Главное значение - Principal value

В математика, конкретно комплексный анализ, то основные ценности из многозначная функция являются значениями по одному выбранному ответвляться того, что функция, так что это однозначный. Самый простой случай возникает, если взять квадратный корень положительного настоящий номер. Например, 4 имеет два квадратных корня: 2 и –2; из них положительный корень, 2, считается главным корнем и обозначается как ${ displaystyle { sqrt {4}}.}$

Мотивация

Рассмотрим комплексный логарифм журнал функцийz. Он определяется как комплексное число ш такой, что

{ displaystyle e ^ {w} = z.}

Теперь, например, мы хотим найти журналя. Это означает, что мы хотим решить

{ Displaystyle е ^ {ш} = я}

за ш. Четко яπ / 2 - решение. Но разве это единственное решение?

Конечно, есть и другие решения, о чем свидетельствует рассмотрение позиции я в комплексная плоскость и в частности его аргумент аргумент я. Мы можем повернуть π / 2 радиана против часовой стрелки от 1, чтобы получить я первоначально, но если мы повернем еще на 2π, мы достигнем я опять таки. Итак, можно сделать вывод, что я(π / 2 + 2π) равно также решение для журналая. Становится ясно, что мы можем сложить любое кратное 2πя к нашему начальному решению, чтобы получить все значения для журналая.

Но это имеет следствие, которое может быть удивительным по сравнению с функциями с действительными значениями: logя не имеет однозначного значения! Для журналаz, у нас есть

{ Displaystyle журнал {Z} = ln {| z |} + я влево ( mathrm {arg} z right) = ln {| z |} + я влево ( mathrm {Arg} z + 2 pi k right)}

для целое число k, где Argz является (главным) аргументом z определено лежать в интервал ${ Displaystyle (- пи, пи]}$ . Поскольку главный аргумент уникален для данного комплексного числа z, ${ displaystyle - pi}$ не входит в интервал. Каждое значение k определяет то, что известно как ответвляться (или же простынь), однозначный компонент многозначной функции журнала.

Ветвь, соответствующая k = 0 известен как главный филиал, и вдоль этой ветви значения, которые принимает функция, известны как основные ценности.

Общий случай

В общем, если ж(z) многозначна, главная ветвь ж обозначается

{ Displaystyle mathrm {pv} , е (г)}

так что для z в домен из ж, pvж(z) однозначно.

Основные значения стандартных функций

Комплексная оценка элементарные функции может быть многозначным по некоторым доменам. Главное значение некоторых из этих функций может быть получено путем разложения функции на более простые, при этом главное значение простых функций легко получить.

Функция логарифма

Мы изучили функция логарифма выше, т.е.

{ displaystyle log {z} = ln {| z |} + i left ( mathrm {arg} z right).}

Теперь, argz по своей сути многозначен. Часто аргумент некоторого комплексного числа определяется как ${ displaystyle - pi}$ (эксклюзив) и ${ displaystyle pi}$ (включительно), поэтому мы принимаем это за главное значение аргумента и пишем функцию аргумента на этой ветви Argz (с заглавной буквы A). Использование Argz вместо argz, получим главное значение логарифма и запишем

{ displaystyle mathrm {pv} log {z} = mathrm {Log} , z = ln {| z |} + i left ( mathrm {Arg} , z right).}

Квадратный корень

Для комплексного числа ${ Displaystyle г = ре ^ { фи я} ,}$ основная ценность квадратный корень является:

{ displaystyle mathrm {pv} { sqrt {z}} = { sqrt {r}} , e ^ {я phi / 2}}

с аргумент ${ Displaystyle - пи < фи leq pi.}$

Сложный аргумент

сравнение загар и atan2 функции

Основная ценность аргумент комплексного числа измеряется в радианы можно определить как:

значения в диапазоне ${ displaystyle [0,2 pi)}$
значения в диапазоне ${ displaystyle (- pi, pi]}$

Для вычисления этих значений можно использовать функции:

atan2 с главным значением в диапазоне ${ displaystyle (- pi, pi]}$
загар с главным значением в диапазоне ${ displaystyle ({ tfrac {- pi} {2}}, { tfrac { pi} {2}}]}$