тенденцию быть более надежным и точным, чем EKF, в оценке ошибок во всех направлениях.

«Расширенный фильтр Калмана (EKF), вероятно, является наиболее широко используемым алгоритмом оценки для нелинейных систем. Однако более чем 35-летний опыт работы в оценочном сообществе показал, что его сложно реализовать, сложно настроить и он надежен только для систем, которые почти линейны по шкале времени обновлений. Многие из этих трудностей возникают из-за использования линеаризации ".^[1]

Документ 2012 года включает результаты моделирования, которые показывают, что некоторые опубликованные варианты UKF не могут быть такими же точными, как расширенный фильтр Калмана второго порядка (SOEKF), также известный как расширенный фильтр Калмана.^[16] SOEKF предшествует UKF примерно на 35 лет, причем моментная динамика впервые описана Bass et al.^[17] Сложность реализации любых фильтров типа Калмана для нелинейных переходов состояний проистекает из проблем численной стабильности, необходимых для точности,^[18] однако UKF не избегает этой трудности, поскольку также использует линеаризацию, а именно линейную регрессию. Проблемы стабильности для UKF обычно возникают из-за численного приближения к квадратному корню из ковариационной матрицы, тогда как проблемы стабильности как для EKF, так и для SOEKF возникают из возможных проблем в Серия Тейлор приближение по траектории.

Ансамблевый фильтр Калмана

На самом деле UKF был предшественником ансамблевого фильтра Калмана, изобретенного компанией Evensen в 1994 году. Ансамблевый фильтр Калмана. Он имеет преимущество перед UKF в том, что количество используемых членов ансамбля может быть намного меньше, чем количество состояний, что позволяет применять в приложениях очень многомерные системы, такие как прогноз погоды, с размерами пространства состояний в миллиард или более.

Смотрите также

• Фильтр Калмана
• Ансамблевый фильтр Калмана
• Быстрый фильтр Калмана
• Инвариантный расширенный фильтр Калмана
• Оценка подвижного горизонта
• Фильтр твердых частиц
• Фильтр Калмана без запаха

Рекомендации

1. Julier, S.J .; Ульманн, Дж. (2004). «Фильтрация без запаха и нелинейная оценка» (PDF). Труды IEEE. 92 (3): 401–422. Дои:10.1109 / jproc.2003.823141. S2CID  9614092.
2. Курсы, E .; Обзоры, Т. (2006). Фильтры сигма-точки: обзор приложений для интегрированной навигации и управления с помощью машинного зрения. Семинар по нелинейной статистической обработке сигналов, 2006 IEEE. С. 201–202. Дои:10.1109 / NSSPW.2006.4378854. ISBN  978-1-4244-0579-4. S2CID  18535558.
3. R.E. Кальман (1960). «Вклад в теорию оптимального управления». Бол. Soc. Мат. Мексикана: 102–119. CiteSeerX  10.1.1.26.4070.
4. R.E. Кальман (1960). «Новый подход к задачам линейной фильтрации и прогнозирования» (PDF). Журнал фундаментальной инженерии. 82: 35–45. Дои:10.1115/1.3662552.
5. R.E. Кальман; Р.С. Бьюси (1961). «Новые результаты в теории линейной фильтрации и предсказания» (PDF). Журнал фундаментальной инженерии. 83: 95–108. Дои:10.1115/1.3658902.
6. Брюс А. МакЭлхо (1966). «Оценка навигации и корректировки курса для пилотируемого облета Марса или Венеры». IEEE Transactions по аэрокосмическим и электронным системам. 2 (4): 613–623. Bibcode:1966ITAES ... 2..613M. Дои:10.1109 / TAES.1966.4501892. S2CID  51649221.
7. Г. Л. Смит; С.Ф. Шмидт и Л.А. МакГи (1962). «Применение теории статистических фильтров для оптимальной оценки положения и скорости на борту окололунного аппарата». Национальное управление по аэронавтике и исследованию космического пространства.
8. Хуанг, Гоцюань П.; Мурикис, Анастасиос I; Румелиотис, Стергиос I (2008). «Анализ и улучшение согласованности расширенного фильтра Калмана на основе SLAM». Робототехника и автоматизация, 2008. ICRA 2008. Международная конференция IEEE по. С. 473–479. Дои:10.1109 / ROBOT.2008.4543252.
9. Браун, Роберт Гровер; Хван, Патрик И.С. (1997). Введение в случайные сигналы и прикладную фильтрацию Калмана (3-е изд.). Нью-Йорк: Джон Вили и сыновья. стр.289 –293. ISBN  978-0-471-12839-7.
10. Эйнике, Г.А. (2019). Сглаживание, фильтрация и прогнозирование: оценка прошлого, настоящего и будущего (2-е изд.). Amazon Prime Publishing. ISBN  978-0-6485115-0-2.
11. Саймон, Дэн (2006). Оценка оптимального состояния. Хобокен, Нью-Джерси: Джон Уайли и сыновья. ISBN  978-0-471-70858-2.
12. Куан, Куан (2017). Введение в дизайн и управление мультикоптерами. Сингапур: Спрингер. ISBN  978-981-10-3382-7.
13. Чжан, Чжэнъю (1997). «Методы оценки параметров: учебное пособие с применением конической аппроксимации» (PDF). Вычисления изображений и зрения. 15 (1): 59–76. Дои:10.1016 / s0262-8856 (96) 01112-2. ISSN  0262-8856.
14. Einicke, G.A .; White, L.B .; Bitmead, R.R. (сентябрь 2003 г.). «Использование поддельных алгебраических уравнений Риккати для демодуляции в совмещенном канале». IEEE Trans. Сигнальный процесс. 51 (9): 2288–2293. Bibcode:2003ITSP ... 51.2288E. Дои:10.1109 / чайная ложка.2003.815376. HDL:2440/2403.
15. Einicke, G.A .; Белый, Л. (Сентябрь 1999 г.). «Надежная расширенная фильтрация Калмана». IEEE Trans. Сигнальный процесс. 47 (9): 2596–2599. Bibcode:1999ITSP ... 47.2596E. Дои:10.1109/78.782219.
16. Gustafsson, F .; Hendeby, G .; , «Некоторые взаимосвязи между расширенными и бесценными фильтрами Калмана», Обработка сигналов, IEEE Transactions on, том 60, № 2, стр. 545-555, февраль 2012 г.
17. Р. Басс, В. Норум, Л. Шварц, “Оптимальная многоканальная нелинейная фильтрация (задача оптимальной многоканальной нелинейной фильтрации оценки минимальной дисперсии состояния n-мерной нелинейной системы, подверженной стохастическим возмущениям)”, J. Математический анализ и приложения. т. 16. С. 152–164, 1966.
18. Мохиндер С. Гревал; Ангус П. Эндрюс (2 февраля 2015 г.). Фильтрация Калмана: теория и практика с MATLAB. Джон Вили и сыновья. ISBN  978-1-118-98496-3.

дальнейшее чтение

• Anderson, B.D.O .; Мур, Дж. Б. (1979). Оптимальная фильтрация. Энглвуд Клиффс, Нью-Джерси: Прентис 窶 滴 все.

• Гелб, А. (1974). Прикладная оптимальная оценка. MIT Press.

• Язвински, Эндрю Х. (1970). Случайные процессы и фильтрация. Математика в науке и технике. Нью-Йорк: Академическая пресса. стр.376. ISBN  978-0-12-381550-7.

• Можетек, Питер С. (1979). Стохастические модели, оценка и управление. Математика в науке и технике. 141-1. Нью-Йорк: Академическая пресса. п. 423. ISBN  978-0-12-480701-3.

внешняя ссылка

• Оценка местоположения дифференциально-колесного робота на основе одометрии и ориентиров