Метод предиктора – корректора - Predictor–corrector method

В числовой анализ, методы предиктора – корректора принадлежат к классу алгоритмы предназначен для интегрирования обыкновенных дифференциальных уравнений - чтобы найти неизвестную функцию, которая удовлетворяет заданному дифференциальному уравнению. Все такие алгоритмы выполняются в два этапа:

1. Начальный этап «прогнозирования» начинается с функции, подобранной к значениям функций и производным значениям в предыдущем наборе точек, чтобы экстраполировать («предвидеть») значение этой функции в следующей, новой точке.
2. На следующем, «корректирующем» шаге начальное приближение уточняется с помощью предсказанный значение функции и другой метод интерполировать значение этой неизвестной функции в одно и тоже последующий пункт.

Предикторно-корректорные методы решения ОДУ.

При рассмотрении численное решение обыкновенных дифференциальных уравнений (ОДУ), метод предиктора-корректора обычно использует явный метод для шага предиктора и неявный метод для шага корректора.

Пример: метод Эйлера с правилом трапеции

Простой метод предиктора-корректора (известный как Метод Хойна ) можно построить из Метод Эйлера (явный метод) и трапеция (неявный метод).

Рассмотрим дифференциальное уравнение

${\displaystyle y'=f(t,y),\quad y(t_{0})=y_{0},}$

и обозначим размер шага через ${\displaystyle h}$.

Во-первых, шаг предиктора: начиная с текущего значения ${\displaystyle y_{i}}$, вычислить начальное предполагаемое значение ${\displaystyle {\tilde {y}}_{i+1}}$ методом Эйлера,

${\displaystyle {\tilde {y}}_{i+1}=y_{i}+hf(t_{i},y_{i}).}$

Затем шаг корректора: улучшите первоначальное предположение с помощью правила трапеции,

${\displaystyle y_{i+1}=y_{i}+{\tfrac {1}{2}}h{\bigl (}f(t_{i},y_{i})+f(t_{i+1},{\tilde {y}}_{i+1}){\bigr )}.}$

Это значение используется в качестве следующего шага.

Режим PEC и режим PECE

Существуют разные варианты метода предиктора-корректора, в зависимости от того, как часто применяется метод корректора. Режим Predict – Evaluate – Correct – Evaluate (PECE) относится к варианту в приведенном выше примере:

${\displaystyle {\begin{aligned}{\tilde {y}}_{i+1}&=y_{i}+hf(t_{i},y_{i}),\\y_{i+1}&=y_{i}+{\tfrac {1}{2}}h{\bigl (}f(t_{i},y_{i})+f(t_{i+1},{\tilde {y}}_{i+1}){\bigr )}.\end{aligned}}}$

Также возможно оценить функцию ж только один раз на шаг с использованием метода в режиме «Прогнозировать – оценить – исправить» (PEC):

${\displaystyle {\begin{aligned}{\tilde {y}}_{i+1}&=y_{i}+hf(t_{i},{\tilde {y}}_{i}),\\y_{i+1}&=y_{i}+{\tfrac {1}{2}}h{\bigl (}f(t_{i},{\tilde {y}}_{i})+f(t_{i+1},{\tilde {y}}_{i+1}){\bigr )}.\end{aligned}}}$

Кроме того, этап коррекции можно повторить в надежде, что это приведет к еще лучшему приближению к истинному решению. Если метод корректора запускается дважды, это дает режим PECECE:

${\displaystyle {\begin{aligned}{\tilde {y}}_{i+1}&=y_{i}+hf(t_{i},y_{i}),\\{\hat {y}}_{i+1}&=y_{i}+{\tfrac {1}{2}}h{\bigl (}f(t_{i},y_{i})+f(t_{i+1},{\tilde {y}}_{i+1}){\bigr )},\\y_{i+1}&=y_{i}+{\tfrac {1}{2}}h{\bigl (}f(t_{i},y_{i})+f(t_{i+1},{\hat {y}}_{i+1}){\bigr )}.\end{aligned}}}$

В режиме PECEC оценивается на одну функцию меньше, чем в режиме PECECE.

В общем, если корректор запущен k раз, метод находится в P (EC)^kили P (EC)^kРежим E. Если метод корректора повторяется до тех пор, пока он не сойдется, это можно назвать PE (CE)^∞.^[1]

Смотрите также

• Формула обратной дифференциации
• Алгоритм Бимана
• Метод Хойна
• Метод предсказателя – корректора Mehrotra
• Численное продолжение

Примечания

1. Мясник 2003, п. 104

Рекомендации

• Мясник, Джон С. (2003), Численные методы решения обыкновенных дифференциальных уравнений., Нью-Йорк: Джон Уайли и сыновья, ISBN  978-0-471-96758-3.
• Нажмите, WH; Теукольский С.А.; Феттерлинг, штат Вашингтон; Фланнери, ВР (2007). «Раздел 17.6. Многошаговые, многозначные методы и методы предиктора-корректора». Числовые рецепты: искусство научных вычислений (3-е изд.). Нью-Йорк: Издательство Кембриджского университета. ISBN  978-0-521-88068-8.

внешняя ссылка

• Вайсштейн, Эрик В. «Методы предсказания-корректора». MathWorld.
• Предикторно-корректорные методы для дифференциальных уравнений