Метод средней точки - Midpoint method

Для правила средней точки в числовом квадратура, видеть метод прямоугольника.

Иллюстрация метода средней точки в предположении, что ${\displaystyle y_{n}}$ равно точному значению ${\displaystyle y(t_{n}).}$ Метод средней точки вычисляет ${\displaystyle y_{n+1}}$ так, чтобы красная хорда была примерно параллельна касательной в средней точке (зеленая линия).

В числовой анализ, филиал Прикладная математика, то метод средней точки это одношаговый метод для численно решение дифференциальное уравнение,

${\displaystyle y'(t)=f(t,y(t)),\quad y(t_{0})=y_{0}}$.

Явный метод средней точки задается формулой

${\displaystyle y_{n+1}=y_{n}+hf\left(t_{n}+{\frac {h}{2}},y_{n}+{\frac {h}{2}}f(t_{n},y_{n})\right),\qquad \qquad (1e)}$

неявный метод средней точки

${\displaystyle y_{n+1}=y_{n}+hf\left(t_{n}+{\frac {h}{2}},{\frac {1}{2}}(y_{n}+y_{n+1})\right),\qquad \qquad (1i)}$

за ${\displaystyle n=0,1,2,\dots }$ Вот, ${\displaystyle h}$ это размер шага - небольшое положительное число, ${\displaystyle t_{n}=t_{0}+nh,}$ и ${\displaystyle y_{n}}$ - вычисленное приближенное значение ${\displaystyle y(t_{n}).}$ Явный метод средней точки иногда также называют модифицированный метод Эйлера^[1], неявный метод - самый простой метод коллокации, и применительно к гамильтоновой динамике a симплектический интегратор. Обратите внимание, что модифицированный метод Эйлера можно ссылаться на Метод Хойна^[2], для большей ясности см. Список методов Рунге – Кутты.

Название метода происходит от того факта, что в приведенной выше формуле функция ${\displaystyle f}$ дающий наклон решения оценивается при ${\displaystyle t=t_{n}+h/2={\tfrac {t_{n}+t_{n+1}}{2}},}$ середина между ${\displaystyle t_{n}}$ при котором стоимость ${\displaystyle y(t)}$ известно и ${\displaystyle t_{n+1}}$ при котором стоимость ${\displaystyle y(t)}$ нужно найти.

Геометрическая интерпретация может дать лучшее интуитивное понимание метода (см. Рисунок справа). В основном Метод Эйлера, касательная к кривой в точке ${\displaystyle (t_{n},y_{n})}$ вычисляется с использованием ${\displaystyle f(t_{n},y_{n})}$. Следующее значение ${\displaystyle y_{n+1}}$ находится там, где касательная пересекает вертикальную линию ${\displaystyle t=t_{n+1}}$. Однако, если вторая производная положительна только между ${\displaystyle t_{n}}$ и ${\displaystyle t_{n+1}}$, или только отрицательные (как на диаграмме), кривая будет все больше отклоняться от касательной, что приводит к большим ошибкам, поскольку ${\displaystyle h}$ увеличивается. На диаграмме показано, что касательная в средней точке (верхний зеленый сегмент линии), скорее всего, даст более точное приближение кривой в этом интервале. Однако этот касательный к средней точке не может быть точно рассчитан, потому что мы не знаем кривой (это то, что нужно рассчитать). Вместо этого эта касательная оценивается с использованием исходного метода Эйлера для оценки значения ${\displaystyle y(t)}$ в средней точке, затем вычисляя наклон касательной с ${\displaystyle f()}$. Наконец, улучшенный тангенс используется для вычисления значения ${\displaystyle y_{n+1}}$ из ${\displaystyle y_{n}}$. Этот последний шаг представлен на диаграмме красной хордой. Обратите внимание, что красная хорда не совсем параллельна зеленому сегменту (истинная касательная) из-за ошибки в оценке значения ${\displaystyle y(t)}$ в середине.

Локальная ошибка на каждом шаге метода средней точки порядка ${\displaystyle O\left(h^{3}\right)}$, что дает глобальную ошибку порядка ${\displaystyle O\left(h^{2}\right)}$. Таким образом, хотя метод средней точки требует больших вычислительных затрат, чем метод Эйлера, ошибка метода средней точки обычно уменьшается быстрее, чем ${\displaystyle h\to 0}$.

Эти методы являются примерами класса методов высшего порядка, известных как Методы Рунге – Кутты.

Вывод метода средней точки

Иллюстрация численного интегрирования уравнения ${\displaystyle y'=y,y(0)=1.}$ Синий: Метод Эйлера, зеленый: метод средней точки, красный: точное решение, ${\displaystyle y=e^{t}.}$ Размер шага ${\displaystyle h=1.0.}$

Та же иллюстрация для ${\displaystyle h=0.25.}$ Видно, что метод средней точки сходится быстрее, чем метод Эйлера.

Метод средней точки является усовершенствованием метода Эйлера.

${\displaystyle y_{n+1}=y_{n}+hf(t_{n},y_{n}),\,}$

и выводится аналогичным образом. Ключом к выводу метода Эйлера является приближенное равенство

${\displaystyle y(t+h)\approx y(t)+hf(t,y(t))\qquad \qquad (2)}$

которое получается из формулы наклона

${\displaystyle y'(t)\approx {\frac {y(t+h)-y(t)}{h}}\qquad \qquad (3)}$

и имея в виду, что ${\displaystyle y'=f(t,y).}$

Для методов средней точки заменяется (3) более точным

${\displaystyle y'\left(t+{\frac {h}{2}}\right)\approx {\frac {y(t+h)-y(t)}{h}}}$

когда вместо (2) находим

${\displaystyle y(t+h)\approx y(t)+hf\left(t+{\frac {h}{2}},y\left(t+{\frac {h}{2}}\right)\right).\qquad \qquad (4)}$

Это уравнение нельзя использовать для нахождения ${\displaystyle y(t+h)}$ как никто не знает ${\displaystyle y}$ в ${\displaystyle t+h/2}$. Решение состоит в том, чтобы использовать Серия Тейлор расширение точно так же, как при использовании Метод Эйлера решить для ${\displaystyle y(t+h/2)}$:

${\displaystyle y\left(t+{\frac {h}{2}}\right)\approx y(t)+{\frac {h}{2}}y'(t)=y(t)+{\frac {h}{2}}f(t,y(t)),}$

что при подключении к (4) дает нам

${\displaystyle y(t+h)\approx y(t)+hf\left(t+{\frac {h}{2}},y(t)+{\frac {h}{2}}f(t,y(t))\right)}$

и явный метод средней точки (1e).

Неявный метод (1i) получается приближением значения на полушаге ${\displaystyle t+h/2}$ к середине отрезка от ${\displaystyle y(t)}$ к ${\displaystyle y(t+h)}$

${\displaystyle y\left(t+{\frac {h}{2}}\right)\approx {\frac {1}{2}}{\bigl (}y(t)+y(t+h){\bigr )}}$

и поэтому

${\displaystyle {\frac {y(t+h)-y(t)}{h}}\approx y'\left(t+{\frac {h}{2}}\right)\approx k=f\left(t+{\frac {h}{2}},{\frac {1}{2}}{\bigl (}y(t)+y(t+h){\bigr )}\right)}$

Вставка приближения ${\displaystyle y_{n}+h\,k}$ за ${\displaystyle y(t_{n}+h)}$приводит к неявному методу Рунге-Кутта

${\displaystyle {\begin{aligned}k&=f\left(t_{n}+{\frac {h}{2}},y_{n}+{\frac {h}{2}}k\right)\\y_{n+1}&=y_{n}+h\,k\end{aligned}}}$

который содержит неявный метод Эйлера с размером шага ${\displaystyle h/2}$ как его первая часть.

Вследствие временной симметрии неявного метода все члены четной степени в ${\displaystyle h}$ локальной ошибки отменяется, так что локальная ошибка автоматически ${\displaystyle {\mathcal {O}}(h^{3})}$. Замена неявного метода Эйлера явным при определении ${\displaystyle k}$ снова приводит к явному методу средней точки.

Смотрите также

• Прямоугольный метод
• Метод Хойна
• Интеграция чехарда и Интеграция Верле

Примечания

1. Сюли и Майерс 2003, п. 328
2. Бремя и ярмарки 2011, п. 286 Ошибка harvnb: цель отсутствует: CITEREFBurdenFaires2011 (Помогите)

Рекомендации

• Гриффитс, Д. V .; Смит, И. М. (1991). Численные методы для инженеров: подход к программированию. Бока-Ратон: CRC Press. п. 218. ISBN  0-8493-8610-1.
• Сули, Эндре; Майерс, Дэвид (2003), Введение в численный анализ, Издательство Кембриджского университета, ISBN  0-521-00794-1.
• Бэрден, Ричард; Faires, Джон (2010). Числовой анализ. Ричард Страттон. п. 286. ISBN  0-538-73351-9.